두 근의 곱
이차방정식 실근의 부호
이차방정식은 두 개의 근을 가져요. 근을 구하면 근의 부호를 알 수 있어요. 하지만 부호만 알고 싶을 때는 근을 구하지 않고 이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용하면 근들의 부호를 알 수 있어요.
근 하나하나의 부호를 정확하게 알 수는 없지만 둘의 부호가 같다 다르다 정도는 알 수 있죠. 또 둘의 부호가 같을 때에는 둘 다 양수인지 음수인지도 알 수 있고요.
이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용해서 이차방정식 실근의 부호를 판별하는 방법을 알아보죠.
이차방정식 실근의 부호
복소수에는 대소관계나 부호가 없어서 허근이면 부호를 판별할 수 없어요. 실수는 부호가 있어서 실근일 때만 부호를 판별해요. 따라서 근의 부호를 판별할 때는 실근이라는 조건을 만족해야 해요.
이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 이차방정식이 실근을 가지려면 D ≥ 0이어야 한다고 했어요.
이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근의 부호를 판별하려면 실근을 갖도록 D = b2 - 4ac ≥ 0이어야 해요.
이차방정식 실근의 부호를 판별할 때는 두 근의 합과 두 근의 곱을 이용해요.
두 근 α, β가 둘 다 양수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β > 0이겠죠? 두 근의 곱 αβ > 0일 거예요.
반대로, 두 근 α, β가 둘 다 음수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β < 0이고, 두 근의 곱 αβ > 0이죠.
만약에 두 근 α, β의 부호가 서로 반대면 어떨까요? 하나는 양수, 하나는 음수라면 말이죠. 일단 두 근의 합은 α, β의 절댓값에 따라 달라질 수 있어요. 양수인 근의 절댓값이 크면 합은 양수, 음수인 근의 절댓값이 크면 합은 음수예요. 근을 모르는 상태에서는 두 근의 합의 부호를 알 수가 없어요.
양수와 음수를 곱하니까 두 근의 곱 αβ < 0이에요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 αβ = 
αβ < 0
ac < 0
-4ac > 0
b2 - 4ac > b2
b2 은 실수의 제곱으로 0보다 크거나 같으니까 D = b2 - 4ac > 0이에요. αβ < 0이면 항상 D > 0이므로 D ≥ 0인지 굳이 확인할 필요가 없어요.
두 근이 부호가 반대일 때는 D ≥ 0은 확인할 필요가 없고 α + β의 부호는 알 수 없으니 αβ < 0인지만 확인하면 되는 거죠.
이차방정식 실근의 부호
ax2 + bx + c = 0(a, b, c는 실수, a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때
두 근이 모두 양수: D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0
두 근이 모두 음수: D ≥ 0, α + β < 0, αβ > 0
두 근의 부호가 반대: αβ < 0
이차방정식 x2 + 5x + 4 = 0의 근을 α, β라고 할 때 α, β의 부호를 판별하여라.
근의 부호를 판별하려면 판별식 D, 두 근의 합 α + β, 두 근의 곱 αβ의 부호를 알아봐야 해요.
D = 52 - 4 × 1 × 4 = 25 - 16 = 9 > 0이므로 서로 다른 실근 두 개를 갖는군요. 부호를 판별할 수 있어요..
이차방정식에서 두 근의 합과 곱의 부호를 알려면 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해요.
α + β = -5 < 0이므로 둘 다 음수일 수도 있어요. 또 부호가 반대고 음수인 근의 절댓값이 큰 경우일 수도 있지요.
αβ = 4 > 0이므로 두 근의 부호가 같네요.
결국 이차방정식의 두 근 α, β는 둘 다 음수입니다
실제로 이차방정식의 근은 -1, -4로 둘 다 음수예요.
이차방정식 x2 - 4x + (k - 3) = 0의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 k의 범위를 구하여라.
이차방정식의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근이 모두 양수이려면 D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0이어야 해요.
이차항의 계수가 짝수니까 D/4를 이용해보죠.
D/4 = (-2)2 - 1 × (k - 3) ≥ 0
4 - k + 3 ≥ 0
k ≤ 7
α + β = 4 > 0이네요. k가 들어있지 않으니까 문제와 직접적인 관계는 없어요.
αβ = k - 3 > 0
k > 3
k ≤ 7과 k > 3을 동시에 만족해야 하므로 3 < k ≤ 7입니다.
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두 수를 근으로 하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식
이번에도 중3 때 공부했던 내용에 대해서 복습하는 거예요.
이차방정식의 해를 구하는 게 아니라, 이차방정식의 해를 알려주고 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제에요. 때로는 해를 알려주는 대신에 두 근의 합과 곱을 알려주고 이차방정식을 구하는 문제도 나오죠.
새로운 내용은 아니고 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 하면 되는 내용이에요.
이럴 경우에 어떻게 이차방정식을 구하는지 알아봐요.
두 수를 근으로 하는 이차방정식
두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거예요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 or x = 2
두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.
x = α or x = β
(x - α)(x - β) = 0
x2 - (α + β)x + αβ = 0
-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.
두 근이 -2, 3이니까 인수분해가 된 식으로 바꿔보면
(x + 2)(x - 3) = 0
x2 - x - 6 = 0
이번에는 이차항의 계수가 1이 아닌 경우를 알아보죠. 위 예제를 살짝 바꿔볼까요?
-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.
(x + 2)(x - 3) = 0
x2 - x - 6 = 0
이차항의 계수가 2라고 했으니까 위 식의 이차항의 계수를 2로 바꿔서 2x2 - x - 6 = 0이 될까요? 방정식의 해를 식에 대입하면 식이 성립해야 하죠? 그런데 x = -2를 식에 대입해보면 식이 성립하지 않아요. 즉 이 방정식은 -2를 해로 갖지 않는 식이라는 거예요.
이차방정식의 계수가 2이면 단순히 이차항의 계수만 2로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 곱해줘야 해요. 해를 구하려고 인수분해할 때 공통인수 2로 묶였다고 생각해야 합니다.
2(x + 2)(x - 3) = 0
2(x2 - x - 6) = 0
2x2 - 2x - 12 = 0
이차항의 계수가 1이 아니라 a일 때는 이차항의 계수만 a로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 a를 곱해줘야 한다는 점에 주의하세요.
두 근이 α, β이고, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0
두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식
위 공식을 전개해볼까요?
a(x - α)(x - β) = 0
a{x2 - (α + β)x + αβ} = 0
위 전개식에 두 근의 합과 곱이 들어있어요. 일차항의 계수는 두 근의 합의 부호를 바꾼 것이고, 상수항은 두 근의 곱이죠. 그리고 제일 앞에 이차항의 계수 a를 곱해주는 모양이네요.
이번에는 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 유도해볼까요?
두 근의 합 α + β와 두 근의 곱 αβ가 주어져 있을 때, 이차방정식을 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)이라고 해보죠.
α + β =
-a(α + β) = b
αβ =
aαβ = c
ax2 + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax2 + bx + c = 0
ax2 - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x2 - (α + β)x + αβ} = 0
어떤 방법을 이용하던 결과는 똑같아요.
두 근의 합이 m이고 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x2 - mx + n) = 0
a(x2 - 합x + 곱) = 0
여기서도 마찬가지로 이차항의 계수는 단순히 이차항의 계수만 바꿔주는 게 아니라 a를 식 전체에 곱해줘야 해요.
이차방정식 x2 - 3x + 6 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β, αβ를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식
(2) α + 1, β + 1을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식
이차방정식이 인수분해가 되지 않아요. 근의 공식을 이용해서 근을 구할 수도 있지만, 무리수인 근을 더하고 곱하는 과정을 굳이 거치지 않고도 문제를 풀 수 있어요. 두 근을 직접 구하기보다 두 근의 합과 곱을 이용해서 풀면 되죠.
이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 α + β = 3, αβ = 6
(1) α + β = 3, αβ = 6이므로 3, 6을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하라는 거네요.
2(x - 3)(x - 6) = 0
2(x2 - 9x + 18) = 0
2x2 - 18x + 36 = 0
(2)는 문제에서 구하는 이차방정식의 두 근이 α + 1, β + 1이니까 이들의 합과 곱을 구해보죠.
(α + 1) + (β + 1) = α + β + 2 = 3 + 2 = 5
(α + 1)(β + 1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 3 + 1 = 10
x2 - 5x + 10 = 0
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이차방정식의 근과 계수와의 관계
이차방정식의 근과 계수와의 관계는 중3 때 근과 계수와의 관계에서 했어요. 내용은 전혀 달라지지 않았습니다. 완전히 똑같아요. 대신 이걸 활용하는 문제가 조금 더 어려워진 것뿐이에요.
근과 계수와의 관계 공식을 잊어버렸다면 이 글을 통해서 한번 더 복습하고 앞으로는 잊어버리지 않도록 하세요.
이차방정식의 근과 계수와의 관계 문제에서는 곱셈공식의 변형을 이용한 문제들이 많이 나오니까 이 공식들도 기억하고 있어야 해요.
이차방정식의 근과 계수와의 관계
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요.
이차방정식의 두 근을 α, β라고 하고 
두 근의 합과 계수와의 관계
일단 두 근 α, β를 더 해보죠.
두 근의 곱과 계수와의 관계
이번에는 두 근을 곱해볼게요.
정리해보면 아래 공식을 얻을 수 있어요.
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
α + β = -$\frac{b}{a}$ αβ = $\frac{c}{a}$
두 근의 차와 계수와의 관계
이번에는 차를 구해보죠. 차는 α, β 중 어느 것이 더 큰지 모르니까 절댓값을 이용해서 구해요.
분자는 근의 공식에서 뒤에 있는 제곱근 부분으로 판별식 D에 루트 씌워놓은 거고, 분모는 |a|네요.
위 공식을 이용해서 차를 구하는 경우보다는, 두 근의 합(α + β)와 두 근의 곱(αβ)를 이용해서 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이때, 곱셈공식의 변형을 사용해요.
2x2 + 4x - 8 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β
(2) αβ
(3) α2 + β2
(4) (α + 1)(β + 1)
(5)
(6) |α - β|
(1) α + β =
(2) αβ =
(3) α2 + β2은 곱셈공식의 변형을 이용한 문제예요.
α2 + β2
= (α + β)2 - 2αβ
= (-2)2 - 2 × (-4)
= 4 + 8 = 12
(4) (α + 1)(β + 1)는 곱셈공식을 이용해서 전개해야겠네요.
(α + 1)(β + 1)
= αβ + α + β + 1
= -4 + (-2) + 1
= -5
(5) 
(6) 두 근의 차는 두 근의 합, 두 근의 곱, 곱셈공식의 변형을 이용해서 구하고, 절댓값으로 표현합니다.
(α - β)2 = (α + β)2 - 4αβ
(α - β)2 = (-2)2 - 4 × (-4)
(α - β)2 = 4 + 16
(α - β)2 = 20
|α - β| =
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합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
이차방정식에서 근을 구하는 방법을 모두 배웠어요. 간단하게 정리해보자면 먼저 인수분해를 해서 구하고, 인수분해가 안되면 근의 공식을 사용하는 거죠.
이제는 거꾸로 생각해볼까요?
이차방정식을 주고 그 해를 구하는 게 아니라 해를 알려주고 이차방정식을 구하는 경우요.
이번 글에서는 이차방정식의 두 근을 알려주었을 때와 두 근 대신 두 근의 합과 곱을 알려주었을 때 이차방정식을 구하는 방법을 공부해보죠.
두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거에요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, x = 2
두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.
x = α, β
(x - α)(x - β) = 0
x2 - (α + β)x + αβ = 0
두 근이 2, 3이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.
거꾸로 주어진 두 근을 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 이 식을 전개해서 이차방정식을 구하는 거예요.
두 근이 2, 3이므로
(x - 2)(x - 3) = 0
x2 - 5x + 6 = 0
두 근이 4, 5이고 이차항의 계수가 3인 이차방정식을 구하여라.
위 문제와 다른 점은 이차항의 계수가 1이 아닌 3이라는 거예요.
(x - 4)(x - 5) = 0
x2 - 9x + 20 = 0
여기에 이차항의 계수가 3이라고 했으니 3x2 - 9x + 20 = 0이라고 쓰면 될까요? 절대 안돼요. 3x2 - 9x + 20 = 0에 x = 4를 넣으면 식이 성립하지 않아요. 그러니까 이 식은 4를 근으로 갖지 않는 거죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때는 인수분해로 만든 식에 이차항의 계수 곱해줍니다. 위에서 만든 식이 (x - 4)(x - 5) = 0였으니까 여기에 이차항의 계수 3을 곱하면 3(x - 4)(x - 5) = 0이 되는 거죠.
이 식을 전개하면 3x2 - 27x + 60 = 0가 되는데 이게 문제에서 구하는 이차방정식이에요.
두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기
두 근이 아니라 합과 곱이 주어졌을 때입니다. 이 때는 근을 구할 필요가 없어요.
위에서 사용했던 공식 a(x - α)(x - β) = 0의 괄호 부분을 전개해보세요. 식이 어떻게 되나요?
a(x - α)(x - β) = 0
a{x2 - (α + β) x + αβ} = 0
이 전개식에 합과 곱을 집어넣으면 돼요.
두 근의 합이 2이고 곱이 -8인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2)
두 근의 합과, 곱, 이차항의 계수를 알려주었네요.
a(x2 - 합x + 곱) = 0
2(x2 - 2x - 8) = 0
2x2 - 4x - 16 = 0