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2014년도 제1회 고등학교 졸업학력 검정고시 기출문제 수학 문제 풀이

좌표평면 위의 점을 대칭이동하고, 두 점 사이의 거리를 구하는 문제네요.

좌표평면 위의 점 P(a, b)를 x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 넣어주면 돼요. P(a, b) → P'(a, -b)

점 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점이 점 C이므로 A(3, 6) → C(3, -6)

두 점 B(-2, 6), C(3, -6) 사이의 거리를 구해보죠.

 > 0이므로  = 13이네요.

답은 ④번 입니다.

[고등수학/고1 수학] - 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동
[고등수학/고1 수학] - 두 점 사이의 거리, 좌표평면위의 두 점 사이의 거리

직선의 방정식을 구하는 문제네요.

문제에서 구하는 직선을 y = ax + b라고 해보죠.

두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이에요. y = -2x + 4의 기울기 -2와 y = ax + b의 기울기 a를 곱해서 -1이어야 해요.

-2 × a = -1
a =

y = x + b가 점 (0, 2)를 지나요. 그런데 (0, 2)는 y절편이에요. 기울기와 y절편을 알고 있으니 직선의 방정식을 구할 수 있죠? y = x + 2네요.

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
[고등수학/고1 수학] - 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기

축에 접하는 원의 방정식을 구하는 문제군요.

반지름이 r인 원의 방정식이 축에 접할 때, 반지름 r은 꼭짓점 y좌표의 절댓값과 같아요. 꼭짓점 y좌표가 1이네요. x좌표는 2고요.

(x - 2)² + (y - 1)² = 1²

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 축에 접하는 원의 방정식

점의 평행이동을 구하는 문제네요.

점을 좌표평면 위에서 평행이동하면 평행이동한 만큼을 점의 좌표에 대해줘요. 반대로 도형은 평행이동한 만큼 빼줘야하고요. 이 둘을 잘 구별하세요.

(-2, 1) → (-2 + 3, 1 + 2) → (1, 3)

답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 평행이동, 점과 도형의 평행이동

부등식의 영역을 구하는 문제군요.

먼저 부등식의 경계를 이루는 원의 방정식을 먼저 구해보죠. 중심이 원점 (0, 0)이고 반지름이 3이네요. 경계선이 점선으로 제외되어 있으니까 등호가 들어있지 않아요.

x² + y² > 3³ or x² + y² < 3² 둘 중 하나일 거예요.

그래프에서 원점 (0, 0)은 어두운 부분이 아니니까 위 두식에 원점 (0, 0)을 넣어서 거짓이 되는 식이 문제에서 찾는 식이에요.

따라서 답은 ④번 x² + y² > 9입니다.

[고등수학/고1 수학] - 원의 방정식, 원의 방정식 표준형
[고등수학/고1 수학] - 부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0

합성함수의 값을 구하는 문제네요.

합성함수는 그 순서대로 대입해서 풀어요. (g ο f)(x) = g(f(x))가 되는 거죠.

(g ο f)(1)
= g(f(1))
= g(3 × 1² + 1)
= g(4)
=  × 4 + 3
= 5

답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 합성함수, 함성함수란

정의역을 알려줬을 때 함수의 최댓값을 구하는 문제네요.

문제에서 준 함수의 이차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 함수죠. 위로 볼록한 함수의 꼭짓점의 x좌표가 정의역에 포함되어 있으면 최댓값은 꼭짓점에서 생겨요. 꼭짓점의 x좌표가 정의역에 포함되지 않으면 양쪽 경계값중 하나가 최댓값이고요.

문제에서는 꼭짓점의 x좌표가 1로 정의역 -1 < x < 2에 포함되므로 이 함수의 최댓값 3은 x = 1일 때 함숫값이에요.

y = -(x - 1)² + a에 x = 1, y = 3을 대입해보죠.

3 = -(1 - 1)² + a
a = 3

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소

(a ≠ 0)의 그래프는  (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프예요.

문제에서는 a = 1이므로 의 그래프는 의 그래프를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프죠. 문제의 그래프는 의 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프이므로 a = 2, b = 3이에요.

a + b = 2 + 3 = 5

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 무리함수, 무리함수의 그래프
[고등수학/고1 수학] - 무리함수 2. 무리함수 그래프의 평형이동

반지름의 길이 r과 중심각의 크기 θ를 알 때, 부채꼴의 넓이를 구하는 문제네요.

S = r²θ
=  × 2² × π
= π

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 부채꼴 호의 길이와 넓이, 호도법이용

삼각함수를 구하는 문제네요.

θ가 제 2 사분면의 각이므로 tanθ는 음수예요. (올 - 싸 - 탄 - 코)

tanθ =

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의, sin, cos, tan, 삼각함수 값의 부호

2014년도 제1회 고등학교 졸업학력 검정고시 기출문제 수학 문제 풀이

집합의 원소를 구하는 문제네요.

B를 원소나열법으로 써보면 B = {1, 3, 5, 7, 9}예요.

A∪B에서 B의 원소를 제거해보죠. (A∪B) - B = {2, 4}

집합 A는 2, 4를 반드시 포함하는 집합이어야 하므로 a = 4인 걸 알 수 있어요.

답은 ③번입니다.

집합에서 원소란?
집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램
교집합과 합집합

명제: x = 2이면 x² = 4이다.
역: x² = 4이면 x = 2이다.
이: x ≠ 2이면 x² ≠ 4이다.
대우: x² ≠ 4이면 x ≠ 2이다.

x의 범위가 나오지 않았지만 실수라고 해보죠.

x² = 4면 x = ±2이므로 역은 거짓이에요.

x ≠ 2이더라도 x = -2면 x² = 4이므로 이도 거짓이에요.

x² ≠ 4면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.

이 문제는 이렇게 직접 명제의 참/거짓을 판별해도 되지만 명제의 성질을 알고 있으면 더 쉽게 풀 수 있어요.

명제와 대우는 참/거짓이 똑같아요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참입니다. 명제가 거짓이면 대우도 거짓이지요. 마찬가지로 역과 이도 참/거짓이 같아요. 단, 명제, 대우와 이, 역의 참/거짓은 같을 수도 있고 다를 수도 있어요.

문제에서 명제가 참이라고 했으니 대우도 참이에요. 보기 중에 대우를 포함하고 있는 건 ②, ④번이네요. 그런데 ④번에서 이가 참이면 역도 참이니까 보기에 역도 들어있어야 하는데 역이 없죠? 따라서 ④번도 답이 아니에요. 결국 ②번이 답입니다.

[고등수학/고1 수학] - 명제의 참, 거짓, 반례
[고등수학/고1 수학] - 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법

역원은 연산한 결과가 항등원이 나오도록 하는 걸 말하죠. 항등원은 연산한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 걸 말하고요.

덧셈에 대한 항등원은 0이에요. 문제에서 구하라고 한 역원을 x라고 하면 (1 + ) + x = 0이 되는 x를 구하면 돼요.

(1 + ) + x = 0
x = -1 -

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 항등원과 역원, 연산법칙

복소수가 같을 조건을 묻는 문제예요.

복소수가 같으려면 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 하죠?

우변 0 = 0 + 0i로 실수 부분 = 0, 허수 부분 = 0이에요. (a + 1) + (b - 3)i = 0 = 0 + 0i

a + 1 = 0, b - 3 = 0이어야 해요.

a = -1, b = 3이므로 a + b = - 1 + 3 = 2

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 복소수, 허수와 허수단위

다항식을 전개해서 계수를 구하는 문제네요.

다항식의 곱을 전개해서 계수를 비교하면 되겠네요. 두 다항식이 같으려면 차수가 같은 항의 계수도 같아야 하니까요.

(2x + 1)(x - 2) = ax² + bx + c
2x² - 3x - 2 = ax² + bx + c

a = 2, b = -3, c = -2

a + b + c = 2 + (-3) + (-2) = -3

답은 ②번이군요.

[고등수학/고1 수학] - 곱셈공식, 곱셈공식 유도, 고1 곱셈공식
[고등수학/고1 수학] - 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

항등식의 성질을 이용해서 나머지를 구하는 문제입니다. 나머지정리라고 하죠.

f(x) = x² - 3x + 5 = (x - 1)Q(x) + R

나머지정리를 이용하면 나머지 R만 바로 구할 수 있죠? 우변에 나머지 R만 남고 (x - 1)Q(x) = 0이 되도록 x = 1을 대입해보죠.

f(1) = 1 - 3 + 5 = (1 - 1)Q(1) + R
R = 3

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 나머지정리, 인수정리

분수식의 계산을 할 때는 일반 분수를 계산할 때처럼 통분을 해요. 그리고 약분도 하고요. 인수분해를 할 수 있으면 인수분해를 해서 약분을 하죠.

문제에서 준 식은 분모가 같으니까 따로 통분할 필요가 없네요.

답은 ②번 1입니다.

[고등수학/고1 수학] - 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산

이중근호를 푸는 문제네요.

꼴의 이중근호를 풀면 문제에 나온 것처럼  - 꼴로 풀려요.

더해서 5, 곱해서 6이 되는 두 수는 2와 3이에요. 그런데 가운데 부호가 음수니까 앞에 있는 수가 더 커야 해요. 문제 마지막에 괄호에 나온 것처럼 a > b여야 하죠. a = 3, b = 2네요.

a + b = 3 + 2 = 5

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이중근호, 이중근호 풀기

근과 계수와의 관계를 묻는 문제입니다. 물론 두 근 α, β를 직접 구해서 계산해도 되지만 근과 계수와의 관계를 이용하면 훨씬 간단하죠.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때, α + β = , αβ = 죠.

α + β + α, β + 1
=  +  + 1
=  +  + 1
= -1

답은 ①번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 이차방정식의 근과 계수와의 관계

연립이차부등식의 해를 구하는 문제네요.

연립부등식의 해는 각 부등식의 해를 구한 다음 두 부등식의 해의 공통부분을 구하는 거죠. 두 번째 부등식은 이차부등식인데 부등식이 0보다 작으니까 해는 작은 것과 큰 것 사이예요.

3x - 6 > 0
3x > 6
x > 2

(x - 1)(x - 4) < 0
1 < x < 4

두 부등식 해의 공통부분은 2 < x < 4네요.

α = 2, β = 4이므로 α + β = 6입니다.

답은 ③번.

[고등수학/고1 수학] - 이차부등식, 이차부등식의 해
[고등수학/고1 수학] - 연립이차부등식, 연립이차부등식의 풀이