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두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.

직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.

두 직선의 위치관계 - 일반형

ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -x -

a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.

a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -x -

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서

기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
- = - →  =  →  =
- ≠ - →   ≠  →  ≠

기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
- = - →  =  →  =
- = - →   =  →  =

기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.

기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
- ≠ - →  ≠  →  ≠

앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?

연립방정식의 해의 개수

미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.

해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.

해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?

해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔  =  =

해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔  =  ≠

직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.

두 직선의 위치관계 - 일반형, 연립방정식

	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	연립방정식 근의 개수
평행	=  ≠	해가 없다.
일치	=  =	해가 무수히 많다
수직	aa' + bb' = 0	1개
한 점에서 만난다.	≠	1개

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두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.

이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.

증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치

평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.

두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H

∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°

두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.

는 으로 y = mx + n의 기울기 즉 m이에요. 는 y = m'x + n'의 기울기 즉 m'이고요. 두 직선이 평행하면 기울기가 같다는 것을 알 수 있어요.

m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.

두 직선의 위치관계 - 수직

y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.

여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)

두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) =  -1이 되는군요.

수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.

y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?

y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n

y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.

y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3

y = 2x - 3이네요.

y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.

y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.

두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.

a + b = 1 + 3 = 4

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앞에서는 평면에서의 여러 가지를 공부했어요. 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계를요. 이제는 공간에서 같은 내용을 공부할 거예요.

점이 모이면 선이 되고, 선이 모이면 평면이 돼요. 그렇죠? 그럼 공간은 뭐가 모여서 된 걸까요? 바로 평면이 모여서 된 거예요. 그래서 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계는 공간에서도 그대로 적용됩니다. 평면에서의 위치 관계에 추가로 몇 개 더 공부하는 거예요.

공간에서 두 직선의 위치 관계

점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계에서 평면에서 두 직선은 한 점에서 만나는 경우, 평행한 경우, 일치하는 경우가 있었어요. 일치하는 경우는 여러 점에서 만나는 경우니까 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 합쳐서 두 직선이 만나는 경우라고 할 수 있죠.

공간에서는 여기에 한 가지가 더해지는 데요. 바로 꼬인 위치라는 거예요. 꼬인 위치는 쉽게 말해서 위 세 가지가 아닌 경우예요. 그러니까 만나지도 않으면서 평행하지도 않은 경우죠.

왼쪽 세 그림에는 "한 평면 위"라고 쓰여 있죠? 이 세 가지는 평면에서 두 직선의 위치관계에도 있던 내용이에요. 반대로 꼬인 위치는 서로 다른 평면에 있는 경우고요.

꼬인 위치에 대해서는 잘 이해가 안 될 수 있는데요. 아래 직육면체 그림을 보죠.

변 AB와 변 CD, 변 EF, 변 HG는 서로 평행이에요. 그리고 변 AB와 변 AD, 변 AE는 한 점 A에서 만나죠? 변 AB와 변 BC, 변 BF는 한 점 B에서 만나요. 그럼 변 AB와 변 EH는 어떤 사이일까요? 만나지도 않고 평행하지도 않아요. 이런 관계를 바로 "꼬인 위치에 있다."고 합니다.

평면과 직선의 위치관계

이번에는 공간에서 평면과 직선의 위치 관계예요.

직선이 평면에 포함되는 경우가 첫 번째예요. 평면에서 두 직선의 위치 관계에서 직선은 모두 평면에 포함되어 있었어요. 직선이 평면에 포함되는 경우는 다른 말로 평면 위의 직선이라고 표현하고 이때 직선과 평면이 만나는 점이 매우 많아요. 앞의 직육면체 그림에서 면ADHE에 선분 AD, DH, HE, EA가 포함되어 있어요.

두 번째는 평면과 직선이 한 점에서 만나는 경우예요. 마치 화살이 과녁에 박혀있는 것처럼 생겼어요. 직육면체 그림에서 면ADHE와 세로로 된 선분 AB는 점 A에서 만나죠. 또 선분 DC와는 점 D에서, 선분 HG와는 점 H, 선분 EF와는 E에서 만나요.

마지막은 직선이 평면과 만나지 않고 평행하는 경우예요. 점이 직선 위에 있지 않는 경우와 비슷한 모양이에요. 직육면체 그림의 면ADHE는 선분 BC, 선분 CG, 선분 GF, 선분 BF와 평행이에요.

공간에서 평면과 직선의 수직

평면과 직선이 한 점에서 만날 때 특이하게 만나는 경우가 있어요. 바로 직각으로 만나는 경우요. 두 직선이 한 점에서 만날 때, 수직으로 만나는 경우가 있잖아요. 여기서도 그런 경우예요.

평면을 P, 평면 P와 한 점에서 만나는 직선을 직선 m이라고 해보죠. 평면 P와 직선 m이 만나는 점을 점 O라고 하고요. 그리고 평면 P에 포함되고 점 O를 지나는 직선을 l이라고 하지요.

평면 P와 직선 m이 직교하니까 직선 m은 수선이고, 기호로 P ⊥ m으로 나타낼 수 있어요. 이때 점 O는 수선의 발이에요. (수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리)

공간에서 직선과 평면이 서로 수직일 때는 한 가지 특징이 있는데, 평면 P와 직선 m이 수직이면 평면 P위의 직선 l과 직선 m도 점 O에서 수직이에요.

아래 그림을 보고 변 AB와 꼬인 위치에 있는 선분을 모두 찾으시오.

꼬인 위치는 만나지도 않고 평행하지도 않은 위치에 있는 걸 말해요.

변 AB와 평행한 변을 찾아볼까요? 변 CD, 변 EF, 변 GH가 있네요.

변 AB와 만나는 변을 찾아보죠. 변 AD, 변 AE, 변 BC, 변 BF이고요.

그럼 이제는 평행하지도 않고, 만나지도 않는 꼬인 위치에 있는 변을 찾아보죠. 직육면체에서 찾을 수 있는 변 중에 위에서 적지 않은 변을 다 적으면 돼요. 변 EH, 변 DH, 변 FG, 변 CG가 되겠네요.

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점과 선, 각 등에서 쭉 공부해오고 있는데요.

이제는 점과 선의 위치 관계에 대해서 공부할 거예요. 서로 어떤 위치에 있는가인데 어렵게 생각하지 마세요. 서로 만나느냐 만나지 않느냐 평행하냐를 따지는 거예요.

예를 들어, 두 직선이 만나는지, 두 직선이 평행한지, 두 직선이 일치하는지를 구분하는 거죠.

지금 여기서 공부할 내용은 평면에서 점과 직선의 위치관계, 평면에서 두 직선의 위치관계예요.

점과 직선의 위치관계

한 평면 위에 점과 직선이 있을 때 서로 어떤 위치에 있는지 알아보죠.

먼저 점이 직선 위에 있을 때가 있어요. 점이 직선 위에 있다는 말은 직선이 점을 지나간다는 얘기지요. 문제에서 직선 위의 점 어쩌고저쩌고 나오면, 직선이 점을 지나가는 구나 하고 생각하면 돼요.

점이 직선 위에 있지 않을 때도 있겠지요? 이때를 다르게 표현하면, 직선이 점을 지나지 않는다고 표현할 수 있겠죠? 다른 말로 직선 밖의 점이라고 하는데 자주 쓰이는 말은 아니에요.

아래 그림에서 왼쪽은 점이 직선 위에 있는 것으로 직선 위의 점이라고 하고, 오른쪽은 점이 선 위에 있지 않은 것으로 직선 위에 있지 않은 점이라고 말해요.

여기서 말하는 위는 위, 아래 방향이 아니라는 걸 이해해야 해요.

점이 직선 위에 있느냐 없느냐는 직선이 점을 지나느냐 지나지 않느냐로 표현할 수도 있는 거예요.

두 직선의 위치관계

평면에서 두 직선의 위치관계에 대해서 알아볼까요?

평면이라고는 하지만 우리가 익히 아는 그냥 종이 위에 그린 그림이라고 생각하면 쉬워요. 평면이라고 다를 게 없어요.

평면에서 두 직선은 세 가지의 위치관계가 있어요. 첫 번째는 두 직선이 한 점에서 만나는 경우이고, 두 번째는 평행한 경우, 세 번째는 일치하는 경우예요.

직선이 두 점 이상에서 만나면 두 직선이 일치한다고 할 수 있어요. 두 점을 지나는 직선은 하나 밖에 없거든요. 거꾸로 말해 두 직선이 일치하면 두 개 이상의 점에서 만난다고 할 수 있는 거죠.

두 직선이 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 한꺼번에 두 직선이 만나는 경우라고 할 때도 간혹 있어요.

그리고 여기에서 생각하는 평면은 아주아주 넓은 평면이에요. 아래 그림처럼 그려진 평면이 작아서 두 직선이 만나지 않을 때 '직선이 만나지도 않고, 평행도 아니고, 일치하는 것도 아닌데요.' 하는 학생은 없기 바랍니다. 평면을 더 크게 그리면 두 직선은 만나게 되어 있어요. 직선이 끝이 없이 계속되는 것처럼 평면도 끝이 없어요.

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