두 수를 근으로 하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식

이번에도 중3 때 공부했던 내용에 대해서 복습하는 거예요.

이차방정식의 해를 구하는 게 아니라, 이차방정식의 해를 알려주고 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제에요. 때로는 해를 알려주는 대신에 두 근의 합과 곱을 알려주고 이차방정식을 구하는 문제도 나오죠.

새로운 내용은 아니고 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 하면 되는 내용이에요.

이럴 경우에 어떻게 이차방정식을 구하는지 알아봐요.

두 수를 근으로 하는 이차방정식

두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거예요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.

x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 or x = 2

두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.

x = α or x = β
(x - α)(x - β) = 0
x² - (α + β)x + αβ = 0

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

두 근이 -2, 3이니까 인수분해가 된 식으로 바꿔보면
(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이번에는 이차항의 계수가 1이 아닌 경우를 알아보죠. 위 예제를 살짝 바꿔볼까요?

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이차항의 계수가 2라고 했으니까 위 식의 이차항의 계수를 2로 바꿔서 2x² - x - 6 = 0이 될까요? 방정식의 해를 식에 대입하면 식이 성립해야 하죠? 그런데 x = -2를 식에 대입해보면 식이 성립하지 않아요. 즉 이 방정식은 -2를 해로 갖지 않는 식이라는 거예요.

이차방정식의 계수가 2이면 단순히 이차항의 계수만 2로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 곱해줘야 해요. 해를 구하려고 인수분해할 때 공통인수 2로 묶였다고 생각해야 합니다.

2(x + 2)(x - 3) = 0
2(x² - x - 6) = 0
2x² - 2x - 12 = 0

이차항의 계수가 1이 아니라 a일 때는 이차항의 계수만 a로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 a를 곱해줘야 한다는 점에 주의하세요.

두 근이 α, β이고, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식

위 공식을 전개해볼까요?

a(x - α)(x - β) = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

위 전개식에 두 근의 합과 곱이 들어있어요. 일차항의 계수는 두 근의 합의 부호를 바꾼 것이고, 상수항은 두 근의 곱이죠. 그리고 제일 앞에 이차항의 계수 a를 곱해주는 모양이네요.

이번에는 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 유도해볼까요?

두 근의 합 α + β와 두 근의 곱 αβ가 주어져 있을 때, 이차방정식을 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)이라고 해보죠.

α + β =
-a(α + β) = b

αβ =
aαβ = c

ax² + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax² + bx + c = 0
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

어떤 방법을 이용하던 결과는 똑같아요.

두 근의 합이 m이고 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

여기서도 마찬가지로 이차항의 계수는 단순히 이차항의 계수만 바꿔주는 게 아니라 a를 식 전체에 곱해줘야 해요.

이차방정식 x² - 3x + 6 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β, αβ를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식
(2) α + 1, β + 1을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식

이차방정식이 인수분해가 되지 않아요. 근의 공식을 이용해서 근을 구할 수도 있지만, 무리수인 근을 더하고 곱하는 과정을 굳이 거치지 않고도 문제를 풀 수 있어요. 두 근을 직접 구하기보다 두 근의 합과 곱을 이용해서 풀면 되죠.

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 α + β = 3, αβ = 6

(1) α + β = 3, αβ = 6이므로 3, 6을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하라는 거네요.

2(x - 3)(x - 6) = 0
2(x² - 9x + 18) = 0
2x² - 18x + 36 = 0

(2)는 문제에서 구하는 이차방정식의 두 근이 α + 1, β + 1이니까 이들의 합과 곱을 구해보죠.
(α + 1) + (β + 1) = α + β + 2 = 3 + 2 = 5
(α + 1)(β + 1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 3 + 1 = 10

x² - 5x + 10 = 0

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정리해볼까요

두 근 (α, β)과 이차항의 계수(a)가 주어졌을 때

• a(x - α)(x - β) = 0

두 근의 합과 곱, 이차항의 계수(a)가 주어졌을 때

• a(x² - 합x + 곱) = 0

이차방정식의 근과 계수와의 관계

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