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삼각형의 무게중심은 중학교 때 공부했어요. 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선

이번에는 앞서 공부한 내분점과 외분점의 좌표 공식을 이용해서 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 방법을 알아볼 거예요. 공식이 매우 쉬워요. 외우려고 하지 않아도 자동으로 외워지죠.

삼각형의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표도 구해서 원래 삼각형의 무게중심의 좌표와 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요

삼각형의 무게중심의 좌표 구하기

삼각형의 각 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선 즉 중선의 교점을 삼각형의 무게중심이라고 하지요? 중선은 어떤 특징이 있나요? 꼭짓점에서 무게중심에 이르는 거리와 무게중심에서 대변의 중점까지의 거리는 2 : 1이에요. 다시 말해 무게중심은 중선을 2 : 1로 내분하는 거죠.

이 성질을 이용해서 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 알면 무게중심의 좌표를 구할 수 있어요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있다고 해보죠. 이때 선분 BC의 중점을 M(x', y'), △ABC의 무게중심을 G(x, y)라고 할게요.

중점은 선분을 1 : 1로 내분하니까 선분 BC의 중점 M의 좌표는 (, )이에요.

A(x₁, y₁), M(, )을 연결한 선분 AM을 무게중심 G가 2 : 1로 내분하는 성질을 이용해서 점 G의 좌표를 구해보죠.

x 좌표: 

y 좌표: 

좌표 공식인데, 어렵지 않죠?

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표

세 점의 x, y좌표를 다 더해서 3으로 나눴어요. 평균 구하는 것과 같은 방법이네요.

중점을 연결한 삼각형의 무게중심

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있을 때, 각 변의 중점을 점 D, 점 E, 점 F라고 하고 이들을 연결한 삼각형을 △DEF라고 해보죠.

점 D는 선분 BC의 중점이니까 (, )
점 E는 선분 CA의 중점이니까 (, )
점 F는 선분 AB의 중점이니까 (, )

△DEF의 무게중심의 x, y 좌표를 구해보죠.

△DEF의 무게중심의 좌표와 △ABC의 무게중심의 좌표가 같네요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표
= 세 변의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심 G의 좌표

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수직선과 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에 대해서 알아봤어요. 이제는 내분점과 외분점 사이의 관계를 알아볼 거예요. 내분점은 내분점, 외분점은 외분점으로 따로 인 것 같지만 둘은 한 끗 차이에요. 어디를 기준으로 두느냐의 차이지요.

내분점과 외분점은 바늘과 실처럼 항상 함께 하는 사이에요. 문제의 설명을 잘 읽고 이걸 그림으로 표현할 줄 안다면 문제는 쉽게 해결할 수 있어요.

그림을 새로 그리는 것도 아니고 공식을 다시 외우는 것도 아니니까 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

내분점과 외분점 사이의 관계

위 그림에서 점 P는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점이에요. (수직선 위의 선분의 내분점과 외분점)

원래 선분 AP였는데, 선분 AP의 연장선에 점 B가 있다고 생각해볼까요? 그럼 어떻게 되나요? 점 B가 선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점이 되지요? 반대로 선분 PB의 연장선을 점 A가 m : (m + n)으로 외분한다고 할 수도 있겠죠?

세 점 사이의 관계를 내분점과 외분점을 나타내는데, 이들은 서로가 서로에게 내분점이 되기도 하고 외분점이 되기도 해요.

이 관계를 잘 이해하고 있어야 해요. 내분점의 좌표를 가르쳐줬다고 내분점 공식만 이용하는 건 아니니까요.

선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P
선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점 B
선분 PB의 연장선을 m : (m + n)으로 외분하는 점 A

위 그림에서는 어떻게 될까요?

선분 AB의 연장선을 m : n으로 외분하는 점 Q
선분 BQ의 연장선을 (m - n) : m으로 외분하는 점 A
선분 AQ를 (m - n) : n으로 내분하는 점 B

두 점 A(4, 2), B(5, 8)를 연결한 선분의 연장선 위에 있고, 가 되도록 하는 점 C의 좌표를 구하여라.

연장선 위에 있다고 했으니까 일단 점 C는 외분점이에요. 외분하는 비율을 찾아보죠.

조심해야 할 건 비율이 점 C에 대한 비율이 아니라 점 B를 중심으로 하는 비율이에요. 비율만 보면 점 B는 선분 AC를 3 : 2로 내분하는 점이네요.

구하는 건 점 C의 좌표인데, 알려준 비율은 점 B가 내분하는 비율이에요. 약간 혼선이 생기죠? 이럴 때 바로 내분점과 외분점의 관계를 이용하는 거예요.

점 C가 선분 AB의 연장선 중 B 쪽에 있어야 3 : 2라는 비율이 나오겠죠? 그러면 점 C는 B에 가까이 있는 외분점이니까 그 비율은 (3 + 2) : 2 = 5 : 2네요. 좌표평면에 그려보면 조금 더 쉽게 이해가 될 거예요.

좌표평면 위의 선분의 외분점 공식을 이용해야겠네요.

외분점 C의 x좌표 =  =

외분점 C의 y좌표 =  =

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선분의 내분점과 외분점 두 번째로 이번에는 좌표평면에서의 내분점과 외분점이에요. 내분점과 외분점에 대한 설명은 앞선 글에서 했으니까 생략하고 이 글에서는 좌표 구하는 걸 해보죠.

공식 유도 과정이 수직선보다 훨씬 복잡하니까 잘 봐야 해요. 하지만 결과는 둘이 서로 거의 비슷하니까 외우기는 어렵지 않을 거예요.

중학교 때 공부했던 도형의 닮음을 이용한 증명이니까 혹시 기억이 안 난다면 도형의 닮음을 얼른 보고 오세요.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표를 구해보죠.

거리의 비가 m : n이니까 좌표평면위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 직접 거리의 비를 구할 것 같지만 그게 아닌 다른 방법으로 구해보죠.

좌표평면 위에 그림을 세 점 A, B, P를 그려봤어요. 세 점 A, B, P에서 좌표축으로 수선을 내렸고요.

△ACP와 △PDB를 보죠.

∠ACP = ∠PDB = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠PAC = ∠BPD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △ACP ∽ △PDB이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x₂ - x = m : n
n(x - x₁) = m(x₂ - x)
nx - nx₁ = mx₂ - mx
(m + n)x = mx₂ + nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 내분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y₂ - y = m : n
n(y - y₁) = m(y₂ - y)
ny - ny₁ = my₂ - my
(m + n)y = my₂ + ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는

수직선 위의 선분의 내분점에서 m = n이면 P는 중점이라고 했어요. 여기서도 마찬가지로 m = n이면 P는 중점이에요.

좌표평면 위의 선분의 외분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)의 좌표를 구해보죠.

마찬가지로 삼각형의 닮음을 이용합니다. 대신 이번에는 큰 삼각형 △AEQ와 작은 삼각형 △BDQ을 이용해요.

∠AEQ = ∠BDQ = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠QAE = ∠QBD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △AEQ ∽ △BDQ이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x - x₂ = m : n
n(x - x₁) = m(x - x₂)
nx - nx₁ = mx - mx₂
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 외분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y - y₂ = m : n
n(y - y₁) = m(y - y₂)
ny - ny₁ = my - my₂
(m - n)y = my₂ - ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)는
(단, m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같아요. 그리고 y좌표는 x좌표 구하는 공식에서 x만 y로 바꾸면 되고요.

좌표평면 위의 두 점 A(-2, 5), B(4, -3)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 x 좌표 =  =

내분점 P의 y 좌표 =  =

외분점 Q의 x좌표 =  =

외분점 Q의 y좌표 =  =

내분점 P , 외분점 Q (16, -19)

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선분의 내분점과 외분점이라는 생소한 용어에 대해서 공부할 겁니다.

쉽게 말해 내분이라는 말은 나눈다는 말인데, 안에서 나눈다는 뜻이에요. 외분은 바깥에서 나눈다는 뜻이고요. 그러니까 내분점은 안에서 나누는 점이고, 외분점은 바깥에서 나누는 점이죠.

내분점, 외분점이 무엇인지 알아보고 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 공식도 유도해보죠. 수직선 위의 선분의 내분점과 외분점은 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에도 그대로 적용되니까 잘 봐두세요.

수직선 위의 선분의 내분점과 외분점

수직선 위의 선분의 내분점

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여 선분 AB위의 한 점 P가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 P가 를 m : n으로 내분한다고 하고 점 P를 내분점이라고 해요.

점 P의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 적용해볼까요? x₁ < x < x₂네요.

x - x₁ : x₂ - x = m : n
n(x - x₁) = m(x₂ - x)
nx - nx₁ = mx₂ - mx
(m + n)x = mx₂ + nx₁
x =

점 P가 를 내분하는 비율을 알면 점 P의 좌표를 구할 수 있겠죠?

만약에 m = n이면 어떨까요? 이니까 바로 이때 내분점 P는 중점이 되는 거예요.

수직선 위의 선분의 외분점

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여 선분 AB의 연장선 위의 한 점 Q가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 Q가 를 m : n으로 외분한다고 하고 점 Q를 외분점이라고 해요.

점 Q의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 넣어보죠. x₁ < x₂ < x 네요.

x - x₁ : x - x₂ = m : n
n(x - x₁) = m(x - x₂)
nx - nx₁ = mx - mx₂
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

위에서는 m > n일 때였는데, 이번에는 m < n일 때를 보죠. 점 Q가 A의 왼쪽에 있을 때에요. x < x₁ < x₂네요.

x₁ - x : x₂ - x = m : n
n(x₁ - x) = m(x₂ - x)
nx₁ - nx = mx₂ - mx
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

점 Q가 A의 왼쪽에 있든지 B의 오른쪽에 있든지 상관없이 Q의 좌표는 똑같아요. 외분하는 비율 m, n을 알면 점 Q의 좌표를 구할 수 있어요.

좌표를 구하는 공식과는 별개로 외분하는 비율을 보면 외분점의 위치를 알 수 있겠죠? m > n이면 외분점은 점 B의 오른쪽에 m < n이면 외분점은 점 A의 왼쪽에 있어요. 즉 비율이 작은 쪽에 외분점이 있어요.

1 : 1로 내분하면 중점이었죠? 1 : 1로 외분하는 점은 뭘까요? 그런 점은 생길 수가 없어요. 따라서 무조건 m ≠ n이에요.

정리해보죠.

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여
선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 하면

(내분점일 때는 m = n이면 중점, 외분점일 때는 m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같으니까 쉽게 외울 수 있겠죠?

수직선 위의 두 점 A(-2), B(4)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 좌표 =  =

외분점 Q의 좌표 =  =

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