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인수정리를 이용한 인수분해에서 인수정리에 사용할 α를 찾는 방벙 중 2번째 방법에 대해서 설명하는 글이에요.

α를 찾을 때 $\pm\frac{상수항의 \quad약수}{최고차항 \quad계수의\quad 약수}$ 중 하나라고 했는데 그 이유는 어렵지 않아요.

먼저, 간단한 거 하나만 보죠.

3 × 4 = 12라는 식에서 3, 4가 12의 약수라는 걸 알 수 있어요. 이때, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12인데 저 식에서는 나머지 약수는 알 수 없고 3, 4만 알 수 있죠.

다시 방정식으로 돌아와서, 최고차항이 a (a ≠ 0)이고, 세 근이 α, β, γ인 3차방정식이 있다고 해보죠.

ax³ + bx² + cx + d = 0
a(x - α)(x - β)(x - γ) = 0
a{x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ} = 0
ax³ - a(α + β + γ)x² + a(αβ + βγ + γα)x - aαβγ = 0

삼차방정식 근과 계수와의 관계에 따르면 αβγ = -$\frac{d}{a}$예요.

세근의 곱 = $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$이죠. 앞의 부호는 신경쓰지 말고요.

3 × 4 = 12 → 3, 4는 12의 약수.
αβγ = $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$ → α, β, γ는 $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$의 약수

12의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 12 중에 3, 4가 있죠? 마찬가지로 $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$의 약수도 많이 있을텐데 그 중에 α, β, γ가 있어요. 우리는 α, β, γ만 필요하니까 어떤 것이 α, β, γ인지 찾아야 해요.

그 방법은 $\pm\frac{상수항의 \quad약수}{최고차항 \quad계수의\quad 약수}$로 찾은 약수를 하나씩 대입해서 방정식이 성립하는지 보는 거예요. 식이 성립하면 α, β, γ중 하나고, 성립하지 않으면 α, β, γ가 아닌 다른 약수죠, 

방정식의 해는 정수, 유리수, 무리수까지 있지만 우리는 계산을 쉽게 하려고 정수 약수만 찾을 거니까 여러 후보 중에서 정수만 먼저 대입해서 찾아요.

근을 모두 찾을 필요는 없고, 정수인 근 1, 2개만 찾아요. 정수가 아닌 근이 있다면 찾기가 어려울 수 있으니까요.

나머지는 조립제법을 이용하거나 인수분해 공식을 이용해서 인수분해를 하면 자연히 알게 돼요.

이건 3차방정식 뿐 아니라 4차, 5차 등 다른 방정식에서도 똑같아요. 어차피 방정식의 상수항은 근의 곱으로 된 항이니까요. 부호는 생각하지 말고요. 어차피 약수를 구할 때 앞에 $\pm$이 있으니까 부호는 상관없죠.

일차방정식, 이차방정식까지 공부했는데요. 이제부터는 그보다 차수가 더 높은 방정식을 공부할 거예요. 이차방정식보다 차수가 더 높으니까 삼차방정식, 사차방정식, … 이죠.

이런 방정식들을 고차방정식이라고 하는데, 고차방정식의 풀이방법을 공부할 거예요. 또 이차방정식을 인수분해했던 것처럼 고차방정식의 인수분해도 해볼거고요.

고차방정식은 차수가 높고 항이 많긴 하지만 기본 원리는 이차방정식과 같고, 다항식의 인수분해에서 삼차식, 사차식의 인수분해를 해봤던 걸 함께 적용하면 되는 거니까 앞의 내용을 잘 이해하고 있다면 비교적 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

고차방정식의 풀이

x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 이차방정식이죠? 그럼 x³ + x² - 2x + 1 = 0은 뭘까요? 최고차항이 x에 대한 3차니까 삼차방정식이에요. x⁴ + x³ + x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 최고차항이 4차라서 사차방정식이죠.

이처럼 3차 이상의 방정식을 고차방정식이라고 해요. 차수와 근의 개수가 같은 건 알고 있죠? 삼차방정식은 근이 세 개, 사차방정식은 근이 네 개예요.

이차방정식을 풀 때는 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요. 고차방정식에서는 인수분해를 해서 근을 구할 수는 있지만, 근의 공식을 바로 적용할 수는 없어요.

따라서 고차방정식을 풀 때는 (일차식) × (일차식) × (일차식) = 0이나 (일차식) × (이차식) = 0, (이차식) × (이차식) = 0의 형태로 인수분해를 해서 일차식에서는 해를 바로 구하고, 이차식은 근의 공식으로 해를 구해야 해요.

고차방정식의 풀이

1. 인수분해
2. 일차식에서는 해를 바로 구하고
   이차식에서는 근의 공식 이용

고차방정식의 인수분해

이차방정식에서 인수분해를 하는 방법은 크게 두 가지였죠? 인수분해 공식을 이용하는 방법과 인수정리를 이용한 인수분해요. 고차방정식은 항의 개수와 차수가 다를 뿐 방법은 똑같아요.

고차방정식의 인수분해 - 인수분해 공식

인수분해 공식 중 차수가 3차 이상인 공식은 몇 개 안 되요. 잘 외워두세요.

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
x⁴ - y⁴ = (x² + y²)(x² - y²) = (x² + y²)(x + y)(x - y)

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x³ - 16x = 0
(2) x³ - 27 = 0
(3) x⁴ - 16 = 0

문제가 비슷비슷해 보이지만 조금씩 다르죠?

(1)번 인수분해에서 가장 기본은 공통인수로 묶기에요. 두 항에 공통인수 x가 있죠?
x³ - 16x = 0
x(x² - 16) = 0
x(x + 4)(x - 4) = 0
x = 0 or ±4

(2)는 두 항이 모두 세제곱인 항이에요.
x³ - 27 = 0
x³ - 3³ = 0
(x - 3)(x² + 3x + 9) = 0

앞의 일차식은 해를 바로 구할 수 있지만, 뒤의 이차식은 근의 공식을 이용해야겠네요.

x = 3

x = 3 or 

(4)번은 두 항이 모두 네제곱인 항이네요.
x⁴ - 16 = 0
(x⁴ - 2⁴) = 0
(x² + 2²)(x² - 2²) = 0
(x² + 2²)(x + 2)(x - 2) = 0
(x² + 4)(x + 2)(x - 2) = 0

x = ±2i or ±2

고차방정식의 인수분해 - 인수정리 이용

인수분해 공식이 몇 개 안 되다 보니까 인수분해가 안 되는 경우도 많아요. 이때는 인수정리와 조립제법을 이용해서 인수분해를 해야 해요.

인수정리를 이용한 인수분해가 뭐였죠? 다항식의 우변을 0으로 놓고 인수분해를 하는 거였잖아요. 다항식의 우변이 0인 게 바로 방정식이니까 그 방법 그대로 사용하면 돼요.

방정식 f(x)에서 f(α) = 0을 만족하는 α는 아래 방법으로 찾아요. 이렇게 찾은 α가 방정식의 해가 되는 거죠.

1. ±1
2. 

모든 해를 이 방법으로 찾을 필요는 없고요 한두 개를 찾은 다음에 인수분해해서 찾아야 해요. 근이 무리수이거나 복소수이면 이 방법으로 찾을 수 없으니까요.

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(2) x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0

(1)번에서 f(x) =  x⁴ + x³ - 3x² - x + 2라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0

f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.

1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.

x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(x - 1)(x + 1)(x² + x - 2) = 0
(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)²(x + 1)(x + 2) = 0

인수정리와 조립제법을 이용했더니 식이 인수분해가 되었어요.

x = -2 or -1 or 1(중근) 이네요.

(2)번 f(x) =  x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2라고 놓으면
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18

f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84

f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.

x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2)(x² - x + 1) = 0

뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해서 근을 찾아야겠네요.

x = 1 or 2 or 입니다.

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인수분해 공식을 이용할 수도 없고, 치환이나 내림차순으로 정리해도 안 되는 식이 있다면 인수분해를 할 수 없을까요?

이런 식들도 인수분해를 할 수 있어요. 바로 인수정리와 조립제법을 이용해서요. 인수정리와 조립제법을 반복해서 사용하면 인수분해가 안 될 것 같았던 식도 인수분해를 할 수 있어요.

인수분해 공식이나 치환을 사용하지 않고 이 방법으로만도 인수분해를 할 수도 있어요. 하지만 인수분해 공식이나 치환 등의 방법보다는 조금 어려운 방법이므로 각 상황에 맞게 방법을 잘 골라서 인수분해를 해야 합니다.

인수정리를 이용한 인수분해

인수정리에 따라 f(α) = 0인 α가 있을 때, f(x)를 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있어요. f(x) = (x - α)Q(x)

그러면 f(x)는 (x - α)와 Q(x)로 인수분해가 된 거죠. 이처럼 인수정리를 이용해서 인수분해를 할 수 있어요.

그런데 인수정리에서는 α를 알려줬어요. 인수분해를 할 때는 α를 알려주지 않으니까 직접 찾아야 해요. 그렇다고 f(α) = 0이 되는 α를 찾기 위해서 모든 수를 다 넣어볼 수는 없잖아요. 여기 α의 범위를 좁히는 방법이 있어요.

f(α) = 0을 만족하는 α를 찾는 방법

1. ±1
2. 

위 방법을 이용하면 α를 쉽게 찾을 수 있어요. 저기에 해당하는 수가 모두 α가 되는 것은 아니고, 저 숫자 중에 α가 있는 거예요. (인수정리를 이용한 인수분해에서 약수 찾는 법)

x⁴ - 2x² + 3x - 2를 인수분해해보죠.

f(x) = x⁴ - 2x² + 3x - 2이라고 하고 x = ±1을 넣어보죠.
f(1) = 1 - 2 + 3 - 2 = 0
f(-1) = 1 - 2 - 3 - 2 = -6

다음은 2번 공식으로 α를 찾아볼까요?

f(2) = 16 - 8 + 6 - 2 = 12
f(-2) = 16 - 8 - 6 - 2 = 0

f(1) = f(-2) = 0이네요. 인수정리를 이용해서 f(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x)라는 걸 알아냈어요. 이제 Q(x)를 구해야겠죠? Q(x)는 몫에 해당하는 거예요. 다항식의 나눗셈에서 몫을 구하려면 조립제법을 사용하면 돼요. 여기서는 나누는 식이 두 개니까 조립제법을 연속해서 두 번 해야 해요.

f(x)의 삼차항의 계수가 0인 거 빼먹으면 안 돼요.

f(x) = (x - 1)(x + 2)(x² - x + 1)

위 방법에서는 α 두 개를 한꺼번에 찾았는데, 한 개 찾고, 조립제법, 다른 한 개 찾고 조립제법 … 반복해도 돼요. 이렇게 하다가 2차식이나 3차식이 나오면 인수분해 공식을 이용해서 바로 인수분해하면 돼요.

인수정리를 이용한 인수분해

1. f(α) = 0이 되는 α를 찾는다.
• ±1
• 
2. ①에서 찾은 α를 이용하여 조립제법 반복
3. 2차식, 3차식이 나오면 인수분해 공식으로 인수분해

다음을 인수분해하여라.
(1) x⁴ + x³ - 3x² - x + 2
(2) x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2

(1)번에서 f(x) = x⁴ + x³ - 3x² - x + 2이라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0

f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.

1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.

f(x) = x⁴ + x³ - 3x² - x + 2
      = (x - 1)(x + 1)(x² + x - 2)
      = (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2)
      = (x - 1)²(x + 1)(x + 2)

뒤에 이차식이 인수분해가 되죠? 그래서 인수분해했어요. f(x) = (x - 1)²(x + 1)(x + 2)가 답이에요.

(2)번 f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18

f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84

f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.

f(x) =  x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2
      = (x - 1)(x - 2)(x² - x + 1)

뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 f(x) = (x - 1)(x - 2)(x² - x + 1)가 답이네요.

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다항식의 나눗셈은 계산하기 정말 복잡하죠? 귀찮기도 하고요.

그래서 하기 싫은 다항식의 나눗셈을 좀 더 쉽게 하는 방법을 알려드립니다. 그게 바로 조립제법이에요. 조립제법은 다항식의 나눗셈에서 계수들의 규칙을 찾아서 만든 방법인데, 원리는 교과서에 설명되어 있을 거예요. 이 글에서는 원리보다는 조립제법을 실제로 하는 방법에 대해서 얘기할게요.

조립제법을 이용하면 다항식의 나눗셈을 할 필요 없이 몫과 나머지를 구할 수 있어요. 물론 나머지만 구하려면 나머지정리를 이용하면 더 쉽고요.

조립제법은 나중에 공부할 인수분해에서도 아주 유용하게 쓰이니까 꼭 할 줄 알아야 해요.

조립제법

다항식의 나눗셈은 최고차항과 계수를 비교해서 한 단계씩 풀어나갔었죠? 조립제법에서는 계수만 가지고 해요. 차수는 생각하지 않아도 되죠.

조립제법을 할 때는 가장 먼저 할 일은 f(x)와 나누는 식을 내림차순으로 정리하는 거예요.

x² + 3x - 4를 x - 1로 나누는 걸 조립제법으로 해보죠.

1. ㄴ자 모양으로 선을 그어요. 왼쪽 위에는 나누는 식 = 0이 되게 하는 x를 적어요. 이 경우에는 x = 1이네요. 오른쪽에는 내림차순으로 정리한 f(x)의 계수들을 순서대로 적어요.
2. 가장 왼쪽에 있는 계수 1은 그냥 바로 아래로 내려서 적어요.
3. ②에서 내린 1과 왼쪽에 있는 1을 곱한 1을 오른쪽 위에 적어요.
4. 두 번째 있는 계수 3과 바로 아래에 있는 1을 더한 4를 그 아래에 적어요.
5. ④에서 구한 4와 왼쪽에 있는 1을 곱한 4를 오른쪽 위에 적어요.
6. 세 번째에 있는 -4와 바로 아래 있는 4를 더한 0을 그 아래에 적고 ㄴ을 한 번 더 그려주세요.

ㄴ의 아래에 있는 숫자들이 몫과 나머지인데요. 가장 오른쪽에 있는 숫자가 나머지이고, 그 외의 부분이 몫이에요. 몫은 오른쪽부터 상수항, x의 계수, x²의 계수, x³의 계수예요. 앞 계산에서는 x의 계수까지밖에 없네요.

결론은 x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0 라는 거지요.

보기에서는 항의 개수가 몇 개 없어서 그런데, 항의 개수가 많다고 하더라도 오른쪽 옆으로 한 칸씩 옮겨가면서 ③, ④를 반복하면 돼요.

다항식의 나눗셈에서는 바로 위에 있는 식과 아래에 있는 식을 빼서 계산했어요. 그런데 조립제법에서는 위, 아래에 있는 계수를 더합니다. 이거 조심하세요.

주의해야 할 게 하나 더 있는데, 빈자리는 0으로 채워야 해요. f(x) = x³ - x + 1을 나누는 조립제법을 할 때는 f(x)의 계수가 3개라서 ①단계에 1   -1   1의 세 숫자만 쓰는 경우가 있는데, 그러면 안 돼요. f(x)에 x²이 없죠? 이때는 x²의 계수가 0이기 때문이에요. 따라서 ㄴ에 f(x)의 계수를 쓸 때, 1  0  -1  1의 네 숫자를 써야 해요. x³ + x² - x의 경우에는 1  1  -1이 아니라 상수항이 0이니까 1  1  -1  0을 써줘야 하고요. 계수의 개수는 최고차항의 차수보다 1개 많아요.

다음을 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x³ + 3x² - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (x³ - 2x + 5) ÷ (x + 2)

(1)번은 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = -1이고, f(x) = 2x³ + 3x² - x - 2로 계수만 적으면 2   3   -1   -2에요.

가장 앞에 있는 최고차항의 계수는 그냥 바로 아래로 내리고, -1과 곱해서 위로 올리고, 다음 계수와 더하고 …  이 과정을 계속하면 아래 그림처럼 조립제법을 할 수 있어요.

가장 오른쪽에 있는 숫자 0이 나머지이고, 그 외 3숫자는 몫인데, 오른쪽부터 상수항, x 계수, x² 계수이므로 몫은 2x² + x - 2에요.

몫: 2x² + x - 2, 나머지: 0
나머지가 0이니까 2³ + 3x² - x - 2는 x + 1로 나누어떨어지네요.

(2)번은 나누는 식 = 0이 되는 x = -2, f(x) = x³ - 2x + 5인데, 조심해야 하는 게 x²이 없지요? 계수가 0이에요. 따라서 적을 때는 1   0   -2   5를 적어야 해요.

몫: x² - 2x + 2, 나머지: 1

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다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.

다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.

인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.

나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.

나머지정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.

다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.

x³ + 2x² - 3x + 7을 x - 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.

A = BQ + R이므로
x³ + 2x² - 3x + 7 = (x - 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?

R만 구하는 방법은 두 가지에요.

1. 우변의 (x - 4)Q를 이항해서 R = x³ + 2x² - 3x + 7 - (x - 4)Q로 만들거나
   
2. 우변의 (x - 4)Q = 0으로 만들어서 R = x³ + 2x² - 3x + 7을 구하는 거죠.

두 번째 방법에서 (x - 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.

항등식의 미정계수법 - 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.

4³ + 2 × 4² - 3 × 4 + 7 = (4 - 4)Q + R
R = 64 + 32 - 12 + 7 = 91

직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.

위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x - 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.

f(x)를 (x - 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)

이번에는 같은 식을 2x - 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.

f(x) = x³ + 2x² - 3x + 7 = (2x - 1)Q(x) + R

마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 을 대입하면 (2x - 1)Q(x) = 0이 되어서 우변은 R만 남죠.

두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.

나머지정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x - α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =

다항식 f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지는 1, (x - 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하여라.

문제를 식으로 나타내 보죠.
f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1
f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3
f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누기 → f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)

여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x - 1)(x - 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.

f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b

f(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a + b = 1
a + b = 1

f(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3

a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x - 1이에요.

나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.

나누는 식이 일차식이면 R은 상수
나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b
나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax² + bx + c

인수정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x - α)Q(x)가 되겠죠?

나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.

f(x) = (x - α)Q(x)에서 f(x)는 (x - α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x - α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.

그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.

인수정리
x에 대한 다항식 f(x)가 (x - α)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.

f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔  = 0
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.

다항식 f(x) = 3x³ - ax² + x - 6가 x - 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.

다항식 f(x)가 x - 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.
f(2) = 3 × 2³ - a × 2² + 2 - 6 = 0
4a = 24 + 2 - 6
4a = 20
a = 5

f(x) = 3x³ - 2x² + ax - b가 (x - 1)과 (x - 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.

f(x)가 (x - 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 1)Q₁(x) ⇔ f(x)는 (x - 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0
f(x)가 (x - 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 2)Q₂(x) ⇔ f(x)는 (x - 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0

f(x)가 (x - 1)과 (x - 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.

f(1) = 3 × 1³ - 2 × 1² + a - b = 0
a - b = -1
f(2) = 3 × 2³ - 2 × 2² + 2a - b = 0
2a - b = -16

a - b = -1, 2a - b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14

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