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삼차방정식 중에서 특이한 형태의 삼차방정식 하나를 더 공부할 거예요. x³ = 1인데요. 그냥 보면 x = 1이라는 실근이 하나보이죠? x = 1 말고 허근이 더 있는데, 이 허근을 오메가(ω)라고 해요. 그런데 이 ω가 재밌는 성질이 있어요. 그래서 이 글에서는 오메가의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

오메가 (ω)의 성질을 외울 수 있으면 외우면 좋아요. 너무 헷갈려서 외우기 어렵다면 성질을 유도할 수 있어야 해요. ω²이 정확하게 무슨 값인지는 몰라도 "ω²이 특정한 값을 갖고 있다"는 사실은 기억하고 있어야 한다는 얘기죠. 성질의 정확한 값을 모르더라도 성질이 있다없다 정도만 기억하고 있다가 문제에 맞게 유도할 수 있을 정도는 되어야 합니다.

x³ = 1 허근 오메가(ω)의 성질

삼차방정식 x³ = 1의 해를 구해보죠.

x³ = 1
x³ - 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0
x = 1 or

인수분해 공식 a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)을 이용해서 인수분해 했고, 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요.

허근 를 볼까요? = ω (오메가)라고 한다면 켤레근을  =  (오메가 바)라고 할 수 있죠?

일단 ω와 는 x³ = 1의 근이니까 ω³ = 1,  = 1이에요.

또, x² + x + 1의 두 근이기도 하므로 ω² + ω + 1 = 0, 이에요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 두 근의 합과 곱도 구할 수 있어요.

이라는 얘기는 ω와 가 서로에게 곱셈에 대한 역원 즉, 역수라는 얘기예요. ,

또 위 성질들을 합쳐서 다음 성질도 유도해 낼 수 있어요.

x³ = 1의 허근 ω의 성질

x3 = 1의 한 허근 ω	켤레근
ω3 = 1	= 1
ω2 + ω + 1 = 0

x³ = 1의 한 허근을 ω라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) ω²⁰¹³ + ω²⁰¹⁴ + ω²⁰¹⁵ + … + ω²⁰¹⁹
(2)

x³ = 1
x³ - 1 =0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0
ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0, 등 많은 성질이 있어요.

(1) ω²⁰¹³ + ω²⁰¹⁴ + ω²⁰¹⁵ + … + ω²⁰¹⁹
= ω²⁰¹³(1 + ω + ω²) + ω²⁰¹⁶(1 + ω + ω²) + ω²⁰¹⁹
= (ω³)⁶⁷¹(1 + ω + ω²) + (ω³)⁶⁷²(1 + ω + ω²) + (ω³)⁶⁷³
= 1 × 0 + 1 × 0 + 1           (∵ ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0)
= 1

x³ = -1 허근 오메가(ω)의 성질

삼차방정식 x³ = -1에서도 비슷한 성질을 알 수 있어요. 둘을 헷갈리지 마세요.

x³ = -1
x³ + 1 = 0
(x + 1)(x² - x + 1) = 0
x = -1 or

한 허근 = ω, 켤레근  = 라고 해보죠.

x³ = 1에서와 같은 방법을 이용하면 아래의 성질을 유도할 수 있어요.

x³ = -1의 허근 ω의 성질

x3 = -1의 한 허근 ω	켤레근
ω3 = -1	= -1
ω2 - ω + 1 = 0

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이차방정식 근과 계수와의 관계에서는 이차방정식의 두 근의 합과 곱, 계수 사이의 재밌는 관계를 공부했었죠?

삼차방정식에도 세 근의 합과 곱, 계수 사이의 재미있는 관계를 공부할 거예요. 이 관계를 알면 삼차방정식만 보고 세 근의 합과 곱을 구할 수 있어요. 또, 합과 곱이 포함된 여러 가지 응용된 식의 값도 구할 수 있고요.

삼차방정식의 근과 계수와의 관계는 세 근의 합과 곱, 곱셈공식이 섞여서 나오니까 곱셈공식을 다 외우고 있어야 풀 수 있어요. 곱셈공식을 얼른 보고 오세요.

삼차방정식 근과 계수와의 관계

이차방정식은 보통 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)으로 쓰죠? 삼차방정식은 보통 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)으로 써요. 또 이차방정식의 두 근은 α, β라고 하고, 삼차방정식의 세 근은 α, β, γ라고 해요.

이차항의 계수가 a이고 α, β를 근으로 하는 이차방정식은 a(x - α)(x - β) = 0으로 쓰죠? 그럼 삼차항의 계수가 a이고 세 근이 α, β, γ인 삼차방정식은 어떻게 쓸까요? a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0으로 써요.

곱셈공식 중에 다음과 같은 공식이 있었어요. 이 곱셈공식을 이용해서 전개해보죠.

(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0
a{x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ} = 0
ax³ - a(α + β + γ)x² + a(αβ + βγ + γα)x - aαβγ = 0

이 전개식과 ax³ + bx² + cx + d = 0을 비교하면 삼차방정식의 세 근과 계수와의 관계를 알 수 있어요.

b = - a(α + β + γ)  →  α + β + γ =
c = a(αβ + βγ + γα)  →  αβ + βγ + γα =
d = - aαβγ  →  αβγ =

삼차방정식 근과 계수와의 관계
ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)의 세 근을 α, β, γ라고 할 때
α + β + γ =
αβ + βγ + γα =
αβγ =

삼차방정식 2x³ - 4x² + 6x - 8 = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β + γ
(2) αβ + βγ + γα
(3) αβγ
(4)
(5) α² + β² + γ²
(6) α³ + β³ + γ³

근과 계수와의 관계에 이용해서 풀어야 해요. 특히 (5), (6)번은 곱셈공식과 곱셈공식의 변형까지 이용해야 하고요.

(1) α + β + γ =

(2) αβ + βγ + γα =

(3) αβγ =

(5) 곱셈공식 중에 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 공식이 있었어요.

(α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2(αβ + βγ + γα)
2² = α² + β² + γ² + 2 × 3
α² + β² + γ² = -2

(6)번은 곱셈공식의 변형 중에서 a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc를 이용해요.
α³ + β³ + γ³
= (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα) + 3αβγ
= (α + β + γ){α² + β² + γ² - (αβ + βγ + γα)} + 3αβγ
= 2 × (-2 - 3) + 3 × 4
= 2

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이번에도 중3 때 공부했던 내용에 대해서 복습하는 거예요.

이차방정식의 해를 구하는 게 아니라, 이차방정식의 해를 알려주고 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제에요. 때로는 해를 알려주는 대신에 두 근의 합과 곱을 알려주고 이차방정식을 구하는 문제도 나오죠.

새로운 내용은 아니고 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 하면 되는 내용이에요.

이럴 경우에 어떻게 이차방정식을 구하는지 알아봐요.

두 수를 근으로 하는 이차방정식

두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거예요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.

x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 or x = 2

두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.

x = α or x = β
(x - α)(x - β) = 0
x² - (α + β)x + αβ = 0

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

두 근이 -2, 3이니까 인수분해가 된 식으로 바꿔보면
(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이번에는 이차항의 계수가 1이 아닌 경우를 알아보죠. 위 예제를 살짝 바꿔볼까요?

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이차항의 계수가 2라고 했으니까 위 식의 이차항의 계수를 2로 바꿔서 2x² - x - 6 = 0이 될까요? 방정식의 해를 식에 대입하면 식이 성립해야 하죠? 그런데 x = -2를 식에 대입해보면 식이 성립하지 않아요. 즉 이 방정식은 -2를 해로 갖지 않는 식이라는 거예요.

이차방정식의 계수가 2이면 단순히 이차항의 계수만 2로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 곱해줘야 해요. 해를 구하려고 인수분해할 때 공통인수 2로 묶였다고 생각해야 합니다.

2(x + 2)(x - 3) = 0
2(x² - x - 6) = 0
2x² - 2x - 12 = 0

이차항의 계수가 1이 아니라 a일 때는 이차항의 계수만 a로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 a를 곱해줘야 한다는 점에 주의하세요.

두 근이 α, β이고, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식

위 공식을 전개해볼까요?

a(x - α)(x - β) = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

위 전개식에 두 근의 합과 곱이 들어있어요. 일차항의 계수는 두 근의 합의 부호를 바꾼 것이고, 상수항은 두 근의 곱이죠. 그리고 제일 앞에 이차항의 계수 a를 곱해주는 모양이네요.

이번에는 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 유도해볼까요?

두 근의 합 α + β와 두 근의 곱 αβ가 주어져 있을 때, 이차방정식을 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)이라고 해보죠.

α + β =
-a(α + β) = b

αβ =
aαβ = c

ax² + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax² + bx + c = 0
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

어떤 방법을 이용하던 결과는 똑같아요.

두 근의 합이 m이고 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

여기서도 마찬가지로 이차항의 계수는 단순히 이차항의 계수만 바꿔주는 게 아니라 a를 식 전체에 곱해줘야 해요.

이차방정식 x² - 3x + 6 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β, αβ를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식
(2) α + 1, β + 1을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식

이차방정식이 인수분해가 되지 않아요. 근의 공식을 이용해서 근을 구할 수도 있지만, 무리수인 근을 더하고 곱하는 과정을 굳이 거치지 않고도 문제를 풀 수 있어요. 두 근을 직접 구하기보다 두 근의 합과 곱을 이용해서 풀면 되죠.

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 α + β = 3, αβ = 6

(1) α + β = 3, αβ = 6이므로 3, 6을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하라는 거네요.

2(x - 3)(x - 6) = 0
2(x² - 9x + 18) = 0
2x² - 18x + 36 = 0

(2)는 문제에서 구하는 이차방정식의 두 근이 α + 1, β + 1이니까 이들의 합과 곱을 구해보죠.
(α + 1) + (β + 1) = α + β + 2 = 3 + 2 = 5
(α + 1)(β + 1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 3 + 1 = 10

x² - 5x + 10 = 0

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이차방정식의 근과 계수와의 관계는 중3 때 근과 계수와의 관계에서 했어요. 내용은 전혀 달라지지 않았습니다. 완전히 똑같아요. 대신 이걸 활용하는 문제가 조금 더 어려워진 것뿐이에요.

근과 계수와의 관계 공식을 잊어버렸다면 이 글을 통해서 한번 더 복습하고 앞으로는 잊어버리지 않도록 하세요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계 문제에서는 곱셈공식의 변형을 이용한 문제들이 많이 나오니까 이 공식들도 기억하고 있어야 해요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

이차방정식의 두 근을 α, β라고 하고  , 라고 해보죠.

두 근의 합과 계수와의 관계

일단 두 근 α, β를 더 해보죠.

두 근의 곱과 계수와의 관계

이번에는 두 근을 곱해볼게요.

정리해보면 아래 공식을 얻을 수 있어요.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
α + β = -$\frac{b}{a}$    αβ = $\frac{c}{a}$

두 근의 차와 계수와의 관계

이번에는 차를 구해보죠. 차는 α, β 중 어느 것이 더 큰지 모르니까 절댓값을 이용해서 구해요.

분자는 근의 공식에서 뒤에 있는 제곱근 부분으로 판별식 D에 루트 씌워놓은 거고, 분모는 |a|네요.

위 공식을 이용해서 차를 구하는 경우보다는, 두 근의 합(α + β)와 두 근의 곱(αβ)를 이용해서 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이때, 곱셈공식의 변형을 사용해요.

2x² + 4x - 8 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β
(2) αβ
(3) α² + β²
(4) (α + 1)(β + 1)
(5)
(6) |α - β|

(1) α + β =

(2) αβ =

(3) α² + β²은 곱셈공식의 변형을 이용한 문제예요.
α² + β²
= (α + β)² - 2αβ
= (-2)² - 2 × (-4)
= 4 + 8 = 12

(4) (α + 1)(β + 1)는 곱셈공식을 이용해서 전개해야겠네요.
(α + 1)(β + 1)
= αβ + α + β + 1
= -4 + (-2) + 1
= -5

(5) 는 통분해서 계산해보죠.

(6) 두 근의 차는 두 근의 합, 두 근의 곱, 곱셈공식의 변형을 이용해서 구하고, 절댓값으로 표현합니다.
(α - β)² = (α + β)² - 4αβ
(α - β)² = (-2)² - 4 × (-4)
(α - β)² = 4 + 16
(α - β)² = 20
|α - β| = 

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