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연립방정식의 활용 두 번째예요. 보통 모든 단원 마지막에 나오는 활용 문제의 유형은 사실 거기서 거기예요. 식의 종류만 달라지죠. 일차방정식, 연립방정식 이렇게요.

하지만 연립방정식에만 나오는 특이한 유형이 있는데, 바로 흐르는 강물에서 배의 속력에 대한 문제예요. 일반적인 속력이나 소금물 농도 문제는 자주 다루니까 복습을 하는 효과가 있어서 잊어버리는 경우가 별로 없는데, 흐르는 강물에서 배의 속력 문제는 연립방정식의 풀이에서만 나오는 유형이라 잊어버리기 쉬운 유형이에요.

하지만 한가지 간단한 팁만 알고 있으면 일반적인 속력 문제와 다르지 않으니까 쉽게 풀 수 있어요. 여기서 알려주는 이 팁을 꼭 기억하세요.

연립방정식의 활용 두 번째

흐르는 강물에서 배의 속력 문제

배의 속력은 원래 정지된 호수 위를 움직일 때의 속력이에요. 하지만 강물은 흐르죠? 그래서 강물이 흐르는 경우에는 따로 이야기하지 않아도 강물의 속력까지 고려해줘야 해요. 강물은 아래쪽으로 흐르니까 강을 거슬러 올라갈 때는 강물의 속력을 빼주고 강을 내려올 때는 강물의 속력을 더해줘야 배가 실제로 움직이는 속력이 나와요. 문제만 읽어서는 찾기 어려운 내용이죠.

• 배가 강물을 거슬러 올라갈 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 - 강물의 속력
• 배가 강을 따라 내려올 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 + 강물의 속력

길이가 10km인 강을 배로 거슬러 올라갈 때는 5시간, 내려올 때는 2시간이 걸렸다. 배의 속력을 구하여라.

배의 속력을 구하라고 했는데, 배의 속력만 생각해서는 이 문제를 풀 수 없어요. 강물도 움직인다는 것을 고려해야 해요.

배의 속력을 x, 강물의 속력을 y라고 하죠.

강을 거슬러 올라갈 때 배의 실제 속력 = x - y
강을 내려올 때의 배의 실제 속력 = x + y

강을 올라갈 때와 내려올 때의 이동거리는 강의 길이와 같아요. 둘 다 10km

니까 공식에 대입하면 연립방정식을 세울 수 있어요.

① + ②
2x = 7
x = 3.5
y = 1.5

배의 속력은 시속 3.5km, 강물의 속력은 시속 1.5km네요.

두 자리 수에 관한 문제

두 자리 수에 관한 문제에서는 10의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 놓고 풀면 돼요. 조심해야 할 건 실제로 구하는 수는 10 × x + y라는 거예요.

각 자리의 숫자의 합이 15인 두 자리 자연수가 있다. 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수가 처음의 수보다 9가 클 때 처음 수를 구하여라.

십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라고 할 때 처음 수는 10x + y에요.

처음 수의 두 자리의 숫자의 합이 15라고 했으니까 x + y = 15

십의 자리와 일의 자리를 바꾼 숫자는 10y + x인데 이게 처음 수보다 9가 크다고 했어요.
10y + x = 10x + y + 9
x - y = -1

연립방정식이 세워졌죠?

① + ②
2x = 14
x = 7
y = 8

처음 수는 10x + y = 78이네요.

이 외에도 나이에 관한 문제(몇 년 후 나이가 OO배가 된다는 형식), 비용에 관한 문제(어른은 입장료 10,000원 어린이는 5,000원일 때 총 요금이 OO원, 어른 몇 명?, 어린이 몇 명?) 등 여러 형태가 나옵니다. 위에서 얘기한 유형의 문제에 비해서는 비교적 쉽다고 할 수 있죠.

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좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.

공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.

점과 직선 사이의 거리 공식

점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x₂, y₂)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)

직선 PH는 두 점 P(x₁, y₁)와 H(x₂, y₂)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,

이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -x -

직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

- ×  = -1
a(y₂ - y₁) = b(x₂ - x₁)

 = k라고 놓으면
x₂ - x₁ = ak, y₂ - y₁ = bk ……… ①
x₂ = x₁ + ak, y₂ = y₁ + bk

H(x₂, y₂)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax₂ + by₂ + c = 0
a(x₁ + ak) + b(y₁ + bk) + c = 0      (∵ ①)
ax₁ + a²k + by₁ + b²k + c = 0
(a² + b²)k + ax₁ + by₁ + c = 0
(a² + b²)k = -ax₁ - by₁ - c
k = - ……… ②

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d

점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.

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일차방정식의 활용 두 번째는 일차방정식의 활용 첫 번째보다 조금 더 어려운 유형이에요. 공식을 알아야 풀 수 있거든요.

이 공식들은 수학, 과학 등의 과목에서 계속해서 보게 될 공식이니까 반드시 외워야 해요. 공식을 외우지 못했다는 건 일차방정식의 활용을 포기하는 것과 같아요. 물론 2, 3학년 수학도 일정 부분 포기한다는 뜻이고요.

원래는 하나의 공식인데, 모양만 바뀌는 거라서 외우기 헷갈릴 수 있어요. 그러면 그림으로 외우는 것도 좋은 방법이에요.

일차방정식의 활용

과부족

과부족 문제는 개수의 많고 적음을 이용한 문제에요. 문제에서는 물건의 개수를 구하라고 하는데, 식에서는 물건의 개수가 아닌 사람 수를 x라고 놓으면 돼요.

과부족 문제는 x가 들어있는 식을 두 개 만들고 그 둘이 같다고 놓고 푸는 문제입니다.

학급 학생들에게 공책을 나눠주려고 한다. 한 학생에게 공책을 5권씩 나눠주면 3권이 남고, 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 한다. 공책은 총 몇 권인가?

공책의 개수를 구하라고 했다고 해서 이걸 x로 놓으면 문제가 복잡해져요. 이 문제에서는 학생 수를 x라고 놓으세요.

학생 수가 x명일 때, 한 사람에게 5권씩 주면 3권이 남는다고 했으니까 공책의 수는 5x + 3이에요. 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 했으니까 공책 수는 6x - 4죠. 공책 수는 두 경우 모두에 같으니까 둘을 같게 놓고 문제를 풀면 돼요.

5x + 3 = 6x - 4
5x - 6x = - 4 - 3
-x = -7
x = 7

여기서 x는 공책의 수가 아니라 학생 수에요. x = 7을 5x + 3에 대입하면 공책의 수는 38권이 되네요.

도형

사각형의 넓이 = (가로) × (세로), 사각형의 둘레 = {(가로) + (세로)} × 2에요. 이것만 잘 기억하면 풀 수 있어요.

둘레가 50cm인 사각형이 있다. 가로의 길이가 세로 길이보다 3cm 더 길 때, 가로, 세로의 길이를 구하여라.

가로의 길이를 x라고 하면 세로의 길이는 x - 3이에요. 이때 사각형의 둘레는 {x + (x - 3)} × 2죠.

{x + (x - 3)} × 2 = 50
2(2x - 3) = 50
2x - 3 = 25
2x = 25 + 3
2x = 28
x = 14

가로 길이는 14cm이므로 세로 길이는 11cm네요.

거리, 속력, 시간

문자와 식, 문자를 포함한 식에서 봤던 공식이 또 나왔네요. 그만큼 중요하니까 또 나오는 거예요.

거리, 속력. 시간문제에서는 단위도 중요해요. 문제에서 사용하는 단위와 답에서 요구하는 단위를 잘 봐야 해요.

설리는 집에서 서점을 왕복하는데, 갈 때는 시속 4km의 속력으로 걸어가고, 올 때는 6km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다고 한다. 설리네 집에서 서점까지의 거리를 구하여라.

거리를 구하라고 했는데, 거리 = 속력 × 시간이에요. 올 때, 갈 때의 속력은 알고 있어요. 그런데 시간은 올 때와 갈 때는 둘을 합한 것만 알려줬죠? 그래서 하나를 우리가 임의로 x라고 정하는 거예요. 가는 데 걸린 시간을 x분라고 하면, 오는 데 걸린 시간은 (40 - x)분이 되겠죠.

집에서 서점까지의 거리는 올 때나 갈 때나 똑같아요. 그래서 (갈 때의 거리) = (올 때의 거리)라고 할 수 있어요.

4 × x = 6(40 - x)
4x = 240 - 6x
4x + 6x = 240
10x = 240
x = 24

x는 집에서 서점까지 가는 데 걸린 시간이고, 문제에서 구하는 건 거리죠. x = 24를 대입해서 거리를 구해야 해요.

거리 = 속력 × 시간 = 4 × 24 = 96(km)가 될 것 같죠? 이러면 절대로 안 돼요. 단위를 조심해야 해요.

집에서 서점에 갈 때 시속 4km라고 했고, 실제 걸린 시간은 24분이에요. 하나는 시고 하나는 분이라 단위가 달라요. 이 두 단위를 하나로 맞춰줘야 해요.

소금물의 농도

농도 공식도 문자와 식, 문자를 포함한 식에서 본 공식이에요. 앞으로 계속 나올 겁니다.

소금물에 소금물을 넣으면 소금의 양과 소금물의 양이 모두 변해요. 하지만 그냥 물만 넣거나 가열하는 경우에는 소금의 양은 바뀌지 않고 소금물의 양만 바뀌는 걸 주의하세요.

두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때

• (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
• (A + B)의 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
• (A + B)의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100

어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안 된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.

소금물 A을 가열했을 때(증발시켰을 때)

• 가열한 후의 소금양 = 가열전 의 소금양
• 가열한 후의 소금물의 양 = 가열전 소금물의 양 - 증발한 물의 양

소금물 A에 물만 넣었을 때

• 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
• 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양

5% 소금물 200g을 가열하였더니 8% 소금물이 되었다. 가열한 후의 소금물의 양은 얼마인가?

소금물을 가열했을 때는 소금의 양은 바뀌지 않고, 소금물의 양만 줄어들어요. 따라서 가열 전과 가열 후의 소금의 양이 같다는 걸 이용해서 식을 세워보죠.

가열한 후의 소금물의 양을 구하라고 했으니 이걸 x라고 놓죠.

가열 전 5% 소금물 200g에 들어있는 소금의 양 =
가열 후 8% 소금물 xg에 들어있는 소금의 양 =

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중2 수학 마지막 글입니다. 벌써 끝이라니 ㅠㅠ. 2학년 과정을 다 마친 다음에는 중3 수학을 미리 예습해보세요.

닮은 도형의 활용에서 제일 중요한 건 닮음비에요. 닮음비는 비니까 계산할 때도 비례식을 세워서 계산하는 게 핵심이죠. 비례식 세우는 건 그렇게 어려운 일은 아니잖아요. 계산도 그렇고요.

그런 면에서 닮은 도형의 활용은 다른 단원에서 나오는 활용문제보다 조금은 쉬운 편이라고 할 수 있어요.

문제 유형에 따라 조금 더 쉬운 방법이 있을 수는 있겠지만, 굳이 유형별 문제 풀이법을 따로 익히기보다는 쉽고 공통으로 사용할 수 있는 비례식을 사용하는 게 제일 좋아요.

닮은 도형의 활용

지도에서 거리 구하기

지도는 실제 지형을 작게 표시해서 평면에 나타낸 거예요. 작게 표시할 때 그냥 작게 표시하는 게 아니라 실제 거리를 일정한 비율로 줄이죠. 작게 줄일 때 사용하는 일정한 비율을 바로 축척이라고 하고요. 바로 이 축척이 닮은 도형의 닮음비에 해당합니다.

지도의 축척은 보통 비례식이나 분수로 나타내요. 1 : 50,000이나 으로요. 여기서 1은 지도상에서의 거리, 50,000은 실제 거리로 지도의 1cm는 실제 50,000cm라는 걸 의미해요.

지도의 축척을 주고, 지도상의 거리가 실제로는 몇 m인지 구하거나 반대로 실제 거리가 지도에는 몇 cm로 표시되는지 묻는 문제가 많이 나와요. 실제 거리를 구할 때와 지도상의 거리를 구할 때 모두 공식으로 외워서 문제를 풀기도 하지만 딱히 추천하지는 않아요. ", 지도상의 거리 = 실제 거리 × 축척"이라는 공식이 있는데, 외우려면 헷갈려요.

축척은 비례니까 계산할 때도 "1 : 50,000 = 지도상의 거리 : 실제 거리"처럼 비례식을 세우는 게 더 나은 방법이에요. 좌변은 축척, 우변에는 거리를 쓰는 거죠. 물론 위 공식은 이 비례식을 계산해서 나온 것이긴 하지만 보다 확실하고 안전한 게 좋죠.

축척이 주어진 지도에서 실제 거리 구하기
축척 = 닮음비
공식을 이용하기보다는 비례식을 세워서 계산
문제에서 요구하는 단위에 맞게 숫자 변환

단위를 변환할 때, 가지 주의해야 할 게 있어요.

1m = 100cm, 1km = 1,000m = 100,000cm인 건 다 알고 있을 거예요. 거리를 하는 건 별로 어렵지 않아요. 넓이를 변환하는 게 문제죠.

1m² = 10,000cm², 1km² = 1,000,000m²이에요. 단위만 제곱하는 게 아니라 숫자도 제곱을 해줘야 해요.

축척이 인 지도에서 다음을 구하여라.
(1) 두 지점 사이의 거리가 10cm일 때 실제 두 지점 사이의 거리는 몇 km인지 구하여라.
(2) 지도에서 넓이가 2cm²인 부분의 실제 넓이는 몇 m²인지 구하여라.

(1) 은 비례식으로 나타내면 1 : 50,000이에요. 지도에서 1cm는 실제 거리로는 50,000cm라는 거지요. 문제에서 구하는 건 10cm가 실제로 몇 km인지를 구하는 거잖아요. 구하라고 하는 값을 x라고 놓고 비례식으로 써보면 1 : 50,000 = 10cm : x cm라는 비례식을 세울 수 있어요.

1 : 50,000 = 10cm : x cm
x = 50,000 × 10 = 500,000(cm)

문제에서는 몇 km냐고 물어봤으니 단위에 맞게 숫자를 고쳐줘야겠죠?

500,000cm = 5,000m = 5km네요.

(2) 넓이에요. 일단 비례식을 세워보죠. 실제 넓이를 ycm²이라고 놓죠.

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 넓이의 비는 닮음비의 제곱이라고 했어요. 따라서 1 : 50,000이 아니라 1² : (50,000)²라는 비를 사용해야 해요. (50,000)² = (5 × 10⁴)² = 25 × 10⁸이네요.

1 : 25 × 10⁸ = 2cm² : ycm²
y = 2 × 25 × 10⁸ = 50 × 10⁸ = 5 × 10⁹(cm²)

우리가 구한 값은 단위가 cm²이고, 문제에서 요구하는 단위는 m²이에요. 변환할 때 주의하세요.
1m² = 10,000cm²이니까 5,000,000,000cm² = 500,000m²입니다.

높이 구하기

건물, 나무의 높이 구하기는 축척 문제보다 조금 더 쉬워요. 그림이 함께 있으니까요. 나무 그림을 그려주고 그 옆에는 닮은 도형인 삼각형이 함께 나와요.

이런 유형은 나무가 있는 그림에서 삼각형을 찾아서 옆의 삼각형과 닮음비를 이용해서 높이를 구하면 돼요.

높이 구하기
닮은 삼각형을 찾아서 대응변의 비례식을 세워서 계산

죠스 나무의 높이를 구하기 위해 삼각형을 그리고, 그 삼각형을 축소하여 오른쪽에 나타내었다. 죠스 나무의 높이를 구하여라.

축소해서 그렸으니까 두 삼각형은 닮은 도형이에요. 죠스나무의 높이를 x m라고 하지요. 그리고 m 단위를 사용할 거니까 오른쪽 삼각형의 높이도 m로 바꿔줘야 해요. 80cm = 0.8m네요

5m : xm = 1m : 0.8m
x = 5 × 0.8 = 4(m)

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닮은 도형의 성질
닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1
닮은 도형의 부피의 비와 넓이의 비 2

이제까지 연립방정식과 그 풀이법(가감법, 대입법)에 대해서 알아봤어요. 이번 글에서는 이런 방법들을 응용해서 실제로 어떻게 문제를 푸는 지 설명할게요.

연립방정식의 활용에서 제일 중요한 것은 식을 세우는 과정이에요. 문제에서 요구하는 값을 구할 수 있는 식을 제대로 세우는 연습을 많이 해야 해요.

일차방정식의 활용 1, 일차방정식의 활용 2에서 했던 내용과 큰 차이는 없어요. 식이 연립방정식이라는 것 빼고는요. 즉, 연립방정식 방정식 2개를 만들어야 해요. 그때의 기억을 되살려보세요.

연립방정식의 활용 문제 푸는 단계

1. 구하려고 하는 것을 x, y로
   연립방정식을 활용하는 문제에서 첫 번째 해야 할 일은 문제에서 구하는 것이 무엇인지를 파악하는 거예요. 대부분은 문제 마지막에 "…?을 구하여라."라고 나오니까 금방 찾을 수 있어요. 문제에서 구하라고 하는 것을 미지수, x, y로 놓습니다.
2. 연립방정식 세우기
   문제에서 준 정보와 미지수를 잘 조합해서 식을 세워야 해요. 연립방정식 문제니까 식은 당연히 2개가 나오겠죠.
3. 연립방정식 풀기
   만들어진 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풉니다.
4. 결과 확인
   푼 결과가 실제로 맞는지 확인하세요.

시간, 거리, 속력에 관한 문제

거리, 시간, 속력에 관한 문제는 수학에서는 빼놓지 않고 나오는 문제에요. 일차방정식은 물론 이차방정식, 부등식, 함수에서까지 모든 영역에서 나오는 문제입니다. 수학뿐 아니라 과학시간에도 배우는 내용이죠.

그래서 거리, 속력, 시간 구하는 공식을 꼭 외워야 해요.

왼쪽에 있는 그림을 기억하세요. 가로로 그어져 있는 선을 분수에서 사용하는 그 가로선이라고 생각하면 되겠죠.

이 유형에서 주의해야 할 건 단위에요. 단위가 시간인지 분인지 km인지 m 인지 꼭 확인해야 해요.

선영이는 집에서 학교까지 3km를 가는 동안 처음에는 시속 3km의 속력으로 걷다가 중간에 시속 5km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다. 선영이가 학교까지 뛰어간 거리를 구하여라.

집에서 학교까지의 거리가 3km니까 걸어간 거리를 x, 뛰어간 거리를 y라고 하면 x + y = 3이에요.

이번에는 시간을 한 번 계산해보죠. 그런데 속력은 단위가 시속이므로 시단위이고 걸린 시간은 40분으로 분단위예요. 두 시간의 단위를 맞추려면 40분을 시간으로 바꿔줘야 해요.

걸어간 시간 = , 뛰어간 시간 = , 총 걸린 시간 = 

연립방정식이 만들어졌어요.

①식에서 y = 3 - x

②식에 대입하면
5x + 3(3 - x) = 10
5x - 3x + 9 = 10
2x = 1
x = 0.5
y = 2.5

따라서 선영이가 학교까지 뛰어간 거리는 2.5km네요.

농도에 관한 문제

농도에 관한 문제 역시 빠지지 않고 나오는 문제입니다. 어쩔 수 없지만, 공식을 외워야 하고요.

농도에 관한 문제에서도 g과 kg의 단위에 주의하세요.

두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때

• (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
• (A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
• (A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양  * 100

어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.

소금물 A을 가열했을 때

• 가열한 후의 소금양 = 가열 전의 소금양
• 가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양

소금물 A에 물만 넣었을 때

• 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
• 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양

8% 소금물에 5% 소금물을 섞어서 6% 소금물 600g을 만들려고 한다. 8% 소금물과 5% 소금물의 양을 구하여라.

두 소금물을 섞어서 600g의 소금물을 만든다고 했으니까, 8% 소금물의 양을 x, 5% 소금물의 양을 y라고 하면 x + y = 600이라는 식을 하나 만들 수 있어요.

8% 소금물과 5% 소금물에 들어있는 소금의 양을 합치면 6% 소금물 600g에 들어있는 소금의 양과 같아요. 이걸 식으로 써보죠.

(8% 소금물에 들어있는 소금의 양) + (5% 소금물에 들어있는 소금의 양) = (6% 소금물에 들어있는 소금의 양)

연립방정식이 만들어졌네요.

①식에서 y = 600 - x

②식에 대입하면
8x + 5(600 - x) = 3600
3x = 600
x = 200
y = 400

8% 소금물은 200g, 5% 소금물은 400g이네요.

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