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기억나진 않겠지만, 원과 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 원과 직선의 위치관계에서 공부했었어요. 이때는 그림을 보면서 어떤 위치관계가 있는지만을 공부했었죠.

이제는 단순히 원과 직선의 위치관계의 종류뿐 아니라 그러한 위치를 갖는 조건을 알아볼 거예요. 물론 위치관계를 가질 조건은 원의 방정식과 직선의 방정식의 관계를 말하죠. 주어진 식을 이용해서 원과 직선에 어떤 관계가 있을 때, 어떤 위치관계에 있는지를 알아보죠.

앞서 했던 여러 단원의 내용이 광범위하게 나오니까 전에 공부했던 내용을 잘 떠올려보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계는 그림에서 보듯이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 한 점에서 만날 때, 만나지 않을 때 세 가지 경우가 있어요. 한 점에서 만날 때를 접한다고 하고요.

판별식 이용

원의 방정식은 x, y에 관한 이차방정식이고 직선의 방정식은 x, y에 관한 일차방정식이에요. 그래프에서의 교점은 원의 방정식의 해이면서 직선의 방정식의 해 즉 연립방정식의 해고요. 그러니까 교점의 개수를 구하는 건 연립방정식의 해의 개수를 구하는 것과 같아요.

이차방정식과 일차방정식으로 된 연립방정식은 일차식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식에 대입해서 풀었어요. 여기서도 이 방법을 이용합니다.

일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식인 원의 방정식에 대입하면 그 식은 이차식이에요. 이 이차식의 해의 개수가 연립방정식의 해의 개수이고, 이건 이차방정식의 판별식을 이용해서 구할 수 있어요.

1. 일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리
2. 1의 식을 이차식인 원의 방정식에 대입. 전개
3. 2의 식에서 판별식 D를 구한다.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 만나지 않는다.

직선을 y에 대해서 정리한 형태가 바로 직선의 방정식의 표준형이에요. 그리고 이걸 원의 방정식에 대입하여 판별식을 구하는 이차식은 일반형이고요.

원의 중심에서 직선까지의 거리 이용

점과 직선 사이의 거리 공식을 이용할 수도 있어요. 원의 방정식에서 원의 중심의 좌표를 구한 다음 원의 중심과 직선 사이의 거리를 구하고 이를 원의 반지름과 비교하는 거예요.

원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 원의 반지름을 r이라고 해보죠.

d < r ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
d = r ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
d > r ⇔ 만나지 않는다.

원의 중심을 구하려면 원이 표준형으로 되어 있어야겠죠? 원과 직선 사이의 거리를 구할 때 직선의 방정식은 일반형이고요.

위의 내용을 표로 정리해보죠.

다음 원의 방정식과 직선의 방정식이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 k의 조건을 구하여라.
(1) x² + y² + 4x + 8y + k - 8 = 0, x + y - 4 = 0
(2) (x - k)² + (y + 2)² = 5, x + 2y + 10 = 0

(1)번은 원의 방정식은 일반형, 직선의 방정식도 일반형이네요. 원의 방정식은 일반형이라면 직선의 방정식이 표준형이어야 판별식을 이용할 텐데 말이죠. 그런데 이때는 직선의 방정식을 그냥 표준형으로 바꾸면 돼요. 표준형으로 바꾸는 건 정말 쉬우니까요.

x + y - 4 = 0
y = -x + 4

이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x² + (-x + 4)² + 4x + 8(-x + 4) + k - 8 = 0
x² + x² - 8x + 16 + 4x - 8x + 32 + k - 8 = 0
2x² - 12x + k + 40 = 0

이차식이 만들어졌는데, 이차식의 해의 개수가 두 방정식의 교점의 개수와 같아요. 서로 다른 두 실근을 가진다고 했으니 D > 0이어야겠네요.

D/4 = 6² - 2(k + 40) > 0
36 - 2k - 80 > 0
2k < -44
k < -22

(2) 원의 방정식은 표준형, 직선의 방정식은 일반형이에요. 이때는 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용해요.

원의 중심의 좌표는 (k, -2), 반지름은 예요.

절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이를 이용했어요.

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좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.

공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.

점과 직선 사이의 거리 공식

점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x₂, y₂)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)

직선 PH는 두 점 P(x₁, y₁)와 H(x₂, y₂)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,

이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -x -

직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

- ×  = -1
a(y₂ - y₁) = b(x₂ - x₁)

 = k라고 놓으면
x₂ - x₁ = ak, y₂ - y₁ = bk ……… ①
x₂ = x₁ + ak, y₂ = y₁ + bk

H(x₂, y₂)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax₂ + by₂ + c = 0
a(x₁ + ak) + b(y₁ + bk) + c = 0      (∵ ①)
ax₁ + a²k + by₁ + b²k + c = 0
(a² + b²)k + ax₁ + by₁ + c = 0
(a² + b²)k = -ax₁ - by₁ - c
k = - ……… ②

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d

점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.

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직선의 정의와 직선이 만날 때 생기는 점(교점), 직선이 만나서 생기는 각(교각)에 대해서 공부하고 있어요.

이제는 두 직선이 만날 때 두 직선의 관계에 대해서 알아보죠. 두 직선이 만나므로 평행한 두 직선은 아니고 그렇다고 일치하는 두 직선도 아니에요.

두 직선이 만나는 교점에서 교각이 90°인 직각일 때 어떤 의미를 가지는지 공부해봐요.

수직과 직교, 수선

직선 AB와 직선 CD가 만나는 점은 교점이라고 하고, 만나서 생기는 각은 교각이라고 해요. 그런데 이 교각이 90°일 때가 있는데, 이때를 두 직선이 직교한다고 해요. 직각으로 만난다는 말이지요.

당연한 얘기지만 한 교각이 90°면 두 직선이 만나서 생기는 모든 교각이 90°에요.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 두 직선은 서로 수직이라고 말해요. 아주 따지고 들어가면 의미의 차이가 있지만 그냥 직교와 수직은 같은 뜻이라고 생각해도 좋아요.

수학에서는 의미를 쉽게 알 수 있게 기호로 표시하죠. 수직, 직교는 기호로 ⊥로 표시해요. 모음인 ㅗ처럼 생겼죠? 세로인 직선과 가로인 직선이 직각으로 만났을 때를 기호로 표시한 거라는 걸 알 수 있겠지요?

직선 AB와 직선 CD가 수직이면 로 씁니다.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 한 직선을 다른 직선의 수선이라고 해요. 수직인 선이라는 뜻이죠. 직선 AB는 직선 CD의 수선이고, 직선 CD는 직선 AB의 수선이 되는 거죠.

직교, 수직, 수선은 두 직선의 교각이 90°일 때라는 걸 기억하세요.

수선의 발

한 직선 l과 직선 위에 있지 않은 한 점 P가 있다고 해보죠. 이때 점 P 을 지나는 새로운 직선을 그리는데, 직선 l에 수직인 직선, 즉 수선을 그었을 때 교점이 생기겠죠? 이 점을 H라고 할게요. 교점 H에는 교각이 몇 °일까요? 당연히 90°겠죠? 수선을 그었으니까요.

이때 이 점 H를 수선의 발이라고 해요. 새로 그은 직선이 직선 l의 수선이잖아요.

그냥 간단하게 두 직선이 수직으로 만나는 교점을 수선의 발이라고 생각하면 돼요. 수선의 발은 교점 중에서도 수직(직교)일 때 교점이라는 걸 알아두세요.

점과 직선 사이의 거리

두 점 사이의 거리, 중점에서 점 A와 점 B 사이의 거리는 두 점을 연결하는 가장 짧은 선, 즉 선분 AB의 길이라는 걸 공부했어요.

그럼 점 P와 직선 l 사이의 거리는 어떻게 구할까요. 마찬가지로 점 P와 직선 l을 연결하는 가장 짧은 선의 길이를 구하면 돼요. 그런데 가장 짧은 선이 뭐냐면 바로 직선 l에 수직인 선이에요. 직선 l이 수직인 선과 만나는 교점을 수선의 발, H라고 했어요. 그러니까 점 P와 직선 l 사이의 거리는 점 P와 점 H 사이의 거리가 되고, 이건 선분 PH의 길이와 같아요.

점과 직선 사이의 거리 = 점과 수선의 발 사이의 거리 = 선분 PH의 길이

점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 그어 수선의 발을 찾고, 점과 수선의 발 사이의 길이를 구하면 되는 거죠.

다음 그림을 보고 물음에 답하여라.
선분 AB의 길이 = 5cm, 선분 BC의 길이 = 10cm, 선분 AD의 길이 = 4cm이다.
(1) 선분 AD의 수선을 모두 구하여라.
(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하여라.

(1) 선분 AD의 수선을 구하라고 했네요. 수선은 수직인 직선이에요. 선분 AD에 수직인 직선은 빨간 직각 표시가 있는 선분 BD와 선분 CD, 그리고 이 둘을 포함한 선분 BC가 되겠네요.

(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하라고 했는데요. 점과 선분의 거리는 점에서 선분으로 수선을 긋고, 수선과 직선이 만나는 교점(수선의 발)과 점 사이의 거리를 구하는 거죠? 점 A에서 선분 BC에 그은 수선은 선분 AD가 되고요. 이 수선의 발은 점 D에요. 점 A에서 선분 BC까지의 거리는 선분 AD의 길이가 되고 이건 문제에서 4cm라고 줬네요. 따라서 점 A와 선분 BC 사이의 거리는 4cm네요.

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