x축
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이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근2013.10.06
이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근
x축도 직선이죠? 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이용하여 이차함수의 그래프와 x축의 위치관계를 알아볼 거예요. 이 둘 사이의 위치관계를 통해서 이차방정식의 근의 개수를 파악할 수 있어요. 결국, 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근이 어떤 관계가 있는지 확인할 수 있죠.
이차함수의 그래프와 x축의 모습을 간략하게 그릴 수 있으면 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근 사이의 관계를 이해하는 데 훨씬 도움이 돼요.
이차함수의 그래프와 x축의 위치관계
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서 이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n 사이의 위치관계를 구해봤어요. ax2 + bx + c = mx + n에서 판별식 D를 구해서 관계를 구했죠.
이번에는 이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 x축 사이의 관계를 알아볼 거예요. x축은 직선의 방정식으로 나타내면 y = 0이죠. x축도 직선이니까 같은 방법을 이용하여 판별식 D를 구해보죠.
ax2 + bx + c = 0
D = b2 - 4ac
D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나요.
D = 0이면 한 점에서 만나죠. (접한다.)
D < 0이면 만나지 않아요.
여기까지는 쉬워요.
그런데 식을 다시 한 번 보세요. ax2 + bx + c = 0은 어떤 모양인가요? 바로 이차방정식의 일반형이죠? 그러니까 이차함수의 그래프와 x축의 관계는 이차방정식으로 나타낼 수 있는 거예요. x축과의 교점이 바로 이차방정식의 해가 되는 겁니다.
D > 0이어서 서로 다른 두 점에서 만나면 해가 2개가 되는 거고, D = 0으로 한 점에서 만나면 해가 하나인 경우예요. 이차방정식의 해가 1개인 경우는 중근일 때죠. D < 0이어서 만나지 않을 때는 해가 없어요. 실수범위에서만 구하기 때문에 해가 없는 거고 복소수까지 생각한다면 D < 0일 때의 해는 서로 다른 두 허근이에요.
이건 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 했던 내용이지요.
D > 0일 때와 D = 0일 때 실근을 갖는데, 이 실근은 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표에요.
이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.
| D > 0 | D = 0 | D < 0 | |
|---|---|---|---|
| y = ax2 + bx + c의 그래프 | x축과 두 점에서 만난다. | x축과 한 점에서 만난다. (접한다.) | x축과 만나지 않는다. |
| a > 0일 때 |  |
 |
 |
| a < 0일 때 |  |
 |
 |
| ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해 | 서로 다른 두 실근 | 중근 | 서로 다른 두 허근 |
| 이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해 | |||
이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.
이차함수 y = x2 + (k + 1)x + k + 1의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.
이차방정식 x2 + (k + 1)x + k + 1 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.
D = (k + 1)2 - 4 × 1 × (k + 1) > 0
k2 + 2k + 1 - 4k - 4 > 0
k2 - 2k - 3 > 0
(k + 1)(k - 3) > 0
k < -1 or k > 3
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축에 접하는 원의 방정식
직선의 방정식에서는 축과 만나는 점이 있었어요. 그걸 x, y절편이라고 부르죠. x, y절편의 좌표를 이용해서 직선의 방정식을 구할 수 있었어요.
원의 방정식에서는 축과 단순히 만나는 게 아니라 접하는 경우에 대해서 공부할 거예요. x, y축에 접하는 원의 방정식은 어떤 특징이 있는지 알아보고, 이를 이용해서 축에 접하는 원의 방정식을 구하는 방법도 알아볼 거예요.
그냥 식만 생각하기보다는 그래프를 종이에 그려보면 조금 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요. 특징이 간단하니까 그래프만 그리면 문제는 금방 풀 수 있어요.
축에 접하는 원의 방정식
x축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 x축에 접하고 있으므로 중심의 y좌표는 반지름 r과 같아요. b = r
원이 제 1사분면이 아니라 제 4사분면에 있다면 어떨까요? 그때도 b = r이 될까요? 원이 제 4사분면에 있다면 b < 0이에요. 반지름 r은 길이니까 무조건 0보다 커야 해요. 이때는 -b = r이라고 해야겠죠?
두 경우에 모두 적용될 수 있게 |b| = r이라고 합니다.
원이 제 1사분면에 있든 제 4사분면에 있든 상관없이 b2 = r2이니까 (x - a)2 + (y - b)2 = r2을 (x - a)2 + (y - b)2 = b2이라고 쓸 수 있어요.
x축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 y좌표의 절댓값
r = |b|
(x - a)2 + (y - b)2 = b2
y축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 y축에 접하고 있으므로 중심의 x좌표는 반지름 r과 같아요. a = r
원이 제 1사분면이 아니라 제 2사분면에 있다면 어떨까요? 그때도 a = r이 될까요? 원이 제 2사분면에 있다면 a < 0이에요. 반지름 r은 길이니까 무조건 0보다 커야 해요. 따라서 두 경우에 모두 적용될 수 있게 |a| = r이라고 해야겠죠?
여기서도 원이 위치한 사분면에 관계없이 a2 = r2니까 (x - a)2 + (y - b)2 = a2이라고 쓸 수 있어요.
y축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 x좌표의 절댓값
r = |a|
(x - a)2 + (y - b)2 = a2
x, y축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 x, y축에 접하고 있으므로 중심의 x좌표와 중심의 y좌표, 반지름 r이 같아요. a = b = r
그런데, a, b는 원이 위치한 사분면에 따라서 부호가 달라져요. a또는 b가 (-)가 될 수 있다는 얘기지요. r은 양수여야 하니까 |a| = |b| = r이라고 해야 합니다.
앞선 두 경우에는 r을 a 또는 b로 대신 썼는데, 이번에는 반대로 a, b를 r로 바꿔서 나타내보죠.
원이 제 1사분면에 있으면 원의 중심은 둘 다 (+)니까 원의 중심을 (r, r)이고 할 수 있죠.
(x - r)2 + (y - r)2 = r2
원이 제 2사분면에 있으면 원의 중심의 x좌표는 (-), y좌표는 (+)에요. 원의 중심을 (-r, r)이고 할 수 있어요.
(x + r)2 + (y - r)2 = r2
원이 제 3사분면에 있으면 원의 중심은 둘 다 (-)니까 원의 중심을 (-r, -r)이고 할 수 있어요.
(x + r)2 + (y + r)2 = r2
원이 제 4사분면에 있으면 원의 중심의 x좌표는 (+), y좌표는 (-)에요. 원의 중심을 (r, -r)이고 할 수 있어요.
(x - r)2 + (y + r)2 = r2
| 원의 위치 | 중심의 좌표 | 원의 방정식 |
|---|---|---|
| 제 1사분면 | (r, r) | (x - r)2 + (y - r)2 = r2 |
| 제 2사분면 | (-r, r) | (x + r)2 + (y - r)2 = r2 |
| 제 3사분면 | (-r, -r) | (x + r)2 + (y + r)2 = r2 |
| 제 4사분면 | (r, -r) | (x - r)2 + (y + r)2 = r2 |
x, y축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 x좌표의 절댓값 = 중심의 y좌표의 절댓값
r = |a| = |b|
다음 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심의 좌표가 (1, 2)이고 x축에 접하는 원의 방정식
(2) 중심의 좌표가 (-3, -4)이고, y축에 접하는 원의 방정식
(3) 반지름의 길이가 5이고 제 4사분면에서 x, y축에 접하는 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요.
x축에 접하는 원이라면 중심의 y좌표의 절댓값과 반지름이 같고, y축에 접하는 원이라면 중심의 x좌표의 절댓값과 반지름이 같아요. x, y축에 동시에 접하는 원이라면 (중심의 x좌표 절댓값)= (중심의 y좌표 절댓값) = (반지름 r)이고요.
(1)은 x축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 y좌표| = |2| = r
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 22
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 4
(2)는 y축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 x좌표| = |-3| = r
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 32
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 9
(3)은 x, y축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = r이에요. 그런데, 제 4사분면 위에 있으니까 중심의 x좌표는 (+), 중심의 y좌표는 (-)에요. 원의 반지름이 5니까 중심의 좌표는 (5, -5)네요.
(x - 5)2 + (y + 5) 2= 52
(x - 5)2 + (y + 5)2 = 25
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순서쌍과 좌표, 좌표평면
수직선을 공부했었죠? 이 글의 내용은 수직선을 확장한 내용이에요. 그런데 그게 조금 많이 어렵습니다. 새로운 용어들과 그림이 많이 나오거든요.
어느 하나 중요하지 않은 용어가 없어요. 다음에 공부할 그래프는 물론, 2, 3학년 때도 계속 때도 사용하는 용어들이에요. 주의하고, 집중해서 잘 읽어보세요.
새로운 용어와 그림을 함께 기억하세요. 용어 따로 그림 따로가 아니에요. 문제를 읽고 그림으로 표현할 줄 알아야 하고, 그림을 보고 내용을 파악하려면 당연한 거겠죠?
순서쌍과 좌표
수직선이 뭔지 알고 있죠? 아래 그림처럼 수직선의 2라는 숫자에 점 A가 있다고 해보죠.
수직선의 2위에 점 A가 있다는 건 반대로 점 A에 2가 대응한다고 얘기할 수 있어요.
수직선 위의 한 점에 대응하는 수를 좌표라 하고 기호로는 P(a)라고 표시해요. 점 P가 수직선 위의 a라는 숫자에 있다는 뜻이에요. 만약에 점 A가 수직선의 2위에 있다고 한다면 A(2)라고 표시하고 A의 좌표는 2라고 하는 거예요.
좌표: 수직선 위의 한 점에 대응하는 수
P(a): 점 P의 좌표가 a
순서쌍은 한 쌍의 숫자를 순서대로 쓰는 걸 말해요. 한 쌍을 표시할 때는 괄호 안에 쓰고, 콤마(,)로 구분해요. 1, 2로 된 순서쌍은 (1, 2)로 쓰는 거예요.
순서쌍에서는 순서가 중요해요. (1, 2)와 (2, 1)은 다른 거예요.
좌표평면
수직선은 가로로 된 선이 하나만 있었어요. 그런데 가로로 된 수직선에 수직인 세로선(수직선)을 그어요. 이때 가로인 수직선을 x축, 세로인 수직선은 y축, x축과 y축을 합쳐서 좌표축이라고 하고 좌표축이 그려진 평면을 좌표평면이라고 해요. 또 두 수직선이 만나는 점을 원점 O라고 하고요.
수직선에는 0을 기준으로 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수였죠? 좌표평면에서는 x축은 점 O의 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수예요. y축은 점 O보다 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수예요.
모눈종이나 바둑판을 생각해보세요.
수직선에는 점 P의 좌표를 P(a)라고 표시하는데, 좌표평면에서는 수직선이 2개니까 사용하는 숫자도 2개예요. 그래서 P(a, b)라고 표시해요. a는 점 P에서 x축에 수선을 내려서 만나는 점의 숫자로 x좌표라고 하고, b는 점 P에서 y축에 수선을 그어서 만나는 점의 숫자로 y좌표라고 해요.
좌표평면은 좌표축에 의해서 네 부분으로 나누어져요. 네 부분으로 나누어지니까 사분면이라고 하는데, 오른쪽 위에 있는 영역부터 반시계방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 불러요. 좌표축은 사분면을 나누는 기준일 뿐, 사분면에 포함되지는 않아요.
그림에서 사분면의 이름 옆에 괄호 안에 (+, +), (-, -) 이 표시는 사분면 위 점들 좌표의 부호예요. 제1사분면에 있는 점의 x좌표와 y좌표는 둘 다 양수니까 (+, +)로 표시한 거고, 제2사분면에 있는 점의 x좌표는 음수, y좌표는 양수라서 (-, +)로 표시한 겁니다.
어떤 점이 제1사분면에 있을 때, '제1사분면 위의 점이다' 이런 식으로 표현해요.
x축: 가로로 그어진 수직선
y축: 세로로 그어진 수직선
좌표축: x축, y축
좌표평면: x축과 y축이 그려진 평면
원점: x축과 y축이 만나는 점. O
P(x, y): 점 P의 좌표. x좌표, y좌표 순
사분면: 좌표평면이 좌표축으로 나누어진 네 영역, 제1사분면(+, +), 제2사분면(-, +), 제3사분면(-, -), 제4사분면(+, -)
다음 점들 중에서 제4사분면 위의 점은 무엇인가?
(1) A(2, 3) (2) B(3, -2)
(3) C(-2, -3) (4) D(-2, 3)
| 제1사분면 | 제2사분면 | 제3사분면 | 제4사분면 | |
|---|---|---|---|---|
| x좌표의 부호 | + | - | - | + |
| y좌표의 부호 | + | + | - | - |
(1) A(2, 3)에서 x, y좌표의 부호가 둘 다 양수이므로 제1사분면 위의 점이네요.
(2) B(3, -2)에서 x좌표는 (+), y좌표는 (-)이므로 제4사분면 위의 점이네요.
(3) C(-2, -3)에서 x, y좌표 부호가 둘 다 음수이므로 제3사분면 위의 점이고요.
(4) D(-2, 3)에서 x좌표는 (-), y좌표는 (+)이므로 제2사분면 위의 점이네요.
따라서 제4분면 위의 점은 B입니다.
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그래프를 보고 직선의 방정식 구하기
일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기에서는 그래프의 특징을 설명해주는 내용을 보고 직선의 방정식(일차함수 식)을 구했어요.
이번에는 그런 설명 없이 그래프를 보고 일차함수 식을 구하는 내용이에요.
그래프를 보고 어떤 특징을 알아내는가가 중요한 것이지 둘 사이에는 차이가 전혀 없어요. 그래프에서 파악할 수 있는 건 모두 파악하는 것이 좋아요. 그리고 그 파악된 내용을 기본으로 어떤 방법으로 직선의 방정식을 구할까 결정하세요.
일차함수 식을 구하는 방법은 네 가지가 있어요.
- 기울기와 y절편을 알 때
- 기울기와 한 점의 좌표를 알 때
- 두 점의 좌표를 알 때
- x절편, y절편을 알 때
일반적으로 그래프만 봤을 때는 기울기를 알아내기가 어려워요. 대신 점의 좌표는 알아내기 쉽죠. 그래서 제일 많이 사용하는 방법이 3번이에요. 물론 공부를 열심히 한 학생이라면 그래프에서 두 점의 좌표만 보고도 기울기를 바로 구할 수 있을 거예요.
다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
먼저 눈에 확 띄는 건 (-3, -4), (3, 2)라는 두 점의 좌표에요. 조금 더 자세히 보면 (0, -1), (1, 0)을 지나는 것도 알 수 있어요.
기울기를 구해보죠.
기울기 =
기울기가 1이니까 함수는 y = x + b라고 쓸 수 있겠네요. 여기에 (3, 2)를 대입해보죠.
2 = 3 + b
b = -1
결국 구하려는 직선의 방정식은 y = x - 1이군요.
다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
그래프에서는 x절편이 –2, y절편이 2라는 걸 알 수 있어요.
두 점 (-2, 0), (0, 2)을 지나니까 이걸 이용해서 직선의 방정식을 구해보죠.
기울기 =
기울기가 1이고 y절편이 2이니까 직선의 방정식은 y = x + 2이에요.
축에 평행한 직선의 방정식
축에 평행한 직선의 방정식에서 배웠던 내용이에요.
축에 평행한 방정식에서는 기울기를 구할 필요가 없어요. 특히 y축에 평행한 직선의 방정식은 기울기라는 게 없으니까 구하려고 해도 구할 수도 없어요.
x축에 평행한 직선은 모든 y값이 하나로 일정해요. 그래서 y = n 꼴로 그냥 쓰면 돼요. 반대로 y축에 평행한 직선의 x값은 모두 일정해서 x = m이라고 쓰면 돼요.
다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
그래프는 x축에 평행한 직선이고 모든 y값이 3이에요. 따라서 직선의 방정식은 y = 3입니다.
다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.
그래프는 y축에 평행한 직선이고 모든 x값이 2이에요. 따라서 직선의 방정식은 x = 2입니다.
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축에 평행한 직선의 방정식
직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식이라는 용어에 대해서 알아봤어요. 미지수가 2개인 일차방정식 ax + by + c = 0의 순서쌍 (x, y)를 좌표평면에 표시했더니 직선이 된다. 이때 ax + by + c = 0을 직선의 방정식이라고 하고, 일차함수의 그래프와 모양이 같다는 거지요.
이번 글에서는 직선의 방정식 중에서 특이한 모양의 직선을 알아볼 거예요.
바로 x축에 평행한 직선,
x축, y축
먼저 x축을 직선의 방정식으로 표현할 수 있어요. 좌표평면에서 x축은 가로로 되어 있는데, y좌표가 모두 0이에요. x = 1일 때도 y = 0, x = 2일 때도 y = 0이죠. x가 어떤 수가 되더라도 y = 0이에요.
따라서 x축을 직선의 방정식으로 표현하면 y = 0이라는 식으로 나타낼 수 있어요.
y축은 y = 1일 때도 y = 2일 때도 무조건 x = 0이죠. 그래서 y축의 직선의 방정식은 x = 0이에요.
x축에 평행한 직선의 방정식
ax + by + c = 0에서 a = 0, b = 1, c = -1이면 식은 어떻게 되나요?
0 × x + 1 × y - 1 = 0
y = 1
y = 1이라는 직선의 방정식이 되고, … (-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1) … 라는 점을 지나요. 이 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 되고, 선으로 연결하면 x축에 평행한 직선이죠. 이 그래프는 y축과 (0, 1)에서 만나고, x축과는 만나지 않아요.
그러니까 y = n (n은 상수) 꼴의 식은 (0, n)을 지나고 x축에 평행한 직선이라고 정리할 수 있겠네요.
기울기라는 건 (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)인데 y가 일정해서 y 증가량은 0이므로 기울기는 0인 함수입니다.
y축에 평행한 직선의 방정식
ax + by + c = 0에서 a = 1, b = 0, c = -1이면 식은 어떻게 되나요?
1 × x + 0 × y - 1 = 0
x = 1
x = 1이라는 직선이 되고, … (1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2) … 라는 점을 지나요. x는 무조건 1이고, y값만 바뀌네요. 이 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 되고, 선으로 연결하면 y축에 평행한 직선이에요. y축과는 만나지 않고, x축과는 (1, 0)에서 만나네요.
x = m (m은 상수) 의 직선은 (m, 0)을 지나고 y축에 평행한 직선이에요.
기본적으로 함수는 x 하나에 y가 하나만 대응해야해요. 그런데, x = m 꼴 직선의 방정식은 x = 1일 때 y가 무수히 많죠? 그래서 함수라고 할 수 없어요. 기울기 = (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)인데, x = m으로 항상 일정해서 x의 증가량이 0, 즉 분모가 0이에요. 따라서 기울기라는 것이 없다는 것도 알아두세요.
주의하세요. x축에 평행한 직선은 y = n 꼴이고, y축에 평행한 직선은 x = m 꼴이에요.
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