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등차수열에 이어 조화수열에 대해서 알아보죠. 조화수열은 등차수열과 아주 밀접한 관계가 있어요.

조화수열의 일반항을 구할 건데 이때 등차수열의 여러 성질을 이용합니다. 따라서 등차수열의 성질과 여러 내용을 잘 이해하고 있어야 해요.

조화중항이라는 것도 알아볼 거예요. 조화중항은 등차수열의 등차중항과 관계가 있으니까 등차중항에 대해서도 알고 있어야 하죠.

조화수열

등차수열은 첫째항에 일정한 수(공차)를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요. 등차수열의 각 항의 역수로 이루어진 수열을 조화수열이라고 해요. 다시 말해 어떤 수열의 역수들이 등차수열을 이룰 때 이 수열을 조화수열이라고 하지요.

어떤 수열의 일반항을 a_n이라고 표현하니까 이 수열의 역수인 수열의 일반항은 이 되겠죠?

기준을 어디에 둘 것인가가 중요한데, 조화수열의 일반항을 a_n이라고 한다면 역수인 등차수열의 일반항은 이 될 것이고, 등차수열의 일반항을 a_n이라고 한다면, 조화수열의 일반항은 이 되는 거죠.

여기서는 조화수열이 중요하니까 조화수열의 일반항을 a_n, 그 역수로 된 등차수열의 일반항을 이라고 하죠.

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열
조화수열: a₁, a₂, a₃, … , a_n, …
등차수얼:

조화수열의 일반항 구하기

조화수열의 역수가 등차수열이니까 이를 이용해서 조화수열의 일반항을 구해요.

제1항이 a₁, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n - 1)d죠?

그런데 a_n는 조화수열의 일반항이니까 등차수열의 일반항은 역수인 로 나타낼 수 있어요. 또 조화수열의 제1항을 a₁이라고 한다면 등차수열의 제1항은 이 되고요.

조화수열은 그 자체가 어떤 특징이 있는 게 아니라서 공차를 구할 수 없어요. 대신 역수인 등차수열에서는 공차를 구할 수 있죠. 공차는 등차수열에서 구하는데, 공차 d = a₂ - a₁로 구해요. 하지만 여기서도 a₁, a₂는 조화수열의 항을 나타내니까 그 역수를 이용해서 으로 구해요.

이걸 공식에 대입해보죠.

이건 조화수열의 일반항 a_n이 아니라 역수인 등차수열의 일반항 이에요. 이렇게 구한 결과의 양변을 역수로 취한 것이 우리가 구하려고 하는 조화수열의 일반항이에요.

조화수열의 일반항을 구하는 방법을 정리하면 아래와 같아요.

조화수열의 일반항 a_n의 역수를 취하여 등차수열 수열의 일반항 로 바꾼다.
등차수열의 일반항 공식을 이용하여 을 구한다.
등차수열의 일반항 의 역수를 취하여 조화수열의 일반항 a_n으로 바꾼다.

다음 조화수열의 일반항을 구하여라.

조화수열이니까 그 역수가 등차수열을 이뤄요. 등차수열로 적어보죠.

첫째항이 2이고 공차 d = 4 - 2 = 2인 등차수열이네요.

등차수열의 일반항이 이니까 역수를 취하면 조화수열의 일반항은 이에요.

조화중항

등차수열에는 등차중항이라는 게 있었어요. 조화수열에도 조화중항이 있어요.

세 수 a, b, c가 차례로 조화수열을 이룰 때, b가 a, c의 조화중항이에요.

조화중항을 구하는 방법은 조화수열의 일반항 구할 때와 같아요. 역수를 취해서 등차중항을 구한 다음 다시 역수를 취해요.

역수를 취해보죠.

역수를 취하면 이 세 역수는 순서대로 등차수열을 이루고, 여기서 은 의 등차중항이에요. 등차중항은 두 수의 산술평균이죠?

세 수 a, b, c가 순서대로 조화수열을 이룰 때

b는 a, c의 조화중항

정리해볼까요

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열

조화수열의 일반항 구하는 방법

조화수열의 일반항 a_n의 역수를 취하여 등차수열 수열의 일반항 로 바꾼다.
등차수열의 일반항 공식을 이용하여 을 구한다.
등차수열의 일반항 의 역수를 취하여 조화수열의 일반항 a_n으로 바꾼다.

조화중항: 세 수 a, b, c가 순서대로 조화수열을 이룰 때, 이고, b는 a, c의 조화중항

등차수열의 합과 등차수열의 일반항

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등비수열, 등비수열의 일반항

그리드형

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행렬의 역행렬은 숫자의 역수와 비슷한 거예요. 그러니까 역수와 역행렬을 비교하면서 역행렬의 뜻과 특징에 대해서 잘 이해해두세요.

또 역행렬 구하는 공식을 유도해보고 유도된 공식을 이용해서 역행렬을 구하는 연습도 해보죠.

역행렬 공식은 어려운 공식도 아니고 앞으로도 자주 사용하는 공식이니까 꼭 외워두세요.

역행렬

숫자에 역수라는 게 있어요. 간단히 말하면 분자, 분모를 뒤집은 거죠. 고등학생이라면 조금 더 세련되게 표현할 수 있어야겠죠? 어떤 수 a와 곱했을 때 계산 결과가 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오게 하는 수를 a의 역수라고 하지요. a의 역수는 a^-1이에요.

수에 역수가 있다면 행렬에는 역행렬이 있어요. 어떤 행렬 A와 곱했을 때 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬 E가 나오게 하는 행렬을 행렬 A의 역행렬이라고 해요. 행렬 A의 역행렬은 기호로 A^-1라고 쓰고 A inverse(A 인버스)라고 읽어요.

역원을 숫자에서는 역수, 행렬에서는 역행렬이라고 하는 거지요.

참고로 숫자에서 a^-1 = 인데, 행렬에서 A^-1는 이라고 하지 않아요.

일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 AB ≠ BA지만 행렬과 그 역행렬 사이에는 AA^-1= A^-1A = E가 성립해야 해요. 항등원과 역원에서 항등원과 역원을 가지려면 교환법칙이 성립해야 한다고 했죠?

행렬 A가 2 × 3 행렬이고, A^-1가 3 × 2 행렬이라면 AA^-1 = E가 되는데 이때 E는 2차 정사각행렬이에요. 교환법칙에 따라서 A^-1A = E가 될 텐데 이때의 E는 3차 정사각행렬이죠. AA^-1와 A^-1A 모두 단위행렬 E지만 서로 다른 행렬이에요. 따라서 곱셈 결과가 똑같은 n차 단위행렬이 되려면 A와 A^-1도 n차 정사각행렬로 같은 꼴이어야 해요.

역행렬: 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

역행렬 구하는 공식

라고 놓고 역행렬을 구해보죠.

ax + bu = 1 … ①
ay + bv = 0 … ②
cx + du = 0 … ③
cy + dv = 1 … ④

① × c - ③ × a
acx + bcu = c
acx + adu = 0

(bc - ad)u = c … ⑤

① × d - ③ × b
adx + bdu = d
bcx + bdu = 0

(ad - bc)x = d … ⑥

② × c - ④ × a
acy + bcv = 0
acy + adv = a

(bc - ad)v = -a … ⑦

② × d - ④ × b
ady + bdv = 0
bcy + bdv = b

(ad - bc)y = -b … ⑧

ⅰ) ad - bc = 0일 때

ad - bc = 0이면 bc - ad = 0이므로 ⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 a = b = c = d = 0이에요.

그런데 a = b = c = d = 0이면 ①에서 0x + 0u = 1이 되어 모순이 생기죠. 마찬가지로 ④에서 0y + 0v = 1로 모순이 생겨요. 따라서 ad - bc = 0이면 역행렬을 구할 수 없어요.

ⅱ) ad - bc ≠ 0일 때

⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 양변을 (ad - bc) 또는 (bc - ad)로 나눠보죠.

⑤ →

⑥ →

⑦ →

⑧ →

x, y, u, v를 A^-1에 대입하면 를 구할 수 있어요.

A^-1A = E는 여러분이 한 번 해보세요.

역행렬 공식
이차정사각형렬 에 대하여
ad - bc ≠ 0이면
ad - bc = 0이면 행렬 A의 역행렬은 없다.

공식을 보면 행렬에서 a, d는 자리를 바꿨고, b, c는 부호가 반대로 되었어요.

ad - bc를 행렬식(Determinant)이라고 하고 대문자 D = ad - bc로 나타내요. 이차방정식에서 근을 판별할 때 이차방정식의 판별식을 이용하죠? 이것과 비슷하게 행렬식을 이용해서 역행렬이 존재하는지 아닌지를 판단할 수 있어요. D ≠ 0이면 역행렬이 있고, D = 0이면 역행렬이 없어요.

다음 행렬의 역행렬이 있는지 보고, 역행렬이 있으면 역행렬을 구하여라.