일차방정식, 이차방정식까지 공부했는데요. 이제부터는 그보다 차수가 더 높은 방정식을 공부할 거예요. 이차방정식보다 차수가 더 높으니까 삼차방정식, 사차방정식, … 이죠.
이런 방정식들을 고차방정식이라고 하는데, 고차방정식의 풀이방법을 공부할 거예요. 또 이차방정식을 인수분해했던 것처럼 고차방정식의 인수분해도 해볼거고요.
고차방정식은 차수가 높고 항이 많긴 하지만 기본 원리는 이차방정식과 같고, 다항식의 인수분해에서 삼차식, 사차식의 인수분해를 해봤던 걸 함께 적용하면 되는 거니까 앞의 내용을 잘 이해하고 있다면 비교적 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
고차방정식의 풀이
x2 - 2x + 1 = 0은 x에 대한 이차방정식이죠? 그럼 x3 + x2 - 2x + 1 = 0은 뭘까요? 최고차항이 x에 대한 3차니까 삼차방정식이에요. x4 + x3 + x2 - 2x + 1 = 0은 x에 대한 최고차항이 4차라서 사차방정식이죠.
이처럼 3차 이상의 방정식을 고차방정식이라고 해요. 차수와 근의 개수가 같은 건 알고 있죠? 삼차방정식은 근이 세 개, 사차방정식은 근이 네 개예요.
이차방정식을 풀 때는 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요. 고차방정식에서는 인수분해를 해서 근을 구할 수는 있지만, 근의 공식을 바로 적용할 수는 없어요.
따라서 고차방정식을 풀 때는 (일차식) × (일차식) × (일차식) = 0이나 (일차식) × (이차식) = 0, (이차식) × (이차식) = 0의 형태로 인수분해를 해서 일차식에서는 해를 바로 구하고, 이차식은 근의 공식으로 해를 구해야 해요.
고차방정식의 풀이
- 인수분해
- 일차식에서는 해를 바로 구하고
이차식에서는 근의 공식 이용
고차방정식의 인수분해
이차방정식에서 인수분해를 하는 방법은 크게 두 가지였죠? 인수분해 공식을 이용하는 방법과 인수정리를 이용한 인수분해요. 고차방정식은 항의 개수와 차수가 다를 뿐 방법은 똑같아요.
고차방정식의 인수분해 - 인수분해 공식
인수분해 공식 중 차수가 3차 이상인 공식은 몇 개 안 되요. 잘 외워두세요.
x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
x4 - y4 = (x2 + y2)(x2 - y2) = (x2 + y2)(x + y)(x - y)
다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x3 - 16x = 0
(2) x3 - 27 = 0
(3) x4 - 16 = 0
문제가 비슷비슷해 보이지만 조금씩 다르죠?
(1)번 인수분해에서 가장 기본은 공통인수로 묶기에요. 두 항에 공통인수 x가 있죠?
x3 - 16x = 0
x(x2 - 16) = 0
x(x + 4)(x - 4) = 0
x = 0 or ±4
(2)는 두 항이 모두 세제곱인 항이에요.
x3 - 27 = 0
x3 - 33 = 0
(x - 3)(x2 + 3x + 9) = 0
앞의 일차식은 해를 바로 구할 수 있지만, 뒤의 이차식은 근의 공식을 이용해야겠네요.
x = 3
x = 3 or
(4)번은 두 항이 모두 네제곱인 항이네요.
x4 - 16 = 0
(x4 - 24) = 0
(x2 + 22)(x2 - 22) = 0
(x2 + 22)(x + 2)(x - 2) = 0
(x2 + 4)(x + 2)(x - 2) = 0
x = ±2i or ±2
고차방정식의 인수분해 - 인수정리 이용
인수분해 공식이 몇 개 안 되다 보니까 인수분해가 안 되는 경우도 많아요. 이때는 인수정리와 조립제법을 이용해서 인수분해를 해야 해요.
인수정리를 이용한 인수분해가 뭐였죠? 다항식의 우변을 0으로 놓고 인수분해를 하는 거였잖아요. 다항식의 우변이 0인 게 바로 방정식이니까 그 방법 그대로 사용하면 돼요.
방정식 f(x)에서 f(α) = 0을 만족하는 α는 아래 방법으로 찾아요. 이렇게 찾은 α가 방정식의 해가 되는 거죠.
- ±1
모든 해를 이 방법으로 찾을 필요는 없고요 한두 개를 찾은 다음에 인수분해해서 찾아야 해요. 근이 무리수이거나 복소수이면 이 방법으로 찾을 수 없으니까요.
다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x4 + x3 - 3x2 - x + 2 = 0
(2) x4 - 4x3 + 6x2 - 5x + 2 = 0
(1)번에서 f(x) = x4 + x3 - 3x2 - x + 2라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0
f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.
1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.
x4 + x3 - 3x2 - x + 2 = 0
(x - 1)(x + 1)(x2 + x - 2) = 0
(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)2(x + 1)(x + 2) = 0
인수정리와 조립제법을 이용했더니 식이 인수분해가 되었어요.
x = -2 or -1 or 1(중근) 이네요.
(2)번 f(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 5x + 2라고 놓으면
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18
f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84
f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.
x4 - 4x3 + 6x2 - 5x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2)(x2 - x + 1) = 0
뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해서 근을 찾아야겠네요.
x = 1 or 2 or 
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