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행렬의 역행렬은 숫자의 역수와 비슷한 거예요. 그러니까 역수와 역행렬을 비교하면서 역행렬의 뜻과 특징에 대해서 잘 이해해두세요.

또 역행렬 구하는 공식을 유도해보고 유도된 공식을 이용해서 역행렬을 구하는 연습도 해보죠.

역행렬 공식은 어려운 공식도 아니고 앞으로도 자주 사용하는 공식이니까 꼭 외워두세요.

역행렬

숫자에 역수라는 게 있어요. 간단히 말하면 분자, 분모를 뒤집은 거죠. 고등학생이라면 조금 더 세련되게 표현할 수 있어야겠죠? 어떤 수 a와 곱했을 때 계산 결과가 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오게 하는 수를 a의 역수라고 하지요. a의 역수는 a^-1이에요.

수에 역수가 있다면 행렬에는 역행렬이 있어요. 어떤 행렬 A와 곱했을 때 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬 E가 나오게 하는 행렬을 행렬 A의 역행렬이라고 해요. 행렬 A의 역행렬은 기호로 A^-1라고 쓰고 A inverse(A 인버스)라고 읽어요.

역원을 숫자에서는 역수, 행렬에서는 역행렬이라고 하는 거지요.

참고로 숫자에서 a^-1 = 인데, 행렬에서 A^-1는 이라고 하지 않아요.

일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 AB ≠ BA지만 행렬과 그 역행렬 사이에는 AA^-1= A^-1A = E가 성립해야 해요. 항등원과 역원에서 항등원과 역원을 가지려면 교환법칙이 성립해야 한다고 했죠?

행렬 A가 2 × 3 행렬이고, A^-1가 3 × 2 행렬이라면 AA^-1 = E가 되는데 이때 E는 2차 정사각행렬이에요. 교환법칙에 따라서 A^-1A = E가 될 텐데 이때의 E는 3차 정사각행렬이죠. AA^-1와 A^-1A 모두 단위행렬 E지만 서로 다른 행렬이에요. 따라서 곱셈 결과가 똑같은 n차 단위행렬이 되려면 A와 A^-1도 n차 정사각행렬로 같은 꼴이어야 해요.

역행렬: 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

역행렬 구하는 공식

라고 놓고 역행렬을 구해보죠.

ax + bu = 1 … ①
ay + bv = 0 … ②
cx + du = 0 … ③
cy + dv = 1 … ④

① × c - ③ × a
acx + bcu = c
acx + adu = 0

(bc - ad)u = c … ⑤

① × d - ③ × b
adx + bdu = d
bcx + bdu = 0

(ad - bc)x = d … ⑥

② × c - ④ × a
acy + bcv = 0
acy + adv = a

(bc - ad)v = -a … ⑦

② × d - ④ × b
ady + bdv = 0
bcy + bdv = b

(ad - bc)y = -b … ⑧

ⅰ) ad - bc = 0일 때

ad - bc = 0이면 bc - ad = 0이므로 ⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 a = b = c = d = 0이에요.

그런데 a = b = c = d = 0이면 ①에서 0x + 0u = 1이 되어 모순이 생기죠. 마찬가지로 ④에서 0y + 0v = 1로 모순이 생겨요. 따라서 ad - bc = 0이면 역행렬을 구할 수 없어요.

ⅱ) ad - bc ≠ 0일 때

⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 양변을 (ad - bc) 또는 (bc - ad)로 나눠보죠.

⑤ →

⑥ →

⑦ →

⑧ →

x, y, u, v를 A^-1에 대입하면 를 구할 수 있어요.

A^-1A = E는 여러분이 한 번 해보세요.

역행렬 공식
이차정사각형렬 에 대하여
ad - bc ≠ 0이면
ad - bc = 0이면 행렬 A의 역행렬은 없다.

공식을 보면 행렬에서 a, d는 자리를 바꿨고, b, c는 부호가 반대로 되었어요.

ad - bc를 행렬식(Determinant)이라고 하고 대문자 D = ad - bc로 나타내요. 이차방정식에서 근을 판별할 때 이차방정식의 판별식을 이용하죠? 이것과 비슷하게 행렬식을 이용해서 역행렬이 존재하는지 아닌지를 판단할 수 있어요. D ≠ 0이면 역행렬이 있고, D = 0이면 역행렬이 없어요.

다음 행렬의 역행렬이 있는지 보고, 역행렬이 있으면 역행렬을 구하여라.

역행렬이 존재하는지 아닌지는 행렬식 D를 보면 알 수 있어요.

(1) D = ad - bc = 1 × 4 - 2 × 3 = -2 ≠ 0으로 역행렬이 존재하네요.

(2) D = ad - bc = 2 × 6 - 3 × 4 = 0으로 역행렬이 존재하지 않아요.

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행렬의 곱셈에 대한 성질
단위행렬, 행렬의 곱셈에 대한 항등원

정리해볼까요

역행렬

• 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

이차정사각형렬 에 대하여

ad - bc ≠ 0 →

ad - bc = 0 → 행렬 A의 역행렬은 없다.

실수에서 항등원과 역원이 있었죠? 항등원은 계산한 결과가 자기 자신이 나오게 하는 걸 말하고 역원은 계산한 결과가 항등원이 나오는 걸 말해요. 행렬에도 항등원과 역원이 있는데 이글에서는 덧셈에 대한 항등원과 역원을 알아보죠.

그리고 영행렬이라는 용어도 공부할 건데 영행렬이 무엇인지 어떤 특징을 가졌는지도 이해해두세요.

참고로 실수에서도 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 뺄셈에 대한 항등원과 역원은 없었듯이 행렬에서도 뺄셈에 대한 항등원과 역원은 다루지 않아요.

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원

행렬에서 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라고 하고 알파벳 O로 나타내요.

일 때

A + O = A에요.

행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬에서는 덧셈에 대한 교환법칙이 성립해요.

A + O = O + A = A

즉 영행렬 O는 행렬 A의 덧셈에 대한 항등원이 되는 걸 알 수 있어요. 영행렬은 숫자 0이 모인 거니까 실제로도 숫자에서 0의 역할과 비슷하죠.

행렬 에서 모든 성분의 부호를 (-)로 바꾼 을 -A라고 해요. 두 행렬을 더해보죠.

A + (-A) = O인데, 행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬에서는 덧셈에 대한 교환법칙이 성립하므로

A + (-A) = (-A) + A = O

즉 행렬 -A는 행렬 A의 덧셈에 대한 역원이 되는 걸 알 수 있어요.

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원
행렬 A와 행렬 O가 같은 꼴일 때
A + O = O + A = A → O는 덧셈에 대한 항등원
A + (-A) = (-A) + A = O → -A는 A의 덧셈에 대한 역원

행렬 에 대하여 A + X = O를 만족할 때 행렬 X를 구하여라.

두 행렬을 더했는데 영행렬 O가 나왔다는 말은 두 행렬이 서로 덧셈에 대한 역원이라는 말이죠? 덧셈에 대한 역원은 행렬의 성분의 부호만 반대로 바꿔주면 돼요.

X = -A

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복소수의 연산법칙과 실수의 연산법칙이 같고, 복소수의 항등원과 역원은 실수의 항등원과 역원하고 같아요. 하나도 새로울 게 없어요. 숫자만 실수에서 복소수로 바뀐 것뿐이에요. 항등원과 역원을 구하려면 연산에 대해 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야한다는 것도 같아요. 이 글을 통해서 복습하는 거로 생각하세요.

그냥 쭉 한 번 읽어보고 기억해두시면 됩니다.

실수 체계, 실수의 분류, 연산에 대하여 닫혀있다
항등원과 역원, 연산법칙

복소수의 연산법칙

실수는 사칙연산에 대하여 닫혀있다고 했어요. 그럼 복소수는 어떤 연산에 대해서 닫혀있을까요? 복소수 실수보다 더 큰 수의 체계이므로 실수와 마찬가지로 사칙연산에 대해서 모두 닫혀있어요. 그리고 실수에서 성립하는 연산법칙도 모두 성립합니다.

복소수 전체의 집합 C의 임의의 원소 z₁, z₂, z₃에 대하여
사칙연산에 대하여 닫혀있다: z₁ + z₂ ∈ C, z₁z₂ ∈ C
교환법칙: z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁z₂ = z₂z₁
결합법칙: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃), (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)
분배법칙: z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

교환법칙과 결합법칙은 덧셈, 곱셈에서만 성립하고 뺄셈, 나눗셈에서는 성립하지 않아요. 실수하고 다 똑같아요.

복소수의 항등원과 역원

연산에 대해서 닫혀있고, 교환법칙이 성립하니까 항등원을 구할 수 있겠죠? 실수에는 덧셈과 곱셈에서만 항등원이 존재합니다.

실수의 덧셈에 대한 항등원은 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이었지요? 복소수의 덧셈에 대한 항등원도 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.
복소수의 덧셈에 대한 항등원: z + 0 = z
복소수의 곱셈에 대한 항등원: z × 1 = z

실수의 덧셈에 대한 역원은 부호를 바꾼 것이였고, 곱셈에 대한 역원은 역수였어요. 복소수도 같습니다.
복소수의 덧셈에 대한 역원: z + (-z) = 0
복소수의 곱셈에 대한 역원: z ×  = 1

결론은 실수와 복소수에 대한 성질이 같다는 거예요. 실수에서 성립하는 연산법칙은 모두 복소수에서 성립하고, 실수의 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원도 복소수에서 똑같아요.

3 - 2i의 덧셈에 대한 역원과 곱셈에 대한 역원을 구하여라.

덧셈에 대한 역원은 부호를 반대로 하는 거고, 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

덧셈에 대한 역원: - (3 - 2i) = -3 + 2i

곱셈에 대한 역원:

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사칙연산이 아닌 새로운 연산을 공부할 겁니다. 공통으로 사용되는 연산이 아니라 특정한 문제에서만 사용되는 연산이 있는데, 이들 연산을 계산하는 방법과 중학교에서 공부했던 연산법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙) 사이의 관계를 공부할 거예요.

역수 알죠? 분자와 분모를 뒤집어서 쓰는 숫자잖아요. 오늘 이 글에서 항등원과 역원을 공부하면 왜 역수라고 하는지 이해할 수 있을 거예요. 항등원과 역원은 간단한 계산 문제니까 덧셈, 뺄셈만 잘 하면 맞출 수 있어요. 용어만 헷갈리지 않도록 주의하세요.

실수의 연산법칙

중학교 때 배웠던 연산법칙 세 가지가 있죠?

• 교환법칙: a + b = b + a, ab = ba
• 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
• 분배법칙: (a + b)c = ac + bc

교환법칙과 결합법칙은 덧셈과 곱셈에서만 성립해요. 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않습니다. 분배법칙은 괄호 안은 덧셈이나 뺄셈이어야 하고, 괄호 밖은 곱셈이나 나눗셈이어야 해요. 괄호 안이 곱셈이거나 괄호 바깥이 뺄셈이면 성립하지 않아요.

이제부터는 사칙연산뿐 아니라 새로운 연산들이 많이 나와요. 심지어는 해당 문제에서만 사용되는 새로운 연산을 만들 수 있어요. 예를 들어서 "a ⊙ b = 2a + b + 1로 정의할 때" 같은 문장을 넣을 수 있다는 거죠. 그러면 그 문제는 문장에 나온 그대로 계산을 해야 해요. 참고로 이 기호는 이름이 없으니까 "a 연산 b"라고 읽으세요.

이처럼 새로운 연산을 만든다 하더라도 위 법칙은 유효합니다.

임의의 세 수 a, b, c에 대하여
교환법칙 성립 ⇔ a ⊙ b = b ⊙ a
결합법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c)
분배법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) △ c = (a △ c) ⊙ (b △ c)

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + kb - 3
라고 정의할 때, 이 연산에 대해서 교환법칙이 성립한다고 한다. 상수 k의 값을 구하여라.

일단 연산 △은 (연산 기호 앞의 숫자) + k × (연산 기호 뒤의 숫자) - 3이라고 정의되어 있어요.

교환법칙이 성립한다면 두 실수 a, b에 대하여 a △ b = b △ a가 성립해요. 대입해보죠.

a △ b = b △ a
a + kb - 3 = b + ka - 3
k(b - a) = b - a
k = 1

항등원과 역원

항등원과 역원에 대해 설명을 하기 전에 알아야 할 게 있어요. 항등원과 역원을 구하려면 일단 그 연산에 대하여 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야 합니다. 이 두 가지 조건이 갖추어지지 않았으면 항등원과 역원을 구할 수 없어요.

항등원과 역원을 구하라는 문제는 이 두 조건을 만족한다는 전제가 깔렸으니까 따로 확인해볼 필요는 없어요. 단, 항등원을 구할 수 있는가를 물어보는 경우에는 이 두 가지를 확인하세요.

항등원

집합 S의 임의의 원소 a와 원소 e를 연산한 결과가 a가 될 때 e를 연산에 대한 항등원이라고 해요. 쉽게 말하면 연산을 한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 수지요.

10에 0을 더하면 원래 수인 10이 돼요. 100에 0을 더해도 100이 되죠. 덧셈에서는 어떤 수에 0을 더하더라도 원래 수가 나오잖아요. 이때 0을 덧셈에 대한 항등원이라고 해요.

곱셈에서는 어떤 수에 1을 곱하더라도 원래 수가 나와요. 따라서 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.

항등원: a ∈ S일 때 a ⊙ e = e ⊙ a = a를 만족하는 e (e ∈ S)

항등원은 그 연산에서 딱 하나만 있어요. 덧셈에는 0, 곱셈에는 1만 항등원이에요.

연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원이 없을 수도 있어요.

역원

집합 S의 임의의 원소 a와 x를 연산한 결과가 항등원 e가 될 때 x를 연산에 대한 a의 역원이라고 해요. 항등원이 나오게 하는 수지요.

10에 -10을 더하면 덧셈의 항등원인 0이 되죠? 그래서 덧셈에 대한 10의 역원은 -10이에요. 덧셈에 대한 20의 역원은 -20이죠.

10에 얼마를 곱해야 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오나요? 이에요. 20에 을 곱하면 1이 나오죠? 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

역원: a ∈ S일 때, a ⊙ x = x ⊙ a = e를 만족하는 x (x ∈ S)

역원은 하나의 연산에서 하나만 있는 게 아니에요. 같은 연산이라 하더라도 숫자마다 달라져요. 덧셈에 대한 10과 20의 역원이 달랐죠?

역원은 연산 결과가 항등원이 나오는 수에요. 따라서 역원을 구하려면 항등원을 미리 구해야 해요. 항등원이 없으면 역원도 없어요. 또, 연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원만 있고, 역원이 없는 경우도 있습니다.

항등원은 연산에 대해서 하나만 존재하기 때문에 문제에서도 그냥 항등원을 구하라고 나와요. 역원은 숫자마다 달라져요. 따라서 문제에서는 "3의 역원을 구하여라. 4의 역원을 구하여라."처럼 숫자를 하나 지정해주고 그 숫자의 역원을 구하게 됩니다.

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + b - 3
라고 정의할 때, 연산 △에 대한 항등원과 5의 역원을 구하여라.

항등원을 e, 5의 역원을 x라고 해보죠.

항등원은 a △ e = e △ a = a를 만족하는 e를 구하는 거니까 식에 대입해보면
a + e - 3 = a
e = 3

연산 △에 대한 항등원은 3이네요.

5의 역원은 연산한 결과가 항등원 3이 나오는 x에요.
5 △ x = x △ 5 = 3
5 + x - 3 = 3
x = 1

연산 △에 대한 5의 역원은 1이네요.

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