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거듭제곱근에 대해서 알아봤는데요. 이제는 거듭제곱근에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

거듭제곱근을 구할 때는 방정식을 이용해서 구했는데 그렇게 구한 거듭제곱근에는 실수도 있고 복소수도 있었죠? 앞으로는 거듭제곱근 중에서 실수인 것만 사용하는데, 실수인 거듭제곱근은 몇 개가 있는지 그래프를 통해서 알아볼 거예요.

그리고 실수인 거듭제곱근이 의미하는 것에 대해서도 알아볼 건데 이게 좀 어려우니까 집중해서 잘 보세요.

실수인 거듭제곱근

방정식에서 x의 차수만큼 해가 존재해요. 거듭제곱근도 식으로 표현하면 일종의 방정식이죠?

xⁿ = a ⇔ a의 n제곱근

위 식을 만족하는 x는 n개 존재해요.

방정식의 해는 삼차방정식 x³ = 1의 허근 ω 오메가의 성질에서 봤던 것처럼 실근과 허근이 섞여 있어요. 마찬가지로 a의 n 제곱근은 n개 있는데 그중에는 실수와 허수가 섞여 있는 거죠. 하지만 여기서는 실수인 것만 다뤄요.

xⁿ = a를 만족하는 실수 x를 구하기 위해서 두 개의 그래프로 나눠서 생각해보죠. y = xⁿ과 y = a의 그래프의 교점의 x좌표가 실수 x가 되겠죠?

n이 짝수일 때

먼저 n이 짝수일 때예요. 그냥 간단하게 이차함수의 그래프를 생각하세요. y축에 대하여 대칭이에요.

a > 0일 때는 y = xⁿ과 y = a의 그래프는 두 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 두 개라는 걸 알 수 있어요. 양수인 것은 , 음수인 것은 예요.

n = 2일 때도 양수와 음수 2개의 제곱근이 있었어요.

거듭제곱근을 나타낼 때는 근호()의 모서리에 조그맣게 n을 쓰고 근호 안에는  a를 써요. 읽을 때는 그냥 n제곱근 a라고 읽고요. 에서는 2를 생략하고 그냥 만 써도 괜찮아요.

a = 0일 때는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 0은 그냥 0이죠?  = 0

a < 0일 때는 만나는 점이 없어서 n 제곱근 중에 실수인 x가 없어요.

n이 홀수일 때

a의 부호와 상관없이 y = xⁿ과 y = a의 그래프는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 이때는 라는 한 개의 실수만 있어요.

a > 0이면 교점이 y축보다 오른쪽에 있으니까 x = , a = 0이면 x =  = 0이죠. 그럼 a < 0일 때는 교점이 y축보다 왼쪽에 있으니까 x = 일까요?

그래프에서 보면 y축에서 왼쪽에 있는 교점의 x좌표 앞에 (-)가 안 붙어있죠? 왜 그럴까요?

실수의 곱에서 음수를 홀수 개 곱하면 그 결과가 음수고, 음수를 짝수 개 곱하면 그 결과가 양수예요. x³ = -1에서 어떤 똑같은 수를 세 번 곱해서 -1이 나오려면 세 수가 모두 음수인 -1이어야 해요. 음수를 세 개 곱해야 음수가 나오니까요.

xⁿ = a에서 n이 홀수일 때, a < 0이면 x < 0이어야 한다는 거죠. x가 음수여야 x를 홀수 개 곱했을 때 음수 a가 나와요.

x = 인데, 그 자체가 이미 음수라는 의미를 포함하고 있어요. 그러니까 따로 n 제곱근호 앞에 (-) 부호를 붙이지 않아도 음수라는 거죠.

마치 ax² + bx + c = 0 (a < 0)에서 a 앞에 (-) 부호가 없지만 a 자체가 음수인 거랑 비슷한 거예요.

조금 이해하기 어려울 수 있는데, 천천히 다시 읽어보세요.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수		0	없다.
n이 홀수

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i² = -1이었죠? 그럼 i³, i⁴는 얼마일까요? i의 거듭제곱은 일정한 패턴이 있어요. 이 패턴을 이용하면 i¹⁰⁰, i¹⁰⁰⁰처럼 지수가 아무리 크더라도 그 값을 구할 수 있어요. 어떤 패턴이 있는지 알아보죠.

중학교에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 할 때, 근호는 그대로 두고, 근호 안의 숫자끼리만 곱하거나 나누면 된다고 공부했어요. 그런데 근호 안의 숫자가 양수라는 조건이 있었죠.

허수는 근호 안의 숫자가 음수예요. 과연 근호 안의 숫자가 음수일 때도 같은 성질이 성립하는지 아니면 성립하지 않는지 알아볼 거예요.

i의 거듭제곱

i를 거듭제곱하면 특별한 성질을 발견할 수 있어요. 거듭제곱을 해보죠.

i = i
i² = -1
i³ = i × i² = i × (-1) = -i
i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1
i⁵ = i × i⁴ = i × 1 = i
i⁶ = i² × i⁴ = (-1) × 1 = -1
i⁷ = i³ × i⁴ = -i × 1 = -i
i⁸ = i⁴ × i⁴ = 1 × 1 = 1

결과만 보면, i, -1, -i, 1이 계속 반복되고 있어요.
지수가 1, 5, 9, 13, …이면 i
지수가 2, 6, 10, 14, …이면 -1
지수가 3, 7, 11, 15, …이면 -i
지수가 4, 8, 12, 16, …이면 1

지수를 수식으로 표현하면 i의 거듭제곱은 순환하는 걸 알 수 있어요.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹를 간단히 하여라.

i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1이 계속 반복돼요. 또 i^4n-3 + i^4n-2 + i^4n-1 + i⁴ⁿ = i + (-1) + (-i) + 1 = 0이에요. i의 거듭제곱 중 연속하는 네 개의 합은 0이 되는 거죠.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹
= i²⁰⁹⁷ + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹               (∵ 앞에서부터 4개씩의 합 = 0)
= i²⁰⁹⁶(i + i² + i³)                      (∵ i²⁰⁹⁶로 묶기)
= i + i² + i³                                (∵ i⁴ⁿ = 1)
= i - 1 - i
= -1

음수의 제곱근의 성질

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근을 씌워주면 된다고 했어요.

그런데 허수의 제곱근에서도 이렇게 될까요?

이 식은 틀렸어요. 근호 속의 (-1)을 i로 바꿔서 계산해보죠.

근호안의 숫자는 6으로 같은데, 부호가 다르죠? 왜냐하면, 근호 안에 있는 (-1)때문이에요. ()² = i² = -1이잖아요.

여기서는 그냥 근호 안의 숫자를 곱해주기만 했어요.

위 세 가지 예의 차이를 보죠.

첫 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 양수예요.

두 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수고요.

세 번째 은 근호 안의 숫자가 하나는 양수, 하나는 음수예요.

즉, 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때에만 근호 앞에 (-)가 붙어요.

그럼 곱셈이 아니라 나눗셈을 해보죠. 제곱근의 나눗셈에서는 근호 안의 숫자만 그냥 바로 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었죠?

근호 안이 둘 다 음수일 때를 해보죠.

둘 다 근호 안이 음수일 때는 그냥 근호 안의 숫자끼리만 나눠준 것과 같아요.

이번에는 분모의 근호 안은 양수이고, 분자의 근호 안은 음수일 때에요.

분모의 근호 안은 양수, 분자의 근호 안은 음수이면 그냥 근호 안의 숫자끼리 나눠준 것과 같네요.

이번에는 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때에요.

근호 안의 숫자끼리 계산했는데, 근호 앞에 (-)가 붙었어요.

네 가지 경우를 봤는데, 정리해보면 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때는 근호 앞에 (-)가 붙고, 그 외에는 (-)가 붙지 않아요. 그리고 숫자는 그냥 그대로 나누죠.

음수의 제곱근의 성질

두 가지 경우를 제외하고는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 했던 대로 근호 안의 숫자의 부호는 상관없이 그냥 숫자끼리 곱하거나 나누면 돼요.

다음을 간단히 하여라.

음수의 제곱근의 성질에서 곱셈은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때만 앞에 (-)를 붙이고 숫자끼리 곱해주는 거였고, 나눗셈은 분모의 근호 안의 숫자만 음수일 때 (-)를 붙이고 숫자끼리 나눠주는 거였어요.

(1)

(2) 앞에서부터 차례대로 계산해보죠.

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복소수라는 수를 공부했으니까 이제 이 수를 이용해서 사칙연산을 해봐야겠죠? 복소수의 사칙연산은 제곱근의 사칙연산과 아주 비슷해서 금방 할 수 있을 거예요. 지금까지 해왔던 미지수가 들어있는 식의 계산법의 기본이 되는 동류항 계산을 살짝 응용하면 되거든요. 기본 원리만 기억하세요.

분모의 실수화라는 과정을 거치는데, 이건 분모의 유리화와 거의 같아요. 유리수가 실수로 숫자만 바뀐 것뿐이에요. 그리고 허수와 허수단위의 의미를 잘 파악하고 있다면 복소수의 곱셈도 어렵지 않을 거예요.

이미 여러 수의 체계에서 사칙연산을 연습해왔고, 복소수의 사칙연산도 이와 크게 다르지 않으니까 어렵게 느낄 필요는 없어요.

복소수의 사칙연산

복소수의 덧셈과 뺄셈

동류항의 덧셈과 뺄셈에서는 문자와 차수가 같은 항끼리 서로 더하고 뺐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 근호부분을 하나의 문자로 취급해서 동류항 계산하는 것처럼 계산했고요.

복소수의 덧셈과 뺄셈도 같아요. 복소수는 a + bi의 형태로 되어있지요. 사칙연산을 할 때는 i를 하나의 문자로 취급해서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산합니다.

a, b, c, d가 실수일 때

(3 + 4i) + (5 + 6i) = (3 + 5) + (4 + 6)i = 8 + 10i가 되는 거죠.

실수부분, 허수부분에 유리수, 무리수가 들어있을 수 있는데, 이때는 유리수끼리, 무리수끼리 나누어서 계산하면 됩니다.

복소수의 곱셈

복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하면 돼요.

(2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 22i + 15i²

그런데 허수와 허수단위에서 i는 -1의 제곱근이라고 했지요? 따라서 i² = -1이에요. 대입에 보면
(2 + 3i)(4 + 5i)
= 8 + 22i + 15i²
= 8 + 22i - 15
= -7 + 22i

분모의 실수화

복소수의 나눗셈은 조금 어려워요.

제곱근의 나눗셈을 할 때, 분모의 유리화라는 걸 했어요. 곱셈공식의 합차공식을 이용했지요? 분모에서 무리수 앞의 부호를 반대로 바꾼 수를 분자, 분모에 곱해줬어요.

복소수의 나눗셈에서는 이와 비슷한 분모의 실수화라는 걸 해야 해요. 분모의 실수화는 이름처럼 분모를 실수로 만들어주는 거예요. 방법은 분모의 유리화와 비슷해요. 허수부분의 앞 부호를 반대로 바꿔서 분자, 분모에 곱해주는 거지요.

허수부분의 앞 부호를 반대로 바꾼 걸 켤레복소수라고 하죠? 결국, 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱해주는 걸 분모의 실수화라고 해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (2 + i) - (3 - 2i)
(2) (3i + 4)(2 - 5i)
(3) (1 + i) ÷ (1 - i)

(1) 복소수의 덧셈은 i를 하나의 문자 취급해서 실수부분끼리, 허수부분끼리 나눠서 계산해요.

(2 + i) - (3 - 2i)
= (2 - 3) + (1 + 2)i
= -1 + 3i

(2) 복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하는데, i² = -1이라는 걸 기억하세요.

(3i + 4)(2 - 5i)
= 6i + 8 - 15i² - 20i
= 8 + 15 + 6i - 20i      (∵ i² = -1)
= 23 - 14i

(3) 복소수의 나눗셈은 분모의 실수화를 통해서 계산합니다.

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이제까지 실수에 대해서 공부했는데, 이 글부터는 허수와 복소수라는 새로운 수의 체계를 공부합니다. 실수는 실제로 존재하는 수로 Real Number잖아요. 허수는 실제로 존재하지 않는 수예요.

복소수라고 부르는 수는 고등학교 교육과정에서 가장 넓은 수의 체계이며, 더는 새로운 수를 공부하지 않아요. 수의 체계로는 마지막이죠.

허수와 실수의 차이를 알아보고, 복소수는 어떻게 생긴 수이고, 어떤 특징이 있는지 알아보죠.

복소수가 같을 조건을 예제를 통해서 공부해봐요.

허수와 허수단위

1의 제곱근은 제곱해서 1이 되는 수로 ±1이고, 2의 제곱근은 제곱해서 2가 되는 수로 예요.

-1의 제곱근은 얼마일까요? 그런데 (실수)² ≥ 0이니까 제곱해서 -1이 되는 실수는 있을 수 없죠. 중학교에서도 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 공부했어요. 하지만 기호를 이용해서 억지로 만들어보면 ±이 될 거예요.

실수는 실제로 존재하는 수인데, 이 수는 실수가 아니라서 다른 수를 생각하게 된 거죠. 실제로 존재하지 않는 가짜 수라서 허수라고 해요. 영어로는 imaginary number라고 하고요.

허수에서 가장 기본이 을 imaginary number의 첫 글자를 i라고 표시하고, 허수단위라고 불러요.

허수단위 i를 이용해서 숫자를 표시할 수 있어요.

주의하세요. 에요. 2i = 2이에요.

허수는 양수, 음수의 부호가 없어요. 부호가 없으니 크기 비교도 할 수 없고요. 2i가 3i보다 작다고 얘기해서는 안 돼요 어떤 것이 더 큰지 비교할 수 없어요.

복소수

실수와 허수가 섞여 있는 수를 생각해볼 수 있죠? 두 실수 a, b와 허수단위 i를 이용해서 a + bi 형태의 수를 만들 수 있는데, 이 수를 복소수라고 해요. 위의 예에서 허수단위 i를 이용해서 여러 수를 표현해봤는데, i앞에 있는 수는 다 실수죠?

복소수 a + bi에서 a를 실수부분, b를 허수부분이라고 해요.

복소수 a + bi에서 b = 0이면 실수부분인 a만 남죠? 이게 지금까지 공부해왔던 실수예요.

b ≠ 0이면 허수단위가 살아있어서 허수가 되는데, a = 0이면 허수부분인 bi만 남죠? 이때 bi를 순수하게 허수부분만 있는 수라고 해서 순허수라고 해요. 순허수는 제곱하면 음수가 되는 특징이 있어요. i는 -1의 제곱근이니까 제곱하면 -1이 돼요. 따라서 (bi)² = b²i² = -b²이죠.

b ≠ 0이고, a ≠ 0이면 실수부분과 허수부분이 모두 살아있죠? 이때를 순허수 아닌 허수라고 합니다. 정수 아닌 유리수와 비슷하죠?

(x² - 2x - 8 + xi - 4i)를 제곱했더니 음수가 되었다. x의 값을 구하여라.

제곱했더니 음수가 되었다는 말은 이 수가 순허수라는 얘기예요. 즉 실수부분 = 0, 허수부분 ≠ 0이라는 거죠.

x² - 2x - 8 + xi - 4i
= (x² - 2x - 8) + (x - 4)i

주어진 수에서 실수부분이 0이 되는 x를 찾아보죠.
x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4, -2

그런데, 여기서 허수부분 x - 4 ≠ 0이니까 x = -2가 되어야 합니다.

복소수가 같을 조건

두 무리수 a + b과 c + d이 같으려면 유리수 부분은 유리수 부분끼리 같고, 무리수 부분은 무리수 부분끼리 같아야 하죠? a = c, b = d

마찬가지로 두 복소수 a + bi와 c + di가 서로 같으려면 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 해요.

a + bi = c + di ↔ a = c, b = d     (a, b, c, d는 실수)

2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0을 만족하는 x, y의 값을 구하여라.

일단 좌변을 실수부분과 허수부분으로 정리해볼 수 있어요. 그리고 0 = 0 + 0i로 실수부분 = 0, 허수부분 = 0이므로 정리한 좌변과 비교하면 되겠죠.

2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0
(2x + 3y - 3x) + (4 + 2y)i = 0
(-x + 3y) + (4 + 2y)i = 0

-x + 3y = 0, 4 + 2y = 0이므로 연립방정식 문제네요.

y = -2, x = -6

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