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기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분>에서 점, 선, 면에 대해서 공부했어요. 이제 점, 선, 면 사이의 위치 관계를 공부할 거예요. 점과 선 사이의 위치 관계, 선과 면 사이의 위치 관계 같은 거요.

대신, 점은 그대로 점, 선은 직선, 면은 평면을 다뤄요.

가로 점과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 점과 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이고, 가로 직선과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 두 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이에요.

점과 점 사이의 위치 관계는 X로 되어있는데, 이건 다루지 않는다는 뜻이에요.

가로 직선과 세로 점이 만나는 칸에 (-) 표시 되어 있는 건 가로 점과 세로 직선이 만나는 칸에 (O) 표시 된 것과 중복되는 거라서 그렇게 표시했고요.

어디에서의 위치를 다룰 것이냐도 중요한데요. 평면과 공간에서 각 항목들의 위치 관계를 따져요. 그러니까 점과 직선의 위치 관계를 따지는데 이걸 평면에서의 위치 관계, 공간에서의 위치 관계 이렇게 2번 다루죠.

다만 평면에서 평면의 위치 관계를 다룰 수 없으므로 평면과 다른 항목의 위치 관계는 공간에서만 다뤄요. 다시 정리해보죠.

그러니까 총 7가지 위치 관계를 다뤄요.

좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.

공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.

점과 직선 사이의 거리 공식

점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x₂, y₂)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)

직선 PH는 두 점 P(x₁, y₁)와 H(x₂, y₂)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,

이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -x -

직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

- ×  = -1
a(y₂ - y₁) = b(x₂ - x₁)

 = k라고 놓으면
x₂ - x₁ = ak, y₂ - y₁ = bk ……… ①
x₂ = x₁ + ak, y₂ = y₁ + bk

H(x₂, y₂)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax₂ + by₂ + c = 0
a(x₁ + ak) + b(y₁ + bk) + c = 0      (∵ ①)
ax₁ + a²k + by₁ + b²k + c = 0
(a² + b²)k + ax₁ + by₁ + c = 0
(a² + b²)k = -ax₁ - by₁ - c
k = - ……… ②

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d

점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.

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소수에 대해서 공부하고 있어요.

이번 글에서는 소수 중에서 순환소수에 대해서 공부할 거예요. 순환소수의 특징과 순환소수를 표시하는 방법까지요. 순환소수는 순환마디라는 걸 이용한 특별한 표시 방법이 있거든요.

또 순환소수는 유한소수와 무한소수 중 어디에 속하는지도 알아볼 거예요. 정의만 알면 금방 알 수 있는 부분이긴 하죠.

나눗셈을 많이 해야 하기 때문에 조금은 귀찮은 내용일 수도 있지만 잘 참고 해봐요.

순환소수와 순환마디

순환이라는 단어는 주기적으로 반복되는 걸 말해요. 그러니까 순환소수는 어떤 게 주기적으로 반복되는 소수를 말하죠. 소수점 아래의 일정한 숫자의 배열이 반복되는 소수를 순환소수라고 해요.

예를 들어 0.3333…은 3이 계속 반복되죠? 0.121212…는 12가 계속 반복돼요. 이런 걸 순환소수라고 합니다. 참고로 0.123124125126…은 12O가 반복되는 특징이 있지만 이건 순환소수가 아니에요. 똑같은 게 계속 반복되어야 해요.

순환소수에서 소수점 아래의 반복되는 부분을 순환마디라고 해요. 0.3333…에서는 3, 0.121212…에서는 12가 순환마디가 되는 거죠.

0.1212121…에서 소수 둘째 자리부터 21이 계속 반복된다고 볼 수도 있어요. 순환마디가 21이 아니냐고 할 수도 있겠죠? 하지만 무조건 처음 반복되는 것부터 순환마디를 정해야 해요.

순환소수를 쓸 때는 …을 찍어서 쓸 수도 있지만 좀 더 정확한 표현법이 있어요. 순환마디의 첫 번째와 마지막 숫자의 바로 위에 점을 찍어서 표시해요. 순환마디가 한 자리일 때는 점을 한 번만 찍고요.

0.123123…에서는 순환마디가 123이죠? 첫 번째 1과 마지막 3의 위에 점을 찍어서 나타냈어요.

다음 분수를 순환소수로 나타내어라.

분수를 순환소수로 나타내려면 실제로 나누기를 해봐야 해요. 그래서 반복되는 부분을 찾아야 하죠. 반복되는 부분이 순환마디이고, 순환마디의 첫 번째와 마지막 숫자 위에 점을 찍어서 나타냅니다.

(1) 로 소수점 아래에서 5가 계속 반복돼요. 5가 순환마디죠. 따라서 순환소수로 나타내면 가 되겠네요.

(2) 에서는 6이 반복되는 순환마디에요. 순환소수로 나타내면 이 됩니다.

(3)에서는 소수점 아래의 15가 계속 반복되는 순환마디에요. 순환소수로 나타내면 이에요.

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점과 선, 각 등에서 쭉 공부해오고 있는데요.

이제는 점과 선의 위치 관계에 대해서 공부할 거예요. 서로 어떤 위치에 있는가인데 어렵게 생각하지 마세요. 서로 만나느냐 만나지 않느냐 평행하냐를 따지는 거예요.

예를 들어, 두 직선이 만나는지, 두 직선이 평행한지, 두 직선이 일치하는지를 구분하는 거죠.

지금 여기서 공부할 내용은 평면에서 점과 직선의 위치관계, 평면에서 두 직선의 위치관계예요.

점과 직선의 위치관계

한 평면 위에 점과 직선이 있을 때 서로 어떤 위치에 있는지 알아보죠.

먼저 점이 직선 위에 있을 때가 있어요. 점이 직선 위에 있다는 말은 직선이 점을 지나간다는 얘기지요. 문제에서 직선 위의 점 어쩌고저쩌고 나오면, 직선이 점을 지나가는 구나 하고 생각하면 돼요.

점이 직선 위에 있지 않을 때도 있겠지요? 이때를 다르게 표현하면, 직선이 점을 지나지 않는다고 표현할 수 있겠죠? 다른 말로 직선 밖의 점이라고 하는데 자주 쓰이는 말은 아니에요.

아래 그림에서 왼쪽은 점이 직선 위에 있는 것으로 직선 위의 점이라고 하고, 오른쪽은 점이 선 위에 있지 않은 것으로 직선 위에 있지 않은 점이라고 말해요.

여기서 말하는 위는 위, 아래 방향이 아니라는 걸 이해해야 해요.

점이 직선 위에 있느냐 없느냐는 직선이 점을 지나느냐 지나지 않느냐로 표현할 수도 있는 거예요.

두 직선의 위치관계

평면에서 두 직선의 위치관계에 대해서 알아볼까요?

평면이라고는 하지만 우리가 익히 아는 그냥 종이 위에 그린 그림이라고 생각하면 쉬워요. 평면이라고 다를 게 없어요.

평면에서 두 직선은 세 가지의 위치관계가 있어요. 첫 번째는 두 직선이 한 점에서 만나는 경우이고, 두 번째는 평행한 경우, 세 번째는 일치하는 경우예요.

직선이 두 점 이상에서 만나면 두 직선이 일치한다고 할 수 있어요. 두 점을 지나는 직선은 하나 밖에 없거든요. 거꾸로 말해 두 직선이 일치하면 두 개 이상의 점에서 만난다고 할 수 있는 거죠.

두 직선이 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 한꺼번에 두 직선이 만나는 경우라고 할 때도 간혹 있어요.

그리고 여기에서 생각하는 평면은 아주아주 넓은 평면이에요. 아래 그림처럼 그려진 평면이 작아서 두 직선이 만나지 않을 때 '직선이 만나지도 않고, 평행도 아니고, 일치하는 것도 아닌데요.' 하는 학생은 없기 바랍니다. 평면을 더 크게 그리면 두 직선은 만나게 되어 있어요. 직선이 끝이 없이 계속되는 것처럼 평면도 끝이 없어요.

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새로운 단원인 도형 단원이에요.

도형은 그림이 많이 나오니까 그림을 보고 무슨 도형인지 어떤 특징이 있는지 빨리 파악해야 해요.

언제나 마찬가지지만 단원의 첫 부분에는 단원에서 사용할 용어들을 배우지요. 이 글에서는 도형을 이루는 가장 기본적인 것인 점과 선, 면, 직선, 반직선, 선분의 정의에 대해서 정리해 볼게요.

사실 처음 듣는 단어들은 없어요. 그렇다고 뜻을 모르는 것도 아니고요. 다만 좀 더 구체적인 수학적 의미로서 꼭 알고 있어야할 내용이에요.

점, 선, 면

점은 딱히 뭐라고 설명하기가 좀 그렇네요. 그냥 연필로 딱 한 번 찍은 것을 점이라고 하잖아요. 우리가 알고 있는 그 점입니다.

선은 무수히 많은 점이 모여서 이루어진 걸 말해요. 그냥 죽 그은 것처럼 보이지만 아주 많은 점을 아주 가깝게 많이 찍으면 그게 선이 되는 거예요.

조금 더 멋있게(?) 표현하면 점들이 연속적으로 움직인 자리가 바로 선이에요.

면은 무수히 많은 선이 모여서 이루어진 걸 말해요. 보통 우리는 면을 그리면 모서리만 그리죠? 직사각형을 그리면 선을 네 개만 그어서 바깥쪽에는 선이지만 안쪽은 비어있다고 생각하기 쉬운데, 사실 채우지 않았다 뿐이지 선으로 둘러싸인 모든 곳에 선이 그어져 있다고 생각해야 해요.

그래서 면은 선들이 연속적으로 움직인 자리라고 정의해요.

교점과 교선

교점과 교선에서 교는 섞이다는 뜻인데 여기서는 서로 만난다는 뜻으로 해석해요.

교점은 말 그대로 만나는 점이라는 뜻인데, 뭐가 만나느냐? 선과 선이 만나는 점 또는 면과 선이 만나서 생기는 점을 교점이라고 해요.

이때 선과 면은 꼭 반듯한 직선이 아니어도 상관없어요. 곡선이나 휘어진 면이 만나서 생기는 곳도 교점이라고 해요.

교선은 면과 면이 만나서 생기는 선이에요. 면과 면이 만날 때는 만나는 점이 하나만 생기는 것이 아니라 여러 개가 생기는 데, 그 여러 개가 모여서 바로 선이 되는 거죠.

직선, 반직선, 선분

직선은 서로 다른 두 점에 의해서 결정돼요. 그러니까 점이 하나만 있다면 그 점을 지나는 선은 무수히 많이 그릴 수 있어요. 하지만 서로 다른 두 점이 있으면 그 두 점을 모두 지나는 직선은 딱 하나만 생겨요.

그래서 직선을 정의할 때는 서로 다른 두 점을 이용해서 정의합니다.

직선은 서로 다른 두 점 A, B를 지나 한없이 곧게 뻗은 선이에요. 두 점을 지나야 하고 끝이 없이 계속되어야 해요. A, B를 지나지만 어는 한 곳에서 끝나면 직선이라고 하지 않아요. 또 하나 중요한 건 곧게 뻗은 선이어야 한다는 거예요. 중간에 휘어지면 안 돼요.

직선은 지나는 두 점을 이용해서 표시하는데, A, B를 지나기 때문에 알파벳 A와 B를 이용해서 직선 AB라고 하기도 하고 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A와 B를 지나서도 계속되니까 화살표를 양쪽으로 표시하는 거예요. 혹 두 점 A, B가 정의되지 않았거나 간단히 쓰고 싶을 때는 소문자 l(엘)을 써서 직선 l이라고 쓰기도 해요.

반직선은 직선 AB 위의 한 점 A에서 출발해서 점 B쪽으로 곧게 뻗은 선을 말해요. 반직선에서 중요한 것은 출발점이 있다는 거예요. 직선은 점 A을 지나서 계속되어야 하지만 반직선은 점 A를 지나는 것이 아니라 바로 그 위에서 시작한다는 거지요. 넘어가면 안 된다는 얘기에요.

반직선도 마찬가지로 알파벳 A와 B를 이용해서 표시해요. 반직선 AB라고 하기도 하고, 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A에서 출발해서 B쪽 방향으로 계속되니까 B쪽 방향으로 화살표가 하나만 있어요.

선분은 직선 AB 위의 점 A에서 B까지의 부분을 말해요. 점에서 점까지 에요. 점을 넘어가는 건 아닙니다.

선분은 선분 AB라고 하기도 하고, 기호로는 로 표시해요. 선이 A에서 B로 끝나니까 화살표가 없는 그냥 선만 그어요.

반직선 AB()와 반직선 BA()는 달라요. 출발점이 다르잖아요. 반직선 AB는 출발점이 A이고, 반직선 BA는 출발점이 B에요. 두 반직선이 서로 같으면 출발점이 같아야 한다는 것도 잊지 마세요.

그 외 직선 AB와 직선 BA는 같고, 선분 AB와 선분 BA도 같아요.

아래 그림을 보고, 직선, 반직선, 선분으로 구분하시오.

위 그램에서는 선 양쪽으로 화살표가 하나도 없지요. 화살표가 어느 방향으로 나 있느냐를 보고 반직선의 방향을 찾기도 하거든요. 하지만 화살표가 표시되는 경우보다 표시되지 않는 경우가 훨씬 많아요. 이때는 선이 점을 지나서 더 이어지는지 아닌 지를 보고 판단해야 해요.

첫 번째 그림은 M, N이라는 두 점이 있는데, 선이 두 점을 모두 지나서도 연결이 되어 있네요. 그래서 이건 직선이고 두 점 M, N을 지나니까 직선 MN()입니다.

오른쪽 위의 그림에서는 점 M에서는 점 위에서 선이 끝나고, 점 N에서는 선이 계속 이어져 있죠? 그래서 점 M에서 출발해서 점 N으로 가는 반직선 MN()이네요.

왼쪽 아래 그림은 반대로 점 M에서는 계속 이어져 있고, 점 N에서는 끝나니까 점 N에서 출발해서 점 M으로 가는 반직선 NM()이고요.

마지막 오른쪽 아래 그림은 선이 모두 두 점에서 끝나니까 선분 MN()이에요.

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