근의 개수
이차방정식의 판별식, 실근, 허근
이차방정식의 근은 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 근의 공식을 이용해서 구한 근이 실수인지 허수인지에 따라서 부르는 이름이 달라져요. 실근과 허근이라는 표현을 언제 사용하는지 알아보죠.
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)에서 b2 - 4ac를 이차방정식의 판별식이라고 하고 D라고 써요. 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수를 알 수 있었죠.
이 글에서는 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수뿐 아니라 근의 종류를 알아볼 거예요. D > 0, D = 0일 때는 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용과 똑같으니까 D < 0일 때를 주목해서 보세요.
이차방정식의 실근, 중근, 허근
이차방정식 x2 + 3x + 2 = 0의 해를 구해보죠.
x2 + 3x + 2 = 0
(x + 1)(x + 2) = 0
x = -1 or -2
두 개의 근을 구했어요. 두 수는 모두 실수죠? 실수인 근이니까 실근이라고 해요.
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0
x = -2
완전제곱식일 때는 근이 두 개인데, 두 개가 같아서 중근이라고 하지요?
이번에는 이차방정식 x2 + x + 1 = 0의 두 근을 구해보죠. 인수분해가 안 되니까 근의 공식으로 해를 구해야 해요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
근호 안이 -3이어서 허수단위 i를 이용해서 표현해봤어요. 근이 허수에요. 허수인 근이니까 허근이라고 합니다.
이차방정식의 판별식
중3 때, 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용에서 판별식을 이용해서 근의 개수를 구할 수 있었어요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)의 판별식
D = b2 - 4ac
판별식 D > 0이면 두 개의 근, D = 0이면 중근, D < 0이면 근이 없다고 했지요.
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근은 
전에는 실수 체계에 대해서만 알고 있어서 D < 0이면 제곱근 안이 음수니까 D < 0일 때는 근이 없다고 공부했던 거예요. 복소수 체계에서는 제곱근 안이 0보다 작은 걸 허수라고 하죠. 따라서 D < 0일 때는 허수가 근이라는 걸 알 수 있어요.
D < 0이면 
D > 0일 때는 두 개의 근을 갖는데, 이들은 모두 실수에요. 제곱근 안이 양수로 무리수니까요.
D = 0일 때는 중근을 갖는데 이것 역시 실수죠.
이처럼 판별식 D를 이용해서 근의 개수와 근의 종류를 알 수 있어요.
| 판별식 | 근의 개수 |
|---|---|
| b2 - 4ac > 0 | 서로 다른 두 실근 |
| b2 - 4ac = 0 | 서로 같은 두 실근(중근) |
| b2 - 4ac < 0 | 서로 다른 두 허근 |
문제를 풀 때, 실근인지 허근인지 두 근이 서로 같은지 다른지를 잘 구별해야 해요.
복소수 단원을 제외한 문제에서 특별한 언급이 없으면 답을 실수범위에서만 구했는데, 방정식에서는 특별한 언급이 없는 한 허근까지도 구해야 합니다.
x2 + 3x - 4 + k = 0가 실근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.
실근을 갖는다는 얘기는 D > 0이어서 서로 다른 두 실근을 가질 수도 있지만, D = 0으로 중근을 가질 수도 있어요. 따라서 D ≥ 0이어야 해요.
b2 - 4ac ≥ 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) ≥ 0
9 + 16 - 4k ≥ 0
4k ≤ 25
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이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
이차방정식 근의 공식을 다 외우셨나요? 근의 공식을 외우지 못했다면 근의 공식, 근의 공식 유도를 보고 공식을 얼른 외우세요. 중 3수학에서 가장 중요한 내용입니다.
이차방정식이란, 이차방정식의 뜻에서 잠깐 얘기했는데, 일차방정식은 근이 하나, 이차방정식은 근을 두 개까지 가질 수 있어요. 두 개까지 가질 수 있다는 얘기는 하나일 수도있고, 두 개일 수도 있고, 하나도 없을 수도 있다는 뜻이에요.
그럼 어떤 경우에 근이 하나인지, 두 개인지, 하나도 없는 지 알아볼까요?
판별식이란?
이차방정식에서 판별식은 근의 공식에서 근호 안에 있는 부분을 말해요. 판별식은 영어로 Discriminant에서 앞글자 D를 따서 D로로 씁니다.
판별식은 이름 그대로 판별하는 겁니다. 뭘 판별하느냐? 여러가지를 판별할 수 있지만 가장 많이 하는 게 근의 개수를 판별하는 거예요.
이차방정식 근의 개수
이차방정식에서 근의 공식을 이용해볼까요?
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 근은
판별식 D = b2 - 4ac > 0이면 근은
판별식 D = b2 - 4ac = 0이면 
판별식 D = b2 - 4ac < 0 이면 어떻게 될까요? 우리가 제곱근에서 배웠던 내용을 기억해보세요. 제곱해서 음수가 되는 수는 없죠? 제곱근 안의 수가 0보다 작은 경우는 없어요. 즉, 수가 없는 겁니다. 판별식 D가 0보다 작은 그런 수는 없어요. 따라서 해도 없는 거지요.
| 판별식 | 근의 개수 |
|---|---|
| b2 - 4ac > 0 | 서로 다른 두 근 |
| b2 - 4ac = 0 | 중근 |
| b2 - 4ac < 0 | 근이 없다 |
x2 + 3x - 4 + k = 0가 서로 다른 두 근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.
서로 다른 두 근을 가지므로 판별식이 0보다 커야 해요.
D = b2 - 4ac > 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) > 0
9 + 16 - 4k > 0
4k < 25
아래는 이차방정식이 중근을 가질 조건에서 풀었던 문제인데요. 판별식을 이용하면 좀 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.
x2 + □x + 9= 0가 중근을 가질 때 □ 의 값은?
중근을 가지려면 판별식 D = 0이어야 하죠?
D = b2 - 4ac = 0
□2 - 4 × 1 × 9 = 0
□2 = 36
□ = ± 6
판별식을 이용하여 근의 개수를 구할 수도 있고, 근의 개수를 미리 알려주고 이차방정식의 계수를 묻는 문제도 풀 수 있어요. 근의 공식만 외워두면 판별식은 따로 외울 필요가 없겠죠? 근의 공식을 꼭 외우세요.
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