고차방정식의 인수분해, 고차방정식의 풀이

일차방정식, 이차방정식까지 공부했는데요. 이제부터는 그보다 차수가 더 높은 방정식을 공부할 거예요. 이차방정식보다 차수가 더 높으니까 삼차방정식, 사차방정식, … 이죠.

이런 방정식들을 고차방정식이라고 하는데, 고차방정식의 풀이방법을 공부할 거예요. 또 이차방정식을 인수분해했던 것처럼 고차방정식의 인수분해도 해볼거고요.

고차방정식은 차수가 높고 항이 많긴 하지만 기본 원리는 이차방정식과 같고, 다항식의 인수분해에서 삼차식, 사차식의 인수분해를 해봤던 걸 함께 적용하면 되는 거니까 앞의 내용을 잘 이해하고 있다면 비교적 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

고차방정식의 풀이

x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 이차방정식이죠? 그럼 x³ + x² - 2x + 1 = 0은 뭘까요? 최고차항이 x에 대한 3차니까 삼차방정식이에요. x⁴ + x³ + x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 최고차항이 4차라서 사차방정식이죠.

이처럼 3차 이상의 방정식을 고차방정식이라고 해요. 차수와 근의 개수가 같은 건 알고 있죠? 삼차방정식은 근이 세 개, 사차방정식은 근이 네 개예요.

이차방정식을 풀 때는 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요. 고차방정식에서는 인수분해를 해서 근을 구할 수는 있지만, 근의 공식을 바로 적용할 수는 없어요.

따라서 고차방정식을 풀 때는 (일차식) × (일차식) × (일차식) = 0이나 (일차식) × (이차식) = 0, (이차식) × (이차식) = 0의 형태로 인수분해를 해서 일차식에서는 해를 바로 구하고, 이차식은 근의 공식으로 해를 구해야 해요.

고차방정식의 풀이

1. 인수분해
2. 일차식에서는 해를 바로 구하고
   이차식에서는 근의 공식 이용

고차방정식의 인수분해

이차방정식에서 인수분해를 하는 방법은 크게 두 가지였죠? 인수분해 공식을 이용하는 방법과 인수정리를 이용한 인수분해요. 고차방정식은 항의 개수와 차수가 다를 뿐 방법은 똑같아요.

고차방정식의 인수분해 - 인수분해 공식

인수분해 공식 중 차수가 3차 이상인 공식은 몇 개 안 되요. 잘 외워두세요.

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
x⁴ - y⁴ = (x² + y²)(x² - y²) = (x² + y²)(x + y)(x - y)

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x³ - 16x = 0
(2) x³ - 27 = 0
(3) x⁴ - 16 = 0

문제가 비슷비슷해 보이지만 조금씩 다르죠?

(1)번 인수분해에서 가장 기본은 공통인수로 묶기에요. 두 항에 공통인수 x가 있죠?
x³ - 16x = 0
x(x² - 16) = 0
x(x + 4)(x - 4) = 0
x = 0 or ±4

(2)는 두 항이 모두 세제곱인 항이에요.
x³ - 27 = 0
x³ - 3³ = 0
(x - 3)(x² + 3x + 9) = 0

앞의 일차식은 해를 바로 구할 수 있지만, 뒤의 이차식은 근의 공식을 이용해야겠네요.

x = 3

x = 3 or 

(4)번은 두 항이 모두 네제곱인 항이네요.
x⁴ - 16 = 0
(x⁴ - 2⁴) = 0
(x² + 2²)(x² - 2²) = 0
(x² + 2²)(x + 2)(x - 2) = 0
(x² + 4)(x + 2)(x - 2) = 0

x = ±2i or ±2

고차방정식의 인수분해 - 인수정리 이용

인수분해 공식이 몇 개 안 되다 보니까 인수분해가 안 되는 경우도 많아요. 이때는 인수정리와 조립제법을 이용해서 인수분해를 해야 해요.

인수정리를 이용한 인수분해가 뭐였죠? 다항식의 우변을 0으로 놓고 인수분해를 하는 거였잖아요. 다항식의 우변이 0인 게 바로 방정식이니까 그 방법 그대로 사용하면 돼요.

방정식 f(x)에서 f(α) = 0을 만족하는 α는 아래 방법으로 찾아요. 이렇게 찾은 α가 방정식의 해가 되는 거죠.

1. ±1
2. 

모든 해를 이 방법으로 찾을 필요는 없고요 한두 개를 찾은 다음에 인수분해해서 찾아야 해요. 근이 무리수이거나 복소수이면 이 방법으로 찾을 수 없으니까요.

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(2) x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0

(1)번에서 f(x) =  x⁴ + x³ - 3x² - x + 2라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0

f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.

1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.

x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(x - 1)(x + 1)(x² + x - 2) = 0
(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)²(x + 1)(x + 2) = 0

인수정리와 조립제법을 이용했더니 식이 인수분해가 되었어요.

x = -2 or -1 or 1(중근) 이네요.

(2)번 f(x) =  x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2라고 놓으면
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18

f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84

f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.

x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2)(x² - x + 1) = 0

뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해서 근을 찾아야겠네요.

x = 1 or 2 or 입니다.

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정리해볼까요

고차방정식

• 최고차항의 차수가 3차 이상인 방정식
• 인수분해 공식과 인수정리를 이용하여 인수분해
• 근의 공식을 이용하여 해를 구한다.

이차함수의 최대, 최소와 활용

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