수학방

이차방정식과 일차방정식의 연립방정식를 풀 때는 일차식을 이차식에 대입했어요. 이차방정식 두 개가 연립된 연립이차방정식의 풀이에서는 이차방정식 중의 하나를 인수분해하고, 인수분해된 일차식을 이차방정식에 대입해서 풀었죠.

이 글에서 공부할 연립이차방정식의 풀이는 이차방정식로 된 연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않는 경우예요. 이차식을 그대로 사용할 수가 없으니까 일차식으로 바꿔야 하는데, 이게 이 글에서 가장 중요한 내용입니다.

이차식을 어떻게 일차식으로 바꾸는지 알아보죠.

연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이

연립이차방정식의 기본 풀이는 일차방정식을 만들고, 이 일차방정식을 이차방정식과 연립해서 푸는 거예요.

연립이차방정식에서 이차방정식 중 하나가 인수분해되면 인수분해를 해서 일차방정식 두 개를 얻어요. 이 일차방정식들과 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 두 개 만들어서 해를 구했어요.

두 이차방정식이 모두 인수분해가 안 될 때도 일차식을 얻어야하는데, xy항이 있을 때와 없을 때가 달라요. xy항이 없을 때는 인수분해를 하지 않아도 일차방정식을 얻을 수 있고, xy항이 있으면 인수분해를 해야 일차방정식을 얻을 수 있어요.

xy항이 없을 때 - 최고차항 제거

두 이차방정식이 모두 인수분해되지 않고, xy항이 없으면 최고차항을 없애요. 최고차항이 2차니까 없애면 일차항으로만 된 일차방정식이 남겠죠. 남은 일차방정식과 문제에서 주어진 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어서 푸는 겁니다.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 없으니까 최고차항인 x²을 제거해보죠. ① × 2 - ② × 3하면 되겠네요.

6x² + 4y - 10x = 8 … ① × 2
6x² - 15y + 9x = 27 … ② × 3

19y - 19x = -19 … ① × 2 - ② × 3
x - y = 1

일차방정식이 생겼는데 이 일차방정식과 이차방정식 중 하나를 골라서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

일차방정식과 이차방정식의 연립이므로 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - y = 1
y = x - 1      → ①에 대입

3x² + 2(x - 1) - 5x = 4
3x² + 2x - 2 - 5x - 4 =0
3x² - 3x - 6 = 0
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0

x = -1 or x = 2
y = -2 or y = 1    (∵ y = x - 1)

xy 항이 있을 때 - 상수항 제거

연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으면 상수항을 제거해요. 이렇게 없앤 식을 인수분해할 수 있는데, 인수분해하면 일차식 두 개의 곱으로 되죠? 두 일차방정식과 원래 문제 있던 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 만들어 풀면 됩니다. 이때 이차방정식이 두 개인데, 아무거나 선택해도 상관없어요.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으니까 상수항을 제거해보죠. ① × 2 + ②하면 상수항이 없어지겠네요.

2x² - 2xy + 2y² = 14 … ① × 2
4x² - 9xy + y² = -14 … ②

6x² - 11xy + 3y² = 0 … ① × 2 + ②

(2x - 3y)(3x - y) = 0
2x - 3y = 0 or 3x - y = 0

상수항을 제거하고 인수분해를 했더니 두 일차식의 곱이 됐어요. 이 두 일차방정식과 원래의 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

새롭게 만들어진 연립이차방정식을 풀어볼까요? 연립이차방정식의 풀이에서 일차방정식과 이차방정식이 연립된 연립이차방정식에서는 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해서 푼다고 했어요.

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠.

2x - 3y = 0
     → ①에 대입

y = ±2   (∵ )

이번에는 오른쪽 연립이차방정식을 풀어보죠.

3x - y = 0
y = 3x     → ①에 대입

x² - x × 3x + (3x)² = 7
x² - 3x² + 9x² = 7
7x² = 7
x² = 1
x = ± 1
y = ± 3   (∵ y = 3x)

함께 보면 좋은 글

연립방정식 - 미지수가 3개인 연립일차방정식
연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이
부정방정식
인수분해, 인수분해 공식(고1)
등식의 변형, 한 문자에 대하여, 한 문자에 대한 식

중학교 2학년 때 공부했던 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개 있는 일차방정식 두 개를 묶은 연립일차방정식이었어요. 고등학교에서 공부할 연립방정식은 미지수의 개수도 한 개 늘어났고, 식의 개수도 한 개 늘어나요. 미지수가 x, y, z 세 개있는 일차방정식 세 개를 묶은 연립일차방정식이지요.

연립방정식을 푸는 방법으로 가감법과 대입법을 공부했어요. x, y중 한 미지수의 계수의 절댓값을 똑같게 해서 식을 더하고 빼는 게 가감법, 두 식 중 한 식을 한 문자에 대하여 정리해서 다른 식에 대입하는 게 대입법이었지요.

미지수가 3개인 연립일차방정식

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수의 개수를 줄이는 것이에요. 미지수의 개수가 2개인 연립일차방정식은 우리가 풀 수 있잖아요. 그래서 미지수의 개수가 3개인 연립방정식은 우리가 풀 수 있는 형태로 바꿔서 풀어요.

미지수의 개수 줄이기
미지수가 3개인 연립일차방정식
→ 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 변환
→ 미지수가 1개인 일차방정식으로 변환

그럼 미지수의 개수를 어떻게 줄이느냐? 바로 가감법과 대입법으로 줄이죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

미지수 2개인 연립일차방정식인데, 연습 삼아 풀어보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더하면 되겠네요.

3x = 6
x = 2

x = 2를 두 식 중 아무 식에나 대입해요.
2 - y = 1
y = 1

x = 2, y = 1이라는 해를 구했어요.

가감법을 통해서 x, y 2개의 미지수 중 y를 없앴더니 남은 x의 값을 구할 수 있었어요. 그리고 x를 원래 식에 대입해서 y의 값을 구했지요.

이번에는 미지수가 3개이고 식도 3개인 연립일차방정식을 풀어보죠.

미지수가 x, y, z 세 개이고, 식이 세 개예요. 위에서부터 차례대로 ①, ②, ③식이라고 해보죠.

세 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요. 한 번의 계산으로 미지수의 값을 구할 수 없어요. 일단 미지수가 3개니까 2개로 줄여야 해요. 세 식 중에서 아무거나 두 개를 고르세요. ①, ②를 골라보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대네요. 가감법으로 두 식을 더하면 y가 없어지고, x, z 두 개의 미지수만 남겠죠?

x + y - z = 0 … ①
2x - y + 3z = 9 … ②

3x + 2z = 9 … ① + ② = ④

다음은 문제에서 또 두 개의 식을 골라요. ①, ③을 골라보죠. 앞에서 y를 없앴죠? 그럼 여기서도 y가 없어지도록 가감법을 해요. y를 없애려면 ① × 2 - ③을 해야겠네요.

2x + 2y - 2z = 0  … ① × 2
x + 2y + z = 8 … ③

x - 3z = -8 … ① × 2 - ③ = ⑤

④, ⑤ 식을 보면 x, z만 있는 연립방정식이에요. 미지수가 두 개인 것은 금방 해결할 수 있죠?

3x + 2z = 9 … ④
3x - 9z = -24 … ⑤ × 3

11z = 33 … ④ - ⑤ × 3
z = 3

z = 3을 ⑤에 대입하면 x = 1

x = 1, z = 3을 원래 식 중 아무 식에나 대입해요. ①에 대입하면 y = 2네요.

x = 1, y = 2, z = 3이 답이에요.

미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법이에요. 상당히 복잡하지만 하나씩 따지고 보면 어렵지는 않아요. 가감법으로 미지수의 개수를 줄여나간다는 것만 잘 기억하세요.

1. 세 식 중 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 한 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
2. 다른 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 ①에서 제거한 것과 같은 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
3. ①, ②에서 만들어진 두 식을 연립하여 미지수의 값을 구함
   ⇒ 미지수가 2개인 연립방정식의 풀이
4. ③에서 구한 두 미지수의 값을 원래 식 중 하나에 대입하여 나머지 미지수를 구함
   ⇒ 마지막으로 구하는 미지수는 ①, ②에서 제거한 미지수

다음 연립방정식을 풀어라.

순서대로 ①, ②, ③이라고 할게요.

①, ③을 골라서 z를 없애보죠.

2x + y - z = 8 … ①
3x + 2y + z = 11 … ③

5x + 3y = 19 … ① + ③ = ④

이번에는 ②, ③을 골라볼까요. 앞에서 z를 없앴으니 여기서도 z를 없애야 해요.

x - y + 3z = -4 … ②
9x + 6y + 3z = 33 … ③ × 3

-8x - 7y = -37 … ② - ③ × 3 = ⑤

④, ⑤식은 x, y만 있는 연립방정식이니까 풀 수 있어요.

35x + 21y = 133 … ④ × 7
-24x - 21y = -111 … ⑤ × 3

11x = 22  … ④ × 7 + ⑤ × 3
x = 2

x = 2를 ④에 대입하면 y = 3

x = 2, y = 3을 ①에 대입하면 z = -1

x = 2, y = 3, z = -1이 답이네요.

함께 보면 좋은 글

연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이
연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이 2
부정방정식이란, 부정방정식의 풀이
[중등수학/중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 가감법 1
[중등수학/중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째
[중등수학/중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 대입법

연립방정식을 푸는 기본 방법인 가감법과 대입법에 대해서 연습을 많이 해야 해요.

오늘은 복잡한 연립방정식을 푸는 방법에 대해서 설명할 거예요. 복잡한 연립방정식을 푸는 방법의 핵심은 복잡한 걸 복잡하지 않게 바꾸는 거예요.

실제 연립방정식을 푸는 건 가감법과 대입법을 이용해서 풀어요. 새로운 방법으로 푸는 게 아니니 쫄지(?) 마세요. 우리가 할 건 가감법과 대입법으로 풀 수 있게 모양을 바꾸는 것뿐이랍니다. 게다가 복잡한 일차방정식의 풀이에서 이미 해봤던 내용이고요.

오늘 공부할 내용은 나중에 다룰 부등식에서도 똑같이 적용되는 거니까 잘 익혀두세요. 부등식뿐 아니라 거의 대부분의 식에서 써먹을 수 있어요.

괄호가 있는 연립방정식의 풀이

괄호가 있는 식은 괄호를 풀어서 정리해야 합니다. 괄호는 분배법칙을 이용해서 풀고, 동류항끼리 계산해서 간단히 하는 거예요.

위 문제에는 ①식과 ②식에 각각 괄호가 있잖아요. ①식의 괄호를 풀어서 동류항끼리 계산해보죠.
3x - 2x + 2y = 2
x + 2y = 2

②식도 마찬가지로 괄호를 풀어서 정리해 볼게요.
6x - 6y - 3x = -5
3x - 6y = -5

결국 문제를 아래의 연립방정식 문제로 바꿀 수 있어요.

위처럼 생긴 연립방정식은 가감법이나 대입법으로 풀 수 있겠죠?

계수가 분수인 연립방정식의 풀이

미지수의 계수가 분수일 때는 분모의 최소공배수를 모든 항에 곱해서 계수를 정수로 바꿔야 해요. 계수가 분수인 것보다 정수인 것이 계산하기가 훨씬 쉽겠죠.

위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에서 x 계수의 분모인 2와 y계수의 분모인 3의 최소공배수 6을 ①식에 곱해줍니다. ①식의 모든 항에 6을 곱하면 식은 3x - 2y = 18로 바뀌게 돼요.

②식에서 x의 계수의 분모는 4, y 계수의 분모는 3이니까 둘의 최소공배수 12를 ②식에 곱해주면 3x - 4y = 12가 되겠군요.

주의할 점은 x, y 뿐 아니라 우변에 있는 상수항에도 같은 수를 곱해줘야 하는 거예요.

문제를 오른쪽에 있는 모양으로 바꾸면 이제 풀 수 있겠죠?

계수가 소수인 연립방정식의 풀이

이번에는 계수가 소수인 경우랍니다. 계수가 소수일 때는 식에 10의 거듭제곱인 수(10, 100, 1000)를 곱해서 계수를 정수로 바꿔줍니다.

①식에 10을 곱해서 x + 2y = 6으로 바꿀 수 있겠네요.

②식에도 10을 곱하면 3x + 2y = 10이 되고요.

문제가 아래처럼 바뀌었습니다.

A = B = C 꼴인 연립방정식의 풀이

A = B = C 꼴인 연립방정식에서는 A = B, B = C, C = A라는 세 식을 만들 수 있어요. 이 중 2개만 골라서 연립방정식을 만들어 풀면 돼요.

A = B, B = C, C = A로 만들 수 있는 연립방정식은 위 세 가지 형태입니다. 이 중에서 아무거나 하나 골라서 풀어도 해는 모두 같아요.

2x + y = 4x + 5y + 2 = x - 3y - 7

문제에 나온 식을 A = B, B = C, C = A의 세 식으로 만들어 보죠.

위처럼 세 개짜리 연립방정식이 나오는데요. 이 중에서 아무거나 두 개를 고르면 돼요. ①, ②식을 골라서 동류항 정리를 해보면

위에 있는 연립방정식으로 모양을 바꿨으니 이제는 풀 수 있겠죠.

다시 얘기하지만, 연립방정식을 푸는 새로운 방법이 아니에요. 우리가 배웠던 가감법, 대입법을 쓸 수 있도록 그 모양을 바꾸는 과정이에요.

함께 보면 좋은 글

연립방정식이란
연립방정식의 풀이법 - 가감법 1
연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째
연립방정식의 풀이법 - 대입법
해가 특수한 연립방정식
연립방정식의 활용

연립방정식의 풀이 두 번째 방법인 대입법이에요.

먼저 가감법을 정리해볼까요. 연립방정식에서 각 문자의 계수 중 절댓값의 최소공배수가 작은 미지수의 절댓값이 같아지도록 각 식에 적당한 수를 곱해요. 그다음 계수의 부호가 같으면 두 식을 서로 빼고, 계수의 부호가 다르면 두 식을 더해서 미지수를 소거하는 방법이었어요.

가감법보다 대입법은 조금 더 쉬운 방법일 수 있어요.

대입이라는 단어가 무슨 뜻인지는 알고 있죠? 맞아요. 대신 넣은 거예요. 서로 바꾸는 거죠. "x = 2를 대입한다."라는 말은 "x 자리에 2를 넣고 x는 지운다."라는 뜻이죠. (대입, 식의 값)

연립방정식의 대입법도 마찬가지입니다.

대입법의 첫 번째 단계는 연립방정식에서 하나의 식을 고른 다음에 그 식을 한 문자에 대해서 정리하는 거예요. 한 문자에 대하여 정리하는 건 x = Oy + O처럼 좌변에 문자 하나, 우변에는 그 문자를 제외한 다른 문자와 상수항의 합 형태로 식을 바꾸는 거예요.

식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 다른 식의 문자 자리에 대입하는 게 대입법이에요.

연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째에서 봤던 예제인데요, 대입법으로 한 번 풀어볼까요?

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 할게요.

①식을 y에 대해서 정리해보죠. 좌변에 y만 남기고 나머지는 전부 우변으로 이항해보세요.

y = 5x - 8로 바꿀 수 있네요. 이제 이 식을 ②식의 y자리에 대입합니다. 괄호를 쓰는 게 좋아요.

4x + 3 × (5x - 8) = 14라는 식이 됐네요. 이 식을 정리해서 x를 구해볼까요?

4x + 15x - 24 = 14
19x = 38
x = 2

x = 2라는 값을 얻었습니다. 이렇게 얻은 x = 2를 ①, ②식 중 아무 곳에나 넣어보죠. ①식에 넣어볼까요?

5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2

y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2가 되는군요.

가감법으로 구했을 때와 대입법으로 구했을 때 모두 (2, 2)라는 해를 얻었어요.

두 방법 모두로 구해도 해는 같으니까 본인이 쉽다고 생각하는 방법으로 문제를 풀면 돼요.

가감법, 대입법 중 어떤 방법으로 풀지?

대개 미지수의 계수가 1이면 대입법이 편해요. 또는 계수로 식의 모든 항을 나눴을 때 정수가 되는 식도 대입법이 편리합니다. 가감법에서 계수를 맞추는 작업을 하지 않아도 되니까요.

연립방정식의 한 식이 x + y = 5라면 x = 5 - y라는 식으로 바꿔서 풀면 되겠죠.

또 연립방정식에 2x + 4y = 8이라는 식이 있다면 모든 항을 x의 계수인 2로 나눠서 x + 2y = 4로 바꾼 다음 x = 4 - 2y처럼 x에 대해서 정리할 수도 있지요.

2x + 3y = 7처럼 미지수의 계수로 모든 항을 나눴을 때 정수가 아닌 분수 형태가 되는 경우에는 가감법이 더 편리합니다.

함께 보면 좋은 글

미지수가 2개인 일차방정식
연립방정식이란
연립방정식의 풀이법 - 가감법 1
연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째
복잡한 연립방정식의 풀이
해가 특수한 연립방정식
연립방정식의 활용

연립방정식의 풀이법 - 가감법에 이은 연립방정식의 풀이 두 번째입니다. 첫 번째 글에서는 가감법에 대해서 알아봤는데요. 간단히 정리해볼까요?

연립방정식의 풀이에서 핵심은 바로 미지수의 개수를 줄이는 거였어요.

가감법은 두 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄이는 방법이었죠. 없애고자 하는 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같으면 두 식을 빼고, 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 다르면 두 식을 더하는 거였죠.

이번 글에서 공부할 내용은 미지수의 계수가 절댓값이 다를 때는 어떻게 하는가에요.

앞에서 해봤던 가감법 풀이는 미지수의 계수의 절댓값이 같아서 더해주고 빼주고만 하면 됐는데, 미지수 계수의 절댓값이 다르면 어떻게 해야 할까요?

가감법 - 미지수의 계수의 절댓값이 다를 때

가감법 첫 번째에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①식, 아래에 있는 식을 ②식이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.

5x - y + 4x + 3y = 8 + 14

각 변을 정리해보면 9x + 2y = 22가 돼요. 미지수의 개수가 줄어들지 않았어요. 그럼 두 식을 빼볼까요?

5x - y - (4x + 3y) = 8 – 14
5x - y - 4x - 3y = -6
x - 4y = -6

두 식을 빼 봐도 마찬가지로 미지수의 개수가 줄어들지 않아요.

두 식을 더하거나 빼서 미지수를 없애려면 없애려고 하는 미지수의 계수의 절댓값이 같아야 해요. 생각해보세요. 5x와 -5x를 더해야 x가 없어지겠죠? 5x에서 5x를 빼야 없어질 거 아니에요? 5x에서 4x를 빼거나 더해서는 x가 없어지지 않아요.

우리가 할 건 뭐냐면 미지수를 없앨 수 있게, 두 식의 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만드는 거예요.

자 여기서 선택을 해야 합니다. 무슨 선택이냐면 어떤 미지수를 없앨 것인가를 고르는 거예요. 없앨 미지수를 선택할 때는 딱 한 가지 방법만 사용하세요. 각 미지수의 계수 절댓값의 최소공배수가 작은 쪽을 선택해요. 계산을 쉽게 하려면 숫자가 작아야 하니까 최소공배수가 작은 쪽을 선택하는 거예요.

x의 계수의 절댓값은 ①식이 5, ②식이 4, 두 수의 최소공배수는 20이에요. y의 계수의 절댓값은 ①식이 1, ②식이 3, 두 수의 최소공배수는 3이네요. 그럼 절댓값의 최소공배수가 작은 y를 없애기로 하죠.

지금부터 하는 건 미지수의 계수의 절댓값을 같게 하는 거예요. 그 이후의 과정에 앞서 했던 “연립방정식의 풀이법 – 가감법”과 같아요.

①식에 3을 곱해 볼게요. 식에 3을 곱한다는 말은 ①식의 모든 항에 3을 곱해주는 겁니다.

5x – y = 8
3(5x – y) = 3 × 8

①식에 3을 곱하면 15x - 3y = 24으로 바뀌는데 이 식을 ③식이라고 하죠

②식과 ③식을 비교해보세요. y의 계수의 절댓값이 같아졌죠? 자 그럼 이제 ②식과 ③식을 더하거나 빼서 미지수 y를 없애고 x만 남길 수 있다는 뜻이에요.

②식과 ③식의 y 계수는 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더해야겠네요.

15x - 3y + 4x + 3y = 24 + 14
19x = 38
x = 2

x = 2라는 값을 구했어요. 이렇게 나온 x = 2를 ①식, ②식 아무 식에나 대입하세요. ①식에 넣어보죠.

5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2

y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2군요.

함께 보면 좋은 글

미지수가 2개인 일차방정식
연립방정식이란
연립방정식의 풀이법 - 가감법 1
연립방정식의 풀이법 - 대입법
복잡한 연립방정식의 풀이
해가 특수한 연립방정식

연립방정식이 무엇인지는 이해가 되죠? 연립방정식이란에서 살펴본 것처럼 연립방정식은 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요. 그리고 간단한 예제도 풀어봤어요.

그런데 방정식의 공통 해를 찾기 위해서 일일이 숫자를 다 넣어봐야 할까요? 만약 미지수 x, y가 정수나 자연수라는 조건이 없다면 어떻게 하죠? 분수나 소수까지 일일이 넣어볼 수는 없는 노릇이잖아요.

그래서 숫자를 대입하지 않고 두 방정식을 변형해서 해를 구하는 방법을 알려줄게요.

연립방정식의 풀이 - 가감법

연립방정식을 푸는 방법은 두 가지가 있는데, 첫 번째는 가감법, 두 번째는 대입법이에요. 이 글에서는 가감법을 공부해 봐요.

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 건 미지수의 개수를 줄이는 것입니다. 미지수가 2개이면 1개로 줄이는 거예요. 가감법과 대입법은 모두 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요.

가감이란 말은 더하고 빼는 거죠. 그래서 가감법은 두 식을 서로 더하거나 빼서 미지수를 구하는 방법이에요. 두 식을 더한다는 게 무슨 말인지 이해가 안 되죠. 예제를 통해서 설명할게요.

미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 반대일 때 - 두 식을 더한다

다음 식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.

위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 할게요. ①과 ②을 통째로 더해보죠. 두 식을 더한다는 건 등호를 기준으로 ①의 좌변과 ②의 좌변을 더하고 ①의 우변과 ②의 우변을 더하는 거예요.

① 좌변 + ② 좌변 = ① 우변 + ② 우변

x + y + x - y = 5 + 3

두 식을 더했더니 위처럼 되네요. 이제 좌변과 우변을 동류항끼리 계산해 보세요.

2x = 8

어떻게 됐나요? y가 없어지고 미지수가 x 하나뿐인 일차방정식으로 바뀌었죠? 미지수가 하나인 일차방정식은 우리가 1학년 때 공부했으니까 해를 구할 수 있죠.

x = 4

x = 4라는 값이 구해졌어요. x값을 구했으니까 y값을 구할 차례네요. y값을 구할 때는 x = 4를 이용합니다. x = 4를 ① 이나 ② 아무 식에나 넣어보죠. ①에 넣어볼까요? ①의 x 자리에 4를 대입했더니 아래 식처럼 바뀌었네요.

4 + y = 5

마찬가지로 미지수가 y 하나뿐인 일차방정식이 되었어요. 일차방정식을 풀어보면 y = 1이라는 값을 구할 수 있어요.

미지수가 x, y 2개였는데 그 미지수 값을 다 알아냈죠. x = 4, y = 1이 문제의 답이네요. (4, 1)이라고 써도 좋고요. 연립방정식이란에서 구한 해와 똑같죠?

이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 y의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 반대지요? 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 반대일 때는 두 식을 더해서 미지수의 개수를 줄여야 해요.

미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같을 때 - 두 식을 뺀다.

다른 문제를 하나 더 풀어보죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

위에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.

x + 2y + x - 3y = 6 + 1

각 변을 정리해보면 2x - y = 7가 돼요. 이상하죠? 위에서는 두 식을 더하면 미지수가 2개에서 하나로 줄었는데, 이번에는 미지수 2개가 그대로 있잖아요.

이럴 때는 두 식을 더하는 게 아니라 두 식을 빼보세요. 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리요. 두 식을 뺄 때는 ②의 좌변과 우변에 괄호를 넣는 것에 주의하세요.

① 좌변 - (② 좌변) = ① 우변 - (② 우변)

(x + 2y) - (x - 3y) = 6 - 1

위 식을 괄호를 풀어서 정리해보면
x + 2y - x + 3y = 5
5y = 5
y = 1

x가 없어지고 y만 남기 때문에 y값을 구할 수 있어요. 이 y = 1이라는 값을 ①이나 ② 아무 식에나 대입해보세요. ①에 대입해볼게요. 2y = 2 × y이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.

x + 2 × 1 = 6
x + 2 = 6
x = 4

이제 x의 값도 구해졌네요. 그래서 위 연립방정식의 해는 x = 4, y = 1 이고요. (4, 1)이라고 써도 됩니다.

이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 x의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 같아요 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 같을 때는 두 식을 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요.

함께 보면 좋은 글

연립방정식이란
연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째
연립방정식의 풀이법 - 대입법
복잡한 연립방정식의 풀이