두 점 사이의 거리
두 점 사이의 거리, 좌표평면위의 두 점 사이의 거리
두 점 사이의 거리인데요 이건 중학교 때 이미 다 해봤어요. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리요. 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용해서 두 점 사이의 거리를 구했었죠? 한 번 공부했던 거니까 간단하게 복습한다고 생각하세요.
여기서는 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 외우는 것도 중요하지만 이 공식을 이용해서 좌표평면 위의 점의 좌표를 구하는 방법도 알고 있어야 해요. 좌표를 구하는 팁을 잘 기억하세요.
두 점 사이의 거리
수직선에서 두 점 사이의 거리
수직선 위의 두 점 사이의 거리는 좌표의 차예요. 그런데 거리는 항상 0 또는 양수여야 하죠? 그래서 두 점 사이의 거리 차에 절댓값을 씌워야 해요.
수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2) 사이의 거리:
좌표평면에서 두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용합니다.
위 그림에서 두 점 A, B 사이의 거리인 선분 AB의 길이는 △ABC의 빗변의 길이이므로 피타고라스의 정리를 적용해서 구할 수 있어요.
좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2) 사이의 거리:
좌표를 설정하는 방법
두 점 사이의 거리에 관한 문제를 풀 때 두 점의 좌표를 주고 거리를 구하라는 문제는 나오지 않아요. 너무 쉽잖아요. 대신 두 점 사이의 거리를 미리 알려주고 그 좌표에 해당하는 점을 구하는 문제가 나오죠.
앞에서 사용한 공식을 적용하려면 점의 좌표가 필요하잖아요. 그런데 모르는 좌표니까 우리가 문자를 사용해서 임시 좌표를 만든 다음에 공식에 넣으면 돼요. 이때 아무렇게나 임시 좌표를 정하는 게 아니라 아래의 내용을 이용하면 조금 더 쉽게 점의 좌표를 구할 수 있어요.
- x축 위의 점: (a, 0)
- y축 위의 점: (0, b)
- 좌표평면 위의 임의의 점: (a, b)
구하려고 하는 점의 좌표가 x축 위의 좌표라면 y = 0이니까 (a, 0)로 놓으면 좋아요. y축 위의 좌표도 마찬가지고요. 축 위의 점이 아니라면 그냥 (a, b)로 놓으면 되고요. 어려운 내용은 아니죠?
좌표평면 위에 있는 두 점 A(1, 2), B(2, 3)로부터 같은 거리에 있는 x축 위의 점 P와 y축 위의 점 Q의 좌표를 구하여라.
점 P는 x축 위의 점이니까 좌표를 P(a, 0)이라고 놓으면 되겠네요. 점 Q는 y축 위의 점이니까 Q(0, b)로 놓고요.
두 점의 좌표를 구했네요. P(4, 0), Q(0, 4)
좌표평면 위의 두 점 A(-1, 2), B(-2, 3)로부터 같은 거리에 있는 2x + 3y = 2위의 점 P의 좌표를 구하여라.
구하려는 점 P는 축 위의 점이 아니니까 그냥 P(a, b)라고 해보죠. 공식에 대입해볼까요?
여기서는 a, b의 값을 구할 수 없어요. 문제를 다시 읽어보죠. 점 P가 2x + 3y = 2위의 점이라고 했네요. P(a, b)는 이 직선 위의 점이니까 x = a, y = b를 대입하면 식이 성립해야 해요. 여기서 2a + 3b = 2라는 식을 얻을 수 있어요. 앞에서 구한 식과 이 식을 연립해서 a, b를 구해보죠.
a - b = -4
2a + 3b = 2
두 식을 연립해서 풀면 a = -2, b = 2가 나옵니다. 따라서 점 P의 좌표는 P(-2, 2)예요.
직선 위의 점이라고 나오면 일단 (a, b)라고 놓고 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 식을 하나 구해요. 그다음 x = a, y = b를 직선의 방정식에 대입해서 식을 하나 더 구한 다음 두 식을 연립해서 a, b를 구하는 겁니다.
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좌표평면에서 두 점 사이의 거리
이번에는 피타고라스의 정리를 도형이 아니라 좌표평면에서 활용해볼 거에요.
어려운 함수 나오는 거 아니니까 너무 걱정하지 마세요. 되게 쉬운 내용이에요.
거듭 얘기하지만, 피타고라스의 정리를 이용한다는 건 기본적으로 직각삼각형을 찾아내는 거에요. 좌표평면에는 격자 무늬가 있으니까 직각삼각형을 만드는 건 어렵지 않을 거에요.
이 글에서는 좌표평면에 있는 두 점 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.
좌표평면에서 두 점 사이의 거리
먼저 수직선에서는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구하나요? 점 P(1)와 점 Q(4)의 거리는 4 - 1 = 3이에요.
아래 그림처럼 원점(0, 0)과 P(3, 4)라는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구할까요?
두 점과 x축을 이용해서 직각삼각형을 그려봤어요. 직각삼각형을 그려보니까 O와 P사이의 거리는 삼각형의 빗변의 길이가 되죠?
직각삼각형의 가로 길이는 3, 세로 길이는 4에요. 빗변의 길이 즉, 
이번에는 두 점 (2, 1), (5, 5) 사이의 거리를 구해보죠.
두 점과 좌표의 격자를 이용해서 직각삼각형을 그렸어요. 이번에도 두 점 사이의 거리는 삼각형 빗변의 길이와 같아요.
직각삼각형의 가로 길이와 세로 길이는 수직선에서 구했던 것처럼 두 좌표의 차로 구할 수 있어요. 가로 길이는 5 - 2 = 3, 세로 길이는 5 - 1 = 4네요. 그래서 두 점 사이의 거리 = 빗변의 길이 = 5가 되는군요.
좌표평면에서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형을 그려서 풀어요.
직각삼각형을 그리는 방법은 쉬워요. 두 점 중에 위에 있는 점을 지나고 y축에 평행한 선을 그어요. 그 다음은 아래에 있는 점을 지나고 x축에 평행한 선을 그어서 교점과 세 점을 연결하면 직각삼각형이 되죠. 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하면 돼죠?
어차피 제곱하고 제곱근을 씌우는 거라서 순서는 상관없어요. 
앞으로는 직각삼각형을 그리지 말고, 위 공식으로 바로 계산하세요. 사실 이건 공식이라고 할 것도 없네요. 두 점의 (x좌표의 차)2 + (y좌표 차)2에 루트 씌우면 되거든요. 외우지 말고 어떻게 구하는 지 이해하면 돼요.
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두 점 사이의 거리, 중점
이 글에서는 수학에서 사용하는 거리라는 개념의 정확한 뜻에 대해서 알아볼 거예요. 그 거리 개념을 이용해서 점과 점 사이의 거리도 알아볼 거고요. 두 점의 한가운데 있는 점에 대해서도 알아볼 거예요.
집에서 학교까지의 거리를 말할 때 우리는 보통 우리가 다니는 길을 그대로 갔을 때의 거리를 얘기하죠? 실제 이동한 거리요. 때로는 시간으로 표현하기도 하고요.
그런데 어떤 날은 큰길로 학교에 가고 다른 날은 지름길로 갈 때 이동 거리는 달라질 수 있어요. 이동 거리라는 건 때에 따라 달라질 수도 있다는 거예요.
하지만 수학의 도형에서의 거리는 두 지점 사이의 가장 가까운 거리를 말해요. 사람이 다닐 수 있느냐 없느냐는 절대 고려하지 않지요.
아래 지도에서 빨간색 선은 실제 이동 경로에 따른 거리이고 파란색 선은 거리라고 할 수 있어요.
두 점 사이의 거리
두 점 A, B 사이의 거리는 두 점을 연결하는 무수히 많은 선 중에서 길이가 가장 짧은 선의 길이를 말하는데, 길이가 가장 짧은 선은 선분 AB에요. 따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 선분 AB의 길이를 뜻해요.
두 점 A, B 사이의 거리 = 선분 AB의 길이
두 점 A, B 사이의 거리 그러니까 선분 AB의 길이를 기호로 
집과 학교 사이의 거리도 마찬가지로 가장 짧은 직선거리를 나타내니까 파란색으로 표시된 선의 길이인 거지요.
중점
중점(中點)은 말 그대로 가운데 있는 점을 말해요. 무엇의 가운데? 두 점의 가운데 있다는 뜻이죠. 보통 알파벳으로 M(Middle point, Median point)이라고 써요
두 점 A, B가 있는데, 중점 M은 두 점의 한가운데에 있으니까 A에서 중점까지의 거리(선분 AM의 길이)와 B에서 중점까지의 거리(선분 BM의 길이)가 같겠죠? 따라서 중점을 정의할 때 가운데 있는 점이라고 하지 않고, 선분 AM과 선분 BM의 길이가 같을 때 점 M을 중점이라고 해요.
M은 중점이니까 선분 AM의 길이는 전체 길이인 선분 AB의 길이의 절반이겠죠? 다른 말로 하면 중점 M은 선분 AB 길이를 이등분한다고 할 수 있는 거죠.
두 점 A, B와 중점 M
거리와 중점은 오직 선분에서만 구할 수 있어요. 직선이나 반직선은 시작점 혹은 끝점이 끝도 없이 계속되니까 거리나 중점을 구할 수 없어요. 직선 위의 두 점 A, B, 반직선 위의 두 점 C, D 사이의 거리나 중점을 구할 수는 있어요. 하지만 이때 두 점이라는 특정한 위치가 정해졌으니까 직선이 아니라 선분 AB, 선분 CD가 되어서 구할 수 있는 거예요.
점 M은 선분 AB의 중점이고 점 N은 선분 BM의 중점이다. 선분 AB의 길이가 20cm일 때 선분 MN의 길이를 구하여라.
M이 선분 AB의 중점이니까 선분 AM의 길이는 전체 길이의 절반이겠죠? 20 ÷ 2 = 10 (cm)예요. 
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