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제목에 나와 있듯이 원에서 비례식을 이용하는 거에요. 원의 현, 할선 등의 길이를 비례식을 이용해서 구하는 거지요.

설명은 되게 복잡한데요, 실제 결론을 보면 어렵지는 않아요. 이런 과정을 거쳐서 결론을 얻었구나 하고 바로 이해할 수 있죠. 하지만 이해한 결론을 실제 주어진 문제에 적용하기가 약간 까다로워요. 그림에 선이 여러 개인데다 길이도 여러 개 나오거든요.

원과 비례에서는 결론을 공식이 아닌 그림으로 외워야해요. 그림을 짚어가면서 "여기 여기 곱한 값과 여기 여기 곱한 값이 같다." 처럼요. 그래야 문제에서 주어진 선과 길이를 우리가 외우고 있는 그림에 맞게 변형할 수 있어요.

원과 비례

원과 비례에서 사용하는 비례식의 기본이 되는 건 닮음비에요. 매번 닮음비를 이용하는 게 아니라 공식을 유도하는 과정에서 닮음비를 이용합니다.

두 현과 교점

원에 현을 두 개 그었을 때, 교점이 생기죠. 그 교점에서 현에 이르는 거리를 곱한 값들이 서로 같다는 걸 알 수 있어요.

언제나처럼 그림으로 외우세요. 먼저 현을 하나 고르고, 그 현에서 교점 P에서 출발해서 현의 양쪽으로 거리의 곱을 구하고, 다른 현에서도 점 P에서 양쪽으로 거리의 곱을 구하면 두 값이 서로 같아요.

왜 그런지 증명해 보죠.

와 를 그으면 삼각형 두 개가 생겨요.

△PAC와 △PDB에서
∠PAC = ∠PDB (호 CB의 원주각)
∠PCA = ∠PBD (호 AD의 원주각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림에서 가 원의 중심 O를 지날 때 x를 구하여라.

가 지름이므로 반지름은 5cm죠.

에서
4 × x = (5 - 2) × 7
4x = 21
x = (cm)

원에서 현의 교점 사이에는 대각선 방향의 길이를 그냥 곱한 것이 같고, 피타고라스 정리의 활용 - 사각형에서는 대각선에 이르는 거리의 제곱의 합이 서로 같아요. 헷갈리면 안 돼요.

 +  =  +

두 할선과 교점

이번에는 원의 할선의 교점과 거리의 관계에요.

역시 마찬가지로 할선 하나를 선택하여 교점 P에서 출발해서 현의 양 끝점까지의 거리를 곱한 값과 다른 할선에서 점 P에서 양 끝점까지의 거리를 곱한 값이 같아요.

와 를 그어 두 개의 삼각형을 만들어요. 이때 □ACDB는 원에 내접하는 사각형이에요.

△PDB와 △PAC에서
∠PDB = ∠PAC (□ACDB에서 외각과 내대각)
∠PBD = ∠PCA (□ACDB에서 외각과 내대각)

두 각의 크기가 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △PAC ∽ △PDB

닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 같으므로

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

에서
(3 + 9) × 3 = x × 4
4x = 36
x = 9(cm)

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삼각형의 중점 연결 정리입니다.

중점이 뭔지는 알죠? 정리가 뭔지도 알고요. (수학에서의 정의, 정리, 증명)

삼각형의 중점 연결 정리는 이름 그대로 삼각형에서 각 변의 중점을 연결했더니 어떤 특징이 있는데, 그 특징을 다른 여러 곳에 쓸 수 있는 거지요.

다른 내용과 달리 두세 개의 삼각형에 선을 여러 개 그어서 문제가 좀 복잡하게 나오기 때문에 기본을 잘 알고 있어야 하는 내용입니다.

삼각형의 중점 연결 정리

삼각형의 중점 연결 정리를 말로 표현하면 삼각형의 두 변의 길이의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이라는 거예요.

그림으로 표현하면 훨씬 더 이해하기 쉬울 거예요.

왼쪽 그림을 보세요.

점 M은 의 중점, 점 N은 의 중점이에요.

△ABC와 △AMN에서 의 비가 성립하고, ∠A는 공통이에요. 따라서 두 삼각형은 SAS 닮음이에요. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응각의 크기가 같죠? (닮은 도형의 성질) ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM으로 동위각의 크기가 같으므로 평행선의 성질에 의해 예요. 또 다른 한 대응변에서도 2 : 1의 비가 성립하죠.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

삼각형의 양쪽 변의 중점을 연결한 선분은 다른 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이죠. 따라는 x는 16cm입니다.

삼각형의 중점 연결 정리의 역

이번에는 위 정리의 역이에요. 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 역은 명제의 가정과 결론의 자리를 바꾸는 거라고 했어요.

명제: 삼각형에서 두 변의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고 길이는 그 절반이다.
역 : 삼각형에서 한 변과 평행하고 길이가 절반인 직선은 다른 두 변의 중점을 연결한 선이다

명제와 역이 위처럼 되어야 맞지요? 그런데, 이 삼각형의 중점 연결 정리의 역은 좀 달라요. 내용은 같지만 표현을 다르게 해요. 삼각형에서 한 변의 중점을 지나고 다른 한 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

두 역 사이에 어떤 차이가 있나요? 한 변의 중점을 지난다는 얘기가 추가되었고, 길이가 절반이라는 내용이 빠졌어요. 잘 이해하셔야 해요.

왼쪽 그림을 보세요.

△ABC와 △AMN에서 이므로 ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM이에요. 두 대응각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응변의 길이의 비가 같아요. 이므로 이죠. 따라서 이 됩니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2의 내용을 이용해도 이 증명되죠.

다음 그림을 보고 x, y를 구하여라.

△ABC에서 이에요. 한 변의 중점을 지나고 다른 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지나므로 입니다. y = 10cm네요.

∠ABC = ∠DNC = 90° →
→ N이 의 중점

한 변의 중점을 지나는 선이 다른 변과 평행이므로 삼각형 중점 연결정리의 역에 의해 점 D도 의 중점이에요. 그런데 그림에서 이죠.

따라서 중점 연결정리에 의해 이죠. 따라서 x = 10cm입니다.

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평행선 사이의 선분의 길이의 비는 새로운 내용이 아니고, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2를 합친 거예요.

삼각형을 먼저 그려놓고 평행선을 그렸었잖아요. 이번에는 평행선을 먼저 그려놓고 삼각형을 나중에 그리는 것만 달라요.

따라서 두 글의 내용을 제대로 이해하고 있지 않다면 아래 내용을 전혀 알 수 없어요. 이 글을 읽기 전에 두 글을 먼저 읽고 오세요.

두 글의 내용을 다 이해하고 있다면 그리 어렵지 않으니까 추가적인 증명은 최대한 줄이도록 할게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비

선분 l, m, n이 서로 평행해요. 평형한 세 선분을 지나는 두 직선이 있을 때, 두 직선과 평행한 세 선분이 만나면 위 그림처럼 총 네 개의 길이가 생겨요. 네 변의 길이에는 위와 같은 비례식이 성립합니다.

물론 그림으로 외워야겠죠?

특히 오른쪽 그림에서 비례식을 세우기가 어려워하는 경우가 많은데, 한 가지만 기억하면 비례식을 쉽게 세울 수 있어요. 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요. ①, ②가 한 직선 위에 있으니까 이 둘이 한 변에 오도록 ① : ②를 좌변으로, ③, ④가 한 직선 위에 있으니까 ③ : ④를 우변으로 만들면 돼요.

증명은 어렵지 않아요.

여러 가지 할 필요없이 그냥 각 그림에서 오른쪽에 있는 직선을 왼쪽으로 옮겨서 두 직선이 평행선 위의 한 점에서 만나게 하면 돼요.

왼쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에서, 오른쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠? 따로 설명하지는 않을게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비 두 번째

이번에는 평행선을 잘 연결해서 삼각형을 만들었을 때에요.

뭔가 그림이 참 복잡한데 세로로 그어진 세 직선이 평행이에요. 그리고 그 중간에 여러 선을 그어서 삼각형을 만든 거죠. 색깔에 유의해서 보세요

여기서도 마찬가지로 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요.

그림에서 필요한 부분만 떼서 보죠.

△ABE와 △CDE를 보세요. 두 삼각형은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1의 그림을 옆으로 눕혀놓은 거예요. 두 삼각형은 닮은 도형이므로 길이의 비가 같아요. 각 선의 색으로 구별할 수 있어요.

또 필요한 부분만 떼왔어요. 이 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에 나오는 그림이죠? 굳이 증명하지 않아도 이해할 수 있죠?

위 두 비례식에 가 공통으로 들어있으니까 이걸 이용하면 아래 비례식을 만들 수 있어요.

다음 그림에서 변 EF의 길이를 구하여라.

위 내용정리에서 변EF에 관한 내용은 없어요. 하지만 EF를 뺀 나머지 변의 길이의 비는 모두 구할 수 있죠? 6 : 12 = 1 : 2요.

이 1 : 2라는 비와 △ABC와 △EFC가 닮음이라는 것을 이용하면 EF의 길이를 구할 수 있어요.

에요. 따라서 가 되는 거죠. 3 : 2는 두 삼각형 △ABC와 △EFC의 닮음비에요. 이 닮음비는 모든 대응변에서 같아요.

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직각삼각형에서의 닮음에서는 직각삼각형에 수선을 내려서 각 직각삼각형의 관계를 알아봤어요. 이제는 삼각형에 평행선을 그어서 생기는 두 삼각형의 관계에 대해서 알아볼 거예요.

여기서도 마찬가지로 공식이 나올 건데, 그림으로 외우세요. 증명하고, 선분 이름 쓰고 하는 것 보면 정말 어려워 보이지만 그림으로 보면 별거 아니에요.

문제도 그다지 어렵게 나오는 부분은 아니니 크게 걱정할 필요도 없고요.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비는 두 부분으로 나눠서 올립니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

△ABC에서 에 평행한 선을 그어요. 그러면 아래 세 경우처럼 삼각형 안과 밖, 그리고 점 A의 위쪽에 그을 수 있죠.

에 평행한 선과 (또는 의 연장선)이 만나는 점을 점 D, 평행선과 (또는 의 연장선)이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

△ABC와 △ADE가 생기는데, 이 두 삼각형 사이의 관계를 알아볼 거예요. 세 경우 모두에서 똑같으니까 한꺼번에 설명할게요.

첫 번째, 두 번째 그림에서  // 이므로 ∠ADE = ∠ABC(동위각), ∠AED = ∠ACB(동위각 - 평행선에서 동위각과 엇각), ∠A는 공통이에요. AA 닮음이죠.

세 번째 그림에서는  // 이므로 ∠ADE = ∠ABC(엇각), ∠AED = ∠ACB(엇각), ∠A는 맞꼭지각이라서 마찬가지로 AA 닮음이에요.

△ABC ∽ △ADE (AA 닮음)

닮음인 도형에서 각 길이의 비는 모두 같으므로 인 관계가 성립합니다.

여기서 가운데 항인 밑변 부분을 빼면 아래 그림처럼 나타낼 수 있어요. 식으로 외우기보다는 그림으로 외우세요. 알파벳으로 외우는 건 안돼요. 파란색 부분끼리, 보라색 부분끼리 변의 길이의 비가 같아요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 밑변에 평행한 선을 그어서 생기는 삼각형과 원래 삼각형은 닮음이에요.

△ABC ∽ △ADE (AA 닮음)

6cm : 9cm = 8cm : xcm
6x = 72
x = 12 (cm)

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닮은 도형 이번에는 직각삼각형이에요. 직각삼각형의 닮음에서는 그동안 해왔던 합동과의 비교가 아니라서 조금 어려울 수 있어요.

비슷하게 생긴 그림도 많이 나오고, 공식도 나오니까 주의하여 잘 보세요.

이 글에서는 3개의 공식이 나오는데, 이건 그림으로 외우세요. 알파벳으로 된 공식 그 자체를 외우는 건 바보스러운 짓이라는 걸 미리 말해둘게요. 그러니까 알파벳은 공식을 유도하는 과정에서만 이해하시면 돼요.

직각삼각형에서의 닮음

직각삼각형 ABC의 직각이 있는 점 A에서 에 수선을 내리고, 수선의 발을 H라고 해보죠.

원래 있던 직각삼각형 ABC 외에 두 개의 직각삼각형이 더 생겼어요. △HBA와 △HAC요. 큰 직각삼각형, 중간 직각삼각형, 작은 직각삼각형 세 삼각형을 이용해서 각 변의 길이 사이에는 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

먼저 △ABC와 △HBA를 볼까요? 큰 직각삼각형과 중간 직각삼각형이죠. 한 쌍의 대응각은 직각(∠A = ∠H = 90°)이고, ∠B는 공통각이예요. 두 쌍의 대응각의 크기가 같으니까 나머지 한 쌍의 대응각의 크기도 같겠죠? ∠C = ∠BAH. 두 대응각의 크기가 같으니까 AA 닮음이지요. △ABC ∽ △HBA

닮은 도형에서 대응변의 길이의 비는 같으므로 라는 식을 세울 수 있어요. 첫 번째 항과 두 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

식을 정리했더니 길이에 대한 공식이 하나 나왔네요. 두 삼각형으로 나누어져 있던 그림 말고 원래대로 처음의 삼각형 그림으로 돌아와서 보세요.

위 공식에 있는 변들이 그림에서 어떤 위치에 있는지 확인하세요. 직각이 아닌 꼭짓점에서 시작하는 세 변의 길이에 대한 공식이에요. 직각이 아닌 꼭짓점(점 B)에서 직각(점 A)으로 가는 변의 길이는 제곱해주고, 점 B에서 다른 꼭짓점(점 H, 점 C)으로 가는 두 변의 길이는 서로 곱해주는 거죠.

이 공식을 알파벳을 이용하거나 위 설명처럼 외울 수는 없어요. 대신 그림으로 외워야 해요. 그림에서 변을 짚어가면서 "이 변의 제곱은 이 변 곱하기 이 변" 이런 식으로요.

이번에는 △ABC와 △HAC에요. 처음의 큰 직각삼각형과 작은 직각삼각형이요. 한 쌍의 대응각은 직각(∠A = ∠H = 90°)이고요, ∠C라는 공통각을 가져요. 두 쌍의 대응각의 크기가 같으니까 나머지 한 쌍의 대응각의 크기도 같겠죠? ∠B = ∠CAH. 두 대응각의 크기가 같으니까 AA 닮음이에요. △ABC ∽ △HAC

여기서도 마찬가지로 대응변의 길이의 비를 이용해서 비례식을 만들어 보죠. 라는 식을 세울 수 있어요. 두 번째 항과 세 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

식을 정리했더니 공식이 또 하나 나왔네요. 다시 처음의 삼각형 그림으로 돌아오세요.

이 공식도 마찬가지로 그림으로 외우세요. 직각이 아닌 꼭짓점(점 C)에서 직각(점 A)으로 가는 변의 길이는 제곱해주고, 점 C에서 다른 꼭짓점(점 H, 점 B)으로 가는 두 변의 길이는 서로 곱해주는 거죠.

마지막으로 중간 직각삼각형과 작은 직각삼각형이에요. △HBA와 △HAC요. ∠H는 직각으로 같아요. 삼각형 내각의 합은 180°고 ∠H = 90°이므로 나머지 두 각의 합이 90°에요. ∠B + ∠BAH = 90°, ∠C + ∠CAH = 90°

큰 삼각형에서 ∠A = ∠BAH + ∠CAH = 90°죠.

∠B + ∠BAH = ∠BAH + ∠CAH = 90°이므로 ∠B = ∠CAH
∠C + ∠CAH = ∠BAH + ∠CAH = 90°이므로 ∠C = ∠BAH

∠H는 직각으로 같고, ∠C = ∠BAH, ∠B = ∠CAH로 세 쌍의 대응각이 같아요. AA 닮음이죠. △HBA ∽ △HAC

대응변의 길이의 비를 이용하면 라는 식을 세울 수 있어요. 첫 번째 항과 세 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

처음의 삼각형 그림으로 돌아오세요.

역시 그림으로 외우세요. 직각삼각형에서 내린 수선의 길이의 제곱은 반으로 나뉜 변의 길이를 각각 곱한 것과 같죠?

이제 삼각형을 따로 떼어놓지 않아도 직각삼각형을 보면 이 공식이 바로 나올 수 있도록 해야겠죠? 그리고 직각이 어느 위치에 있든지 수선을 내려서 그 길이의 관계를 알 수 있어야 해요. 위 그림에서는 직각이 위쪽에 있지만, 문제에서는 직각이 오른쪽 아래에 있을 수도 있고, 왼쪽 아래에 있을 수도 있거든요.

다음 그림에서 x, y를 구하여라.

x를 구하려면 x² = y(y + 3)라는 식을 세워야 하는데 미지수가 2개라서 이 식만 가지고는 x를 구할 수 없네요. y를 먼저 구해보죠.

y를 이용해서 4² = y × 3이라는 식을 세울 수도 있고요. 5² = 3(3 + y)이라는 식을 세울 수도 있어요. y = (cm)

y를 첫 번째 식에 대입해서 x를 구하면 x = (cm)

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닮은 도형은 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소해서 얻은 도형을 말해요. 두 닮은 도형의 위치에 따라서 또 다른 특징이 있는데, 이 글에서는 닮은 도형의 위치에 따른 성질을 알아볼 거예요.

이 성질을 잘 안다면 두 도형의 위치만 보고도 닮은 도형인지 아닌지 파악할 수 있어요. 또 그림이 그려져 있지 않아도 설명만 듣고도 닮은 도형인지 아닌지 알 수 있죠. 새로운 방법으로 닮음비도 구할 수 있고, 대응변의 길이도 구할 수 있고, 여러 가지 장점이 있어요.

닮음의 위치와 닮음의 중심

두 도형이 있어요. 이 도형에서 대응점을 연결하는 직선을 그으면 한 점에서 만나게 되는데, 이때 두 도형을 닮음의 위치에 있다고 얘기합니다. 그 연결선들이 만나는 한 점을 바로 닮음의 중심이라고 하고요.

△ABC와 △DEF에서 대응점을 연결하는 직선이 한 점 O에서 만나요. 따라서 두 삼각형은 닮음의 위치에 있다고 하고, 점 O를 닮음의 중심이라고 하지요.

닮은 도형이라고 해서 모두 닮음의 위치에 있는 건 아니에요.

두 도형은 닮은 도형이지만 대응점을 연결했을 때 연결선이 한 점에서 만나지 않죠.

닮음의 중심의 위치

닮음의 중심은 상황에 따라 여러 위치에 있을 수 있어요. 여러 경우가 있겠지만 크게 보면 세 가지 경우로 나누죠. 처음 그림에서는 닮음의 중심이 두 도형의 왼쪽에 있지요? 왼쪽이든 오른쪽이든 상관없이 두 도형의 외부에 있다고 얘기합니다.

왼쪽 그림에서는 닮음의 중심은 두 도형의 사이에 있지요? 이 경우에도 마찬가지로 외부에 있다고 얘기합니다.

가운데 그림에서 닮음의 중심은 도형의 내부에 있어요.

오른쪽 그림에서는 도형의 꼭짓점에 있죠. 도형의 한 변에 있는 경우를 포함해서 이때를 도형의 위에 있다고 얘기해요.

닮음의 위치에 있는 두 도형의 성질

대응점을 연결한 직선이 한 점에서 만나면 닮음의 위치에 있다고 했으니 거꾸로 닮음의 위치에 있으면 대응점을 연결한 직선이 한 점에서 만난다고 할 수 있죠.

닮음의 중심에서 대응점에 이르는 거리비는 닮음비와 같아요. 라면 도 성립한다는 거예요.

또 대응변은 서로 평행이에요. △OAB와 △ODE는 세 변의 길이의 비가 같은 닮은 도형이죠. 닮은 도형에서 대응각은 크기가 같아요. ∠OAB = ∠ODE이므로 평행선의 성질에 따라 동위각의 크기가 같으므로 가 됩니다. 다른 대응변들도 마찬가지고요.

닮음의 위치에 있는 도형의 성질
1. 대응점끼리 연결한 직선은 한 점에서 만난다. → 닮음의 중심
2. 닮음의 중심에서 대응점까지의 거리의 비는 일정 = 닮음비
3. 대응변은 서로 평행

닮은 위치에 있는 도형의 성질을 이용하면 두 도형이 닮은 도형의 위치에 있는지 아닌지 알 수 있겠죠?

아래 그림에서 □ABCD와 □EFGH는 서로 닮은 관계에 있고, 일 때, 의 길이를 구하여라.

이므로 이예요. 이 비는 닮음비와 같죠. 닮음비는 변의 길이의 비와 같으므로 의 비례식을 풀어보면,  = 6cm라는 걸 알 수 있어요.

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요즘에 많이 사용하는 말 중에 싱크로율 100%라는 얘기 있죠? 어떤 하나가 다른 하나랑 비슷할 때 쓰는 말이에요. 닮은 사람 보여주는 어플도 있고요.

닮았다는 건 생김새나 모양이 비슷하다는 거예요. 하지만 수학에서의 닮음은 조금 달라요.

미니미라는 말 알죠? 똑같이 생겼는데, 크기만 작은 걸 말하잖아요. 수학에서의 닮음은 미니미와 비슷한 용어라고 생각하면 돼요.

닮은 도형은 도형의 합동과 비슷한 게 많으니까 둘을 비교하면서 설명할게요.

닮은 도형

도형의 합동이 뭔 줄 알죠? 두 도형의 모양이나 크기를 바꾸지 않고 돌리거나 뒤집어서 완전히 포개지면 두 도형이 합동이라고 해요.

두 도형이 서로 합동이거나 한 도형을 일정한 비율로 확대, 축소해서 얻은 도형이 서로 합동일 때, 이 두 도형을 서로 닮은 도형 또는 닮음인 관계에 있다고 해요. 말이 좀 어려운데요. 쉽게 말해서 두 도형의 모양은 그대로 두고 크기만 바꿨을 때 완전히 포개지는 걸 말해요.

A, B 두 도형이 있다고 치죠. A를 두 배 확대한 도형을 A2라고 했을 때, A2와 B가 합동이면 A와 B를 서로 닮은 도형이라고 하는 거지요.

합동은 모양과 크기가 같아야 하고, 닮음은 모양만 같다는 차이가 있어요. 합동은 한 도형을 1배 확대/축소했을 때 다른 도형과 닮음 관계에 있는 걸 말하는 거지요.

합동은 기호로 ≡ 이었어요. 닮음 기호는 ∽로 나타내요. 닮음이라는 영어단어 Similarity의 첫 글자 S를 옆으로 눕혀놓은 모양이죠. 이게 컴퓨터 화면에서 보면 물결표시(~)처럼 보이는 데, 물결표시가 아니라 S를 눕혀놓은 모양이에요. 닮은 기호(∽)는 왼쪽 위가 움푹 들어간 모양인데, 물결 표시(~)는 오른쪽 위가 움푹 들어간 모양이에요.

도형의 합동에서 두 도형을 포갰을 때 서로 포개지는 변을 대응변, 포개지는 각을 대응각, 포개지는 꼭짓점을 대응점이라고 했는데, 닮은 도형에도 똑같이 대응변, 대응각, 대응점이라고 해요.

두 도형이 합동이라고 할 때 △ABC ≡ △DEF라고 써요. 이때 삼각형의 대응점 순서가 같게 써야 하죠. 닮은 도형에서도 이 원칙은 지켜야 해요. △ABC ∽ △DEF라고 써야 맞게 쓴 거예요. △ABC ∽ △FED는 틀린 표현이에요.

참고로 하나 더 알아둘 건 평면도형 중에서 정삼각형, 정사각형 등의 정다각형, 원, 직각이등변삼각형은 항상 닮은 도형이에요.

다음 그림에서 □ABCD ∽ □EFGH일 때 다음 물음에 답하여라.

(1) 점 A의 대응점
(2) ∠B의 대응각
(3) 의 대응변

사실 이 문제는 그림을 보지 않아도 상관없어요. 문제에서 □ABCD ∽ □EFGH라고 말해줬잖아요. 닮음 기호를 쓸 때는 대응점의 순서대로 쓴다는 사실만 알면 되거든요.

(1) □ABCD이라는 표현에서 A는 첫 번째에 있어요. 따라서 점 A의 대응점은 □EFGH의 첫 글자인 점 E가 되는 거지요.

(2) ∠B의 대응각을 찾을 때도 같은 방법으로, 두 번째 알파벳인 ∠F가 되는 거고요.

(3) 는 □ABCD에서 세 번째, 네 번째 알파벳이에요. 따라서 대응변도 세 번째, 네 번째인 가 되는 거지요.

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