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평행선 사이의 선분의 길이의 비는 새로운 내용이 아니고, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2를 합친 거예요.

삼각형을 먼저 그려놓고 평행선을 그렸었잖아요. 이번에는 평행선을 먼저 그려놓고 삼각형을 나중에 그리는 것만 달라요.

따라서 두 글의 내용을 제대로 이해하고 있지 않다면 아래 내용을 전혀 알 수 없어요. 이 글을 읽기 전에 두 글을 먼저 읽고 오세요.

두 글의 내용을 다 이해하고 있다면 그리 어렵지 않으니까 추가적인 증명은 최대한 줄이도록 할게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비

선분 l, m, n이 서로 평행해요. 평형한 세 선분을 지나는 두 직선이 있을 때, 두 직선과 평행한 세 선분이 만나면 위 그림처럼 총 네 개의 길이가 생겨요. 네 변의 길이에는 위와 같은 비례식이 성립합니다.

물론 그림으로 외워야겠죠?

특히 오른쪽 그림에서 비례식을 세우기가 어려워하는 경우가 많은데, 한 가지만 기억하면 비례식을 쉽게 세울 수 있어요. 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요. ①, ②가 한 직선 위에 있으니까 이 둘이 한 변에 오도록 ① : ②를 좌변으로, ③, ④가 한 직선 위에 있으니까 ③ : ④를 우변으로 만들면 돼요.

증명은 어렵지 않아요.

여러 가지 할 필요없이 그냥 각 그림에서 오른쪽에 있는 직선을 왼쪽으로 옮겨서 두 직선이 평행선 위의 한 점에서 만나게 하면 돼요.

왼쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에서, 오른쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠? 따로 설명하지는 않을게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비 두 번째

이번에는 평행선을 잘 연결해서 삼각형을 만들었을 때에요.

뭔가 그림이 참 복잡한데 세로로 그어진 세 직선이 평행이에요. 그리고 그 중간에 여러 선을 그어서 삼각형을 만든 거죠. 색깔에 유의해서 보세요

여기서도 마찬가지로 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요.

그림에서 필요한 부분만 떼서 보죠.

△ABE와 △CDE를 보세요. 두 삼각형은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1의 그림을 옆으로 눕혀놓은 거예요. 두 삼각형은 닮은 도형이므로 길이의 비가 같아요. 각 선의 색으로 구별할 수 있어요.

또 필요한 부분만 떼왔어요. 이 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에 나오는 그림이죠? 굳이 증명하지 않아도 이해할 수 있죠?

위 두 비례식에 가 공통으로 들어있으니까 이걸 이용하면 아래 비례식을 만들 수 있어요.

다음 그림에서 변 EF의 길이를 구하여라.

위 내용정리에서 변EF에 관한 내용은 없어요. 하지만 EF를 뺀 나머지 변의 길이의 비는 모두 구할 수 있죠? 6 : 12 = 1 : 2요.

이 1 : 2라는 비와 △ABC와 △EFC가 닮음이라는 것을 이용하면 EF의 길이를 구할 수 있어요.

에요. 따라서 가 되는 거죠. 3 : 2는 두 삼각형 △ABC와 △EFC의 닮음비에요. 이 닮음비는 모든 대응변에서 같아요.

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삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 두 번째입니다. 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서는 평행선을 그었을 때 생기는 새로운 삼각형과 원래 삼각형이 닮았다는 걸 중심으로 해서 각 길이의 관계를 알아봤는데요.

이 글에서는 새로운 삼각형과의 관계가 아니라 다른 내용의 길이의 비에 관한 내용이에요.

두 내용에 차이가 있으니까 잘 구별하세요.

이 글의 내용도 마찬가지로 공식으로 외우기보다는 그림으로 외워야 합니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2

△ABC에서 밑변에 평행한 선을 그어요. 그러면 두 부분으로 나뉘죠? 보라색 변의 길이 비는 파란색 변의 길이 비와 같아요.

증명해볼까요?

△ABC에서 와 평행한 선을 그어서 와 만나는 점을 점 D, 와 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 와 평행하고, 점 E를 지나는 선을 그어요. 와 만나는 점을 점 F라고 하면 △EFC가 생기죠? 이 삼각형과 △ADE의 관계를 알아봐요.

∠ADE = ∠ABC = ∠EFC (평행선에서 동위각)

∠AED = ∠ECF (평행선에서 동위각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE ∽ △EFC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이니까 길이의 비에 관한 식을 세울 수 있어요. 

□DBFE는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

6 : 3 = 8 : x이므로
x = 4 (cm)

이번에는 △ABC에서 밑변의 평행선을 꼭짓점보다 더 위에 그렸을 때에요. 삼각형 한 변의 길이와 연장선 길이의 비 사이의 관계죠. 이 그림에서도 마찬가지로 파란색 선과 보라색 선 사이에 길이의 비가 성립해요.

증명해 볼까요?

△ABC에서 점 A위에 와 평행한 선을 그어서 의 연장선과 만나는 점을 점 D, 의 연장선과 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 점 D를 지나고 에 평행한 선을 긋고, 의 연장선과 만나는 점을 점 F라고 해보죠. △ADE와 △DBF의 관계를 알아볼 거예요.

∠ADE = ∠DBF (평행선에서 엇각)
∠AED = ∠DFB (평행사변형에서 대각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE와 △DBF는 AA 닮음이에요. △ADE ∽ △DBF

변의 길이를 이용해서 비례식을 세워보죠.

□EDFC는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 한 변의 길이와 그 연장선 사이의 비가 같으므로,

x : 12 = 6 : 9
x = 8 (cm)

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직각삼각형에서의 닮음에서는 직각삼각형에 수선을 내려서 각 직각삼각형의 관계를 알아봤어요. 이제는 삼각형에 평행선을 그어서 생기는 두 삼각형의 관계에 대해서 알아볼 거예요.

여기서도 마찬가지로 공식이 나올 건데, 그림으로 외우세요. 증명하고, 선분 이름 쓰고 하는 것 보면 정말 어려워 보이지만 그림으로 보면 별거 아니에요.

문제도 그다지 어렵게 나오는 부분은 아니니 크게 걱정할 필요도 없고요.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비는 두 부분으로 나눠서 올립니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

△ABC에서 에 평행한 선을 그어요. 그러면 아래 세 경우처럼 삼각형 안과 밖, 그리고 점 A의 위쪽에 그을 수 있죠.

에 평행한 선과 (또는 의 연장선)이 만나는 점을 점 D, 평행선과 (또는 의 연장선)이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

△ABC와 △ADE가 생기는데, 이 두 삼각형 사이의 관계를 알아볼 거예요. 세 경우 모두에서 똑같으니까 한꺼번에 설명할게요.

첫 번째, 두 번째 그림에서  // 이므로 ∠ADE = ∠ABC(동위각), ∠AED = ∠ACB(동위각 - 평행선에서 동위각과 엇각), ∠A는 공통이에요. AA 닮음이죠.

세 번째 그림에서는  // 이므로 ∠ADE = ∠ABC(엇각), ∠AED = ∠ACB(엇각), ∠A는 맞꼭지각이라서 마찬가지로 AA 닮음이에요.

△ABC ∽ △ADE (AA 닮음)

닮음인 도형에서 각 길이의 비는 모두 같으므로 인 관계가 성립합니다.

여기서 가운데 항인 밑변 부분을 빼면 아래 그림처럼 나타낼 수 있어요. 식으로 외우기보다는 그림으로 외우세요. 알파벳으로 외우는 건 안돼요. 파란색 부분끼리, 보라색 부분끼리 변의 길이의 비가 같아요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 밑변에 평행한 선을 그어서 생기는 삼각형과 원래 삼각형은 닮음이에요.

△ABC ∽ △ADE (AA 닮음)

6cm : 9cm = 8cm : xcm
6x = 72
x = 12 (cm)

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사각형이 끝나고 이제는 다시 삼각형으로 돌아왔어요.

이 글에서는 삼각형의 넓이와 관련된 두 가지를 배울 거예요. 하나는 두 평행선 사이에 그려진 삼각형의 넓이이고, 다른 하나는 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비예요.

삼각형의 넓이 구하는 공식 모르는 사람은 없겠죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

이 공식을 기본으로 해서 삼각형의 넓이에 관한 내용을 시작해보죠.

평행선과 삼각형의 넓이

평행한 직선 l과 m이 있어요. 직선 m위의 두 점 B, C와 l위의 한 점 A를 꼭짓점으로 하는 △ABC가 있어요. 또 직선 l위의 한 점 D와 점 B, C를 꼭짓점으로 하는 △DBC가 있어요.

△ABC의 높이는 점 A와 직선 m사이의 거리지요? h에요. △ABC의 넓이 = ½ × a × h

△DBC의 높이는 점 D와 직선 m사이의 거리로 역시 h에요. △DBC의 넓이 = ½ × a × h

두 삼각형의 밑변은 공통이니까 그렇다고 치더라도 높이도 같아요. 밑변과 평행인 선 위의 점으로 이루어진 삼각형은 그 모양이 달라도 넓이가 같다는 점을 알 수 있지요.

혹시라도 모양이 이상해서 넓이를 모르겠다면 밑변과 평행한 선을 찾아서 그 선 위의 임의의 점과 삼각형을 만들어 넓이를 구하면 되지요.

다음 그림에서 평행사변형 ABCD의 넓이가 40cm²일 때 △EBC의 넓이를 구하여라.

△EBC의 넓이를 구하려면 밑변과 높이를 알아야 하는데 그림에서는 주어져 있지 않아요. 따라서 △EBC와 넓이가 같은 다른 삼각형을 찾아야 해요. 어떤 게 있나요? 삼각형의 밑변 와 가 평행이기 때문에  위에 점을 잡아서 삼각형을 그리면 △EBC와 넓이가 같아요. 점 A를 이용해보죠. (△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이)이므로 △ABC의 넓이를 구하면 되겠네요.

평행사변형과 넓이에서 평행사변형의 대각선으로 나눠지는 두 삼각형은 넓이가 같고, 전체 평행사변형 넓이의 절반이라는 걸 공부했어요. (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이)

(△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이) = ½ × 40 = 20(cm²)

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비

이번에는 높이가 같고 밑변의 길이가 다른 삼각형의 넓이의 비를 알아보죠.

위 그림에서 △ABD의 넓이는 ½mh이고, △ACD의 넓이는 ½nh에요.

두 삼각형의 넓이의 비는 ½mh : ½nh죠. 정리하면 m : n이에요.

넓이의 비가 밑변의 길이의 비와 같죠?

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 = 밑변의 길이의 비

아래 그림에서 점 D는 의 중점, , △ABC의 넓이가 50cm²일 때 △DBE의 넓이를 구하여라.

이 그림에 직각 표시가 되어 있는데 이건 그냥 함정이에요. 밑변과 높이를 이용해서 구할 수 있을 것처럼 보이게 하는 거죠.

삼각형의 밑변의 길이의 비가 나왔는데, 이걸 이용하려면 높이가 같아야 해요. 밑변의 길이의 비를 이용할 수 있는 높이가 같은 삼각형은 △ABE와 △ACE에요. 밑변의 길이의 비가 2 : 3이니까 넓이의 비도 2 : 3이에요. 이 두 삼각형의 넓이의 합이 50cm²이니까 이 넓이를 2 : 3으로 나누면 되겠죠.

(△ABE의 넓이) = (△ABC의 넓이) ×  = 50 ×  = 20(cm²)

가 밑변이 되도록 △ABE를 돌려보세요. △ABE는 △DBE와 △ADE라는 두 개의 삼각형으로 되어 있어요. 점 E에서 에 내린 수선이 △DBE와 △ADE의 높이죠. 높이가 같고 밑변의 길이의 비가 이므로 △DBE와 △ADE의 넓이의 비도 1 : 1이에요.

(△DBE의 넓이) = (△ABE의 넓이) × ½ = 20 × ½ = 10(cm²)

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삼각형의 성질에 이어 사각형의 성질입니다.

그 첫 번째로 평행사변형의 성질인데요. 평행사변형이 어떻게 생겼는지는 알고 있을 거예요.

이 글에서는 평행사변형을 어떻게 정의하는지 그리고 평행사변형은 어떤 성질을 가졌는지 알아보고, 그 성질들을 증명해볼 거예요. 증명은 어렵지 않아요. 모든 성질이 하나의 증명방법으로 증명되거든요.

여러 사각형이 나오고 사각형 별로 비슷하면서도 다른 성질을 가지고 있으니 잘 구별할 줄 알아야 합니다.

평행사변형이란?

평행사변형이라는 이름을 잘 들여다보세요. 평행은 두 직선이 서로 만나지 않은 걸 말하죠? 사변은 네 개의 변을 말해요. 즉 네 개의 변이 있는데 이게 평행하다는 거예요. 네 개가 다 평행한 게 아니고 이 중 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 말하는 거죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각에서 대변과 대각의 정의에 대해서 공부했었어요. 대변은 마주 보는 변이고, 대각은 마주 보는 각이죠.

평행사변형의 성질

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그으면 △ABC와 △CDA가 생기죠?

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠B = ∠D이 되죠.
또 ∠A = ∠BAC + ∠DAC = ∠DCA + ∠BCA = ∠C가 됩니다.

따라서 ∠B = ∠D, ∠A = ∠C입니다.       (증명 끝.)

이 성질에서 나온 다른 성질이 하나 있는데, 알아두면 좋을 겁니다.

∠B = ∠D, ∠A = ∠C이므로 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2∠A + 2∠B = 360°가 돼요.

∠A + ∠B = 180°라는 결론이 나오죠. ∠A = ∠C니까 A와 C를 바꿔도 되겠죠? 또 ∠B = ∠D니까 B와 D를 바꿔도 되고요.

결국, 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°가 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 x + y를 구하여라.

이웃한 두 각의 크기의 합은 180°에요. x° + 80° = 180°이므로 x = 100가 됩니다. 마주 보는 두 각, 즉 대각은 크기가 같으므로 2y° = 80°에서 y = 40이 되고요.

따라서 x + y = 100 + 40 = 140

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그어 △ABC와 △CDA를 만듭니다.

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

다음 그림을 보고 평행사변형 ABCD의 둘레의 길이를 구하여라.

두 대변의 길이는 같으므로 2x + 4 = 3x + 1이에요. x = 3이네요. x = 3을 대입하면,  = = 10cm이고요. = = 14cm죠.

따라서 평행사변형 ABCD의 둘레는 2 × (14 + 10) = 48(cm)입니다.

두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

대각선을 긋고 대각선의 교점을 점 O라고 하죠.

△OAB와 △OCD를 볼게요. 위 평행사변형의 성질 증명에서 = 임을 알 수 있어요. … (1)
평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠OAB = ∠OCD (엇각) … (2)
와 가 평행하므로 ∠OBA = ∠ODC (엇각) … (3)
(1), (2), (3)에 의해서 △OAB ≡ △OCD (ASA 합동)

따라서 대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

점 O가 평행사변형 ABCD의 대각선의 교점일 때 △OAB의 둘레의 길이를 구하여라.

평행사변형에서 두 대변의 길이는 같으므로 = = 6cm

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로  =  =  × = 5cm

마찬가지로 =  =  × = 4cm

삼각형 △OAB의 둘레는 6 + 4 + 5 = 15(cm)

평행사변형의 성질
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

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직선의 이등분선, 각의 이등분선에 이어서 이번에는 크기가 같은 각과 평행선을 작도하는 방법을 알아보죠.

크기가 같은 각을 만약 각도기로 그린다면 몇 °인지를 재서 바로 그리면 되겠지만 작도는 각도기를 이용하지 않으니까 좀 더 복잡해지죠

하지만 앞에서 해봤던 것처럼 그리는 흐름을 이해하고, 연습만 몇 번 해보면 작도도 생각보다 어렵지는 않아요.

이 글에서 공부할 크기가 같은 각의 작도와 평행선의 작도는 원리가 같으니까 하나만 제대로 이해하면 돼요.

크기가 같은 각의 작도

크기가 같은 각을 작도해보죠.

하나의 각을 주고, 이 각과 크기가 같은 각을 그리는 거예요. 이 각을 ∠XOY라고 해볼게요.

1. 이 ∠XOY에서 점 O에 컴퍼스를 대고 원을 그려요. 원과 선분 OX가 만나는 점을 P, 원과 선분 OY가 만나는 점을 Q라고 하지요.
2. 일단 이렇게 해놓은 상태에서 크기가 같은 새로운 각을 그릴 선분을 하나 그어요. 선분 l이라고 할까요?
3. 선분 l의 한쪽 끝점 A에 컴퍼스 바늘을 놓고 ①에서 그렸던 원과 반지름이 같은 원을 그려요. 이 원이 선분 l과 만나는 점을 B라고 해보죠.
4. 컴퍼스를 이용해서 점 P와 점 Q 사이의 거리만큼을 재요. 그리고 점 B에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그립니다. 이 원과 ③에서 그린 원과의 교점이 생겨요. 이 교점을 C라고 할게요.
5. 점 A와 점 C를 자를 대고 연결해요.

이 ∠BAC가 ∠POQ와 크기가 같은 각입니다.

평행선의 작도

평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각에서 공부했던 두 직선이 한 직선과 만날 때 동위각 또는 엇각의 크기가 같으면 두 직선이 평행하다는 성질을 기억하나요?

평행선의 작도는 동위각 또는 엇각을 이용해서 크기가 같은 각을 만드는 과정이에요.

점 P를 지나고 직선 l에 평행한 직선을 작도해보죠.

1. 직선 l과 직선 위에 있는 않은 점 P를 그려요.
2. 점 P를 지나고 직선 l과 한 점에서 만나는 직선을 그려요. 직선 l과 만나는 점을 점 O라고 하고요.
3. 점 O에 컴퍼스 바늘을 대고 원을 그려요. 이때 원이 직선 OP와 만나는 점을 점 A라고 하고 원과 직선 l이 만나는 점을 점 B라고 하지요.
4. ③에서 그렸던 원과 같은 반지름으로 점 P에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 직선 OP가 만나는 점을 C라고 해보죠.
5. 컴퍼스를 이용해서 점 A와 점 B의 거리를 재고, 이 길이를 반지름으로하여 점 C에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 ④에서 그렸던 원의 교점을 점 D라고 합니다.
6. 점 P와 점 D를 직선으로 연결해요.

이 직선 PD가 점 P를 지나고 직선 l에 평행한 평행선이에요.

④에서 점 C의 위치가 점 P와 직선 l 사이에 있으면 평행선에서 엇각을 이용하고, 점 C가 점 P보다 위에 있으면 평행선의 동위각을 이용하는 거예요.

위 예에서는 점 C가 점 P보다 위에 있으니 동위각을 이용해서 평행선을 그린 거죠.

동위각 ∠AOB = ∠CPD라는 성질을 이용해서 평행선을 그려봤어요. ③번 이후의 과정은 크기가 같은 각을 작도하는 방법과 완전히 같아요. 그러니까 크기가 같은 각을 그리는 작도를 연습해봐야겠죠?

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기찻길은 선로가 두 개예요. 이 선로는 간격이 일정해서 아무리 멀리까지 가도 서로 만나지 않아요. 이렇게 한 평면 위에 있는 두 직선이 만나지 않을 때 두 직선은 평행하다고 해요.

평행한 두 직선을 줄여서 평행선이라고 하고 기호로는 //로 나타내요. 평행한 직선 두 개를 오른쪽으로 약간 기울여서 그린 모양이죠.

두 직선 l, m이 평행하면 l //이라고 쓰는 겁니다. 거꾸로 l // m이라고 되어있으면 l과 m이 평행하다는 뜻이고요.

평행선의 성질

평행선에는 중요한 성질 두 가지가 있는데, 바로 맞꼭지각, 동위각, 엇각에서 공부했던 동위각과 엇각이에요.

맞꼭지각은 마주 보고 있어서 각의 크기가 같다고 했어요. 그런데 동위각과 엇각은 크기가 다를 수 있지요. 하지만 평행선에서는 이게 조금 달라지거든요.

평행선에서 동위각의 크기는 같다.

평면 위에서 평행선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 교각 중에는 맞꼭지각도 있고 동위각, 엇각이 있어요.

위 그림은 평행하지 않은 두 직선 l, m이 다른 직선 n과 만났을 때 생기는 교각의 모습이에요. ∠d와 ∠h가 동위각이죠? 그런데 얼핏 봐도 두 각의 크기는 달라요.

다음은 평행선과 한 직선이 만나서 생기는 교각이에요.

∠a와 ∠b의 크기가 어떤가요?

아래에 있는 직선 m을 그대로 위로 밀어 올린다고 생각해보죠. 그대로 위로 올리면 l과 만나겠죠? 두 직선은 평행하니까 단순히 만나기만 하는 게 아니라 완전히 일치하게 돼요. l이 m과 일치하니까 l과 이루는 ∠a이나 m과 이루는 ∠b가 서로 같은 건 당연하지요.

종이를 대서 실제로 위로 움직여서 확인 보세요.

평행선에서 엇각의 크기는 같다.

엇각은 서로 대각선 방향에 있는 각이라고 했어요. 그리고 엇각을 찾는 다른 방법은 동위각의 맞꼭지각을 찾는 거라고 했지요?

앞에서 동위각은 서로 크기가 같다고 했어요. 그리고 맞꼭지각도 서로 크기가 같죠? 따라서 원래 각의 동위각의 맞꼭지각인 엇각도 원래의 각과 크기가 같게 되는 거지요.

원래 각 = 동위각 = 맞꼭지각

위 그림에서 ∠b와 ∠c는 서로 엇각이에요.

∠b는 ∠a와 동위각이라서 크기가 같아요. ∠a와 ∠c는 맞꼭지각이니까 크기가 같죠.

∠b = ∠a = ∠c 관계가 있어서 결국 ∠b = ∠c가 되는 거죠.

평행선의 성질
평면 위의 평행선이 다른 직선과 만날 때
동위각의 크기가 같다
엇각의 크기가 같다.

다음 그림에서 l, m이 서로 평행일 때 x의 크기를 구하여라.

그림만 보면 위와 아래에 평행선이 있어요. 그런데 구하는 각은 평행선에 있는 각이 아니라 중간에 떠 있는(?) 각이죠? 이럴 때는 각에 선을 하나 그어주세요. 위, 아래에 있는 선과 평행해야 합니다. 그러면 총 세 개의 평행선이 생기는 거예요.

x가 새로 그은 선 때문에 둘로 나뉘었어요. 윗부분(①)과 아랫부분(②)을 더해서 x를 구해볼까요? 윗부분은 45°와 엇각이에요. 평행선에서 엇각은 크기가 같으니까 여기는 45°가 될 거예요.

아랫부분은 110° 부분을 볼까요? 110° 아래에 있는 각은 70°죠? 직선이니까 평각(180°)잖아요. 그럼 70°인 곳과 x의 아랫부분(②)은 동위각으로 크기가 같아요. 따라서 x의 아랫부분(②)은 70°예요.

x를 두 부분으로 나눴는데, ①은 45°, ②는 70°이니까 둘을 더해서 x = 115°네요.

평행선의 조건

어떤 두 직선이 있어요. 그 두 직선이 얼핏 봐서는 평행한 것처럼 보이지만 평행인지 아닌지 확신할 수가 없어요. 이때 두 직선이 평행인지 아닌지 어떻게 판단할까요?

원리는 바로 앞에서 공부한 평행선의 성질 두 가지를 이용하는 거예요.

평행선은 다른 직선과 만나서 생기는 각 중에서 동위각과 엇각의 크기가 같아요..

그러니까 그림에 선이 그어져 있다면 그 각을 보고, 동위각과 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이고 다르면 평행선이 아닌 것이죠.

평행선에서는 동위각과 엇각이 같다. → 동위각과 엇각이 같은 두 직선은 평행선

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