절댓값의 성질
절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
절댓값이 들어있는 식은 기본적으로 절댓값 안의 부호가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어요. 해당 조건에 맞게 식을 전개하고 각각의 해를 찾아서 답을 구하죠.
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이는 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이와 거의 비슷해요. 방정식이 부등식으로 바뀐 것뿐이에요. 다만, 부등식은 해가 딱 하나로 떨어지지 않아서 방정식보다는 조금 더 어려워요. 수직선을 그려보는 것도 이해하는 데 도움이 될 겁니다.
절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
절댓값과 절댓값의 성질에서 문제를 어떻게 풀었었나요? 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눴죠? 그리고 각 조건에 맞게 식을 전개해서 해를 구했어요. 각 조건과 구해진 해의 공통부분이 답이 되는데, 조건이 두 개니까 조건별로 나온 해가 모두 답이에요.
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이도 위와 같은 방법으로 해를 구해요. 여기에 연립부등식, 연립부등식의 풀이를 섞어 놓은 거예요.
|ax + b| > m (m > 0)의 해를 구해볼까요?
ⅰ) ax + b ≥ 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때)
|ax + b| > m
ax + b > m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b > m이죠? (∵ 0 < m < ax + b)
ⅱ) ax + b < 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 작을 때)
|ax + b| > m
-(ax + b) > m
ax + b < -m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b < -m이죠? (∵ ax + b < -m < 0)
결국 |ax + b| > m의 해를 구할 때는 따로 조건을 나누지 않고 ax + b < -m 또는 ax + b > m의 해를 구하면 돼요.
절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 절댓값 안의 부호의 범위와 상관없이 그냥 구했던 것처럼 여기서도 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.
이번에는 |ax + b| < m (m > 0)일 때를 볼까요?
ⅰ) ax + b ≥ 0일 때
|ax + b| < m
ax + b < m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 0 ≤ ax + b < m이죠? (∵ m > 0)
ⅱ) ax + b < 0일 때
|ax + b| < m
-(ax + b) < m
ax + b > -m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 -m < ax + b < 0이죠? (∵ -m < 0)
이 두 개를 연립해보면 -m < ax + b < m이 돼요.
여기서도 마찬가지로 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 (a, b, m은 실수, m > 0)
|ax + b| > m → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m → -m < ax + b < m
식에 있는 부등호를 잘 보세요. 이 방향에 따라 해가 달라져요.
다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) |2x + 4| > 8
(2) |x - 2| + 4 < 6
(3) |4x - 2| ≥ 10
절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 크면 해는 -m보다 작고 m보다 커요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 작으면 해는 -m과 m사이고요.
(1) |2x + 4| > 8
절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크네요.
2x + 4 > 8
2x > 4
x > 2
2x + 4 < -8
2x < -12
x < -6
따라서 해는 x < -6 or x > 2
(2) 좌변에 절댓값, 우변에 상수 꼴로 바꿔준 다음 계산해요.
|x - 2| + 4 < 6
|x - 2| < 2
정리했더니 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 작아요.
-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4
(3) 부등호가 어떤 건지는 상관없어요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크거나 같으므로 클 때와 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.
|4x - 2| ≥ 10
4x - 2 ≤ -10
4x ≤ -8
x ≤ -2
4x - 2 ≥ 10
4x ≥ 12
x ≥ 3
따라서 해는 x ≤ -2 or x ≥ 3
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절댓값과 절댓값의 성질
절댓값이 뭔지는 알죠? 절댓값은 거리의 개념이기 때문에 0 또는 양수예요. 음수가 나올 수 없어요.
절댓값 기호가 들어있는 식을 푸는 방법은 절댓값 기호 안의 숫자에 따라 달라지는데, 왜 그런지, 숫자에 따라 어떻게 달라지는 지, 어떻게 풀어야 하는지 알아보죠.
똑같은 식이라도 주어진 조건에 따라 푸는 방법이 달라지니까 주어진 조건이 어떤 것인지도 잘 봐야 해요.
약간 복잡할 수 있는데, 절댓값의 개념만 잘 이해한다면 조금은 쉽게 다가갈 수 있어요.
절댓값
절댓값은 수직선 위에서 어떤 실수 a에 대응하는 점과 원점 사이의 거리예요. 거리니까 0또는 양수고요. 기호로는 |a|라고 써요.
만약에 a > 0이면 |a| = a에요. a = 0이면 |a| = a이죠.
a < 0일 때도 |a| = a일까요? 좌변 |a|은 양수, 우변 a는 음수가 돼서 등식이 성립하지 않아요. 이럴 땐 우변에 -1을 곱해서 |a| = -a가 되어야 해요.
절댓값 기호 사이의 숫자나 문자가 0 또는 양수이면 기호를 그냥 없애주고, 음수이면 기호를 없앤 다음에 -를 붙여줘야 해요.
|a - b|
a - b ≥ 0 → |a - b| = a - b
a - b < 0 → |a - b| = -(a - b)
x < 3일 때 |x - 3| + 3 - x를 간단히 하여라.
x < 3 에서 3을 이항 → x - 3 < 0 → |x - 3| = -(x - 3)
|x - 3| + 3 - x
= -(x - 3) + 3 - x
= -x + 3 + 3 - x
= -2x + 6
x - 5 + |5 - x| 를 간단히 하여라.
이 문제가 위와 다른 이유는 x의 범위가 주어져 있지 않다는 거예요.
절댓값을 풀 때는 범위가 중요한데, 이게 빠져있으니까 우리가 범위를 직접 잡아줘야 해요. 이때 범위는 절댓값 부호 안의 숫자가 0이 되는 숫자를 기준으로 나누면 돼요. 5 - x < 0일 때와 5 - x ≥ 0일 때 두 가지 경우로 나눠서 구해야 하죠.
ⅰ) 5 - x < 0일 때, 즉 x > 5일 때,
5 - x < 0 → |5 - x| = -(5 - x)
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 - (5 - x)
= 2x - 10
ⅱ) 5 - x ≥ 0일 때, 즉 x ≤ 5일 때,
5 - x ≥ 0 → |5 - x| = 5 - x
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 + 5 - x
= 0
답은 x > 5 일 때는 2x - 10, x ≤ 5일 때는 0 이렇게 둘 다 쓰면 됩니다.
이번에는 절댓값 기호가 두 개 들어있는 식을 계산해보죠.
3 < x < 5일 때, |x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.
3 < x → x - 3 > 0 → |x - 3| = x - 3
x < 5 → x - 5 < 0 → |x - 5| = -(x - 5)
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2
|x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.
이번에도 범위가 없어요. 그래서 범위를 직접 잡아줘야 하는데, 절댓값이 두 개가 있잖아요. 각각에서 두 개씩 총 네 개의 범위가 나오는데, 이걸 수직선에 그려서 확인해보면 세 개가 되는 걸 알 수 있어요.
|x - 3|에서 x - 3 < 0 → x < 3일 때, x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3일 때라는 범위가 생기고
|x - 5|에서 x - 5 < 0 → x < 5일 때, x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5일 때라는 범위가 생겨요.
총 네 개의 범위가 생기는데, 이걸 연립부등식처럼 수직선에 표시해보세요.
겹치는 부분이 생기죠. 3 ≤ x < 5
따라서 x의 범위는 x < 3, 3 ≤ x < 5, 5 ≤ x의 세 가지가 돼요.
ⅰ) x < 3일 때
x - 3 < 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= -(x - 3) - (x - 5)
= -x + 3 - x + 5
= -2x + 8
ⅱ) 3 ≤ x < 5일 때,
x - 3 ≥ 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2
ⅲ) 5 ≤ x일 때
x - 3 > 0, x - 5 ≥ 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 + x - 5
= 2x - 8
절댓값 풀기
절댓값 기호 안이 0이 되는 숫자를 기준으로 잡고, x가 기준보다 크거나 같을 때와 기준보다 작을 때로 나누어 푼다.
|x - a| → x < a, a ≤ x
절댓값이 두 개 있을 때: 절댓값 기호 안이 0이 되는 두 수를 적고, x가 작은 것보다 작을 때, 작은 것과 큰 것 사이, 큰 것보다 클 때의 세 가지 경우로 나눠서 절댓값을 푼다.
|x - a| + |x - b| 일 때, (a, b는 상수, a < b) → x < a, a ≤ x < b, b ≤ x
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절댓값과 수직선, 절댓값의 성질
수직선에 대해서 공부할 거예요. 수직선은 수를 배울 때 아주 유용한 방법이에요. 수를 설명할 때는 빠지지 않는 방법이죠
절댓값이라는 것도 공부할 건데요. 이 절댓값은 단어만 봐서는 무슨 뜻인지 언뜻 생각나지 않아요. 절대 반지? 뭐 이런 건가 싶기도 하지요. 의미는 이해하기가 조금 어려울지, 모르지만 그 값을 구하는 건 아주 쉬워요.
절댓값의 성질은 크게 중요한 건 아니라서 공식처럼 달달 외우고 할 필요는 없지만, 모르면 또 안 돼는 거에요. 그냥 이런 거구나 하면서 이해하고 넘어가면 될 거예요.
수직선
직선이 뭔 줄 알죠? 그냥 반듯한 선이에요. 더 자세한 건 2학기에 공부할 거니까 이 정도만 알고 있으면 돼요. (기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분) 직선에 점을 찍어서 숫자와 대응시킨 선을 수직선이라고 해요.
수직선에 숫자를 막 대응시키는 건 아니에요. 직선의 가운데 한 점을 찍는데, 그 점을 0으로 놓고 원점이라고 불러요. 원점의 오른쪽에는 양의 정수를, 왼쪽에는 음의 정수를 적는 거예요. 양수와 음수는 서로 반대의 의미를 지니는 수에요. 0의 오른쪽에 양수를 적었으니까 왼쪽에는 반대의 의미를 지닌 음수를 적는 거죠.
원점 바로 오른쪽에는 +1, 그 옆으로 +2, +3, +4, +5, … 가 적혀있죠? 원점 왼쪽으로는 -1, -2, -3, -4, -5, … 순서로 되어 있고요. 원점에서 멀어질수록 숫자가 커져요.
절댓값과 절댓값의 성질
절댓값
수직선에 원점을 기준으로 해서 얼마나 떨어져 있는지를 절댓값이라고 해요. 원점으로부터의 거리를 말하죠. 수학에는 기호가 중요하죠. 절댓값을 나타내는 기호는 | |에요. 세로 작대기 두 개를 긋고 그 사이에 숫자를 쓰는 거예요. |+4|, |-4|처럼요. 읽을 때는 절댓값 +4, 절댓값 -4 이렇게 읽으면 돼요.
정리해보면, 원점에서 +4까지의 거리 = +4의 절댓값 = |+4| 가 되는 거죠.
원점에서 a까지의 거리 = a의 절댓값 = |a|
절댓값 구하는 법: 부호 떼고 숫자만
+4는 원에서 오른쪽으로 4칸 떨어져 있죠? 4칸이니까 |+4| = 4에요.
-4는 원점에서 왼쪽으로 4칸 떨어져 있어요. 그런데 거리라는 건 음수가 없어요. -4칸 이런 건 없거든요. 원점에서 -4까지의 거리도 4칸이니까 |-4| = 4에요.
결국, 원점에서 +4까지의 거리와 원점에서 -4까지의 거리가 같다는 거잖아요. |+4| = |-4| = 4
하나는 양의 정수, 하나는 음의 정수인데 절댓값이 같아요. 수의 부호가 달라도 숫자가 같으면 절댓값이 같은 거죠.
절댓값을 구하는 건 아주 간단해요. | | 사이에 뭐가 들어있든지 부호를 떼고 숫자만 쓰면 돼요.
|+50|은 부호 (+)를 떼고 숫자 50만 쓰는 거지요. |+50| = 50.
|-100|도 부호 (-)를 떼고 숫자 100만 쓰면 돼요. |-100| = 100.
절댓값의 성질
- 절댓값은 원점(0)을 기준으로 해요. 0의 절댓값은 0에서 0까지의 거리니까 0이에요. |0| = 0, 그리고 이 0은 절댓값이 가장 작은 수에요.
- 절댓값은 거리의 개념이니까 항상 양수예요. 그리고 0의 절댓값이 0이니까 0도 나올 수 있지요. 절댓값은 음수로는 나오지 않아요.
- 원점에서 멀리 떨어질수록 절댓값이 커요 +3의 절댓값은 3이죠. +4의 절댓값은 4에요. +4가 더 크죠. -3의 절댓값은 3, -4의 절댓값은 4에요. -4가 더 크잖아요.
수직선에서는 원점에서 멀어질수록 숫자가 커지죠? 절댓값은 부호 떼고 숫자만 생각하는 거라고 했잖아요. 원점에서 멀어질수록 숫자가 커지니까 절댓값도 커지는 거예요. - 절댓값이 같은 수가 두 개 있어요. +4와 -4의 절댓값이 모두 4였죠. 이걸 거꾸로 생각하면 절댓값이 4인 수는 +4와 -4 두 개잖아요. 다른 수들도 마찬가지예요. 수직선에서 원점에서 같은 거리에 있는 수는 오른쪽으로 하나, 왼쪽으로 하나씩 있잖아요.
다음 보기의 수를 절댓값이 가장 작은 것부터 큰 순서로 나열하여라.
-2, +3, -5, 0, 4, +8
절댓값을 구하라고 했으니까 절댓값 기호로 표시해볼까요? |-2|, |+3|, |-5|, |0|, |4|, |+8|
부호를 빼고 숫자만 써보죠.
|-2| = 2
|+3| = 3
|-5| = 5
|0| = 0
|4| = |+4| = 4 (|4|에서 4는 +4이므로)
|+8| = 8
절댓값을 구했으니까 순서대로 써보면, 0, -2, +3, 4, -5, 8
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정수, 양의 정수, 음의 정수, 0, 양수와 음수
정수의 대소관계, 정수의 크기비교
부등호의 사용, 이상, 이하
유리수, 유리수의 분류
유리수와 수직선, 절댓값, 유리수의 대소관계