위치관계
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점, 직선, 평면의 위치 관계2025.03.31
점, 직선, 평면의 위치 관계
기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분>에서 점, 선, 면에 대해서 공부했어요. 이제 점, 선, 면 사이의 위치 관계를 공부할 거예요. 점과 선 사이의 위치 관계, 선과 면 사이의 위치 관계 같은 거요.
대신, 점은 그대로 점, 선은 직선, 면은 평면을 다뤄요.
| 점 | 직선 | 평면 | |
| 점 | X | O | O |
| 직선 | - | O | O |
| 평면 | - | - | O |
가로 점과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 점과 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이고, 가로 직선과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 두 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이에요.
점과 점 사이의 위치 관계는 X로 되어있는데, 이건 다루지 않는다는 뜻이에요.
가로 직선과 세로 점이 만나는 칸에 (-) 표시 되어 있는 건 가로 점과 세로 직선이 만나는 칸에 (O) 표시 된 것과 중복되는 거라서 그렇게 표시했고요.
어디에서의 위치를 다룰 것이냐도 중요한데요. 평면과 공간에서 각 항목들의 위치 관계를 따져요. 그러니까 점과 직선의 위치 관계를 따지는데 이걸 평면에서의 위치 관계, 공간에서의 위치 관계 이렇게 2번 다루죠.
다만 평면에서 평면의 위치 관계를 다룰 수 없으므로 평면과 다른 항목의 위치 관계는 공간에서만 다뤄요. 다시 정리해보죠.
| 평면 | 공간 | |||||
| 점 | 직선 | 평면 | 점 | 직선 | 평면 | |
| 점 | X | O | X | X | O | O |
| 직선 | - | O | X | - | O | O |
| 평면 | X | X | X | - | - | O |
그러니까 총 7가지 위치 관계를 다뤄요.
| 평면 | 공간 |
| 평면에서 점과 직선의 위치 관계 평면에서 두 직선의 위치 관계 |
공간에서 점과 직선의 위치 관계 공간에서 두 직선의 위치 관계 공간에서 점과 평면의 위치 관계 공간에서 직선과 평면의 위치 관계 공간에서 두 평면의 위치 관계 |
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
일차함수와 직선의 방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이차함수도 방정식으로 바꿀 수 있어요. 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차방정식과 일차방정식의 관계로 바꿀 수 있죠. 이 관계를 이용해서 둘의 위치관계를 구해요.
이런 방법은 원과 직선의 위치관계에서도 했던 방법이에요. 일차식을 이차식에 대입한 다음에 판별식을 이용하는 거죠. 원의 방정식이 이차함수로 바꿨다는 것만 다르고 나머지는 똑같으니까 별로 어렵지 않을 거예요.
그래프를 그리지 않고 식만 보고 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 파악할 수 있도록 해보세요.
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 원과 직선의 위치관계에서 했던 방법을 그대로 가져다 쓰면 돼요.
이차함수 y = ax2 + bx + c는 ax2 + bx + c - y = 0이라는 식으로 바꿀 수 있고, 이건 x 관한 이차방정식이죠? y = mx + n은 mx + n - y = 0으로 바꿀 수 있고, 이건 일차방정식이에요. 이 둘을 연립하면 연립이차방정식의 풀이에 따라 해를 구할 수 있어요. 하지만 위치관계에서는 해가 중요한 게 아니고 해의 개수가 중요해요.
이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)와 직선 y = mx + n을 연립해서 푼 해가 바로 그래프에서의 교점이에요. 해가 2개이면 교점이 2개, 해가 하나이면 교점도 하나죠.
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b - m)x + c - n = 0
연립하면 위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.
D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 해가 2개 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 해가 1개 ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다.(접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 해가 0개 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.
실수 범위에서만 다루기때문에 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.
위 내용을 표로 정리해 볼게요.
| 이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용 | |||
| 판별식 | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
| 위치관계 | 서로 다른 두 점에서 만난다. | 한 점에서 만난다.(접한다.) | 만나지 않는다. |
| 그래프 |  |
 |
 |
| 교점의 개수 | 2개 | 1개 | 0개 |
x2 + 3x - 3의 그래프와 접하고, y = x + 1과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.
두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 서로 평행한 직선은 기울기가 같아요. y = x + 1과 평행하다고 했으니 구하는 직선은 y = x + b가 되겠네요.
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.
이 직선이 y = x2 + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.
x2 + 3x - 3 = x + b
x2 + 2x - 3 - b = 0
D/4 = 12 - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4
따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.
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두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.
이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.
증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.
두 직선의 위치관계 - 평행, 일치
평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.
두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H
∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°
두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.
m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.
두 직선의 위치관계 - 수직
y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.
여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)
두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) = -1이 되는군요.
수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.
| y = mx + n,y = m'x + n' | ||
|---|---|---|
| 평행 | 기울기는 같고, y절편은 다르다 | m = m', n ≠ n' |
| 일치 | 기울기가 같고 y절편도 같다. | m = m', n = n' |
| 수직 | (기울기의 곱) = -1 | mm' = -1 |
| 한 점에서 만난다 | 기울기가 다르다 | m ≠ m' |
y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?
y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n
y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.
y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3
y = 2x - 3이네요.
y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.
y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.
두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.
a + b = 1 + 3 = 4
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