수학방

소수는 소수점 앞의 정수부분과 소수점 뒤의 소수부분으로 이루어져 있어요. 일반적인 유리수라면 소수점을 기준으로 해서 간단하게 구별할 수 있지만 무리수는 딱 떨어지는 숫자가 아니라 순환하지 않는 무한소수예요. 소수부분이 끝도 없이 계속되니까 그냥 0.xxx라는 숫자로 표현하기에는 정확하지 않아요.

이 글에서는 유리수처럼 무리수의 정수부분과 소수부분을 나누는 방법과 소수부분의 정확한 값을 구하는 방법을 공부할 거예요. 정수부분만 잘 구하면 소수부분 구하는 건 쉬워요.

무리수의 정수부분과 소수부분

는 1보다는 크고, 2보다는 작아요. 1 < < 2

제곱근의 값을 구하면 ≒ 1.414 인데, 1 + 0.414로도 쓸 수 있죠? 여기서 소수점 앞의 1을 정수부분, 소수점 뒤의 0.414를 소수부분이라고 해요.

처럼 제곱근의 값을 알고 있을 때는 그 값을 이용해서 구할 수도 있지만, 제곱근의 값을 모를 때는 제곱근의 대소 관계를 통해서도 구할 수 있어요.

이므로  의 정수부분은 2

이므로 의 정수부분은 3

무리수가 하나만 있을 때는 정수부분을 구할 수 있겠죠? 그리고  + 2처럼 무리수와 다른 수의 합, 차일 때는 일단 무리수의 정수부분만 구하고 거기에 유리수를 더해주면 됩니다.

2 <  < 3 에서 모든 변에 +2를 해주는 거죠. 부등식의 성질에 따르면 똑같은 수를 더해줘도 부등호의 방향은 바뀌지 않아요.

2 + 2 <  + 2 < 3 + 2
4 < + 2 < 5

따라서  + 2의 정수부분은 4

정수부분을 구하고 나면 소수부분을 구해야 하는데,  ≒ 1.414에서 소수부분 0.414는 정확한 값이 아니라 대략적인 값이죠? 정확한 값을 구하는 다른 방법이 있어요.

(무리수) = (정수부분).(소수부분)으로 되어 있지요? 이건 (정수부분) + (소수부분)이라고 쓸 수 있어요. 이 식에서 (정수부분)을 이항하면 우변에 소수부분만 남아요. (소수부분) = (무리수) - (정수부분). 정수부분은 위에서 구했으니까 바로 대입할 수 있겠죠?

무리수 = 정수부분 + 소수부분    (0 ≤ 소수부분 < 1)
정수부분은 제곱근의 대소 관계를 이용
소수부분 = 무리수 - 정수부분

다음 무리수의 정수부분과 소수부분을 구하시요.
(1) 5 + 
(2)  - 3

무리수의 정수부분은 제곱근의 대소 관계를 이용해서 구해요. 소수부분 = 무리수 - 정수부분을 이용해서 구하고요.

(1) 일단 만 따로 떼서 크기를 구하고 거기에 +5를 해서 정수부분을 구해요.
2 < < 3
5 + 2 < 5 + < 5 + 3
7 < 5 + < 8

정수부분은 7이네요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분 = (5 +) - 7 = - 2

(2)에서는 만 먼저 보죠.
1 < < 2
1 - 3 < - 3 < 2 - 3
-2 < - 3 < -1

 - 3이 -2와 -1 사이에 있으니까 소수로 표현해보면 -1.xxx죠? 그럼 정수부분은 –1이에요. 소수부분은 –0.xxx겠네요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분
= ( - 3) - (-1)
=- 2

무리수 = 정수부분 + 소수부분 = -1 + ( - 2)

그런데, ≒ 1.732 이니까  - 2 ≒ 1.732 - 2 = -0.268죠. 소수부분은 0이상, 1미만으로 표시하기로 했어요. 음수로 나왔으니까 값을 보정해줘야겠죠? 어떻게 하냐면 음수인 소수부분에 +1을, 정수부분에 -1을 해주는 거예요. 소수부분에 +1, 정수부분에 –1을 했으니까 전체적인 값은 변화가 없어요.

-1 + ( - 2)
= -1 - 1 + ( - 2 + 1)
= -2 + ( - 1)

정수부분 = -2, 소수부분 =  - 1이 답이에요.

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제곱근의 근삿값
제곱근의 대소관계

제곱근을 표시할 때 근호를 써서 표시하는데, 이 값은 우리가 아는 십진법의 숫자가 아니라서 사용하는데 불편해요. 그래서 일반적으로 우리가 아는 소수 모양의 숫자로 구하고 싶을 때가 있어요. 그런데 제곱근 중에는 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수가 있어서 딱 떨어지는 소수로 쓰지 못할 때가 많아서 정확한 값이 아니라 대략적인 값으로 표시해요. 이 값을 제곱근의 값이라고 합니다.

이 글에서는 제곱근의 값을 미리 구해서 정리해 놓은 제곱근표라는 게 있는데, 이걸 보는 방법과 이 표를 이용해서 다른 제곱근의 값을 구하는 방법을 알아볼거예요.

제곱근의 근삿값

실수의 대소관계할 때, 몇 가지 제곱근은 그 값을 알아두면 좋다고 했어요. 제일 많이 사용하는 것 3개는 외워두세요.

이 세 가지 외에 다른 제곱근의 값을 어떻게 구하는 지 알아보죠.

제곱근표에서 근삿값을 읽는 법

여러분들 가지고 있는 교과서 제일 뒤를 보세요. 제곱근표는 게 나와요. 거기에 보면 숫자들이 엄청나게 많이 쓰여 있지요? 바로 제곱근의 값을 미리 구해서 표로 만들어놓은 거예요.

그럼 표에 나오는 숫자들을 외워야 할까요? 그거 다 외우려면 머리가 좋아야겠죠? 그런데 그거 다 외우는 사람은 머리가 좋은 게 아니라 머리가 아주 멍청한 사람이에요. 외울 필요가 없는 걸 외우는 거니까요.

저 표를 보는 방법만 알고 있으면 돼요. 필요한 값이 있으면 표에서 찾아서 쓰면 되죠.

제곱근표의 가로줄에는 0 ~ 9까지, 세로줄에는 1.0 ~ 99의 숫자가 있고, 그 안에는 엄청나게 많은 소수들이 쓰여 있어요.

예를 들어, 의 값을 제곱근표에서 구해보죠. 5.73에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리인 5.7은 세로에서, 소수점 아래 두 번째 자리인 3은 가로에서 찾아서 둘이 만나는 곳의 숫자를 읽는 거예요. 2.394네요

위 그림에는 없지만 같은 건 세로줄 88, 가로줄 7이 만나는 곳의 숫자가 그 값이에요.

위 제곱근표를 보고 다음을 구하여라.

(1) 5.62에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리는 5,6이고 소수점 아래 두 번째 자리는 2이므로 표에서 둘이 만나는 곳의 숫자는 2.371

(2) 5……5 = 5.50에서 일의 자리와 소수점 아래 첫 번째 자리는 5.5고, 소수점 아래 두 번째 자리는 0이므로 표에서 둘이 만나는 곳의 숫자는 2.345

제곱근표에 없는 제곱근의 값

제곱근표의 가로축에는 0 ~ 9까지, 세로축에는 1.0 ~ 99의 숫자가 쓰여 있어요. 그러니까 제곱근표로 제곱근을 구할 수 있는 수는 1.00 ~ 99.9까지 에요. 그러면 이 범위 바깥에 있는 숫자의 제곱근의 값은 어떻게 구할까요?

제곱근의 성질, 제곱수의 근호풀기를 이용해서 구해요. 제곱근 안의 숫자를 제곱근표에 나와 있는 숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 표시해서, 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내는 거예요. 특히, 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내야 하니까 10의 지수가 짝수여야 해요.

의 값을 구해보죠. 제곱근표에는 120.00은 없으니까 제곱근표를 읽어서는 구할 수 없어요. 대신 120의 숫자를 일의 자리와 소수점 이하 두 자리를 가진 수로 바꿔요.
120 = 1.20  × 10²

에서 1.20의 값은 제곱근표에 나와 있으니까 거기에 10을 곱해서 120의 제곱근의 값을 구할 수 있어요.

을 해볼까요? 이 되겠네요.

숫자가 99.0보다 크면 10의 거듭제곱을, 1보다 작으면 의 거듭제곱을 곱해요.

일 때, 다음을 구하여라.

근호 안의 숫자를 소수와 10의 거듭제곱으로 바꿔서 10의 거듭제곱을 근호 밖으로 꺼내야 해요.

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실수라는 수를 알아봈으니까 두 실수중에 어떤 것이 더 큰지 알수도 있어야겠죠? 기본적으로 실수 = 유리수 + 무리수이므로 실수의 대소관계 = 유리수의 대소관계 + 무리수의 대소관계에요. 여기까지는 알고있죠?

거기에 새로운 걸 하나 추가할꺼에요. 새로운 방법이긴 하지만 그게 별로 어렵지는 않아요. 아주 간단히 뺄셈을 하면 되거든요.

어떻게 하면 뺄셈으로 실수의 대소관계를 알 수 있는 지와 뺄셈으로 안될 때는 또 어떤 방법을 이용하는지도 공부해보죠. 참고로 뺄셈으로 할 수는 있는데, 현재 단계에서는 뺄셈 자체가 안되는 경우가 있어서 다른 방법을 사용하는 거에요.

실수의 대소관계

실수의 대소관계는 유리수의 대소관계 + 제곱근의 대소관계에요.

실수의 대소관계에서 제일 먼저 해야할 일은 부호를 비교하는 거예요. 음수 < 0 < 양수의 순서죠. 숫자를 볼 필요도 없이 부호만 가지고도 대소를 알 수 있어요.

만약에 부호가 양수라면 숫자가 큰 게 커요. 무리수라면 근호안의 숫자가 큰 게 크죠. 부호가 모두 음수라면 숫자가 작은 게 크죠. 무리수는 근호안의 숫자가 작은 음수가 더 커요.

이게 우리가 알고 있는 수의 크기 비교죠.

이번에는 다른 방식으로 접근해 볼꺼에요.

a, b가 실수일 때
a - b > 0 이면 a > b
a - b = 0 이면 a = b
a - b < 0 이면 a < b

간단한 내용이에요. a - b > 0 은 부등호가 있는 부등식이잖아요. -b를 이항하면 a > b가 되죠?  반대로 a > b에서 b를 좌변으로 이항하며 a - b > 0이 되고요. 둘이 왜 같은 뜻인지 알겠죠?

두 수의 차를 이용해서 실수의 대소관계를 알아볼 수 있어요. 어떤 두 수가 있다면 한 수에서 다른 수를 빼서 결과의 부호를 보는 거죠. 결과가 양수이면 앞의 수가 크고, 0이면 둘이 같고, 음수이면 뒤의 수가 더 커요.

5와 3이 있어요. 5 - 3 > 0이므로 앞에 있는 5가 뒤에 있는 3보다 큰 걸 알 수 있지요. 5와 8에서는 5 - 8 < 0이므로 뒤에 있는 8이 더 크죠.

제곱근의 근삿값을 이용하는 방법도 있어요. 다른 근삿값은 상관없지만 가장 많이 사용하는 아래 세 가지 경우는 외워두는 게 편리해요. 

1 + 와 의 크기를 비교해볼까요? 차를 이용하면 (1 + ) - 이 되는데 이거는 0보다 큰 지 작은 지 알 수가 없어요. 이 때 근삿값을 이용하세요.
1 +  ≒ 1 + 1.414 = 2. 414
 ≒ 2.236
따라서 1 + 가 더 크네요.

한 실수에서 다른 실수를 뺏을 때, 실수의 유리수 부분이 없어지거나 무리수 부분(제곱근)이 없어질 때는 차를 이용하면 좋고, 그렇지 않은 경우에는 근삿값을 대입해서 대소관계를 알아보는 게 좋아요. 제곱근의 뺄셈은 나중에 공부할 텐데, 그 때까지 덮어두죠.

실수의 대소관계
실수의 부호를 보고 판단
두 실수의 차의 부호를 이용
제곱근의 근삿값을 대입

다음 괄호 안에 알맞는 부등호를 넣어라.
(1) 3 - (  )   - 3
(2) 2 +  (  )  + 2
(3) 5 (  ) 3 +

실수의 대소관계를 파악할 때 첫번째는 두 실수의 부호를 먼저 살펴보는 거에요. 두 번째는 한 실수에서 다른 실수를 빼서 그 결과의 부호를 보고 실수의 대소관계를 알 수 있어요. 결과가 양수이면 앞에 게 큰 거, 결과가 음수이면 뒤에 것이 큰 거에요. 세번째는 근삿값을 직접 대입해서 그 결과를 보고 알 수도 있고요.

(1)번은 두 실수를 빼도 유리수 부분이 없어지지않으니까 대신 근삿값을 대입해보죠.

3 -  ≒ 3 - 1.732 = 1.268
 - 3 ≒ 1.732 - 3 = -1.268

3 -  >  - 3

(2)번은 차를 이용해보죠.

2 + - ( + 2)
= 2 +  -  - 2
=  -
≒ 1.732 - 1.414
= 0.318 > 0

따라서 2 + >  + 2

(3)번도 빼보죠.

5 - (3 + )
= 5 - 3 -
= 2 -
≒ 2 - 1.414
= 0.586 > 0

따라서 5 > 3 +

근삿값을 표현하는 방법에 대해서 공부해볼꺼에요. 근삿값을 표현하는 방법을 많이 연습해봐야하고, 또 근삿값으로 표현된 수에서 그 의미를 찾는 방법도 연습을 많이 해야합니다.

근삿값과 유효숫자는 아주 밀접한 관계가 있으니까 유효숫자의 판별법을 모르면 안돼요.

근삿값 단원이 어려운 게 뭐냐면 앞에서 공부한 참값, 근삿값, 오차, 오차의 한계, 참값의 범위, 유효숫자, 이 글에서 배울 근삿값의 표현이 모두 섞여서 한 문제로 나와요. 어느 하나라도 잘 모르면 풀기가 어렵겠지요. 각 용어들의 연관성과 구하는 방법에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

근삿값의 표현

근삿값을 표현할 때는 유효숫자를 소수로 바꾸고, 거기에 거듭제곱을 곱하는 형태로 표현합니다.

제일 먼저 유효숫자를 찾아야 겠죠.

유효숫자를 소수로 바꿀때는 규칙이 있어요. 첫번째 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지 유효숫자는 모두 소수점 뒤에 적어요. 일의 자리와 소수점 이하 자리의 숫자로만 표시하는 거죠. 어떤 경우에도 가장 앞에 있는 유효숫자가 0이 되는 경우는 없어요. 최소한 1이죠. 따라서 소수로 표현된 수는 1보다 크거나 같지요. 또 십의 자리 숫자는 없으므로 10보다는 작을 거고요.

그런데, 유효숫자로 만든 소수는 원래의 근삿값과 다르죠. 두 값을 같게 해주기위해서 10의 거듭제곱을 뒤에 곱해줘요.

1234라는 근삿값을 표현해보죠.

1. 유효숫자를 찾아요.
   1, 2, 3, 4의 네 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   1.234
3. 1.234 ≠ 1234이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   1234 = 1.234 × 10³

0.00506를 해보죠. 과정은 같아요.

1. 유효숫자를 찾아요.
   5, 0, 6의 세 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   5.06
3. 5.06 ≠ 0.00506이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   0.00506 = 5.06 ×

10의 거듭제곱에서 지수를 찾는 건 소수점을 몇 칸 이동하느냐로 찾아요. 원래 수에서 왼쪽으로 소수점을 세 칸 옮기면 10³, 원래 수에서 오른쪽으로 세 칸 옮기면 을 곱해주는 거죠.

근삿값 36800을 일의 자리에서 반올림해서 얻었다. 유효숫자와 10의 거듭제곱을 이용해서 나타내어라.

일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림받은 자리에요. 반올림받은 자리까지가 유효숫자죠. 따라서 유효숫자는 3, 6, 8, 0이에요.

가장 앞의 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고 나머지는 소수점 뒤에 쓰니까 3.680이에요. 3.680은 36800과 다르므로 10의 거듭제곱을 곱해줘야하는데, 소숫점을 원래 수에서 왼쪽으로 네 번 옮겼으므로 10⁴을 곱해줘야 합니다.

36800 = 3.680 × 10⁴

자를 이용해서 어떤 자동차의 길이를 재었더니 3.05 × 10²cm였다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 유효숫자를 모두 구하여라.
(2) 길이를 재는데 사용한 자의 최소 눈금 단위는 얼마인가?
(3) 오차의 한계를 구하여라.
(4) 자동차 길이의 참값의 범위를 구하여라.

(1) 근삿값은 유효숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 표시해요. 따라서 앞에 있는 소수 부분의 숫자가 모두 유효숫자지요. 3, 0, 5가 유효숫자에요.

(2) 측정값에서 유효숫자는 앞에서부터 최소 눈금 단위까지에요. 이걸 거꾸로 생각해보면 유효숫자의 마지막 숫자가 있는 단위가 최소 눈금 단위죠. 3.05 × 10² = 305cm 에서 마지막 유효숫자가 5이므로 5가 나타내는 단위인 1cm가 최소 눈금 단위에요.

(3) 오차의 한계는 최소 눈금 단위의 절반이에요. 1cm × ½ = 0.5cm

(4) 근삿값 - 오차의 한계 ≤ 참값의 범위 < 근삿값 + 오차의 한계 이므로 대입하면
(305 - 0.5)cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < (305 + 0.5)cm
304.5cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < 305.5cm

유효숫자라는 걸 공부할 거예요. 유효숫자가 무엇인지 또 어떤 숫자들이 유효숫자인지도요. 특히 0은 유효숫자인지 아닌 지 알아보기가 까다롭기 때문에 이 부분도 살펴볼 겁니다.

유효숫자는 오차의 한계와 구하는 방법이 비슷하기때문에 둘을 함께 비교하면서 공부하면 좋아요. 그래야 외우기도 쉽고, 헷갈리지 않아요.

유효숫자는 다음에 공부할 근삿값의 표현에서 꼭 필요하기때문에 정확히 알아야 해요.

유효숫자

유효숫자는 믿을 수 있는 숫자에요. 근삿값을 사용하다보면 오차가 생기기때문에 근삿값의 모든 숫자가 다 정확한 건 아니에요. 하지만 오차를 고려하더라도 몇 개는 신뢰할 만한 숫자가 있는데, 그게 바로 유효숫자에요

일반적으로 백화점에서 49,800원짜리 옷을 하나 산 후에 누군가 옷의 가격을 물어보면 "50,000원에 샀어"라고 얘기합니다. 실제는 49,800원인데 50,000원 줬다고 얘기하면 둘 사이에 200원이라는 오차가 생기죠. 오차는 200원이니까 100원 단위를 틀리게 말할 수 있지만, 만원 단위, 천원 단위까지 틀리게 말하는 건 아니잖아요. 이 경우에는 만원 단위인 5와 천원 단위인 0의 두 숫자는 믿을 수 있는 숫자로 유효숫자에요.

유효숫자는 이름 그대로 숫자로 표현합니다. 단위는 무시해요. 위 경우에서 유효숫자는 5만과 0천이 아니라 5, 0입니다.

유효숫자를 구하는 방법

어떤 숫자를 일의 자리에서 반올림한다고 해보죠. 일의 자리에서 반올림을 하면 일의 자리 숫자는 그냥 그대로 버리고 0으로 쓰죠. 따라서 일의 자리 숫자 0은 원래의 의미가 없어져버려서 믿을 수 없는 숫자가 되버려요.

십의 자리 숫자는 그대로 이거나 +1이 되고, 그 외의 숫자는 그대로죠. 이런 숫자들은 조금씩 바꿀 수는 있겠지만 그 의미까지 완전히 없어졌다고 보기는 힘들겠죠? 따라서 이런 숫자들은 믿을 수 있는 유효숫자로 할 수 있어요.

십의 자리에서 반올림한다면 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자는 그냥 버려서 0이 되니까 의미가 없어지고, 백의 자리 숫자와 그 이의의 숫자는 모양은 바뀔 수 있지만 신뢰할 수 있는 유효숫자에요.

반올림을 할 때는 반올림을 받은 자리까지의 숫자가 유효숫자에요.

어떤 도구를 이용해서 측정한 값도 근삿값이므로 오차가 생기고, 거기에도 유효숫자라는 게 있어요.

측정값에서의 유효숫자는 최소 눈금 단위의 숫자까지 입니다. 최소눈금 단위 아래의 숫자는 그냥 버리잖아요. 1cm눈금이 있는 자로 물건을 잴 때는 9cm, 10cm 이렇게 재지, 9.6cm, 10.3cm 이렇게 하지 않잖아요.

유효숫자는 오차의 한계와 관련성을 이용해서 외우는 게 좋아요.

일의 자리에서 반올림해서 얻은 1110이라는 근삿값에서 유효숫자를 찾아볼까요? 일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림을 받은 자리고, 앞에서부터 십의 자리까지의 모든 숫자가 유효숫자에요. 1, 1, 1 이죠. 여기서 1이 세 개라고 해서 1을 하나만 쓰면 안돼요. 중복되는 숫자가 있더라도 모두 써주야 합니다. 유효숫자는 1 하나가 아니라 1, 1, 1 이렇게 세 개입니다.

다음에서 유효숫자를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(2) 백의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(3) 최소 눈금 단위가 1cm인 자로 잰 100cm
(4) 최소 눈금 단위가 10cm인 자로 잰 100cm

유효숫자는 반올림 받은 자리까지 그리고 최소 눈금 단위까지의 숫자가 모두 유효숫자에요. 그 아래의 숫자는 유효숫자가 아니죠.

(1) 십의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 백의 자리에요. 앞에서부터 백의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리인 1, 천의 자리인 2, 백의 자리인 0 세 숫자가 유효숫자에요. 답은 1, 2, 0네요. 1 2 0 0 0

(2) 백의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 천의 자리에요. 앞에서부터 천의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리 1, 천의 자리 2이 유효숫자에요. 답은 1, 2입니다. 1 2 0 0 0

(3) 최소 눈금 단위가 1cm이므로 앞에서부터 1cm 단위까지가 유효숫자에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0, 일의 자리 0 세 수가 모두 유효숫자에요. 1, 0, 0이 답이네요. 1 0 0

(4) 최소 눈금 단위가 10cm이므로 앞에서부터 10cm 단위까지만 유효숫자이고, 그 아래 숫자는 유효숫자가 아니에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0은 유효숫자고, 마지막 일의 자리 0은 유효숫자가 아닙니다. 1, 0이 답이에요. 1 0 0

유효숫자 판별

근삿값을 구한 다음에 유효숫자를 판별하는 방법은 위 과정으로 하면 됩니다.

그런데, 어떤 방법으로 유효숫자를 구했는지 모른 체 그냥 근삿값만 알려준 경우에는 유효숫자를 구하기가 까다롭죠. 특히 다른 숫자들은 괜찮은데 0이 문제에요.

어느 자리에서 반올림 했는 지는 모르는 근삿값 1200이라는 숫자가 있다고 해보죠. 여기서 십의 자리 0을 보세요. 원래 숫자가 0이었는지, 원래는 9였는데 일의 자리에서 반올림을 받아서 0이 된 거지, 십의 자리에서 반올림을 하고 버려서 0이 되었는 지 알 수가 없지요.

이럴 때 십의 자리 0이 유효숫자인지 아닌 지 알아볼 수 있는 방법이 있어야겠죠?

• 유효숫자
  0이 아닌 모든 숫자
  0이 아닌 숫자 사이에 있는 0 - 2013, 1.05
  소수에서 뒤에 있는 0 - 1.40
• 유효숫자 인지 아닌 지 알 수 없는 경우
  정수의 끝에 있는 0 - 30, 100
• 유효숫자가 아닌 경우
  소수에서 자릿수를 표시하는 0 - 0.002

다음 중 유효숫자의 개수가 다른 것을 고르시오.
(1) 1301     (2) 1031     (3) 1.010     (4) 0.101

0이 아닌 모든 숫자는 유효숫자에요. 0이 아닌 숫자 사이에 있는 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 소수에서 자릿수를 표시하기 위해 사용하는 0은 유효숫자가 아니에요.

(1) 1301은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 3과 1 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개네요.

(2) 1031은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 1과 3 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개입니다.

(3) 1.010은 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있어요. 또 1과 1 사이의 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 따라서 유효숫자는 4개에요.

(4) 0.101에서 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있고요. 1과 1 사이의 0도 유효숫자에요. 하지만 소수점 앞에 있는 0은 소수라는 걸 알려주기 위한 0이므로 유효숫자가 아니에요. 유효숫자는 3개입니다.

따라서 답은 유효숫자가 3개인 (4)번이 되겠네요.

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참값, 근삿값, 오차, 오차의 한계, 참값의 범위
근삿값의 표현

새로운 용어가 나오는데, 그 차이가 애매해서 뭔지 잘 모를 수 있어요. 작은 차이를 잘 이해해야 합니다.

개념을 이해하기 어려워서 그렇지 실제 계산하는 건 어렵지 않아요. 반대로 개념을 못 잡으면 쉬운 계산도 할 수 없어요.

양이 별로 많지 않으니 굳이 나눠서 하기보다는 글 하나에 모두 담겠습니다. 차이를 서로 비교하는 데 조금 더 도움이 될 거예요.

오차의 한계와 참값의 범위는 서로 연관성이 높으니까 잘 보세요.

참값, 근삿값, 오차

참값은 진짜 값이에요. 나이, 개수, 번호 등 실제 값 등은 대체로 참값이에요. 물론 어림잡아 말하는 값들은 나이나 개수더라도 참값이 아닐 수도 있어요.

측정값은 자나 저울 등의 기구로 측정해서 얻은 값이에요. 길이나 무게, 부피 등이 있겠지요. 근삿값은 참값은 아니지만, 참값에 가까운 값이에요. 측정값은 모두 근삿값이에요.

측정값이라 하더라도 문제에서 참값이라고 하면 그건 참값이에요. 예를 들어 "참값이 1.25m인 책상의 길이를 다시 재봤더니 1.30m가 나왔다"는 문제에서 1.25m라는 값도 실제로는 길이를 재봤으니까 알 수 있는 값으로 측정값이에요. 하지만 문제에서 참값이라고 했으니까 참값이라고 생각해야 합니다. 1.25m는 참값, 1.30m는 측정값이죠.

오차는 참값과 근삿값의 차이인데, 근삿값에서 참값을 빼서 구합니다. 빼는 순서가 중요하니까 주의하세요. 오차는 양수일 수도 있고, 음수일 수도 있어요.

오차 = 근삿값 - 참값

다음을 참값과 근삿값으로 나누어라.
(1) 3반의 학생 수는 30명이다.
(2) 수정이의 키는 163cm이다.
(3) 집에서 학교까지의 거리가 1.3km다.
(4) 빅토리아가 반장 선거에서 얻은 표는 25표이다.
(5) 어제 비가 15mm 내렸다.
(6) 엠버는 2학년 5반이다.

사람 수, 개수 등은 참값이고 자나 저울 등으로 재서 얻은 측정값은 근삿값이에요.

(1), (4), (6) 번은 개수와 번호로 참값이고, (2), (3), (5)는 길이, 거리, 부피로 기구를 이용해서 측정한 근삿값입니다.

무게가 230g인 연필을 진리와 선영이가 저울을 이용하여 무게를 쟀더니 진리는 235g, 선영이는 220g이 나왔다. 두 사람이 측정한 값의 오차를 구하여라.

먼저 문제에서 "무게가 230g"이라고 했는데, 이 230g은 저울을 이용해서 얻은 측정값이라고 생각할 수 있어요. 하지만 문제에서 주어진 만큼 참값이라고 생각해야 합니다.

오차 = 근삿값 - 참값이므로 여기에 넣어서 오차를 구해보죠.
진리의 오차 = 235 - 230 = 5(g)
선영이의 오차 = 220 - 230 = -10(g)

오차의 한계

어떤 수를 일의 자리에서 반올림해서 130이라는 값을 얻었다고 해보죠. 그렇다면 어떤 수 x는 125 ≤ x < 135에요. 130은 반올림해서 얻은 값이므로 근삿값이고, 125와 135 사이의 어떤 수가 참값이지요.

오차를 구해보면 130 - 125 = 5일 때 가장 크고, 130 - 135 = -5일 때 가장 작아요. -5 < 오차 ≤ 5

오차의 한계는 오차가 가장 클 때의 절댓값을 말해요. 위 경우에서는 5가 되겠죠.

오차는 오차의 한계 내에서 생길 수 있어요. 오차의 한계를 넘어가는 오차는 없는 거죠.

1cm 단위만 표시된 자를 이용해서 연필의 길이를 쟀다고 해보죠. 이 연필이 9cm와 10cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있어요. 그럼 10cm라고 얘기할 수 있죠? 이 10cm는 근삿값이에요. 연필이 9cm보다는 10cm에 더 가깝게 있었기 때문에 실제 연필의 길이는 9.5cm보다는 길거나 같아요.

이번에는 다른 연필을 쟀더니 10cm와 11cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있을 때도 10cm라는 근삿값을 얻을 수 있어요. 이때 연필은 10.5cm보다는 더 짧을 거예요.

두 경우에서 모두 10cm라는 길이를 얻었어요. 하지만 실제 길이는 9.5cm ≤ 연필의 길이 < 10.5cm에요.

-0.5 < 오차 ≤ 0.5로 오차가 가장 클 때의 절댓값은 0.5cm에요. 1cm 단위의 자에서 오차의 한계는 0.5cm인 거죠.

오차의 한계는 아래 방법으로 구할 수 있어요.

반올림했을 때: 반올림 받은 자리의 절반
기구를 이용해서 측정했을 때: 최소눈금 단위의 절반
오차의 한계는 절댓값이므로 무조건 양수

다음에서 오차의 한계를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

반올림했을 때 오차의 한계는 반올림 받은 자리의 절반이고, 도구를 이용하여 측정했을 때는 최소눈금 단위의 절반이에요. 오차의 한계를 구할 때 근삿값은 전혀 신경 쓰지 않아도 됩니다. 어느 자리에서 반올림했는지 최소눈금 단위가 얼마인지만 보세요.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

참값의 범위

근삿값과 오차만 알고, 실제 참값을 모를 때는 참값의 대략적인 범위만 알 수 있어요.

(오차) = (근삿값) - (참값)에서 이항하면 (참값) = (근삿값) - (오차)에요. 그런데 오차를 정확하고 알고 있으면 상관없지만, 오차를 범위로 알고 있을 때, 즉 오차의 한계만 알고 있을 때는 참값을 딱 떨어지는 어떤 값으로 얘기할 수 없어요. 오차는 -(오차의 한계)와 +(오차의 한계) 사이에서 생기기 때문에, 이 오차를 위 식에 대입해서 참값의 범위를 구할 수 있어요.

(근삿값) - (오차의 한계) ≤ (참값의 범위) < (근삿값) + (오차의 한계)

잘 보세요. 왼쪽에는 등호가 있고, 오른쪽에는 등호가 없어요.

다음에서 참값의 범위를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

참값의 범위를 구할 때는 먼저 오차의 한계를 구해야 해요. 그리고 근삿값과의 합, 차를 이용해서 참값의 범위를 구하죠.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

1200 - 50 ≤ 참값의 범위 < 1200 + 50
1150 ≤ 참값의 범위 < 1250

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(150 - 5)cm ≤ 참값의 범위 < (150 + 5)cm
145cm ≤ 참값의 범위 < 155cm

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

(300 - 2.5)g ≤ 참값의 범위 < (300 + 2.5)g
297.5g ≤ 참값의 범위 < 302.5g

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