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절댓값이 들어있는 식은 기본적으로 절댓값 안의 부호가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어요. 해당 조건에 맞게 식을 전개하고 각각의 해를 찾아서 답을 구하죠.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이는 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이와 거의 비슷해요. 방정식이 부등식으로 바뀐 것뿐이에요. 다만, 부등식은 해가 딱 하나로 떨어지지 않아서 방정식보다는 조금 더 어려워요. 수직선을 그려보는 것도 이해하는 데 도움이 될 겁니다.

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질에서 문제를 어떻게 풀었었나요? 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눴죠? 그리고 각 조건에 맞게 식을 전개해서 해를 구했어요. 각 조건과 구해진 해의 공통부분이 답이 되는데, 조건이 두 개니까 조건별로 나온 해가 모두 답이에요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이도 위와 같은 방법으로 해를 구해요. 여기에 연립부등식, 연립부등식의 풀이를 섞어 놓은 거예요.

|ax + b| > m (m > 0)의 해를 구해볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때)
|ax + b| > m
ax + b > m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b > m이죠? (∵ 0 < m < ax + b)

ⅱ) ax + b < 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 작을 때)
|ax + b| > m
-(ax + b) > m
ax + b < -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b < -m이죠? (∵ ax + b < -m < 0)

결국 |ax + b| > m의 해를 구할 때는 따로 조건을 나누지 않고 ax + b < -m 또는 ax + b > m의 해를 구하면 돼요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 1

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 절댓값 안의 부호의 범위와 상관없이 그냥 구했던 것처럼 여기서도 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

이번에는 |ax + b| < m (m > 0)일 때를 볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때
|ax + b| < m
ax + b < m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 0 ≤ ax + b < m이죠? (∵ m > 0)

ⅱ) ax + b < 0일 때
|ax + b| < m
-(ax + b) < m
ax + b > -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 -m < ax + b < 0이죠? (∵ -m < 0)

이 두 개를 연립해보면 -m < ax + b < m이 돼요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2

여기서도 마찬가지로 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 (a, b, m은 실수, m > 0)
|ax + b| > m → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m → -m < ax + b < m

식에 있는 부등호를 잘 보세요. 이 방향에 따라 해가 달라져요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) |2x + 4| > 8
(2) |x - 2| + 4 < 6
(3) |4x - 2| ≥ 10

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 크면 해는 -m보다 작고 m보다 커요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 작으면 해는 -m과 m사이고요.

(1) |2x + 4| > 8

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크네요.

2x + 4 > 8
2x > 4
x > 2

2x + 4 < -8
2x < -12
x < -6

따라서 해는 x < -6 or x > 2

(2) 좌변에 절댓값, 우변에 상수 꼴로 바꿔준 다음 계산해요.

|x - 2| + 4 < 6
|x - 2| < 2

정리했더니 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 작아요.

-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4

(3) 부등호가 어떤 건지는 상관없어요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크거나 같으므로 클 때와 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.

|4x - 2| ≥ 10

4x - 2 ≤ -10
4x ≤ -8
x ≤ -2

4x - 2 ≥ 10
4x ≥ 12
x ≥ 3

따라서 해는 x ≤ -2 or x ≥ 3

정리해볼까요

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

|ax + b| > m (m > 0) → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m (m > 0) → -m < ax + b < m

연립일차부등식

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절댓값 기호가 포함된 부등식의 풀이 2

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이번에 공부할 여러 가지 일차부등식은 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이에서 배웠던 내용과 비슷해요.

복잡한 연립방정식에서 우리 어떻게 했죠? 괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 계수가 소수나 분수이면 적당한 수를 곱해서 정수로 바꿔줬었죠? 이번에 배울 내용도 바로 그거에요.

복잡한 식을 계산하기 쉽고 간단하게 방법을 공부할 거예요. 복잡한 식을 간단하게 바꾼 다음에 기존에 알고 있던 방법대로 일차부등식을 풀면 되지요.

괄호가 있는 일차부등식 - 분배법칙을 이용해서 전개

괄호가 있는 일차부등식은 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항끼리 계산해서 해를 구해요.

3(x + 2) < 2(x - 3) + 1의 해를 구하여라.

괄호가 있으니까 전개해보죠.

3(x + 2) < 2(x - 3) + 1
3x + 6 < 2x - 6 + 1
3x - 2x < -6 + 1 - 6
x < -11

계수가 분수인 일차부등식 - 분모의 최소공배수를 곱한다.

계수가 분수인 일차부등식에는 분수의 분모의 최소공배수를 양변에 곱해주세요. 계수를 정수로 만들어 계산하는 거예요.

의 해를 구하여라.

분수의 분모가 2, 3, 4, 3으로 최소공배수는 12네요. 양변에 12를 곱해보죠.

여러 가지 일차부등식의 풀이 - 계수가 분수일 때 풀이

계수가 소수인 일차부등식 - 10의 거듭제곱을 곱한다.

계수가 소수이면 10의 거듭제곱(10, 100, 1000)을 곱하여 계수를 정수로 바꿔서 계산합니다.

0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5의 해를 구하여라.

소수 둘째 자리까지 있는 계수가 있으니까 100을 곱해줘야 소수가 없어지고 정수만 남겠네요. 양변에 100을 곱해보죠.

0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5
100(0.1x + 0.06) < 100(0.03x - 0.5)
10x + 6 < 3x - 50
10x - 3x < -50 - 6
7x < -56
x < -8

정리해볼까요

여러가지 부등식의 풀이

괄호가 있을 때: 분배법칙을 이용하여 괄호 전개 후 동류항 계산
계수가 분수일 때: 분모의 최소공배수를 양변에 곱해서 계수를 정수로
계수가 소수일 때: 10의 거듭제곱을 양변에 곱해서 계수를 정수로

일차부등식의 풀이 <<

중2 수학 목차

>> 연립부등식과 연립부등식의 해

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부등식, 부등식의 뜻, 부등식의 성질에서 부등식이 무엇인지 부등식은 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.

이제는 부등식의 성질을 이용해서 부등식의 해를 구해볼 거예요.

우리가 공부할 건 부등식 중에서도 일차부등식이에요. 일차부등식 뭔지 알 것 같죠? 일차방정식에서 "일차"가 뭘 뜻하는지 알고 있잖아요. 일차부등식에서도 같아요. 모든 항을 좌변으로 옮기고 우변에 0을 둔 상태에서 미지수의 차수가 일차인 부등식을 일차부등식이라고 해요.

ax + b < 0 or ax + b ≤ 0 or ax + b > 0 or ax + b ≥ 0 (단, a ≠ 0)

일차방정식의 풀이

먼저 일차방정식의 풀이를 한 번 정리해보죠.

일차방정식 어떻게 풀었나요? 미지수가 있는 항은 좌변으로 상수항은 우변으로 이항이라는 걸 해요. 그리고 미지수의 계수로 양변을 나눠서 미지수 x를 구하죠?

일차방정식 4x + 5 = 2x + 3의 해를 구하여라.

4x + 5 = 2x + 3
4x - 2x = 3 - 5
2x = -2
x = -1

일차부등식의 풀이

일차부등식도 일차방정식처럼 좌변에 미지수가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고 미지수의 계수로 양변을 나눠서 해를 구해요.

중요한 차이가 있다면 미지수의 계수로 양변을 나눌 때 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다는 거예요.

일차부등식 x - 3 > 5x + 5의 해를 구하여라.

x - 3 > 5x + 5
x - 5x > 5 + 3 (∵ 좌변에 x 항, 우변에 상수항이 오도록 이항)
-4x > 8 (∵ 좌변과 우변을 각각 동류항 정리)
x < -2 (∵ 미지수의 계수로 양변을 나눔. 계수가 음수이면 부등호 방향이 바뀜)

일차부등식의 풀이는 부등식의 성질에서 나온 것처럼 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 것만 주의하면 일차방정식의 풀이법과 완전히 같아요.

일차부등식의 해와 수직선

방정식에서는 그 해가 x = 2처럼 하나였기 때문에 그냥 쓰면 되는데, 부등식의 해는 좀 다른 모양이죠? x<2는 1도 되고 0도 되고 -1도 되고, 도 돼요.

그래서 그냥 쓰는 것도 좋지만 그림으로 나타내는 방법도 있어요. 수직선 위에 표시하는 방법인데요.

일단 수직선을 가로로 하나 그어요.
그리고 부등식을 푼 해의 숫자를 적습니다. 그다음 숫자에 작은 동그라미를 그리세요. 이때 부등호가 <, >면 그냥 동그라미를, ≤, ≥면 까만 동그라미를 그리세요.
동그라미에서 위쪽으로 직선을 그립니다. 그리고 가로선을 하나 더 그을 건데요, 부등호가 <이면 왼쪽으로 >이면 오른쪽으로 선을 그으세요.
위에서 그린 선과 처음에 그었던 수직선 사이의 부분을 색칠(빗금)하세요.

x<2를 수직선에 나타내는 방법이에요. 부등호가 <이기 때문에 2위의 동그라미는 색칠되어 있지 않아요. 그리고 미지수가 2보다 작기 때문에 왼쪽으로 선을 그었어요. 2보다 작은 수인 1, 0, -1 등이 2보다 왼쪽에 있으니까 선을 왼쪽으로 긋는 거예요.

부등식의 해를 수직선에 나태내는 방법