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일차함수 그래프를 이용해서 연립방정식을 푸는 방법입니다.

약간 어려울 수도 있는 내용이에요. 일차함수와 직선의 방정식, 연립방정식의 개념이 섞여서 나오는 부분이라서요. 세 가지가 왔다 갔다 하니까 복잡할 수 있어요. 너무 어렵게 생각하지 마시고, 단순하게 "일차함수 = 직선의 방정식 = 연립방정식의 각 방정식"이라는 정도로 생각하고 보세요.

연립방정식이란에서 봤던 것처럼 연립방정식은 미지수가 2개인 일차방정식 두 개가 있는 걸 말하죠. 그리고 두 방정식을 모두 만족하는 (x, y)의 순서쌍을 연립방정식의 해라고 해요.

직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식은 미지수가 2개인 일차방정식이라고 했어요. 연립방정식에서의 방정식도 미지수가 2개인 일차방정식이죠?

그러니까 연립방정식은 직선의 방정식 2개가 묶인 것으로 생각해도 되겠죠?

일차함수의 그래프와 연립방정식

연립방정식의 그래프를 좌표평면 위에 그려볼까요?

연립방정식 의 그래프를 그리면 아래 그림처럼 돼요.

그래프는 직선의 방정식을 만족시키는 x, y의 순서쌍의 집합이죠. 그런데 그래프를 그렸더니 (4, 1)이라는 점에서 두 그래프가 만나요. 그래프가 만난다는 건 양쪽 모두 (4, 1)이라는 해를 가지고 있다는 뜻이네요.

실제로 연립방정식의 풀이법으로 연립방정식을 풀어보면 해가 x = 4, y = 1이 나와요.

그래프의 교점의 좌표가 연립방정식의 해와 같아요.

그래프의 교점 = 연립방정식의 해

연립방정식 의 해를 구하여라.

x + y = 2를 y에 관해서 풀면, y = -x + 2라는 일차함수가 돼요. 3x - y = -2는 y = 3x + 2가 되고요.

그래프를 그렸더니 아래처럼 됐어요.

두 그래프의 교점이 연립방정식의 해니까 교점인 (0, 2)가 해가 되겠네요. 따라서 해는 x = 0, y = 2가 되는군요.

두 직선의 위치와 연립방정식의 해

직선의 교점이 바로 연립방정식의 해에요. 따라서 교점의 개수와 해의 개수는 같아요.

두 직선이 한 점에서 만날 때 - 교점이 하나일 때

위 예제에서는 두 그래프가 한 점에서만 만났어요. 그러니까 해도 한 개만 있죠?

일차함수 그래프의 평행과 일치에서 보면 일차함수의 그래프의 기울기가 같으면 그래프가 평행이거나 일치하죠? 기울기가 다르면 한 점에서 만나요.

일차함수에서는 기울기를 바로 구할 수 있는데, 직선의 방정식에서는 기울기를 구하려면 y에 관해서 풀어야 해요.

매번 그럴 수는 없잖아요. 그래서 간단하게 기울기가 같은지 알 수 있는 방법을 이용해요. 바로 계수의 비를 비교하는 거예요. x 계수의 비와 y 계수의 비가 다르면 두 직선의 기울기가 달라요.

기울기가 다르다 = 그래프의 교점이 한 개 = 연립방정식의 해는 하나 = 연립방정식의 x 계수의 비와 y 계수의 비가 다르다

두 직선이 평행일 때 - 교점이 없을 때

그래프가 평행일 때는 어떨까요? 연립방정식의 해는 그래프의 교점인데, 그래프가 평행이니까 교점이 없어요. 그 말은 해가 없다는 뜻이겠죠?

일차함수의 그래프가 평행이려면 어떤 조건이 있어야 하죠? 기울기는 같고, y절편은 달라야 해요.

해가 특수한 연립방정식에서 해가 하나도 없을 때는 x와 y 계수의 비는 같지만 상수항의 비는 다를 때라는 걸 이미 배웠잖아요.

이 두 개를 연결해 볼까요?

기울기가 같고 y 절편이 다르다. = 그래프가 평행 = 교점이 없다 = 해가 없다 = 연립방정식의 x, y 계수의 비는 같고 상수항의 비는 다르다

두 직선이 일치할 때

그래프가 일치하면 교점의 개수는 무수히 많아요. 교점의 교수가 무수히 많다는 건 해가 무수히 많다는 거고요.

그래프가 일치하려면 어때야 하죠? 기울기가 같고 y절편도 같아야 해요.

연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x, y 계수의 비와 상수항의 비가 모두 같아야 해요

마찬가지로 일차함수의 그래프가 평행일 조건과 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건을 연결해볼까요?

기울기가 같고 y 절편도 같다 = 그래프가 일치 = 교점이 무수히 많다 = 해가 무수히 많다 = 연립방정식의 계수의 비와 상수항의 비가 같다.

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일차함수의 활용

일차함수의 그래프에서 웬만한 건 다 다루었어요. 일차함수 y = ax + b 그래프에서 a가 무엇을 의미하는지, a의 부호에 따라서 그리고 b의 부호에 따라서 그래프의 모양이 어떻게 바뀌는 지 등이요.

일차함수 y=ax+b 그래프의 특징

일차함수를 보면 기울기와 y절편이 바로 눈에 띄죠? 두 개의 일차함수 y = ax + b, y = cx + d가 있다고 할 때, 기울기와 y절편을 비교해서 두 일차함수의 그래프가 평행한지 일치하는지 알아보죠.

일차함수 그래프의 평행

평면에서 두 직선이 서로 만나지 않는 걸 평행이라고 해요. 그러니까 일차함수 그래프가 평행하다는 말은 서로 만나지 않는다는 뜻이죠.

y = ax + b의 그래프는 y = ax 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것이라고 했어요. 두 그래프는 서로 만나지 않아요. 그럼 두 그래프는 평행한 것이죠. 사실 평행이동을 했으니까 당연히 평행할 수밖에 없어요.

두 함수를 비교해볼게요. x, y는 변수니까 바뀔 수 있어서 비교할 수가 없어요. a, b는 상수라서 일정하죠. 두 그래프에서 기울기가 모두 a로 같아요. 그리고 y 절편이 b와 0으로 달라요. 여기서 일차함수의 그래프가 평행하려면 어떤 조건인지 알 수 있어요.

두 일차함수 그래프가 평행하려면: 기울기가 같고, y 절편은 다르다
y = ax + b와 y = cx + d에서 a = c이고 b ≠ d → 평행

일차함수 그래프의 일치

일차함수의 그래프가 일치한다는 건 그래프가 포개진다는 뜻이죠. 포개진다는 건 그래프에서 같은 점 위에 있다는 뜻이고요. 함수식이 같다는 얘기예요.

y = ax + b와 y = cx + d라는 두 일차함수가 일치하려면 a = c, b = d라는 것이죠.

두 일차함수의 그래프가 일치하려면: 기울기가 같고, y 절편이 같다.
y = ax + b와 y = cx + d 에서 a = c 이고 b = d → 일치

일차함수 y = 2x + 1의 그래프와 평행인 일차함수와 일치하는 일차함수를 각각 1개씩 적으시오.

먼저 문제에서 주어진 함수에서 기울기는 2, y절편은 1이네요. 평행한 것은 기울기가 같고 y절편이 다른 함수니까 기울기는 2일 테고, y 절편은 1만 아니면 돼요. y = 2x + 2도 될 수 있고, y = 2x - 1도 될 수 있겠네요. 그 개수가 매우 많아요.

일치하는 함수는 기울기도 같고, y 절편도 같아요. 같은 식이라는 거죠. y = 2x + 1이 되겠네요. 일치하는 일차함수는 딱 한 개예요.

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y = ax + b 그래프에서 a는 기울기이고, b는 y 절편이라는 사실을 알 수 있어요. 이제 이 두 가지에 따라 그래프가 어떻게 달라지는 지 알아볼 거예요.

일차함수의 그래프에서 간략하게 이야기하기는 했는데, 좀 더 자세히 알아보죠.

먼저 y = ax의 특징을 정리해보죠.

• 원점(0, 0)을 지난다.
• a의 절댓값이 커질수록 그래프는 y축에 가까워진다.
• a > 0
  • x 증가 → y 증가
  • 오른쪽 위로 향하는 직선
  • 1, 3 사분면을 지난다.
• a < 0
  • x 증가 → y 감소
  • 오른쪽 아래로 향하는 직선
  • 2, 4 사분면을 지난다.

y = ax와 y = ax + b의 차이는 b가 있고 없고의 차이에요. 사실은 y = ax + b에서 b = 0일 때가 y = ax이에요.

y = ax + b 그래프의 특징

y = ax와 y = ax + b의 차이는 b니까 b의 영향을 받는 부분만 다르고 나머지는 똑같아요.

원점(0, 0)을 지나는 대신 (0, b)를 지나고요.

그래프가 지나는 사분면은 y절편인 b의 부호에 따라서 달라져요.

y = ax + b의 그래프

a > 0, b > 0	a > 0, b < 0
a < 0, b > 0	a < 0, b < 0

다음 y = ax + b의 그래프를 보고, a와 b의 부호를 구하여라.

a는 그래프의 기울기인데, 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이니까 a < 0이겠네요. 그리고 b는 y 절편이니까 y축과 그래프가 만나는 곳의 부호를 보면 되겠죠. x 축보다 윗부분 즉, 양수인 곳에서 만나니까 b > 0이 되는군요.

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이제 일차함수의 그래프를 직접 그려볼까요?

일차함수의 그래프를 그리는 방법은 이미 1학년 때 배워봤어요. 함수식이 주어지면 그 식에, x = 1, 2, 3, …을 넣어서 그때의 y값을 구했죠. 그리고 순서쌍을 이용해서 좌표평면에 점을 찍은 다음 그 점들을 이어서 그래프를 그려요. 함수 그래프, 함수의 그래프 특징 비교

기본 원리는 점들의 좌표를 구해서 점을 찍고, 선으로 연결하는 겁니다. 그런데 사실 점의 좌표가 많이 필요하지 않아요. 그냥 두 개만 있으면 직선을 그을 수 있거든요.

두 점을 이용해서 일차함수 그래프 그리기

직선이라는 게 점을 여러 개 연결해도 되지만 두 점을 연결해도 직선이 돼요. 따라서 1학년 때처럼 점들의 좌표를 여러 개 구할 필요 없이 딱 두 개만 구해서 직선으로 연결하면 돼요.

두 점의 좌표가 주어졌다면 점을 찍어서 직선을 그으면 되고, 점이 주어지지 않고, 함수식만 주어졌다면 x = 1, 2처럼 임의의 값을 두 개 넣어서 좌표를 구해서 점을 찍고, 선을 그어주면 돼요.

두 점 (1, 1)과 (3, 2)를 지나는 함수의 그래프를 그려라.

좌표평면 위에 두 점을 찍고 그냥 이어서 연결하세요.

x절편, y절편을 이용해서 일차함수 그래프 그리기

마찬가지로 두 점의 좌표를 이용해서 그래프를 그리는 방법이에요.

두 개의 점의 좌표를 구할 때 아무 점이나 상관없지만 x절편, y절편을 구하는 방법도 좋아요. y 절편은 y = ax + b라는 함수식에서 b라는 걸 바로 알 수 있지요? 한 점의 좌표(0, b)를 금방 알아낼 수 있잖아요. 그럼 나머지 한 점의 좌표만 구하면 되는데, y = 0을 넣어서 구하면 x 절편이 나오죠.

문제에서 x, y 절편을 미리 알려주면 좋은 거고, 알려주지 않아도 다른 점의 좌표에 비해서 구하기가 쉬워서 많이 이용하는 방법이에요.

y = x + 2의 그래프를 그려라. (x절편과 y절편을 이용)

y = x + 2의 y 절편이 2이므로 y축과 만나는 점은 (0, 2), x 절편이 –2이므로 x축과 만나는 점은 (-2, 0)이네요. 두 점의 좌표를 구했으니 그래프를 그려보죠.

y절편과 기울기를 이용해서 일차함수 그래프 그리기

y 절편은 함수식에서 바로 구할 수 있지요?

일차함수와 그래프에서 기울기가 나타내는 게 뭐죠?

y = ax + b에서 y 절편이 b이므로 이 그래프는 (0, b)를 지나요. 기울기 a가 나태나는 건 x가 1 증가할 때, y는 a만큼 증가한다는 뜻이잖아요. 그래서 x가 0 → 1로 될 때, b → b + a 가 된다는 뜻이지요? 따라서 (0, b)와 (1, b + a)라는 점의 좌표를 구할 수 있다는 거예요. 물론 (1, b + a)가 아니라 (2, b + 2a), (3, b + 3a)라는 좌표를 구할 수도 있는 거지요. 어차피 두 점의 좌표만 있으면 되니까 아무거나 구해도 상관없어요.

두 점을 구했으니 좌표평면에 점을 찍고, 직선으로 연결하면 되겠지요?

y = 2x + 2의 그래프를 그려라. (기울기와 y절편을 이용)

y절편이 2이므로 이 그래프는 (0, 2)를 지나고 기울기가 2니까 x가 1 증가하면 y는 2 증가한다는 뜻이에요. x가 0 → 1이 되면, y는 2만큼 증가하니까 2 → 4가 되겠지요. 그래프가 지나는 두 점 (0, 2)와 (1, 4)를 구할 수 있어요.

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일차함수의 그래프에서 또 한가지 알아야 할 내용이 기울기에요.

일차함수 y = ax 그래프에서 a의 부호에 따라 그래프가 어떤 특징을 가졌는지 알아봤지요? 바로 a가 기울기입니다. 그래프의 특징에 아주 큰 영향을 미치니까 기울기에 대해서 꼭 알고 있어야겠죠?

함수식이 주어진 경우라면 a를 바로 구할 수 있지만, 식이 주어지지 않았다면 어떻게 a를 구하는지 알아볼까요.

일차함수의 기울기

기울기는 말 그대로 그래프가 기울어진 정도를 나타내는 용어에요. 그런데 얼마나 기울어졌는지를 각도로 표현하지 않고 숫자로 표현해요.

이 숫자를 구하는 방법이에요.

그럼 x, y값의 증가량은 어떻게 구하느냐? 그래프에서 임의의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 고르세요. 직선 위에 있는 점이면 아무 점이나 괜찮아요. 두 점의 (B점의 x 좌표 - A점의 x 좌표) 가 x의 증가량 (B점의 y 좌표 - A점의 y 좌표)가 y의 증가량입니다.

x, y의 증가량을 구할 때 주의해아 할 것은 x의 증가량을 구할 때 B에서 A를 뺐다면 y의 증가량을 구할 때도 B에서 A를 빼야 한다는 거예요. 큰 수에서 작은 수를 빼는 게 아니에요. 증가량이라고 표현했지만 실제로는 x, y이 변한 정도를 나타내는 말로 감소량을 포함하고 있는 거예요. 따라서 x, y의 증가량은 부호가 (-)일 수도 있고 둘의 부호가 다를 수도 있다는 점을 알아두세요.

다음 일차함수의 그래프를 보고 기울기를 구하여라.

위 그래프에는 기울기가 표시되어 있지만 직접 구해보죠. 그래프가 x축과 만나는 점, y축과 만나는 점의 좌표를 구할 수 있죠? (2, 0)과 (0, 2)입니다.

두 점의 좌표를 이용해서 구한 기울기가 문제에서 주어진 함수식에서의 기울기와 같죠?

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일차함수 y = ax의 그래프의 특징에 대해서 이해했나요?

• 원점 (0, 0)을 지난다.
• 기울기의 절댓값이 커질수록 y축에 가깝다.
• a > 0 이면
  • 오른쪽 위로 향하는 직선
  • x 증가 → y 증가
  • 1, 3 사분면
• a < 0이면
  • 오른쪽 아래로 향하는 직선
  • x 증가 → y 감소
  • 2, 4 사분면

y = ax + b의 그래프는 y = ax 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평형이동한 그래프라는 것까지는 알고 있어야 해요.

오늘은 그래프를 읽는 법을 공부할 겁니다. 그래프는 통해서 무엇을 알 수 있는지요. 나중에는 반대로 특정한 정보를 주고, 그래프를 그리는 법도 공부할 거예요.

x절편

함수의 그래프에서 절편은 함수의 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 말해요. x축과 만나는 점의 x좌표를 x 절편, y축과 만나는 점의 y좌표를 y절편이라고 하지요.

x축의 y좌표는 0이니까 그래프가 x축과 만나는 점의 y 좌표도 0이죠. 이거는 그래프를 통해서 확인할 수 있어요. 그래서 x 절편을 다른 말로 y = 0일 때의 x값이라고도 해요. 어차피 같은 얘기예요. 중요한 건 x축과 만나는 점의 x좌표인데 이 점의 y 좌표가 0이니까 함수식에 y = 0을 대입해서 그때의 x값을 구하면 돼요

y = 2x + 2라는 함수가 있고 이 함수 그래프의 x절편을 구해보죠. y = 0을 대입하면,

0 = 2x + 2
2x = -2
x = -1

y = 0일 때의 x값이 -1이죠? 이 -1을 x 절편이라고 해요.

y절편

x절편이 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표라면 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 y 절편이에요. 그래프가 y축과 만나니까 x 좌표가 0이겠죠. 그래서 다른 말로 x = 0일 때의 y좌표라고도 해요.

함수식에 x = 0을 넣어서 y절편을 구해요.

y = 2x + 2
y = 2

x = 0을 대입했더니, y = 2라는 값이 나왔네요. 이 함수의 y절편은 2입니다.

다음 그래프를 보고, x절편과 y절편을 구하여라.

그래프가 x축과 만나는 점의 좌표는 (2, 0)이고, y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 2)이네요. 따라서 x절편은 2, y절편은 2입니다.

그래프를 통해서 구할 수도 있고, 아니면 앞에서 했던 방법처럼 x = 0, y = 0을 대입해서 값을 구할 수도 있어요.

y = ax+b의 x절편, y절편

일차함수 y = ax + b (a ≠ 0, a, b는 상수)에서의 x절편, y절편을 구해볼까요?

x절편을 구할 때는 y = 0을 대입한다고 했어요. 대입해 볼게요.
y = ax + b
0 = ax + b
-ax = b
x = 

x 절편은 네요. 그래서 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표는 (, 0)이고요.

y절편은 x = 0을 대입해서 구해요.
y = ax + b
y = a × 0 + b
y = b

y 절편은 b고, 그때 점의 좌표는 (0, b)예요. 사실 y 절편은 굳이 x = 0을 대입할 필요가 없어요. 왜냐하면 y = ax + b에서 b니까요. 식만 봐도 바로 알 수 있어요.

• x 절편
  • 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표
  • y = 0일 때의 x 값
  • y = ax + b에서는 x = 
  • 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표: (, 0)
• y절편
  • 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표
  • x = 0일 때의 y 값
  • y = ax + b에서는 b
  • 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표: (0, b)

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