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지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명에서 했던 글에 내용을 조금 더 추가했어요. 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱셈, 일의 자리 숫자가 같은 두 자리 자연수의 곱셈이었는데, 여기에는 한 가지씩 조건을 더 추가됐을 때, 베다수학을 이용해서 곱셈을 더 빨리할 수 있거든요.

증명하는 과정은 조금 귀찮을 수 있지만, 결론만 보면 정말 간단하니까 심심할 때 읽어보세요.

베다수학으로 곱셈 빨리하기

십의 자리 숫자가 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

77 × 73을 그림으로 설명해볼까요?

원리는 기본적으로 앞서 지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명했던 것과 같아요. 사각형 하나를 옮겨서 큰 사각형 1개, 작은 사각형 1개의 넓이를 이용하는 거지요. 그런데 여기서 일의 자리 숫자 3과 7을 더하면 10이잖아요. 그래서 10의 자릿수를 하나 올려주는 거예요. 70 + 7 + 3 = 70 + 10 = 80

사각형의 가로 길이가 간단해지는 효과를 얻었어요.

이번에는 그림이 아닌 수식을 이용해서 증명해보죠.

십의 자리가 같고 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수를 A = 10x + y, B = 10x + z(x ≠ 0인 자연수, y, z는 자연수, y + z = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + y)(10x + z)
= 10²x² + 10xy + 10zx + yz
=10²x² + 10x(y + z) + yz
= 10²x² + 10²x + yz                   (∵y + z = 10)
= 10²x(x + 1) + yz

이게 식으로 증명하려니 조금 복잡해 보이는데, 제일 아래 줄만 보죠.

두 수 중 한 수의 십의 자리에 1을 더해서 다른 수의 십의 자리와 곱하고 거기에 두 수의 일의 자리 숫자를 연결 또는 합체(?)하면 된다는 거예요.

52 × 58을 계산해 볼까요? 두 수의 십의 자리 숫자가 5로 같고, 일의 자리 숫자를 더하면 10이죠? 2 + 8 = 10

십의 자리 숫자 5에 1을 더한 6에 십의 자리 숫자 5를 곱하면 6 × 5 = 30이에요. 여기에 일의 자리를 곱한 2 × 8 = 16을 연결하면 52 × 58 = 3016을 얻을 수 있어요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 십의 자리 숫자 5에 1을 더해줍니다. 5 + 1 = 6
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 6 × 5 = 30
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 2 × 8 = 16
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 30 & 16 = 3016

일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같고 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

두 자연수를 A = 10x + z, B = 10y + z(x, y ≠ 0인 자연수, z는 자연수, x + y = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + z)(10y + z)
= 10²xy + 10zx + 10yz + z²
= 10²xy + 10z(x + y) + z²
= 10²(xy + z) + z²       (∵ x + y = 10)

중간은 복잡하니까 마지막 줄만 볼까요.

두 수의 십의 자리를 곱하고 거기에 일의 자릿수를 더해요. 그리고 일의 자릿수를 제곱해서 연결 또는 합체(?)하는 거죠.

37 × 77을 풀어보죠.

두 수의 십의 자리를 곱하면 3 × 7 = 21인데 여기에 일의 자리 7을 더하면 28이에요. (3 × 7 + 7) = 28. 여기에 일의 자릿수의 제곱 7 × 7 = 49를 연결하면 2849가 나와요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 3 × 7 = 21
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 21 + 7 = 28
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 7 = 49
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 28 & 49 = 2849

다음 계산을 하여라.
(1) 81 × 89
(2) 19 × 99

(1)번은 십의 자리 숫자 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 십의 자리 숫자 8에 1을 더해줍니다. 8 + 1 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 9 × 8 = 72
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 1 × 9 = 09
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 72 & 09 = 7209

(2)번은 일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 1 × 9 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 9 + 9 = 18
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 9 × 9 = 81
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 18 & 81 = 1881

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행렬의 곱셈은 행렬의 실수배에 비하면 훨씬 어려워요. 행렬을 곱할 수 있는 조건이 있어 이 조건을 만족하지 않으면 곱셈을 하지 못하는 경우도 있어요.

게다가 계산방식도 매우 까다롭죠. 도형 문제처럼 행렬을 그리고 자리와 위치를 이용해서 계산 방식을 이해하도록 노력하세요. 행렬의 곱셈 계산은 연습을 많이 해봐야 해요. 교과서나 문제집에 있는 문제를 많이 풀어보세요.

또, 행렬도 숫자나 문자처럼 거듭제곱으로 나타낼 수 있는데 어떤 경우에 어떻게 나타내는지 알아보죠.

행렬의 곱셈

두 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, 행렬A의 제i행의 각 성분과 행렬 B의 제j열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i , j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A와 B의 곱이라 하고 기호로 AB와 같이 나타내요.

그림에서 보면 행렬 A는 m × k 행렬이고 행렬 B는 k × n 행렬이에요. (행렬 A의 열의 개수 k) = (행렬 B의 행의 개수 k)이므로 두 행렬을 곱할 수 있어요. 행렬 A와 행렬 B를 곱한 결과인 행렬 AB는 m × n행렬이에요. × 기호의 앞에 있는 행렬의 행의 개수와 × 기호 뒤에 있는 행렬의 열의 개수를 따르죠.

그럼 반대로 B × A를 구할 수 있을까요? ×기호 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 두 행렬을 곱할 수 있어요.

B는 k × n 행렬이고 A는 m × k 행렬로 (B의 열의 개수 n) ≠ (A의 행의 개수 m)이므로 이 경우에 BA라는 행렬을 얻을 수는 없습니다.

 A × B를 구해보죠.

A는 2 × 3 행렬, B는 3 × 2 행렬이므로 AB는 2 × 2 행렬이에요. 각 성분을 구해볼까요?

선으로 연결된 것끼리 곱한 값들을 더해요. 이런 과정을 반복하는 거죠.

행렬 AB의 (1, 1) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

행렬 AB의 (1, 2) 성분은 행렬 A의 제1행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂

행렬 AB의 (2, 1) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁

행렬 AB의 (2, 2) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂

정리해보죠.

좀 복잡해 보이죠? 문자로 되어있어서 그렇지 문제에는 숫자로 나오니까 실제로 해보면 이보다는 조금 더 쉬워요.

행렬의 곱셈
(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

숫자와 문자의 거듭제곱처럼 행렬 A를 여러 번 곱하는 걸 행렬의 거듭제곱이라고 해요. 행렬의 거듭제곱도 지수를 이용해서 표현하지요.

2 × 2 = 2²
a × a = a²
A × A = A²

여기서 한 가지 알아둘 게 있어요.

A² = A × A에서 × 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 × 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 행렬의 곱셈을 할 수 있어요. 여기서는 같은 행렬을 곱하므로 결국 이 행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 정사각행렬이라는 걸 알 수 있어요.

즉, 행렬의 거듭제곱은 정사각행렬에서만 정의할 수 있다는 얘기예요.

행렬의 거듭제곱
정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

일 때, 행렬의 곱셈을 할 수 있는 것과 없는 것을 나누고 행렬의 곱셈을 할 수 있으면 곱한 결과를 구하여라.
(1) A × B
(2) B × A
(3) A²
(4) B²

(1) A는 2 × 2 행렬, B는 2 × 3 행렬로 곱한 결과는 2 × 3 행렬이 되겠네요.

(2) B는 2 × 3 행렬, A는 2 × 2 행렬로 (앞에 있는 행렬의 열의 개수 3) ≠ (뒤에 있는 행렬의 행의 개수 2)로 행렬의 곱셈을 할 수 없어요.

(3) A는 2 × 2의 정사각행렬이므로 거듭제곱을 할 수 있어요.

(4) B는 2 × 3 행렬로 정사각행렬이 아니므로 거듭제곱을 할 수 없어요.

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제곱근의 사칙연산 첫번째에요. 사칙연산에서는 보통 덧셈과 뺄셈을 먼저하는데, 여기서는 곱셈과 나눗셈을 먼저할께요. 왜냐고요? 더 쉬우니까요.

제곱근의 곱셈과 나눗셈은 제곱과 제곱근의 관계를 잘 알고 있다면 이해하기 쉬워요. 계산은 더 쉽고요. 규칙이라고 하기에도 좀 민망하죠.

또, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있어요. 따라서 곱셈만 할 줄 알면 나눗셈은 그냥 덤으로 할 수 있게돼요.

블로그에 쓰려다보니 기호가 너무 많아져서 복잡하네요. 예제는 생략하도록 할께요. 교과서의 예제 문제쯤은 그냥 간단히 풀 수 있을 거예요.

제곱근의 곱셈

제곱근끼리의 곱셈

은 얼마일까요? 숫자만 곱해서 이면 좋겠지요? 실제로 얼마인지 해볼까요?

을 제곱해보죠.

이죠. 제곱근의 뜻에 따르면 제곱과 제곱근은 서로 반대의 의미이므로 은 2 × 3의 양의 제곱근이에요.

그런데 2 × 3 = 6으로 6의 양의 제곱근은 이에요. 결국  = 이 되는 거죠.

제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근 기호를 씌워주면 돼요.

정수와 제곱근의 곱셈

제곱근과 정수의 곱은 더 쉬워요.곱셈기호는 생략할 수 있어요. 그래서 그냥 생략해서 쓰면 돼요.  2 × =

이번에는 풀어서 계산해보죠.

이 되는 걸 알 수 있죠? 즉, 근호 앞의 정수는 제곱해서 근호안에 넣고, 원래 근호 안에 있던 숫자와 곱해주면 되는 거지요. 반대로 근호 안에 제곱인 수가 곱해져 있다면 근호 앞으로 빼낼 수 있어요.

제곱근의 곱셈

이번에는 조금 더 복잡한 거에요.를 해보죠.

근호 앞의 정수는 정수끼리, 제곱근은 제곱근끼리 곱하는 걸 알 수 있죠?

위 세 가지를 정리해보죠.

제곱근의 나눗셈

기본적으로 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 할 수 있으니까 곱셈에서 했던 세 가지 성질이 똑같이 적용됩니다.

를 해보죠. 마찬가지로 제곱을 합니다. 

제곱과 제곱근의 관계에 따라서 의 양의 제곱근으로 가 돼요. 제곱근의 나눗셈은 근호 안의 숫자끼리 나누고 근호를 씌워주면 되는 거죠.

근호 앞의 분수는 제곱을 해서 근호 안에 넣고, 반대로 근호 안의 분수의 제곱을 근호 밖으로 뺄 수도 있죠.

근호 앞에 정수가 있다면 정수끼리 나누고, 제곱근끼리 나눌 수 있어요. 

곱셈공식 두 번째예요. 곱셈공식 - 완전제곱식에서 완전제곱식의 형태인 공식을 두 개 공부했어요.

이 글에서 공부할 곱셈공식은 조금 더 어려워요. 하지만 공식이 만들어지는 원리는 분배법칙으로 모두 같아요. 만들어지는 원리를 잘 이해하고, 그림을 통해서 한 번 더 확인해보면 공식을 외우는 데 도움이 될 거예요.

공식을 외우는 이유는 계산과정을 조금 더 쉽고 빨리하기 위해서예요. 그런데 공식을 외우라고 하면 공식은 잘 외우지만, 실제 계산에서 적용하지 못하는 학생들이 있어요. 단순히 외우지만 말고 실제 문제에서 바로바로 적용할 수 있도록 연습을 많이 하세요.

곱셈공식

곱셈공식 (3) - 합차공식

세 번째 곱셈공식은 합차공식이라는 이름으로 불러요. 왜 합차공식이냐면 두 항을 더한 것과 뺀 것을 곱하거든요.

(a + b)(a - b)는 a와 b를 한 번은 더하고, 한 번은 빼서 곱하는 거죠. 전개해서 정리해볼까요?

(a + b)(a - b)
= a(a - b) + b(a - b)
= a² - ab + ba - b²
= a² - b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼주는 거예요.

그림으로 확인해보죠.

한 변의 길이가 a인 정사각형에서 가로는 b만큼 늘려주고, 세로는 b만큼 줄이면 가로 길이는 (a + b), 세로 길이는 (a - b)예요. 넓이는 (a + b)(a - b)죠. 이게 가운데 그림이에요.

가운데 그림의 오른쪽에 있는 작은 사각형을 밑으로 돌리면 세 번째 그림처럼 돼요. 흰 사각형의 가로 길이는 a - (a - b) = b죠.

색칠한 부분의 넓이 = 전체 사각형의 넓이 - 흰 사각형
(a + b)(a - b) = a² - b²

합차공식은 두 개의 항을 한 번은 더하고, 한 번은 뺀 것을 곱할 때만 씁니다. (a + b)(a - c)는 +, -가 있지만 두 번째 항이 b와 c로 달라서 합차공식을 사용해서는 안 돼요.

(a + b)(a - c) ≠ a² - b²
(b + c)(d - c) ≠ b² - c²

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + b)(3a - b)
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
(3) (5a - 2b)(5a + 2b)

합차공식은 앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼면 돼요.

(1) (3a + b)(3a - b)
= (3a)² - b²
= 9a² - b²

(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
= (2a)² - (3b)²
= 4a² - 9b²

(3)은 두 항의 뺄셈이 앞에 있고, 덧셈이 뒤에 있죠. 곱셈에서는 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
(5a - 2b)(5a + 2b)
= (5a)² - (2b)²
= 25a² - 4b²

곱셈공식 (4) - x의 계수가 1일 때

이번 곱셈공식은 x가 있는 일차식 두 개를 곱하는 공식이에요. 이때 두 일차식의 x의 계수가 1이에요.

(x + a)(x + b)를 전개해서 정리해보죠. 여기서 a, b는 상수항이에요.

(x + a)(x + b)
= x(x + b) + a(x + b)
= x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab

세 번째 줄의 ax와 bx가 x가 있는 동류항이라서 서로 더해줬어요.

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

x는 제곱해주고, 두 상수항을 더한 것에 x붙여주고, 두 상수항을 곱한 것을 더해줘요.

역시 그림으로 확인해보죠.

가로가 (x + a)이고, 세로가 (x + b)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
                    = x² + (a + b)x + ab

다음을 간단히 하여라.
(1) (x + 2)(x + 3)
(2) (x + 3)(x - 5)
(3) (x - 2)(x - 3)

계수가 1인 두 일차식의 곱은 x는 제곱, 두 상수항의 합에 x를 붙여주고, 상수항의 곱을 더해주는 거예요.

(1) (x + 2)(x + 3)
= x² + (2 + 3)x + 2 × 3
= x² + 5x + 6

(2) (x + 3)(x - 5)
= x² + {3 + (- 5)}x + 3 × (-5)
= x² - 2x - 15

(3) (x - 2)(x - 3)
= x² + {(-2) + (-3)}x + (-2) × (-3)
= x² - 5x + 6

곱셈공식 (5) - x의 계수가 1이 아닐 때

이번 게 제일 어려운 곱셈공식이에요. 이번에도 일차식 두 개를 곱하는데 일차항의 계수가 1이 아니에요.

(ax + b)(cx + d)에서 a, c는 일차항의 계수이고, b, d는 상수항이에요.

(ax + b)(cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= acx² + adx + bcx + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

복잡하죠? 동류항이 있어서 더해주는 과정이 있어요.

그림을 보죠.

가로가 (ax + b)이고, 세로가 (cx + d)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(ax + b)(cx + d) = acx² + adx + bcx + bd
                       = acx² + (ad + bc)x + bd

다음을 간단히 하여라.
(1) (2x + 3)(3x + 1)
(2) (3x - 1)(2x + 1)
(3) (2x - 1)(4x + 3)

(1) (2x + 3)(3x + 1)
= 2x × 3x + (2 × 1 + 3 × 3)x + 3 × 1
= 6x² + 11x + 3

(2) (3x - 1)(2x + 1)
= 3x × 2x + {3 × 1 + (-1) × 2}x + (-1) × 1
= 6x² + x - 1

(3) (2x - 1)(4x + 3)
= 2x × 4x + {2 × 3 + (-1) × 4}x + (-1) × 3
= 8x² + 2x - 3

곱셈공식 - 완전제곱식에서 2개, 이 글에서 3개 해서 총 5개의 곱셈공식을 공부했어요. 무조건 외워야 합니다.

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² - b²
4. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
5. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

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단항식끼리의 사칙연산, 다항식끼리의 사칙연산을 공부했어요. 이제는 다항식과 단항식의 계산을 공부할 차례에요. 이 글에서는 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부합니다. 어차피 다항식의 계산은 분배법칙과 동류항 계산이라는 큰 틀 안에 있어요. 이 두 가지만 잘 잘 기억하고 있으면 돼요.

항도 많은데다가 지수 같은 건 글자도 작아서 헷갈리기도 쉬워서 제일 짜증 나는 단원이기도 해요. 하지만 복잡하다고 해서 어려운 건 아니에요. 하나씩 짚어가면서 계산하면 할 수 있어요. 몰라서 틀리는 경우보다 실수로 틀리는 게 많은 단원입니다. 연습을 많이 하셔야 해요.

단항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈

(다항식) × (단항식)

다항식에는 항이 두 개 이상이 들어있어요. 각각의 항에 단항식을 곱해줘야 합니다. 이걸 바로 분배법칙이라고 하죠?

분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리해서 하나의 다항식으로 바꾸는 걸 전개라고 하고, 이 과정을 거쳐 생긴 새로운 다항식을 전개식이라고 해요.

전개할 때는 다항식의 항과 단항식을 곱하게 되는데, 이때 단항식의 곱셈에서 했던 것처럼 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 곱해야 해요.

4a(2a - 3b)를 계산해보죠. 전개하려면 4a를 2a - 3b의 두 항에 모두 곱해요.

전개하는 과정에서 동류항이 있다면 동류항끼리 계산을 하면 됩니다. 위에서는 동류항이 없네요.

다항식과 단항식의 곱셈
분배법칙으로 괄호 풀기 → 단항식의 곱셈(숫자끼리, 문자끼리 곱) → 동류항 계산 → 결과(전개식)

다음을 간단히 하여라.
(1) (2a² + 3ab) × a
(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)

단항식과 다항식의 곱셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항 계산해서 정리합니다.

(1) (2a² + 3ab) × a
= 2a² × a + 3ab × a
= 2a³ + 3a²b

(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
= 2ab × 3a³b + 2ab × 2ab²
= 6a⁴b² + 4a²b³

(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)
= 4a × 2a + 4a × 3b - (2b × a + 2b × 3b)
= 8a² + 12ab - (2ab + 6b²)
= 8a² + 12ab - 2ab - 6b²
= 8a² + 10ab - 6b²
밑에서 두 번째 줄에 보면 동류항이 있어서 동류항 정리까지 했어요.

(다항식) ÷ (단항식)

유리수의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하는 게 편하죠? 다항식과 단항식도 나눗셈은 곱셈으로 고쳐서 계산합니다.

나누기를 곱하기로 바꾸고 역수를 취하면 모양이 바뀌는데, 위 곱셈에서 했던 것처럼 분배법칙을 이용해서 전개하는 거예요. 나눗셈을 계산하는 방법은 여러 가지가 있는데, 곱셈으로 바꿔서 하는 방법이 실수가 가장 적은 방법이에요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (15ab + 5ab²) ÷ 5b
(2) (4a²b - 6ab² + 3ab) ÷ 2ab
(3)

다항식과 단항식의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

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지수법칙 두 가지를 공부했었죠? 밑이 같은 거듭제곱의 곱일 때는 밑을 그대로 써주고 지수는 더해주는 거였고요. 거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑은 그대로 쓰고, 지수를 곱해주는 거였어요.

지수법칙 두 번째는 나눗셈과 괄호가 있을 때의 거듭제곱이에요.

나눗셈에서는 지수의 크기가 중요해요. 지수의 크기에 따라 계산 방법이 달라지거든요. 괄호가 있을 때는 분수든 아니든 상관없이 공통된 특징이 있으니 이건 쉽게 이해할 거예요.

지수법칙

2⁵ ÷ 2³을 해볼까요? 지수를 풀어서 계산(약분)한 다음, 다시 거듭제곱으로 나타내보죠.

지수만 보면 5 - 3 = 2가 되죠. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 빼면 돼요. 여기까지는 지수법칙 첫 번째에서 했던 밑이 같은 거듭제곱의 곱과 비슷해요. 밑이 다르거나 나눗셈이 아니면 쓸 수 없다는 것까지 같지요.

이번에는 2⁵ ÷ 2⁵을 해보죠.

위처럼 밑은 그대로 쓰고, 지수의 차를 구해보면 2⁵ ÷ 2⁵ = 2^{5 - 5} = 2⁰이 되겠지요? 여기에서 2⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요. 지수가 같으면 나누기의 결과로 지수는 0이 되고, 밑이 2든 3이든 상관없이 모든 수의 0 제곱은 1이에요.

이번에는 2³ ÷ 2⁵를 해볼까요?

밑이 같고 지수의 나눗셈이니까 밑은 그대로 쓰고, 지수끼리 빼면 2³ ÷ 2⁵ = 2^{3 - 5} = 2^-2이 돼요. 지수가 -2인데, (-)는 분수라는 걸 말해요. 지수가 2인 분수꼴이라는 뜻이죠. 나누는 수의 지수가 클 때는 분수로 쓰되, 지수는 큰 것에서 작은 걸 빼주는 거지요.

위 세 경우에서 보듯이 거듭제곱의 나눗셈은 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 크기에 따라 계산 방법이 살짝 달라져요.

a ≠ 0이고, m, n이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) a⁶ ÷ a²
(2) b⁵ ÷ b³ ÷ b²
(3) c³ ÷ c⁷

밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈에서는 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 중 어디가 큰지에 따라 달라져요. 나누어지는 수의 지수가 크면 밑은 그대로 쓰고 지수의 차, 같으면 1, 나누어지는 수의 지수가 더 작으면 분수 형태예요.

(1) 나누어지는 수의 지수가 나누는 수의 지수보다 크네요.

a⁶ ÷ a²
= a^{6 - 2}
= a⁴

(2)에서는 항이 3개지만 밑이 같으면 한꺼번에 계산할 수 있어요.
b⁵ ÷ b³ ÷ b²
= b^{5 - 3 - 2}
= b⁰
= 1

(3)은 나눠지는 수의 지수가 더 작으니까 분수로 나오겠지요.

괄호가 있을 때 지수법칙

이번에는 여러 개의 문자나 수를 한꺼번에 거듭제곱할 때 어떻게 되는지 알아보죠.

(ab)³을 볼까요? ab를 3번 곱한 건데, 원래 a × b에서 곱셈기호가 생략된 거죠.

(ab)³
= (a × b)³                                 곱셈기호 살리기
= (a × b) × (a × b) × (a × b)
= (a × a × a) × (b × b ×b )     곱셈에 대한 교환법칙
= a³ × b³
= a³b³                                      곱셈기호 생략

첫 줄과 끝줄만 보면, (ab)³ = a³b³로 괄호 안에 있는 것들을 각각 세제곱한 것과 같아요.

분수의 거듭제곱도 분자, 분모를 각각 거듭제곱한 것과 같죠.

위 두 가지를 정리해 보면, 괄호로 묶여있는 걸 거듭제곱하면 괄호 안에 있는 것들을 각각 거듭제곱한 것과 같다는 걸 알 수 있어요.

b ≠ 0이고, m이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.

괄호 안에 있는 건 분수든 아니든 상관없이 각각을 거듭제곱해줘야 해요.

(1) (a³b²)²
= (a³)²(b²)²
= a^{3 × 2}b^{2 × 2}
= a⁶b⁴

(2)에서 (-a) = (-1) × a에요.
(-a)⁴ × (-b)³
= (-1)⁴a⁴ × (-1)³b³
= a⁴ × (-b³)
= -a⁴b³

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곱셈기호(×)를 생략해서 식을 간단히 하는 방법이에요.

수학에서는 숫자와 식을 간단히 하는 게 매우 중요해요. 말로 풀어쓰면 길어지는 걸 수학기호로 간단하게 나타내기도 하죠.

기호를 쓰는 것마저도 길어진다면 그 기호마저도 생략할 수 있어요. 단, 기호를 생략하더라도 그 의미는 파악할 수 있어야 하겠죠?

이 글에서는 곱셈기호를 생략할 수 있는 경우와 생략하는 방법을 알아볼 거예요. 이 원칙에 맞게 곱셈기호를 생략해야만 다른 사람들도 곱셈기호가 생략되었음을 알고, 원래 의미를 알 수 있어요.

곱셈기호의 생략

여러 가지 기호 중에서 곱셈기호를 생략하는 방법입니다. 덧셈기호와 뺄셈기호는 생략하지 않아요. 곱셈기호만 생략해야 헷갈리지 않겠죠?

생략한다는 말은 그냥 지워버리는 거예요. 곱셈식에서 곱하기 기호를 지우고 나머지만 붙여서 쓰는 겁니다.

곱셈기호를 생략할 수 있는 조건이 있어요.

• 문자와 숫자 사이에 있는 곱셈 기호
• 문자와 문자 사이에 있는 곱셈 기호

두 가지 경우에만 곱셈기호를 생략합니다. 숫자와 숫자 사이의 곱셈에서는 곱셈기호의 모양을 바꿀 수는 있지만, 곱셈기호는 생략하지 않아요.

곱셈기호를 생략하는 방법을 잘 알아두세요. 앞으로 나오는 모든 문제에서 곱셈기호를 쓰지 않아요. 그런 문제를 볼 때 이 생략 방법을 알아야 어디에 곱셈기호가 생략되었는지를 알고 문제를 풀 수 있겠죠?

• 숫자는 앞에, 문자는 뒤에
  a × 2라는 식에서 곱셈기호를 생략하면 a2가 되죠? 그런데 문자와 숫자의 곱에서는 숫자를 앞에 쓰고, 문자를 뒤에 써요. a2가 아니라 2a라고 써요.
• 문자끼리의 곱은 알파벳 순서대로
  b × a = ba인데, 알파벳 순서대로 ab라고 써요. a × c × b = acb가 아니라 abc로 쓰고요.
• 1은 생략
  1 × a = 1a죠. 여기서 1은 곱하나 마나죠. 1은 없어도 상관없으니까 1도 생략합니다. 거듭제곱에서 지수가 1일 때는 쓰지 않았잖아요. 따라서 1a가 아니라 그냥 a라고 써요.
   
  단, (-1) × a처럼 1에 (-) 부호가 붙어있으면 (-)는 그냥 두고 1만 생략해요. (-1) × a = -a
   
  0.1, 0.01처럼 소수나 11처럼 자릿수가 다른 1이 있으면 1은 생략하지 않아요. 1이 포함되어 있긴 하지만 곱하면 값이 달라지잖아요.
  0.1 × a = 0.1a, 11 × a = 11a예요.
• 같은 문자끼리 곱할 때는 거듭제곱
  a × a에서 곱셈기호를 생략하면 aa가 될 것 같죠? 하지만 거듭제곱에서 공부했던 것처럼 같은 문자를 곱할 때는 지수를 이용해서 표현하기로 했어요.
• 괄호와 숫자의 곱은 숫자를 앞으로
  (a + b) × 3에서 괄호를 하나의 문자로 보고, 숫자를 괄호 앞에 써요. 3(a + b)

곱셈기호를 생략할 때, 그냥 기호만 지우는 게 아니라 그 위치를 위처럼 바꿔줘요. 이렇게 위치를 바꿀 수 있는 건 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하기 때문이에요.

나눗셈 기호의 생략

나눗셈은 기본적으로 곱셈으로 바꿀 수 있죠? 어떻게요? 역수를 이용해서요.

b의 역수를 취한 다음 a를 분자인 1에 곱했어요. 분자에서 1은 생략할 수 있으니까 결국 남는 건 a죠. 분모는 b고요.

앞으로는 이 과정을 거칠 필요없이 나눠지는 수는 분자, 나누는 수는 분모로 바로 쓸 수 있겠죠?

다음 식을 곱셈기호를 생략하여 나타내어라.
(1) a × 2
(2) a × b × c
(3) a × 2 × a
(4) (a + b) × (-1)

(1) 문자와 숫자의 곱에서는 숫자는 앞에 문자는 뒤에 써요. a × 2 = a2 = 2a

(2) 문자끼리의 곱에서는 알파벳 순서대로 쓰죠. a × b × c = abc

(3) 문자와 숫자의 곱이니까 숫자를 앞에 쓰는데, 똑같은 문자가 2번 곱해져 있네요. 거듭제곱을 이용해야겠죠? a × 2 × a = 2aa = 2a²

(4) 괄호와 숫자의 곱에서 숫자는 앞에, 괄호는 뒤에요. 그런데 숫자 1을 곱했을 때는 생략이 가능하죠. 부호는 그대로 둬야하고요. (a + b) × (-1) = (a + b)(-1) = (-1)(a + b) = -(a + b)

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