수학방

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 다 기억하고 있죠? 지수가 자연수일 때 성립하는 법칙이었죠.

이 글에서는 중학교 때 공부했던 지수법칙을 조금 더 확장해보죠. 지수가 0이나 음의 정수일 때는 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

지수가 양의 정수(자연수)에서 정수 전체로 넓혀지지만, 지수법칙의 방법이 달라지거나 새로운 법칙이 나오는 게 아니니까 생각보다 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

공식으로 외우는 건 어려울 수 있어도 실제 계산을 해보면 훨씬 더 쉽다는 걸 느낄 거예요.

지수의 확장 - 정수 지수

중학교 때 공부했던 지수법칙부터 정리해보죠. 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

m, n이 자연수일 때

a^m × aⁿ = a^{m + n}

(a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m

(ab)^m = a^mb^m

지수 m, n이 자연수일 때였어요. 이제는 m, n이 자연수가 아니라 0이거나 음의 정수일 때는 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요.

지수법칙 첫 번째 a^m × aⁿ = a^{m + n}에서 a ≠ 0이고 m = 0이라고 해보죠.

a⁰ × aⁿ = a^{0 + n} = aⁿ

양변을 aⁿ로 나눠볼까요?

a⁰ × aⁿ = aⁿ
a⁰ = 1                  (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0일 때, a⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요.

이번에는 m = -n일 때를 보죠.

a^m × aⁿ = a^-n × aⁿ = a^{-n + n} = a⁰ = 1

이번에도 양변을 aⁿ로 나눠요.

a^-n × aⁿ = 1
a^-n =          (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0이고, n이 양의 정수일 때
a⁰ = 1, a^-n =

0은 0이고 -n은 음의 정수죠? 그러니까 이제부터는 지수가 양의 정수(자연수)뿐 아니라 0, 음의 정수일 때도 지수법칙을 활용할 수 있어요.

0이 아닌 수의 0제곱은 1이에요. 계산할 때 지수가 음의 정수면 숫자는 역수로 바꾸고 지수는 양의 정수로 바꿔서 하면 쉬워요. a^-n =

(-1)⁰ = 1, 2⁰ = 1,

지금까지는 a^m ÷ aⁿ에서 나눗셈 기호 앞, 뒤에 있는 수에서 어느 쪽이 지수가 더 크냐 작으냐를 따져서 계산했잖아요. 앞으로는 그럴 필요가 없어요.

a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}로 바로 계산해서 지수에 맞게 값을 고쳐주면 되는 거예요.

지수가 자연수일 때, 0일 때, 음수일 때를 한 번에 합쳐서 지수가 정수일 때로 정리해보죠.

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

참고로 a = 0이고 지수 m이 자연수인 경우인 0², 0³등은 정의할 수 있어요. 0 × 0 = 0, 0 × 0 × 0 = 0이죠. 하지만 지수 m이 0이거나 음수인 경우인 0⁰, 0^-1, 0^-2 등은 정의하지 않아요. 네이버캐스트 - 0의 0제곱은?

다음을 간단히 하여라.
(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
(2) (a²b^-3)⁴

(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
= a⁶ × a⁴ ÷ a^-5
= a^{6 + 4 - (-5)}
= a¹⁵

(2) (a²b^-3)⁴
= (a²)⁴(b^-3)⁴
= a⁸b^-12
=

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정수의 사칙연산 세 번째, 정수의 곱셈이에요.

정수의 곱셈과 정수의 덧셈 둘 다 부호가 같은 두 정수와 부호가 다른 두 정수를 계산할 때의 방법이 달라서 둘을 헷갈릴 수 있어요.

정수의 덧셈과 곱셈은 두 가지 경우로 나누는 것 같지만 각 경우에서 결과의 부호 붙이는 방법이 다르니까 잘 보세요. 부호가 같은 두 정수를 더하면 공통부호에 절댓값의 합을, 부호가 다른 두 정수를 더하면 절댓값이 큰 정수의 부호에 절댓값의 차를 넣었다는 걸 기억하고 있죠?

정수의 곱셈에서도 정수의 덧셈에서 성립했던 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지도 알아볼 거예요.

정수의 곱셈

정수의 덧셈, 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙에서 계산하려는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 했죠? 정수의 곱셈에서도 부호가 같을 때와 다를 때 두 가지 경우로 나눠서 설명할게요.

부호가 같은 두 정수의 곱셈

부호가 같은 두 정수를 곱하면 곱한 결과는 (+)에요. 양의 정수죠.

7 × 4 = 28의 양변을 양의 정수로 써보면
(+7) × (+4) = (+28)이 돼요. 양의 정수 두 개를 곱하면 결과도 양의 정수가 나오는 거죠. 부호는 (+), 숫자는 절댓값의 곱이에요.

(-7) × (-4)는 얼마일까요? 두 양의 정수를 곱할 때와 마찬가지로 두 음의 정수를 곱하면 양의 정수가 돼요. 절댓값의 곱이죠. 그래서 (-7) × (-4) = (+28)이에요.

부호가 다른 두 정수의 곱

부호가 다른 두 정수를 곱하면 무조건 결과는 음의 정수예요. 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호를 붙여요.

(-7) × (+4)는 두 정수의 부호가 다르니까 (-)고, 절댓값의 곱이 28이라서, (-7) × (+4) = (-28)이에요.

(+7) × (-4)도 두 정수의 절댓값의 곱 28에 두 정수의 부호가 다르니까 (-)를 붙여서 (+7) × (-4) = (-28)이 돼요.

정수의 곱은 두 정수의 부호가 같으냐 다르냐에 따라 결과의 부호가 달라지긴 하지만 어찌 됐던지 간에 절댓값은 곱해요.

부호가 같은 두 정수를 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (+) 부호
(+) × (+) = (+), (-) × (-) = (+)
 
부호가 다른 두 정수의 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호
(+) × (-) = (-), (-) × (+) = (-)

다음을 계산하여라.
(1) (+4) × (-2)       (2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

곱하는 두 정수의 부호가 같으면 결과는 (+), 두 정수의 부호가 다르면 (-)에요. 숫자는 무조건 절댓값의 곱이고요.

(1)은 두 정수의 부호가 다르니까 (-)겠네요. (+4) × (-2) = (-8)

(2)는 식이 조금 긴데요, 앞에서부터 차례대로 두 개씩 곱해보죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4) = (+6) × (-2) × (+4) = (-12) × (+4) = (-48)

거듭제곱, 여러 정수의 곱

거듭제곱

거듭제곱은 같은 수나 문자가 여러 번 곱해져 있는 걸 말해요. (+1)의 거듭제곱을 볼까요?

(+1)¹ = (+1)
(+1)² = (+1) × (+1) = (+1)
(+1)³ = (+1)² × (+1) = (+1)
(+1)⁴ = (+1)³ × (+1) = (+1)
(+1)⁵ = (+1)⁴ × (+1) = (+1)

(+1)의 거듭제곱에는 모두 양의 정수만 있어요. 음의 정수가 하나도 없지요. 그랬더니 결과가 (+)가 됐네요. 다음에는 (-1)의 거듭제곱을 보죠.

(-1)¹ = (-1)
(-1)² = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)³ = (-1)² × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)
(-1)⁴ = (-1)³ × (-1) = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)⁵ = (-1)⁴ × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)

어떤 특징이 있죠? 지수가 1, 3, 5면 결과가 (-1)이 나오고, 지수가 2, 4면 결과가 (+1)이 나와요. 이걸 좀 확장해서 지수가 홀수면 (-), 지수가 짝수면 (+)가 나온다고 말할 수 있죠.

여러 정수의 곱

(-1) × (-2) × (-3)을 구해보죠.
= (+2) × (-3)
= (-6)

(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 는
= (+2) × (-3) × (-4)
= (-6) × (-4)
= (+24)

두 계산에서 어떤 특징이 있냐면 음의 정수를 홀수개 곱하면 결과가 (-)가 되고, 짝수개 곱하면 결과가 (+)가 된다는 거예요.

(+1)의 거듭제곱은 양의 정수가 나왔죠? 음의 정수 없이 양의 정수만 곱하면 결과가 (+)가 돼요.

음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 홀수면 홀수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (-), 음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 짝수면 짝수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (+)가 돼요. 위 세 가지를 하나로 합쳐보죠.

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 홀수 → 결과는 (-)
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 0 또는 짝수 → 결과는 (+)

다음을 계산하여라.
(1) (-2)³ × (-3)²
(2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서 음의 정수의 개수가 홀수개면 결과는 (-), 0개 또는 짝수개면 (+)에요.

(1)에서 음수 (-2)의 지수가 홀수인 3이므로 결과는 (-)겠네요. 그리고 음수 (-3)의 지수는 짝수인 2니까 결과는 (+)고요.
(-2)³ × (-3)²
= (-8) × (+9) = (-72)

(2)에는 음의 정수가 1개에요. 홀수개니까 결과는 (-)에요. 그리고 나머지 숫자들의 절댓값을 다 곱해주면 되죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4)
= -(3 × 2 × 2 × 4) = (-48)

곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

정수의 덧셈에서는 교환법칙, 결합법칙이 성립하지만, 정수의 뺄셈에서는 성립하지 않는다고 했어요. 그럼 정수의 곱셈에서는 두 법칙이 성립할까요?

교환법칙은 연산기호 좌우에 있는 정수의 자리를 바꿔서 계산해도 결과가 같다는 걸 보이면 돼요. 또 결합법칙은 괄호의 위치를 바꿔가며 계산한 결과가 같다는 것을 보이면 되고요.

(-7) × (-4) = (+28)이에요.
(-4) × (-7) = (+28)로 × 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 결과가 같죠? 따라서 곱셈에서도 교환법칙이 성립해요.

{(-7) × (-4)} × (+2) = (+28) × (+2) = (+56)이고,
(-7) × {(-4) × (+2)} = (-7) × (-8) = (+56)으로 괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 두 식의 값이 같죠. 결합법칙도 성립해요.

정수의 곱셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립
a × b = b × a
(a × b) × c = a × (b × c)

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정수라는 새로운 수를 배웠어요.

이 글에서는 이 정수의 크기비교를 할 거예요. 서로 다른 두 정수가 있을 때, 누가 더 크고 작은지 말이죠.

정수의 대소관계에서는 절댓값과 수직선을 이용해요. 그러니까 절댓값이 뭔지 수직선이 어떻게 생겼는지 알고 있어야겠죠?

정수의 크기 비교 중 음의 정수 크기 비교가 조금 더 어려우니까 여기에 주의해서 보세요.

정수의 대소관계

세 자연수 1, 2, 3중에 어느 게 제일 큰가요? 당연히 3이 제일 크고, 그다음이 2고, 1이 제일 작죠? 자연수는 양의 정수니까 1, 2, 3을 수직선에 표시해보면 0을 기준으로 해서 바로 옆에 1, 그 옆에 2, 3이 있어요.

수직선에서 오른쪽에 있을수록 더 크죠? 정수의 대소관계를 비교할 때 핵심이에요. 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크다.

수직선에는 왼쪽부터 음의 정수, 0, 양의 정수(자연수)의 순서대로 되어있어요. 따라서 양의 정수가 제일 크고, 그다음 0이고, 음의 정수는 가장 작아요.

-10과 +10중에서 +10은 양의 정수, -10은 음의 정수니까 +10이 -10보다 더 큰 거예요.

양의 정수와 음의 정수에서는 숫자는 상관없어요. 무조건 양의 정수가 음의 정수보다 커요.

그러면 양의 정수끼리의 크기는 어떨까요? 자연수의 크기비교는 숫자가 큰 게 더 커요. 다 알고 있는 거죠.

음의 정수의 크기 비교

중요한 건 음의 정수끼리 크기비교에요. 이게 상당히 어렵습니다. 잘 보세요.

-2와 -1은 어떤 게 클까요? 잘 모르겠으면 수직선을 생각해보세요. -2와 -1중 어떤 게 더 오른쪽에 있죠? -1이 더 오른쪽에 있어요. 따라서 -1이 -2보다 더 커요. -2와 -3도 생각해보죠. 수직선에서 -2가 -3보다 더 오른쪽에 있으니까 -2가 더 커요.

양의 정수에서는 (+)부호를 빼고 남은 숫자가 크면 더 큰 수였는데, 음의 정수에서는 (-)부호를 빼고 남은 숫자가 작은 수가 더 커요. 부호를 빼고 남은 숫자가 바로 절댓값이잖아요. 그래서 음의 정수에서는 절댓값이 작은 수가 더 크다고 해요.

-1, -2, -3중에서 절댓값이 가장 작은 -1이 제일 크고, 그다음 -2죠. -3이 절댓값이 3으로 제일 큰데 숫자는 제일 작아요.

한 번 더 해보죠. -10과 -100중 어느 게 더 클까요? 둘 다 음의 정수죠. 음의 정수에서는 절댓값이 작은 수가 더 커요. 따라서 절댓값이 더 작은 -10이 -100보다 더 큽니다.

정수의 대소비교
음의 정수, 0, 양의 정수 순
양의 정수는 절댓값이 클수록 크다.
음의 정수는 절댓값이 작을수록 크다.

다음 정수들을 크기가 작은 것부터 순서대로 나열하여라.
-5, +6, 3, 0, -4, -2, +2

일단 양의 정수가 제일 크고, 0, 음의 정수 순서에요. 양의 정수는 +6, 3, +2가 있고, 음의 정수는 -5, -4, -2가 있네요.

양의 정수는 절댓값이 크면 크니까 +6, 3, +2의 순서가 되겠네요. 0은 그다음이고요. 음의 정수에서는 절댓값이 작을수록 크니까 -2가 제일 크고, -4, -5의 순서가 되겠군요.

문제에서는 작은 것부터 순서대로 나열하라고 했으니까 -5, -4, -2, 0, +2, 3, +6으로 써야겠네요.

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이번 글은 아주 아주 중요해요.

이제까지 자연수, 분수, 소수를 공부했는데, 정수라는 새로운 종류의 수를 공부할 거예요. 초등학교 때 자연수를 모르면 덧셈, 뺄셈, 구구단 같은 게 아무런 소용이 없잖아요. 마찬가지로 이 새로운 수 체계에 대해서 이해하지 못하면 앞으로 수학을 할 수가 없어요.

정수는 우리가 알고 있는 자연수를 살짝 모양만 바꾼 거니까 그렇다고 너무 어렵게 생각할 필요가 없어요.

정수와 양의 정수, 음의 정수, 0에 대해서 공부해보죠.

부호가 있는 수, 양수와 음수

어떤 통에 물을 5L 더 부었어요. 물의 양을 계산할 때 부어준 물의 양만큼 더해주겠죠. + 5를 해줄 거예요. 반대로 통에서 물 3L를 뺄 때는 - 3을 해줄 거예요.

이때의 +, -는 계산식에 사용하는 연산기호인데, 이 연산 기호를 숫자와 결합해서 사용하는 경우가 있어요. +5L는 통에 물 5L 넣으란 뜻이고요, -3L는 통에서 3L를 빼라는 뜻이에요.

+, - 기호를 아무 때나 사용하는 건 아니고, 반대의 성질을 가진 수에 붙여서 사용해요.

기온을 말할 때 영상, 영하를 사용하죠. 영상은 +, 영하가 -인 거죠.
산의 높이와 바다의 깊이를 잴 때 해발과 해저를 사용하는데, 해발은 +, 해저는 –고요.
양이 늘어날 때는 +, 양이 감소할 때는 –예요.
수입이 생기면 +, 지출이 생기면 -예요.

이 외에도 여러 경우가 있겠죠.

+가 양의 부호라서 + 부호가 붙은 수를 양수, -가 음의 부호라서 - 부호가 붙은 수를 음수라고 해요.

정수, 양의 정수, 0, 음의 정수

부호가 있는 수를 알아봤는데요.

자연수에 부호가 있다면 어떻게 될까요? 1, 2, 3, … 에 양의 부호 +가 있다면 +1, +2, +3, … 이 될 거고요, 음의 부호인 -가 있다면 -1, -2, -3, … 이 될 거예요.

우리는 이런 수들을 정수라고 불러요. 그중에서도 양의 부호 +가 붙어 있는 수를 양의 정수, 음의 부호 -가 붙어있는 수를 음의 정수라고 부르죠.

정수가 이 양의 정수와 음의 정수 두 가지만 있는 건 아니에요. 바로 0이 있어요. 0은 +0이나 -0이나 차이가 없어요. 부호가 아무런 의미가 없으니까 0은 그냥 0이에요. 양의 정수도 아니고 음의 정수도 아닌 그냥 0이지요.

양의 정수는 + 부호를 생략할 수 있어요. 그러니까 +1, +2, +3, … 이 아니라 그냥 1, 2, 3, … 이라고 써도 된다는 거죠. 1, 2, 3, … 은 우리가 알고 있는 자연수와 같죠? 자연수가 바로 양의 정수예요.

음의 정수는 부호를 생략하면 안 돼요. 음의 정수도 부호를 생략해버리면 양의 정수와 구별할 수 없으니까요.

0은 원래부터 부호가 없는 수니까 상관없고요. 0에 부호가 없다고 해서 양수라고 생각해서는 안 돼요.

다음 수를 양의 정수, 음의 정수로 구분하여라.
+7, -3, -5, 0, +1, 2, -11

양의 정수와 음의 정수는 숫자 앞에 부호를 보면 금방 구별할 수 있어요. + 부호가 있으면 양의 정수, - 부호가 있으면 음의 정수예요. 또 양의 정수는 + 부호를 생략할 수 있다는 것도 알아둬야 해요.

숫자 앞에 + 부호가 있는 것과 없는 걸 찾아보죠. 양의 정수: +7, +1, 2
숫자 앞에 - 부호가 있는 음의 정수: -3, -5, -11
0은 양의 정수도 아니고 음의 정수도 아닌 그냥 0이에요.

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