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원의 접선의 방정식 두 번째입니다. 기울기를 알 때에요. 기울기를 알고 있으니까 이미 직선의 방정식의 절반을 알고 있는 거예요. y = mx + n꼴에서 기울기 m을 알고 있으니 y절편 n만 구하면 되겠네요.

원과 직선이 접한다는 건 한 점에서 만난다는 것이고 이는 원과 직선의 위치관계에 했던 내용이에요. 한 점에서 만나는 조건들이 있었는데 이 조건을 이용해서 원의 접선의 방정식을 구할 거예요.

원의 접선의 방정식을 구하는 공식이 나오는데, 외우기 어렵다면 원과 직선의 위치관계를 구하는 과정을 이용해서 문제를 풀어도 좋아요.

원의 접선의 방정식 - 기울기를 알 때

(x - a)² + (y - b)² = r²에 접하고 기울기가 m인 접선을 구해보죠.

원과 직선의 위치관계에서 원과 직선이 한 점에서 만날 때 판별식 D = 0이거나 (원의 중심에서 접선까지의 거리) = (반지름)인 관계가 있다고 했어요. 이를 이용해서 접선의 방정식을 구해요.

위 그림에 보면 접선의 방정식이 2개가 그려져 있어요. 기울기는 같고 y절편만 다른 두 개의 접선의 방정식이 생기기 때문이에요. 이 두 개를 모두 구해야 합니다.

판별식 D를 이용

먼저 x² + y² = r²에 접하는 접선의 방정식을 구해보죠. 접선의 방정식을 y = mx + k라고 하고 이 방정식을 원의 방정식에 대입해서 정리해서 D를 구해볼까요?

x² + y² = r²
x² + (mx + k)² = r²
x² + m²x² + 2mkx + k² = r²
(m² + 1)x² + 2mkx + k² - r² = 0

D/4 = m²k² - (m² + 1)(k² - r²) = 0
m²k² - m²k² + m²r² - k² + r² = 0
m²r² - k² + r² = 0
k² = m²r² + r²
k² = r²(m² + 1)
k = ±r

x² + y² = r²에 접하는 접선의 방정식은 y = mx ±r이에요.

이차함수 그래프, y = (x - p)² + q는 y = x²의 그래프를 x축으로 p만큼 이동해서 x 대신 x - p를, y축으로 q만큼 이동해서 y 대신 y - q를 넣어 준거라고 했어요. 꼭짓점이 (0, 0)에서 (p, q)로 이동했잖아요. 원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²은 x² + y² = r²을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 이동한 원의 방정식이에요. 원의 중심이 (0, 0)에서 (a, b)로 이동했어요. 그래서 접선의 방정식도 x 대신 x - a, y대신 y - b를 넣어주면 돼요.

(x - a)² + (y - b)² = r²의 제곱에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y = mx ± r에 x 대신 x - a, y 대신 y - b를 넣어준 y - b = m(x - a) ± r이 됩니다.

원의 중심과 접선까지의 거리 이용

x² + y² = r²의 중심에서 y = mx + k까지의 거리는 반지름 r과 같아요.

원의 중심 (0, 0)
y = mx + k → mx - y + k = 0

점과 직선 사이의 거리 공식에 대입해보죠.

따라서 y = mx ± r이죠.

위와 같은 이유로 x축으로 a만큼 이동하며 x 대신 x - a를, y축으로 b만큼 이동하면 y 대신 y - b를 대입해요.

x² + y² = r²의 접선의 방정식은 y = mx ± r
(x - a)² + (y - b)² = r²의 접선의 방정식 y - b = m(x - a) ± r

기울기가 m인 원의 접선의 방정식
판별식 D를 이용: 접선의 방정식 표준형을 원의 방정식에 대입하고 D = 0이 되는 값을 구한다.
원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리 이용: (원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리) = (반지름 r) 이용
x² + y² = r²에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y = mx ± r
(x - a)² + (y - b)² = r²에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y - b = m(x - a) ± r

공식에서 (y - b)와 (x - a)는 원의 방정식에 있는 걸 그대로 가져다 쓰면 되니까 더 쉽죠?

다음을 구하여라.
(1) x² + y² = 16에 접하고 y = x - 1에 평행한 접선의 방정식
(2) (x - 1)² + (y + 2)² = 25에 접하고 기울기가 3인 접선의 방정식

(1) y = x - 1에 평행한 그래프니까 두 직선의 위치관계에 따라 기울기가 1이네요. y = x + k라고 해보죠.

x² + (x + k)² = 16
x² + x² + 2kx + k² - 16 = 0
2x² + 2kx + k² - 16 = 0
D/4 = k² - 2(k² - 16) = 0
k² - 2k² + 32 = 0
k² = 32
k = ±
k = ±4

따라서 접선의 방정식은 y = x ± 4

(2)번은 공식에 대입해서 구해볼까요?

y - b = m(x - a) ± r
y + 2 = 3(x - 1) ± 5
y = 3x - 5 ± 5

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기억나진 않겠지만, 원과 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 원과 직선의 위치관계에서 공부했었어요. 이때는 그림을 보면서 어떤 위치관계가 있는지만을 공부했었죠.

이제는 단순히 원과 직선의 위치관계의 종류뿐 아니라 그러한 위치를 갖는 조건을 알아볼 거예요. 물론 위치관계를 가질 조건은 원의 방정식과 직선의 방정식의 관계를 말하죠. 주어진 식을 이용해서 원과 직선에 어떤 관계가 있을 때, 어떤 위치관계에 있는지를 알아보죠.

앞서 했던 여러 단원의 내용이 광범위하게 나오니까 전에 공부했던 내용을 잘 떠올려보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계는 그림에서 보듯이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 한 점에서 만날 때, 만나지 않을 때 세 가지 경우가 있어요. 한 점에서 만날 때를 접한다고 하고요.

판별식 이용

원의 방정식은 x, y에 관한 이차방정식이고 직선의 방정식은 x, y에 관한 일차방정식이에요. 그래프에서의 교점은 원의 방정식의 해이면서 직선의 방정식의 해 즉 연립방정식의 해고요. 그러니까 교점의 개수를 구하는 건 연립방정식의 해의 개수를 구하는 것과 같아요.

이차방정식과 일차방정식으로 된 연립방정식은 일차식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식에 대입해서 풀었어요. 여기서도 이 방법을 이용합니다.

일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식인 원의 방정식에 대입하면 그 식은 이차식이에요. 이 이차식의 해의 개수가 연립방정식의 해의 개수이고, 이건 이차방정식의 판별식을 이용해서 구할 수 있어요.

1. 일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리
2. 1의 식을 이차식인 원의 방정식에 대입. 전개
3. 2의 식에서 판별식 D를 구한다.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 만나지 않는다.

직선을 y에 대해서 정리한 형태가 바로 직선의 방정식의 표준형이에요. 그리고 이걸 원의 방정식에 대입하여 판별식을 구하는 이차식은 일반형이고요.

원의 중심에서 직선까지의 거리 이용

점과 직선 사이의 거리 공식을 이용할 수도 있어요. 원의 방정식에서 원의 중심의 좌표를 구한 다음 원의 중심과 직선 사이의 거리를 구하고 이를 원의 반지름과 비교하는 거예요.

원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 원의 반지름을 r이라고 해보죠.

d < r ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
d = r ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
d > r ⇔ 만나지 않는다.

원의 중심을 구하려면 원이 표준형으로 되어 있어야겠죠? 원과 직선 사이의 거리를 구할 때 직선의 방정식은 일반형이고요.

위의 내용을 표로 정리해보죠.

다음 원의 방정식과 직선의 방정식이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 k의 조건을 구하여라.
(1) x² + y² + 4x + 8y + k - 8 = 0, x + y - 4 = 0
(2) (x - k)² + (y + 2)² = 5, x + 2y + 10 = 0

(1)번은 원의 방정식은 일반형, 직선의 방정식도 일반형이네요. 원의 방정식은 일반형이라면 직선의 방정식이 표준형이어야 판별식을 이용할 텐데 말이죠. 그런데 이때는 직선의 방정식을 그냥 표준형으로 바꾸면 돼요. 표준형으로 바꾸는 건 정말 쉬우니까요.

x + y - 4 = 0
y = -x + 4

이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x² + (-x + 4)² + 4x + 8(-x + 4) + k - 8 = 0
x² + x² - 8x + 16 + 4x - 8x + 32 + k - 8 = 0
2x² - 12x + k + 40 = 0

이차식이 만들어졌는데, 이차식의 해의 개수가 두 방정식의 교점의 개수와 같아요. 서로 다른 두 실근을 가진다고 했으니 D > 0이어야겠네요.

D/4 = 6² - 2(k + 40) > 0
36 - 2k - 80 > 0
2k < -44
k < -22

(2) 원의 방정식은 표준형, 직선의 방정식은 일반형이에요. 이때는 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용해요.

원의 중심의 좌표는 (k, -2), 반지름은 예요.

절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이를 이용했어요.

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원의 방정식 표준형에 이어서 원의 방정식 일반형에 대해서 알아볼 거예요. 식의 일반형은 좌변에 모든 항이 있고, 우변 = 0인 꼴을 말해요.

이차함수 식 구할 때 이차함수의 일반형을 이용했어요. 바로 세 점의 좌표를 알려줬을 때죠. 원의 방정식도 비슷합니다. 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 일반형을 이용해요.

표준형을 일반형으로 바꾸는 건 간단히 전개만 하면 되지만, 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 조금 달라요. 하지만 이미 많이 해봤던 거라서 금방 할 수 있어요.

세 점을 지나는 원의 방정식

원의 방정식의 표준형은 (x - a)² + (y - b)² = r²이에요. 전개해보죠.

(x - a)² + (y - b)² = r²
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

여기서 -2a = A, -2b = B, a² + b² - r² = C라는 문자로 치환하면
x² + y² + Ax + By + c = 0

원의 방정식 일반형
x² + y² + Ax + By + C = 0

원의 방정식 표준형은 원의 중심과 반지름을 바로 확인할 수 있는 장점이 있어요. 일반형은 그렇지 못하죠? 그런데도 일반형을 쓰는 이유는 세 점의 좌표를 알고 있을 때 조금 더 쉽게 원의 방정식을 구할 수 있기 때문이에요.

세 점 (-2, 2), (4, -6), (5, -5)을 지나는 원의 방정식을 구하여라.

x² + y² + Ax + By + C = 0에 세 점의 좌표를 대입해보죠.

(-2)² + 2² - 2A + 2B + C = 0
2A - 2B - C = 8 ……… ①

4² + (-6)² + 4A - 6B + C = 0
4A - 6B + C = -52 ……… ②

5² + (-5)² + 5A - 5B + C = 0
5A - 5B + C = -50 ……… ③

A, B, C에 관한 연립방정식이 만들어졌어요. 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀어봤었죠?

① + ② = 6A - 8B = -44
              3A - 4B = -22 ……… ④

① + ③ = 7A - 7B = -42
              A - B = -6  ……… ⑤

④, ⑤를 연립해서 풀면 A = -2, B = 4

①에 A = -2, B = 4를 대입하면 C = -20

답은 x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0

원의 방정식 일반형을 표준형으로

원의 방정식 일반형을 다시 표준형으로 바꿔보죠. 이차함수 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법과 똑같아요.

원의 중심의 좌표는 이고, 반지름은 에요.

표준형에서 우변은 반지름의 제곱이므로 0보다 커야 해요. 값을 다 비교할 필요는 없고 반지름의 분자에 있는 제곱근 안의 값만 0보다 크면 되죠.

A² + B² - 4C > 0

이차방정식의 판별식처럼 주어진 식이 원의 방정식 원인지 아닌지를 판단할 때 사용해요. 자주 사용하는 건 아니니까 꼭 알아야 하는 건 아니지만 알아두면 편리하긴 하죠.

x² + y² - 6x + 8y + k = 0이 원의 방정식일 때, 상수 k의 범위를 구하여라.

A² + B² - 4C > 0
(-6)² + 8² - 4k > 0
36 + 64 - 4k > 0
4k < 100
k < 25

일반형을 표준형으로 바꿔서 계산해볼까요?

x² + y² - 6x + 8y + k = 0
x² - 6x + y² + 8y + k = 0
x² - 6x + 9 - 9 + y² + 8y + 16 - 16 + k = 0
(x - 3)² + (y + 4)² + k - 25 = 0
(x - 3)² + (y + 4)² = 25 - k

우변 25 - k는 반지름의 제곱이므로 25 - k > 0. 따라서 k < 25

어떤 방법으로 해도 답은 똑같아요. 편한 방법을 선택하세요.

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원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 있으면 돼요. 오히려 중학교 때 공부했던 원주각, 중심각 등보다 쉽다고 할 수 있죠.

직선의 방정식에서 표준형과 일반형을 공부했어요. 원의 방정식에도 표준형과 일반형이 있는데, 이 글에서는 원의 방정식 표준형을 알아볼 거예요.

원의 방정식 공식을 유도하는 방법과 여러 문제에서 어떻게 원의 방정식을 구하는 지를 유형별로 알아보죠.

원의 방정식

원은 한 점(정점)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이에요. 이때 한 정점을 원의 중심이라고 하고, 같은 거리를 반지름이라고 하죠.

좌표평면에서 한 점 C에서 같은 거리(반지름. r)에 점을 그리고 임의의 점의 좌표를 P라고 해보죠. 반지름 r은 의 길이와 같아요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 C와 P 사이의 거리를 구해볼까요?

P는 임의의 점이니까 원 위에 있는 모든 점은 위 방정식을 만족해요. 이 방정식이 바로 원의 방정식입니다.

원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
⇔ (x - a)² + (y - b)² = r²

만약에 원의 중심이 원점(0, 0)이면 x² + y² = r²이겠죠?

위와 같은 형태를 원의 방정식의 표준형이라고 해요. 이차함수에서도 직선의 방정식에서도 표준형이라는 용어를 사용했었죠? 표준형을 보면 반지름과 원의 중심을 쉽게 구할 수 있는 장점이 있어요.

다음을 보고 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심이 (3, 2)이고 반지름이 9인 원
(2) 중심이 (-1, 2)이고 (2, 6)을 지나는 원
(3) (-3, -5)와 (5, 9)을 지름의 양 끝점으로 하는 원

원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)² + (y - b)² = r²이에요.

(1) 공식에 그대로 대입해보죠.
(x - 3)² + (y - 2)² = 9²

(2) 공식에 넣어보면 (x + 1)² + (y - 2)² = r²에요.

원의 방정식이 (2, 6)을 지나니까 이걸 식에 대입하면 r을 구할 수 있어요. 대입해보죠.
(x + 1)² + (y - 2)² = r²
(2 + 1)² + (6 - 2)² = r²
3² + 4² = r²
r² = 9 + 16
r² = 25

구하는 원의 방정식은 (x + 1)² + (y - 2)² = 25

(3) 중심과 반지름이 아니라 지나는 두 점을 알려줬네요. 그런데 두 점이 지름의 양 끝점이라고 했어요. 지름은 원의 중심을 지나는 직선으로 지름의 중점이 원의 중심이에요. 원의 중심을 구하면 (2) 번에서 했던 방법을 이용해서 r²을 구할 수 있어요.

원의 중심의 좌표를 (a, b)라고 한다면

원의 중심은 (1, 2)이니까 (x - 1)² + (y - 2)² = r²이네요. (5, 9)를 대입해보죠.

(x - 1)² + (y - 2)² = r²
(5 - 1)² + (9 - 2)² = r²
4² + 7² = r²
r² = 16 + 49
r² = 65

따라서 원의 방정식은 (x - 1)² + (y - 2)² = 65

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현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

현의 수직이등분선에서 두 가지 성질을 알아봤는데, 첫 번째는 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다였죠. 두 번째는 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다였고요. 이 글에서도 이 두 가지 성질을 그대로 이용합니다. 따라서 잘 기억하고 있어야 해요.

이 글에서 배울 내용도 그다지 어렵지 않아요. 증명도 쉬울 뿐 아니라 증명만 제대로 이해한다면 문제도 쉽게 풀 수 있어요. 그냥 쭉 한 번 읽어만 봐도 쉽게 알 수 있을 겁니다.

현의 길이

현의 길이도 두 가지 성질이 있어요. 하나는 명제이고 다른 하나는 그 명제의 역이에요. (명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역)

하나라고 해도 상관없으니까 한 가지만 제대로 알면 다른 건 그냥 자연스럽게 따라서 이해하게 되어 있어요.

한 원에서 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.

원의 중심에서 현까지의 거리가 같으면 두 현의 길이가 같아요.

점 O에서 점 A와 점 C에 선을 그어보죠.

직각삼각형이 두 개 생겼어요.

△OMA와 △ONC에서

=     (원의 중심에서 같은 거리에 있는 현, 가정)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로  = 죠. 현의 수직이등분선에서 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다고 했어요. = 2, = 2

따라서  =      (증명 끝.)

다음 그림을 보고 △OCD의 넓이를 구하여라.

삼각형의 넓이를 구하려면 밑변의 길이, 높이를 알아야 하는데, 높이는 4cm라고 나와 있네요.

밑변의 길이는 인데, 는 이 원의 현이고, 원의 중심으로부터 거리가 4cm에요. 도 원의 중심에서 4cm 떨어진 현이고요. 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같으므로  = 에요. 의 길이를 구해보죠.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로  = 이에요.  = 2 = 8cm이죠.

△OCD = ½ × 4 × 8 = 16cm²

한 원에서 길이가 같은 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다.

이번에는 위와 반대에요. 현의 길이가 같으면 원의 중심으로부터의 거리가 같아요.

점 O에서 점 A와 점 B에 선을 그어보죠.

△OMA와 △ONC에서

 =     (가정에서  = 이고, = 2, = 2현의 수직이등분선)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로 =      (증명 끝.)

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