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합성함수는 여러 가지 형태로 응용할 수 있는 문제니까 합성함수의 정의와 계산 순서, 어떻게 계산하는지를 잘 이해해야 해요. 대게 간단한 일차식과 이차식이 주어지니까 계산 자체가 어렵지는 않을 거예요.

이 글에서는 합성함수의 성질을 공부할 건데 크게 중요한 내용은 아니에요. 실제로 활용하는 경우는 거의 없으니까 그냥 이런 게 있다 정도로만 알아두세요.

실수의 성질 등에서 공부했던 결합법칙, 교환법칙이 합성함수에서도 성립하는지 알아보죠.

합성함수의 성질

합성함수의 성질은 크게 세 가지예요.

(1) f ο g ≠ g ο f
(2) (f ο g) ο h = f ο (g ο h)
(3) f ο I = I ο f = f (I는 항등함수)

(1) (f ο g)(x) = f(g(x))이고, (g ο f)(x) = g(f(x))로 서로 달라요. 이 말은 교환법칙이 성립하지 않는다는 뜻이에요. 순서가 중요하다는 얘기죠.

(2) ((f ο g) ο h)(x) = (f ο g)(h(x)) = f(g(h(x)))
f ο (g ο h)(x) = f(g(h(x)))

(f ο g) ο h = f ο (g ο h)가 되는데, 이는 결합법칙이 성립한다는 뜻이에요.

합성함수에서 계산은 제일 오른쪽에 있는 함수부터 계산하니까 어떻게 묶든 상관없어요.

(3) I는 항등함수에요. 항등함수는 f(x) = x인 함수이죠. 여기서는 I로 표시하니까 I(x) = x죠.

(f ο I)(x) = f(I(x)) = f(x)
(I ο f)(x) = I(f(x)) = f(x)
f(x)

f ο I = I ο f = f 가 성립해요. 항등함수를 포함한 합성함수는 원래 함수와 같아요.

항등함수는 숫자에서 항등원과 같은 역할을 합니다.

f(x) = ax + 1, g(x) = x - 1일 때, f ο g = g ο f가 성립한다. f(1)을 구하여라.

보통 합성함수에서 교환법칙은 성립하지 않는데, 이 경우에는 성립한다고 했네요.

(f ο g)(x) = f(g(x)) = a(x - 1) + 1
(g ο f)(x) = g(f(x)) = (ax + 1) - 1

(f ο g)(x) = (g ο f)(x)
a(x - 1) + 1 = (ax + 1) - 1
ax - a + 1 = ax
a = 1

f(x) = x + 1
f(1) = 1 + 1 = 2

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이제 함수에 대해서는 다 알았나요? 이제는 원래 있던 함수를 이용해서 새로운 함수를 만들 거예요. 합성함수는 이름에서 알 수 있듯이 어떤 무언가를 서로 합해서 만든 함수예요. 그러니까 두 개 이상의 함수를 합하는 거지요.

함수의 정의만 제대로 알고 있다면 합성함수에 대해서도 금방 이해할 수 있을 거예요.

합성함수는 그림으로 이해해도 좋고, 식으로 이해해도 좋아요. 별로 어렵지 않은 내용으로 순서만 잘 지키면 금방 해결할 수 있는 문제들이니까 쉽게 생각하세요.

합성함수

세 집합이 있어요.

X = {이순신, 퇴계 이황, 율곡 이이, 세종대왕, 신사임당}
Y = {100원, 1000원, 5000원, 10000원, 50000원}
Z = {동전, 지폐}

집합 X의 임의의 원소인 위인이 집합 Y의 원소인 화폐 모델인 경우를 대응시켜보면 함수예요. 이 함수를 f라고 해보죠

집합 Y의 임의의 원소인 화폐가 집합 Z의 동전인지 지폐인지에 대응하면 이것도 함수죠. 함수 g라고 할게요.

그럼 집합 X의 위인이 동전의 모델인지 지폐의 모델인지 집합 Z에 대응시킬 수 있겠죠? 이순신은 동전의 모델이고, 퇴계 이황, 율곡 이이, 세종대왕, 신사임당은 지폐의 모델이에요.

이처럼 두 개의 함수를 이용해서 새로운 하나의 함수를 얻을 수 있어요.

마치 명제의 삼단논법에서 p → q이고 q → r이면 p → r이 되는 것처럼 f: X → Y이고, g: Y → Z이면 X → Z라는 새로운 함수가 되는 거지요.

두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 Z의 원소 g(f(x))를 대응시킴으로써 X를 정의역, Z를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있어요. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 하고 g ο f: X → Z로 나타냅니다.

(g ο f)(x) = g(f(x))

f와 g를 합성한 합성함수는 f ο g가 아니라 g ο f 예요. 순서에 주의하세요.

함수 f에서 공역은 집합 Y에요. 치역은 공역의 부분집합이죠.
{함수 f의 치역} ⊂ {함수 f의 공역}

함수 g의 정의역은 집합 Y로 함수 f의 공역과 같아요.
{함수 f의 공역} = {함수 g의 정의역}

이 둘의 의해 {함수 f의 치역} ⊂ {함수 g의 정의역}이 된다는 것도 알아두세요.

다음을 보고 물음에 답하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (g ο f)(2)
(3) g ο f의 정의역, 공역, 치역

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(ㄴ) = e

(2) (g ο f)(2) = g(f(2)) = g(f) = d

(3) 합성함수에서 정의역은 처음 함수의 정의역, 공역은 두 번 ° 함수의 공역이에요. 따라서 정의역은 집합 X = {1. 2, 3, 4}이고 공역은 Z = {a, b, c, d, e}에요.

치역은 함숫값들의 집합이니까 Z와 다를 수 있어요. 이 경우에는 {b, c, d, e}가 되겠네요.

f(x) = x² + 1, g(x) = x + 3일 때 다음을 구하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (f ο g)(2)
(3) (g ο f ο g)(1)

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(10) = 13

(2) (f ο g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 26

(3) 번은 세 개로 되어있는데, 방법은 같아요. 뒤에서부터 하나씩 해결하면 돼요.

(g ο f ο g)(1) = g(f(g(1))) = g(f(4)) = g(17) = 20

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이제는 함수의 정의에 이어 함수의 종류에 대해서 공부할 거예요. 함수의 종류에는 여러 가지가 있는데, 그중에서 일대일함수, 일대일 대응, 항등함수, 상수함수에 대해서만 알아보죠. 특히, 일대일함수와 일대일 대응은 헷갈리기 쉬우니까 그 차이를 분명히 알아두세요.

또, 항등함수와 상수함수는 그 의미만 간단히 이해하고 있으면 되는 비교적 쉬운 함수입니다.

일대일함수와 일대일 대응

함수는 집합 X의 원소 x 한 개에 집합 Y의 원소 y 한 개가 대응하는 관계를 말해요. 거꾸로 y 한 개가 x 여러 개에 대응해도 함수는 함수에요. 아래 그림처럼 연결돼도 함수라고 할 수 있는 거죠.

X의 이순신, 김시민, 권율이 Y의 조선에 대응해요. 거꾸로 보면 Y의 조선은 X의 이순신, 김시민, 권율 세 명과 대응하죠.

위 그림과 달리 함수 중에서 y 한 개가 여러 개의 x에 대응하지 않는 경우를 일대일함수라고 해요. x 한 개에 y 한 개가 대응하고, y 한 개가 x 한 개에 대응하는 관계요. 아래 함수에서 Y의 원소들은 X의 원소 한 개와만 대응해요.

이걸 식으로 표현하면 x₁ ∈ X, x₂ ∈ X이고, x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)라고 표현할 수 있어요. x가 다르면 그에 대응하는 y도 다르다는 얘기예요.

일대일함수 중에서 공역과 치역이 같은 함수를 일대일 대응이라고 해요. 일대일 대응은 일대일함수의 조건을 만족한 상태에서 추가로 공역과 치역이 같아야 하니까 일대일 대응은 일대일함수의 부분집합이라고 생각하면 쉬워요.

일대일함수:집합 X의 임의의 원소 x₁, x₂에 대하여 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)인 함수
일대일 대응: 일대일함수 + (공역 = 치역)

다음 그림을 보고, 일대일함수와 일대일 대응을 구분하여라.

집합 X의 원소 x₁에 대하여 f(x₁) ∈ Y이면 함수에요.
여기에서 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)이면 일대일함수고요.
또 공역 = 치역이면 일대일 대응이에요.

조건을 만족하는 개수에 따라 함수 → 일대일함수 → 일대일 대응의 순서가 되는 거죠.

왼쪽 그림은 집합 X의 원소 다섯 개에 Y의 원소 한 개가 대응하니까 함수에요. f(1) = f(2)니까 그냥 함수에요.

가운데 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 달라요. 그런데 공역은 {a, b, c, d, e}이고 치역은 {a, b, c, d}로 공역 ≠ 치역이라서 일대일함수네요.

오른쪽 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 다르므로 일대일함수인데, 여기에 치역 = 공역이니까 일대일 대응이네요.

항등함수와 상수함수

항등식 알죠? 항등식은 항상 성립하는 등식이에요. 여기서 항등은 항상 같다는 뜻이죠. 항등함수에서 항등도 같은 뜻이에요. 집합 X의 원소와 이에 대응하는 집합 Y의 원소가 항상 같다는 얘기죠.

집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수를 말해요.

집합 X의 원소 1에는 집합 Y의 원소 1이 대응해요. 2에는 2가 대응하고요. 항상 자기 자신과 같은 값이 대응하죠?

위 그림에서 X의 1, 2, 3, 4, 5가 모두 Y의 c에만 대응해요. 이처럼 X의 모든 원소가 Y의 한 원소와만 대응하는 경우를 상수함수라고 해요.

항등함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수
상수함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = c인 함수

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함수의 그래프는 일차함수, 이차함수의 그래프에서 많이 그려봤죠? 이 글에서는 이미 알고 있는 함수의 그래프의 의미를 다시 한 번 정의해보고, 그 뜻을 정확하게 하는 거예요. 그렇다고 정의를 외우거나 하지는 마세요. 그 의미만 잘 이해하면 됩니다. 기존에 알고 있던 내용에 추가하거나 새로운 게 없으니까 아주 쉬워요.

그리고 좌표평면 위의 도형의 그래프를 보고 이 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 판단하는 방법도 공부할 거예요. 이것 역시 함수의 정의만 잘 기억하고 있다면 무척 쉬운 내용이라서 금방 이해할 수 있을 거예요.

함수의 그래프

함수는 집합 X의 원소에 집합 Y의 원소가 하나만 대응할 때를 말해요. 이렇게 서로 대응하는 원소들을 순서쌍으로 나타낼 수 있겠죠? (x, y) = (x, f(x))

여러 함수 중에서 함수의 정의역과 공역이 숫자일 때, 순서쌍들을 XY 좌표평면에 나타낼 수 있어요. 이렇게 나타낸 점들의 집합을 함수의 그래프라고 합니다. 일차함수의 그래프, 이차함수 그래프 그리기에서 그래프를 많이 봤죠?

한 가지 덧붙이자면 지금까지 공부했던 함수의 그래프는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이었어요. 그래서 직선이나 포물선만 함수의 그래프라고 생각하기 쉬운데, 아래 그림처럼 점들만 찍힌 경우도 함수의 그래프라고 할 수 있어요.

X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, Y = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 인 함수에요.

이런 모양은 나중에 공부할 건데 곡선 모양인 함수의 그래프에요.

정의역, 공역을 보고 함수의 그래프를 그리는 것도 중요하지만, 그래프를 보고 이 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지 알아낼 수 있어야 해요.

함수는 집합 X의 원소 하나에 집합 Y의 원소 하나가 대응해야 해요. 따라서 이걸 이용하면 함수의 그래프인지 아닌지 알아낼 수 있어요. y축에 평행한 직선을 하나 그어보세요. 그 직선과 그래프가 두 점에서 만나면 하나의 x에 두 개의 y가 대응하니까 그 그래프는 함수의 그래프가 아니에요.

다음 그래프를 보고 함수의 그래프가 아닌 것을 고르시오.

(1)	(2)
(3)	(4)

보통 정의역과 공역에 대한 언급이 없다면 실수 전체의 집합으로 보는데요. 이 유형의 문제에서는 따로 언급하지 않더라도 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이 아니라 그래프가 그려져 있는 부분으로 한정합니다.

함수의 그래프인지 아닌지는 y축에 평행한 직선을 그어서 직선과 그래프가 두 점에서 만나는지를 확인하면 돼요.

(4) 번을 보죠. x = 0인 y축이 있으니 따로 직선을 그을 필요가 없겠네요. x = 0에 y의 두 점이 대응해요. 그 외에도 모든 x에 y 두 개가 대응하죠. 따라서 (4) 번 원의 방정식의 그래프는 함수가 아닙니다.

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함수의 정의에 이어 함수에서 사용하는 용어에 대해서 알아보죠. 정의역, 공역, 치역인데 들어본 적이 있을 거예요. 그냥 한 번 복습하는 차원에서 다뤄보죠.

용어의 정의에 대한 내용이니 외우기보다는 그 뜻을 잘 이해하는 게 중요해요. 사실 별 중요한 뜻이 있는 건 아니지만, 나중에 헷갈리기 쉽거든요.

두 함수가 서로 같은 함수인지 아닌지 알아보는 방법도 공부할 거예요. 두 함수가 서로 같은지를 확인하는 조건이 있는데, 이 조건을 잘 알아두세요.

정의역, 공역, 치역, 함숫값

함숫값

집합 X에서 집합 Y로의 함수를 f: X → Y라고 나타내죠. 이때 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소를 함수 f에 의한 x의 함숫값이라고 해요.

기호로는 f: x → y로 나타내기도 하고 y = f(x)로 나타내기도 해요.

X의 임의의 원소 a에 대한 함숫값은 x = a를 대입하면 됩니다. y = f(x)가 y = f(a)가 되는 거예요.

정의역, 공역, 치역

두 집합 X, Y에서 집합 X의 각 원소에 대하여 집합 Y의 원소가 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수라고 하며, 이것을 기호로 f: X → Y라고 나타내요.

여기서 두 집합 중 X를 함수 f의 정의역, Y를 함수 f의 공역이라고 해요. 또 함숫값 f(x)를 원소로 하는 집합을 함수 f의 치역이라고 해요. 함숫값은 집합 Y의 원소이니까 치역은 공역의 부분집합이죠.

정의역과 공역에 대해서 별다른 언급이 없다면 정의역과 공역은 실수 전체의 집합을 의미합니다.

다음 함수의 정의역, 공역, 치역을 구하여라.
(1) y = x + 1
(2) y = x² + 1

정의역과 공역에 대한 별다른 얘기가 없으면 실수 전체의 집합으로 생각하세요.

(1) 번의 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이에요. 치역은 함숫값들의 집합인데, 정의역이 실수 전체의 집합이니까 x + 1의 결과도 실수 전체의 집합이에요. 따라서 정의역, 공역, 치역이 모두 실수 전체의 집합입니다.

(2) 번도 정의역, 공역에 대한 얘기가 없으니 실수 전체의 집합이에요. x² + 1에 어떤 값이 들어가더라도 1보다 커요. 따라서 함숫값은 1보다 큰 실수겠죠? 정의역과 공역은 실수 전체의 집합, 치역은{y|y ≥ 1인 실수}네요.

서로 같은 함수

정의역과 공역이 서로 같은 두 함수 f, g가 있어요. f: X → Y, g: U → V

f의 함숫값을 f(x), g의 함숫값을 g(x)라고 할 때, 정의역의 모든 원소 x에 대하여 두 함수의 함숫값이 서로 같으면 f(x) = g(x)가 되죠. 이때 두 함수를 같다고 하고 f = g라고 해요.

두 함수가 서로 같지 않으면 f ≠ g라고 표시합니다.

두 함수 f: X → Y, g: U → V가 같을 조건
정의역과 공역이 같다. X = U, Y = V
모든 원소 x에 대한 함숫값이 같다. f(x) = g(x)

X = {-1, 0, 1}, Y = {0, 1, 4}일 때, 두 함수 f(x) = (x + 1)², g(x) = (x - 1)²가 서로 같은 함수인지 아닌지를 판별하여라.

두 함수가 같으려면 정의역과 공역이 같고, 함숫값이 같아야 해요. 일단 두 함수의 정의역과 공역이 같네요. 함숫값이 서로 같은지 보죠.

f(-1) = (-1 + 1)² = 0
f(0) = (0 + 1)² = 1
f(1) = (1 + 1)² = 4

g(-1) = (-1 - 1)² = 4
g(0) = (0 - 1)² = 1
g(1) = (1 - 1)² = 0

치역이 같아요. 그래서 언뜻 보면 두 함수는 같은 함수처럼 보여요. 하지만 치역이 같은 건 아무런 상관이 없어요. 함숫값이 같아야 해요. 즉 f(-1) = g(-1), f(0) = g(0), f(1) = g(1)이어야 하죠. 함숫값이 같지 않으니 두 함수 f, g는 서로 같은 함수가 아니에요. f ≠ g

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함수는 중학교에서 3년 내내 공부했던 거예요. 함수, 일차함수, 이차함수 그리고 그래프를 공부했었죠? 근데, 기억이 잘 안 나죠? 그래서 이 글에서는 함수의 뜻을 처음부터 다시 정리해볼 거예요.

용어의 의미만 제대로 파악하고 있어도 반은 먹고 들어가는 겁니다. 원소의 의미와 그림을 함께 연결지어서 생각하면 이해하기가 훨씬 쉬울 거예요.

함수는 지난 3년 동안 계속 공부해왔던 것처럼 앞으로 3년 동안 계속 공부할 거니까 이번 기회에 확실히 정리해 놓으세요.

함수

두 집합 X, Y가 있을 때, X의 원소와 Y의 원소를 짝을 지어주는 걸 대응이라고 해요. 대응변, 대응각 들어봤죠? X의 원소 x가 Y의 원소 y와 짝지어질 때, x에 y가 대응한다고 하고 기호로는 x → y라고 나타내요.

두 집합 X, Y에서 집합 X의 각 원소에 대하여 집합 Y의 원소가 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수라고 하며, 이것을 기호로 f: X → Y라고 나타내요. f는 영어단어 function의 첫 글자 f를 의미합니다.

함수가 되기 위해서는 몇 가지 조건을 만족해야 해요. 첫 번째로 집합 X의 한 원소 x에 집합 Y의 원소 중 하나만 대응해야 해요. 집합 X의 원소에 집합 Y의 원소가 여러 개 대응하면 안 돼요.

두 번째는 집합 X의 모든 원소에 집합 Y의 원소가 대응해야 합니다. 집합 X의 원소 중 집합 Y의 원소와 대응하지 않는 원소가 있으면 안 돼요.

X는 이순신, 강감찬, 김유신, 을지문덕, 계백 원소를 가진 집합이고, Y는 조선, 고려, 신라, 고구려, 백제라는 나라 이름을 원소로 가진 집합이에요.

X에 있는 위인들을 Y에 있는 나라와 연결해봤더니 한 사람에 한 나라씩 대응하죠? 그래서 이 경우는 함수예요.

이번에도 마찬가지로 X에는 사람, Y에는 나라 이름을 연결했어요. 이순신, 김시민, 권율에는 조선이, 온달, 을지문덕에는 고구려가 대응해요. Y에 있는 고려, 신라, 백제에는 대응하는 게 없어요. 하지만 X의 모든 원소에 Y의 원소들이 하나씩 대응하고 있으니까 이 경우도 함수에요.

X의 이성계에 Y의 조선과 고려 두 개가 대응하죠. X의 원소에 Y의 원소가 하나만 대응해야 하는데, 그렇지 않으므로 이 경우는 함수가 아니에요. 이성계는 고려 시대에 살다가 조선을 건국했으니까 양쪽 모두에 대응하도록 연결했어요.

X의 원소들에 Y의 원소들이 하나씩 대응하고 있어요. 그런데 X의 원소 중 단군왕검은 Y의 원소와 대응하고 있지 않죠? X에 대응하지 않은 원소가 있으므로 이 경우도 함수가 아닙니다.

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애드센스에서 메일이 하나 왔어요. "웹로그 분석 데이터를 애드센스에서 유용한 통계로 활용하기"라는 제목인데요. 웹로그 분석의 통계를 전문가가 보고 도움이 될만한 방법들을 알려줄 수 있도록 설정을 바꾸라는 메일입니다.

사실, 웹로그의 통계는 너무 많고 복잡해서 일반 블로거가 이를 직접 애드센스와 연결하기에는 무리가 있었어요. 그냥 어떤 페이지에서 클릭이 많이 일어나는 구나 정도만 파악할 수 있었죠. 하지만 이번 기회를 통해서 전문가가 웹로그 테이터를 분석하고 이를 활용하는 방법을 알려준다면 좋은 기회가 될 것 같아요.

웹로그 분석 데이터를 애드센스에서 유용한 통계로 활용하기

웹로그 분석 데이터를 전문가와 공유하는 것에 대한 설명입니다. 여담이지만 애드센스는 말을 좀 쉽게 써놨으면 좋겠어요. 한 번 딱 읽어서는 이해하기가 어렵게 써놔요.

 Google 웹로그 분석을 이용하면 사이트의 실적을 효과적으로 파악할 수 있으며, 이제 애드센스에서 이 통계를 이용해 사이트를 개선하실 수 있도록 도와 드립니다. 계정 설정 탭 아래에서 웹로그 분석의 새 계정 전문가 설정을 사용하도록 설정하세요. 이렇게 하면 Google을 통해 사이트 관련 팁, 상세한 트래픽 통계, 콘텐츠 실험과 같은 새로운 기능을 사용하기 위한 최신 아이디어 등의 정보를 받아 보고 중요한 기회를 때맞춰 활용할 수 있습니다.

웹로그 분석의 데이터를 전문가와 공유할 수 있게 설정을 바꾸는 방법입니다.

웹로그 분석에 로그인하고 우측 상단의 관리 탭을 클릭합니다.

설정을 수정하려는 계정을 선택합니다. 대부분 계정이 1개라서 바로 계정이 선택될 거예요.

계정 설정 탭을 클릭하면 오른쪽에 설정화면이 열립니다.

계정 전문가 옆의 확인란을 선택하고 적용을 클릭합니다.

Google 마케팅 전문가 및 전담 Google 영업 전문가가 사용자의 구현 방식 및 분석을 개선하는 방법을 찾고 최적화 도움말을 공유할 수 있도록 이들 전문가에게 사용자의 Google 웹로그 분석 데이터 및 계정에 대한 액세스 권한을 부여합니다. 전담 영업 전문가가 없는 사용자의 경우 승인된 Google 담당자에게 액세스 권한을 부여합니다.

가끔 애드센스에서 최적화 도움말을 메일로 보내주는데, 설정을 바꾸면 웹로그 분석의 데이터를 분석해서 애드센스 수익을 올리는 방법을 알려주는 것 같습니다.

사실 메일이 별로 도움은 안 돼요. 애드센스에서 보내준 추천 메일대로 따라 했다가 오히려 수입이 떨어진다는 분들도 여럿 봤고요.

하지만 웹로그 분석의 통계를 활용한다면 얘기가 달라질 수 있죠. 광고를 클릭하는 사람은 방문객들이고 이들의 성향을 분석할 수 있는 최고의 툴이 바로 웹로그 분석이니까요. 방문자들이 어떤 글을 좋아하는지, 어떻게 페이지 이동을 하는지를 잘 분석해보면 더 많은 방문객을 유치할 수 있고, 페이지뷰를 늘릴 수 있어요. 그리고 모든 페이지를 클릭이 많이 일어나는 페이지처럼 꾸미는 것도 할 수 있고요.

전에 구글 애드센스 최적화 상담을 받은 후로 몇 가지 변화를 줬는데, 아직 구체적인 성과를 거두지는 못했어요. 웹로그 분석 통계를 활용한 상담이 이루어졌다면 더 좋았을 걸 하는 생각이 드네요.

일단 적용해놓고, 어떤 도움말을 알려주는지 기다려 봐야겠어요.

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우리가 그리는 좌표평면은 x, y의 값의 한계가 없어요. 끝도 없이 이어지는 영역이라서 최대, 최소를 찾는 게 불가능할 때가 많아요. 이차함수의 최대 최소에서는 최댓값과 최솟값 중 하나만 가지는 경우가 많았어요.

부등식의 영역과 최대, 최소는 일정한 한계가 있는 부등식의 영역 안에서 특정한 값과 식들의 최대, 최소를 구하는 거예요. 한계가 있는 영역이기 때문에 최댓값과 최솟값을 둘 다 구할 수 있어요.

부등식의 영역에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

부등식의 영역과 최대, 최소

부등식의 영역에서 특정한 값들의 최대, 최소를 구하는 거예요.

x² + y² ≤ 4의 영역에서 (x, y)가 움직일 때, x + y의 최댓값과 최솟값을 구해보죠.

x + y = k라고 하면
x + y = k → y = -x + k
y = -x + k에서 k는 이 직선의 방정식의 y절편이므로 y절편의 최댓값과 최솟값을 구하면 돼요.

x² + y² ≤ 4의 부등식의 영역과 x + y = k의 그래프를 좌표평면 위에 그려보죠.

y = -x + k는 기울기는 -1로 일정하고 y절편만 바뀌는 직선이니까 m과 n 사이의 직선이에요. m일 때, y절편 즉 k가 최대가 되고, n일 때 k가 최소가 되죠.

k값의 의미는 이해했죠? 그럼 k를 어떻게 구할 거냐? 경계선 x² + y² = 4와 직선 y = -x + k가 만나는 점이 있죠? 접점이 있으니까 y = -x + k는 x² + y² = 4의 접선의 방정식이에요.

기울기를 알 때 원의 접선의 방정식에서 기울기가 m이고 원에 접하는 방정식은 y = mx ±r이었어요.

이 경우에는 기울기가 -1이고 반지름은 2네요.

y절편이 k이고, k는 x + y이니까 x + y의 최댓값은 , x + y의 최솟값은 -가 되겠네요.

부등식의 영역에서 최대, 최소를 구하는 방법

1. 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 그린다.
2. 최대, 최소를 구하는 식 f(x, y) = k로 놓고 이 그래프를 부등식의 영역 안에서 움직여본다.
3. k가 최대, 최소일 때의 값을 구한다.

k를 구하는 방법은 여러 가지가 있어요. 하지만 대게 최대, 최소인 값은 접점이나 교점 등에서 생기므로 교점의 좌표를 이용하거나 접점의 성질을 이용하면 k를 구할 수 있어요. 위 경우에서는 접점일 때 최대, 최소가 되었죠?

x ≥ , y ≥ 0인 실수 x, y가 x + y ≤ 1을 만족할 때, x - y의 최댓값 최솟값을 구하여라.

x ≥ , y ≥ 0, x + y ≤ 1의 세 부등식으로 된 부등식의 영역을 좌표평면 위에 그려보죠. 그리고 x - y = k라고 놓으면, y = x - k가 되니까 이 그래프도 그려보고요.

x - y = k의 그래프는 m과 n 사이의 직선으로 교점인 (1, 0)을 지날 때와 (0, 1)을 지날 때 최대, 최소를 가져요.

(1, 0)을 지날 때: x - y = 1 - 0 = 1
(0, 1)을 지날 때: x - y = 0 - 1 = -1

따라서 x - y의 최댓값은 1, 최솟값은 -1입니다.

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연립부등식의 영역은 부등식의 영역 두 개를 합쳐놓은 걸 말해요. 부등식을 두 개 이상 합쳐놓은 게 연립부등식이니까요.

연립부등식을 푸는 방법과 연립부등식의 영역을 구하는 방법은 근본적으로 같아요. 연립부등식에서는 수직선에 그렸다면 연립부등식의 영역에서는 좌표평면에 그림을 그린다는 차이가 있을 뿐이에요.

그래프를 그려야 해서 복잡해 보이지만 (연립부등식의 영역) = (부등식의 영역) + (연립부등식) 이라는 사실만 기억하고, 관련된 두 내용만 잘 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않을 거예요.

연립부등식의 영역

연립부등식의 풀이에서는 각각의 부등식의 해를 구하고 이를 수직선에 그려서 공통인 부분의 해를 찾았어요. 연립부등식의 영역도 똑같아요. 각각의 부등식의 영역을 그린 다음 공통인 부분을 구하면 됩니다.

f(x, y) = 0은 원의 방정식, g(x, y) = 0은 직선의 방정식이라고 한다면, f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 그래프는 아래와 같아요.

f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 공통부분을 칠한 오른쪽 그림이라는 연립부등식의 영역이 됩니다.

식과 부등호의 방향은 바뀌겠지만, 그 방법은 모두 같아요.

연립부등식의 영역
각각의 부등식의 영역을 그린다.
두 부등식의 영역의 공통부분(교집합)을 구한다.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역

이번에는 연립부등식이 조금 다른 형태인데요.

f(x, y)·g(x, y) < 0이라는 부등식이에요.

두 식을 곱해서 0보다 작다는 얘기는 부호가 서로 반대라는 얘기예요. 하나가 양수이면 다른 하나는 음수여야 하죠.

총 네 개의 부등식의 영역 그러니까 두 개의 연립부등식의 영역이 생겼어요. or이니까 연립부등식의 영역 두 개를 합한 거예요.

좀 복잡하지만, 집합으로 나타내보면 다음과 같아요.
[{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}] ∪ [{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}]

이번에는 f(x, y)·g(x, y) > 0을 보죠.

어떤 두 식을 곱해서 0보다 크다는 말은 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 하죠?

역시 마찬가지로 네 개의 부등식의 영역, 두 개의 연립부등식이 생겼어요. or이니까 역시 각각의 연립부등식의 영역을 구한 다음 서로 합쳐야 하죠.

부등식의 영역을 네 개가 구해야 하고, 어떤 건 교집합, 어떤 건 합집합이어서 상당히 복잡하죠? 쉽게 구하는 방법이 있어요.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역 구하는 순서

1. f(x, y) = 0, g(x, y) = 0의 도형의 방정식을 그린다.
2. 경계선 위에 있지 않은 임의의 점을 처음 부등식에 대입한다. 계산이 편리한 (0, 0), (1, 0) 등
3. 조건에 맞는 영역을 칠한다.
   • 대입한 점이 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역
   • 대입한 점이 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1)
(2) (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

x² + y² < 4의 영역은 왼쪽 그림이고 x + y - 1< 0의 영역은 가운데, 이 둘의 공통부분이 오른쪽 그림이에요.

(2) 번. (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

두 개의 연립부등식의 영역으로 나눠서 구해도 되고, 점을 대입해서 영역을 구해도 돼요. x + y - 1 = 0과 x² + y² - 4 = 0의 그래프를 좌표평면에 그렸더니 네 개의 영역으로 나뉘어졌어요.

(0, 0)은 경계선 위에 있지 않으므로 점을 대입해보면
(0 + 0 - 1)(0² + 0² - 4) < 0
4 < 0

부등식을 만족하지 않으므로 (0, 0)이 포함되어 있지 않은 ①번 영역과 ① 영역의 건너뛴(이웃하지 않은) ③ 영역이 구하는 영역이 되겠네요.

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앞서 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)에서는 직선과 이차함수 등 y = f(x) 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아봤는데요. 이번에는 f(x, y) = 0 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아볼 거예요.

부등식의 모양만 다를 뿐 원리나 그리는 방법 등은 같아요. 특히, 마지막에 나오는 부등식의 영역 그리는 순서는 그래프의 모양과 상관없이 모든 부등식의 영역을 구할 때 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

다음에 공부할 연립부등식의 영역을 구하려면 이 글의 내용을 꼭 이해하고 넘어가야 해요.

원의 내부와 외부를 나타내는 부등식

원의 방정식 표준형은 (x - a)² + (y - b)² = r²이죠. 좌변은 임의의 점 (x, y)에서 (a, b)까지의 거리를 제곱한 거고 우변은 반지름의 제곱이죠. 즉 원의 방정식은 (a, b)로부터 r만큼의 거리에 있는 점들을 말하는 거예요.

그렇다면 (x - a)² + (y - b)² > r²은 무슨 뜻일까요? (a, b)로부터 r보다 더 먼 거리에 있는 점들을 얘기하죠?

그림의 P(x₁, y₁)에서 원의 중심 C(a, b)까지의 거리는 반지름 r보다 더 커요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 식으로 나타내보죠.

즉 원 밖의 임의의 점에서는 (x - a)² + (y - b)² > r²이 성립해요. 거꾸로 말해 (x - a)² + (y - b)² > r²이 성립하는 점들은 원의 바깥쪽에 있다는 거지요.

같은 방법으로 (x - a)² + (y - b)² < r²이 성립하는 점들은 원의 안쪽에 있다는 걸 알 수 있어요.

원의 내부와 외부를 나타내는 부등식
(x - a)² + (y - b)² > r²의 영역은 (x - a)² + (y - b)² = r²의 바깥쪽
(x - a)² + (y - b)² < r²의 영역은 (x - a)² + (y - b)² = r²의 안쪽

부등식 f(x, y) > 0, f(x, y) < 0의 영역

도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 나타내잖아요? 그래서 이를 이용한 부등식은 f(x, y) > 0 또는 f(x, y) < 0으로 표시합니다.

이 부등식의 영역을 나타내는 순서는 다음과 같아요.

1. 좌표평면에 f(x, y) = 0의 그래프를 그린다.
   • 등호가 포함되어 있으면 실선
   • 등호가 포함되어있지 않으면 점선
2. f(x, y) = 0 위에 있지 않은 임의의 점의 좌표를 대입한다.
3. 조건에 맞는 영역을 칠한다.
   • 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역
   • 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역

2단계에서 임의의 점은 (0, 0), (1, 0)처럼 계산을 쉽게 할 수 있는 점들이 좋아요.

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1) x² + y² > 9
(2) (x - 2)² + (y - 1)² < 16

일단 f(x, y) = 0의 그래프를 그리고 임의의 점을 대입한 다음 부등식을 만족하면 점이 있는 영역, 부등식을 만족하지 않으면 점이 속하지 않은 영역을 칠하면 돼요.

(1)에 (0, 0)을 대입해보면 0 + 0 > 9로 부등식을 만족하지 않아요. 따라서 (0, 0)이 속하지 않은 영역을 칠해야 해요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 크기 때문에 원의 바깥쪽을 바로 칠해도 되고요.

(2)에 (0, 0)을 대입하면 (-2)² + (-1)² < 16으로 부등식을 만족하죠. 따라서 (0, 0)이 속한 영역을 칠하면 되겠네요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 작기 때문에 원의 안쪽을 바로 칠해도 되고요.

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중학교 때, 일차부등식의 풀이에서는 부등식의 해를 수직선 위에 나타냈었잖아요. 부등식의 영역은 부등식을 만족하는 점을 수직선이 아니라 좌표평면에 나타내는 거예요.

설명은 되게 복잡한 것 같지만 식을 그냥 들여다보면 금방 알 수 있을 거예요.

부등식은 등식에서 등호만 부등호로 바뀐 거잖아요. 그래서 부등식의 영역을 그릴 때 등식을 이용해서 그려요. 여기서 이용하는 등식은 이차함수, 직선의 방정식과 원의 방정식 등이에요. 따라서 이들 도형의 방정식을 좌표평면에 나타낼 줄 알아야 해요.

부등식의 영역

x에 대한 일차부등식을 만족하는 x를 수직선에 나타냈던 것처럼 x, y에 대한 부등식을 만족하는 점 (x, y)를 좌표평면에 나타내는데, 이 점 전체의 집합을 부등식의 영역이라고 합니다.

부등식 y > x, y < x의 영역

y = x 그래프와 y축에 평행한 직선, 세 점 P(x, y), Q(x₁, y₁), R(x₂, y₂)이 있어요.

점 P(x, y)는 y = x 그래프 위의 점이니까 x좌표와 y좌표가 같아요.
y = x …… ①

점 Q(x₁, y₁)를 한 번 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 P의 x좌표와 점 Q의 x좌표는 같아요.
x = x₁ …… ②

점 Q의 y좌표인 y₁은 x좌표인 x₁보다 크죠?
y₁ > x₁ …… ③

①, ②, ③에 의해서 y₁ > x₁ = x = y이므로 y₁ > y에요.

y축에 평행한 직선에서 y₁ > y가 되는 점 Q는 엄청나게 많겠죠? 점 P보다 위에 있는 점들은 모두 이 조건을 만족하니까요.

y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 움직이면 엄청나게 많은 점 Q를 찾을 수 있고, 이런 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시되는데 이게 바로 위 그래프에서 파란색으로 표시된 부분이에요.

이번에는 점 R(x₂, y₂)를 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 R의 x좌표 x₂는 점 P의 x좌표와 같아요.
x₂ = x …… ④

점 R의 y좌표 y₂는 x좌표 x₂보다 작고요.
y₂ < x₂ …… ⑤

①, ④, ⑤에 의해서 y₂ < x₂ = x = y이므로 y₂ < y가 돼요.

마찬가지로 y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 옮기면 엄청나게 많은 점 R을 찾을 수 있고 이 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시할 수 있어요.

y > x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 위쪽이고,
y < x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 아래쪽이에요.

부등식 y > f(x), y < f(x)의 영역

y = ax + b의 그래프에요.

같은 방법을 이용하면 y > ax + b를 만족하는 점들의 영역과 y < ax + b를 만족하는 점들의 영역을 찾을 수 있어요.

그래프에서 y = ax + b를 실선이 아닌 점선으로 표시했는데, 이건 y > ax + b, y < ax + b에 등호가 들어있지 않기 때문이에요. 일차부등식의 풀이에서 수직선 위에 부등식을 그릴 때 점을 까맣게 칠하면 ≤, ≥를 나타내고, 하얗게 그리면 <, >를 나타냈던 것과 같아요.

이차함수 그래프 y = ax² + bx + c와 부등식 y > ax² + bx + c, y < ax² + bx + c의 영역을 나타낸 것입니다.

y > f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 윗부분
y < f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 아랫부분
부등호에 등호가 없으면 y = f(x)는 점선으로 표시

부등식의 영역 그리는 순서

1. 기준이 되는 도형의 방정식 y = f(x)의 그래프를 그린다.
   이때, 주어진 식의 부등호에 등호가 없으면 점선, 등호가 있으면 실선
2. 해당 영역을 색으로 칠한다.
   • y > f(x) 또는 y ≥ f(x)이면 그래프보다 위쪽 영역
   • y < f(x) 또는 y ≤ f(x)이면 그래프보다 아래쪽 영역

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대칭이동 두 번째에요. 점과 도형의 대칭이동에서는 어떤 기준(x축, y축, 원점)을 사용했느냐가 중요하죠. 그리고 그 기준에 따라 대칭이동했을 때 x, y의 좌표가 어떻게 바뀌는지도 알아야 하고요.

이 글에서는 직선 y = x와 y = ax + b에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 바뀌는지 그리고 대칭이동한 결과를 어떻게 구하는지 알아볼 거예요. 직선 y = x에 대한 대칭이동은 앞서 했던 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동과 함께 외워두면 좋고, 직선 y = ax + b에 대하여 대칭이동은 결과를 구하는 과정을 알아두세요.

대칭이동 - 직선에 대하여 대칭이동

y = x에 대하여 대칭이동

좌표평면 위의 한 점을 직선 y = x에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 되는지 알아보죠.

점 P(x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 점 P'(x', y')라고 해볼까요?

대칭이동하면 직선 y = x에서 점 P까지의 거리와 직선 y = x에서 점 P'까지의 거리가 같아요. 그러니까 점 P와 점 P'에서 같은 거리에 있는 점 바로 선분 PP'의 중점 이 y = x위에 있다는 얘기지요.

또 선분 PP'와 직선 y = x는 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

y + y' = x + x' ……… ①
y - y' = -(x - x') ……… ②

이 두 식을 연립해서 풀어보죠.

① + ② : 2y = 2x' → x' = y
① - ② : 2y' = 2x → y' = x

점을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x, y의 좌표가 서로 바뀌는 걸 알 수 있어요. P'(x', y') = P'(y, x)가 돼요.

점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 점의 대칭이동과 도형의 대칭이동은 같다고 했어요. 그러니까 도형의 대칭이동에서도 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동하면 f(y, x) = 0이 돼요.

y = x에 대하여 대칭이동
x대신 y대입, y대신 x 대입
점 (x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (y, x)
도형의 방정식 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(y, x) = 0

다음을 구하여라.
(1) 점 (2, 3)을 y = x에 대하여 대칭이동한 점
(2) 2x + 3y + 4 = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식
(3) (x - 1)² + y² = 10을 y = x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식

점과 도형을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x → y, y → x로 바꿔주면 돼요.

(1) 번은 (2, 3)이니까 y = x에 대하여 대칭이동하면 (3, 2)가 되겠네요.

(2) 번은 2x + 3y + 4 = 0에서 x와 y를 서로 바꿔주면 2y + 3x + 4 = 0이니까 3x + 2y + 4 = 0이 되겠고요.

(3) 번 (x - 1)² + y² = 10에서 x, y를 바꿔주면 (y - 1)² + x² = 10이니까 x² + (y - 1)² = 10이 되겠네요.

y = ax + b에 대하여 대칭이동

이번에는 점 P(x, y)를 직선 y = ax + b에 대해서 대칭이동해보죠. 대칭이동한 점을 P'(x', y')라고 할게요.

방법은 위와 똑같아요.

• (점 P에서 직선 y = ax + b까지의 거리) = (점 P'에서 직선 y = ax + b까지의 거리)
  → 선분 PP'의 중점이 y = ax + b 위의 한 점
• (선분 PP'의 기울기) × (직선 y = ax + b의 기울기 a) = -1

(x + 1)² + (y - 2)² = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.

원의 방정식을 대칭이동했는데, 원의 방정식 위의 한 점을 대칭이동하는 것도 좋지만, 원의 중심을 이용하는 것도 방법이에요. 대칭이동을 하더라도 반지름의 길이 등 원의 성질은 바뀌지 않으니까요. 원의 중심의 좌표를 대칭이동해보죠.

원의 중심의 좌표를 점 C(-1, 2), 대칭이동한 원의 중심의 좌표를 점 C'(a, b)라고 놓으면

(점 C에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리) = (점 C'에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리)
→ 선분 CC'의 중점이 y = 2x + 9위의 한 점

중점

(선분 CC'의 기울기) × (직선 y = 2x + 9의 기울기 2) = -1

두 식을 연립해서 풀면 a = -5, b = 4네요. 대칭이동한 원의 방정식의 중심은 (-5, 4)가 되는군요.

(x + 1)² + (y - 2)² = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (x + 5)² + (y - 4)² = 10이 됩니다.

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선분의 내분점과 외분점
좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

이번에는 점과 도형의 대칭이동입니다. 대칭이동은 그 내용도 쉬운데 이차함수 그래프의 대칭이동에서 해본 적이 있으니까 더 쉬울 거예요. 게다가 평행이동과 달리 점의 좌표의 대칭이동과 도형의 방정식의 대칭이동이 결과가 같으니까 더욱더 쉽죠.

대칭이동에서는 좌표평면에서 항상 함께하는 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동하는 걸 해볼 거고요. 대칭이동했을 때 점의 좌표와 도형의 방정식이 어떻게 바뀌는 지 알아볼 거예요. 대칭이동한 후에 x, y의 좌표가 어떻게 바뀌는지만 주의해서 보면 됩니다.

점과 도형의 대칭이동

대칭이동은 평면 위의 도형을 한 점 또는 한 직선에 대칭인 도형으로 옮기는 걸 말해요. 점에 대하여 대칭이동하는 걸 점대칭, 선에 대하여 대칭이동하는 걸 선대칭이라고 하지요.

점의 좌표의 대칭이동

제 1사분면 위에 (2, 3)라는 점이 있다고 해볼게요. 이 점을 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동 해보죠.

제 1사분면 위의 점 (2, 3)을 x축에 대하여 대칭이동하면 제 4사분면 위의 점 (2, -3)이 되니까 x좌표의 부호 그대로고, y좌표의 부호는 반대로 바뀌어요.

제 1사분면 위의 점 (2, 3)을 y축에 대하여 대칭이동하면 제 2사분면 위의 점 (-2, 3)이 되니까 x좌표의 부호는 반대로 바뀌고, y좌표의 부호는 그대로죠.

제 1사분면 위의 점 (2, 3)을 원점에 대하여 대칭이동하면 제 3사분면 위의 점 (-2, -3)이 되니까 x좌표와 y좌표의 부호가 둘 다 반대로 바뀌어요.

제 1사분면의 점을 예로 들었는데, 제 2사분면의 점도 마찬가지에. 제 2사분면 위의 점 (-2, 3)를 x축에 대하여 대칭이동하면 (-2, 3)가 되니까 x좌표의 부호는 그대로, y좌표의 부호는 반대로 바뀌죠.

이걸 (x, y)라는 점을 이용해서 표현해보죠.

점 (x, y)를 x축에 대하여 대칭이동하면 y → -y
점 (x, y)를 y축에 대하여 대칭이동하면 x → -x
점 (x, y)를 원점에 대하여 대칭이동하면 x → -x, y → -y

주의하세요. x축에 대하여 대칭이동하면 x좌표의 부호가 아니라 y좌표의 부호가 반대로 바뀌고, y축에 대하여 대칭이동하면 y좌표의 부호가 아니라 x좌표의 부호가 반대로 바뀌는 거예요.

원점에 대하여 대한 대칭이동은 x축에 대하여 대칭이동한 점을 다시 y축에 대하여 대칭이동한 것과 같아요. 축과 원점에 대하여 대칭이동하면 값의 절댓값은 그대로고 부호만 바뀌는 것도 알아두세요.

도형의 방정식의 대칭이동

이번에는 도형을 대칭이동해보죠. 도형의 대칭이동은 이차함수 그래프의 대칭이동에서 이미 한 번 해봤던 내용이에요. 그리고 바로 위에서 했던 점의 좌표의 대칭이동과 완전히 같아요.

도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 표현한다고 했어요. f(x, y) = 0을 x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 f(x', y') = 0이라고 해보죠. f(x, y) = 0 위의 임의의 한 점의 좌표를 P(x, y)라고 하고, f(x', y') = 0 위의 한 점을 P'(x', y')라고 하고요.
x' = x → x = x'
y' = -y → y = -y'

도형의 평행이동에서 했던 것과 마찬가지로 원래 알고 있던 식인 f(x, y) = 0에 이 x = x', y = -y'을 대입하면 f(x', -y') = 0이 돼요. 여기서 '을 그냥 떼버리면 f(x, -y) = 0이 되죠.
f(x, y) = 0 → f(x', -y') = 0 → f(x, -y) = 0

y축, 원점에 대하여 대칭이동한 경우도 이런 방법으로 도형의 방정식을 구할 수 있어요.

도형의 방정식 f(x, y) = 0을 x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 넣으면 돼요. f(x, y) = 0 → f(x, -y) = 0
f(x, y) = 0을 y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x를 넣으면 돼요. f(x, y) = 0 → f(-x, y) = 0
f(x, y) = 0을 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x, y 대신 -y를 넣으면 돼요. f(x, y) = 0 → f(-x, -y) = 0

점의 좌표와 도형의 방정식의 대칭이동을 표로 정리해보죠.

(x - 4)² + (y - 2)² = 10이 나타내는 도형을 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.

x축에 대하여 대칭이동하면 y → -y로 바꿔줘요.
(x - 4)² + (y - 2)² = 10
→ (x - 4)² + (-y - 2)² = 10
    (x - 4)² + (y + 2)² = 10

y축에 대하여 대칭이동하면 x → -x로 바꿔줘요.
(x - 4)² + (y - 2)² = 10
→ (-x - 4)² + (y - 2)² = 10
    (x + 4)² + (y - 2)² = 10

원점에 대하여 대칭이동하면 x → -x, y → -y로 바꿔줘요.
(x - 4)² + (y - 2)² = 10
→ (-x - 4)² + (-y - 2)² = 10
    (x + 4)² + (y + 2)² = 10

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이차함수 그래프의 대칭이동
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q
이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)²
이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q

평행이동은 이차함수의 그래프에서 공부했던 거예요. 여기서는 이차함수 그래프의 평행이동을 왜 그렇게 하는지 그 이유를 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 그렇다고 대단한 건 아니고 별거 아니에요. 생각보다 쉬워요.

어차피 도형의 평행이동과 이차함수 그래프의 평행이동은 같은 거니까 그 결과만 잘 기억하고 있으면 되는 거죠. 처음 도형과 평행이동한 도형의 관계만 잘 파악하면 돼요.

다만 점의 평행이동과 도형의 평행이동은 작지만 중요한 차이가 있으니 그것만 잘 구별하세요. 점과 도형의 평행이동이 어떻게, 왜 다른지 알아보죠.

점과 도형의 평행이동

좌표평면 위의 점 또는 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리 만큼 옮기는 걸 평행이동이라고 해요. 이때 도형의 모양은 바뀌지 않아요. 그 모습 그대로 위치만 바꾸는 겁니다.

점의 평행이동

좌표평면 위의 점 P(x, y)를 평행이동 시켜보죠. x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표를 P'(x', y')라고 해볼게요.

x' = x + a
y' = y + b

따라서 점 P'(x', y')의 좌표는 P(x + a, y + b)가 돼요.

a > 0이면 x축에서 오른쪽으로, a < 0이면 x축에서 왼쪽으로 이동하고,
b > 0이면 y축에서 위쪽으로, b < 0이면 y축에서 아래쪽으로 이동해요.

점의 평행이동
점 P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는 P'(x + a, y + b)
P(x, y) → P'(x + a, y + b)

도형의 평행이동

도형의 평행이동은 이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q에서 해본 적이 있어요. 이때 y = ax²의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동하면 y = a(x - p)² + q가 된다고 했어요. x대신 x - p를 y대신 y - q를 넣는다고 했지요. 이걸 또 하는 거예요.

함수를 y = f(x)라고 하죠? 좌변은 y, 우변은 x에 관한 식이라서 f(x)라고 하는데, 이 둘을 합치니까 y = f(x)가 되는 거예요. 보통 평면좌표 위의 도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 표현해요. 원의 방정식, 직선의 방정식의 일반형의 좌변은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y)라고 하고, 우변은 0이잖아요. 이 두 개를 합쳐서 f(x, y) = 0이라고 쓰는 거지요.

어떤 도형이 있다고 해보죠. 그 도형 위의 임의의 점 P(x, y)가 있어요. 이 점 P를 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동 시킨 점 P'의 좌표를 P'(x', y')라고 해보죠.

x' = x + a → x = x' - a
y' = y + b → y = y' - b

처음의 도형은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y) = 0이고, 평행이동한 도형은 x', y'에 대한 식이니까 x', y'라는 문자가 들어간 식으로 표현해야 하잖아요. 그런데 이 새로운 식을 몰라요. 그래서 기존에 알고 있던 식을 변형시켜서 구해야 하는데, 기존에 알고 있던 식이 f(x, y) = 0이죠.

처음 식의 x, y에 x = x' - a, y = y' - b를 대입하면 x, y에 관한 원래 식이 x', y'에 관한 새로운 식으로 바뀌는 거예요. f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0

즉, P'(x', y')에 대한 식은 f(x' - a, y' - b) = 0이라는 걸 알 수 있어요.

f(x', y') = 0은 점 P'(x', y')에서 x'와 y'의 관계인데, 가령 점 K(m, n)이라면 f(m – a, n – b) = 0이 될 거고, 점 Z(s, t)라면 f(s – a, t – b) = 0이 될 거예요. 즉 어떤 문자를 사용하든 점의 좌표 중 앞에 있는 문자에서 a를 빼고, 뒤에 있는 문자에서 b를 빼는 식이라는 거죠.

좌표평면에서 도형의 방정식은 x', y'도 아니고 m, n도 아니고 s, t도 아닌 x, y로 나타내죠? 그러니까 x, y의 식 즉 f(x, y)= 0꼴로 나타내야 하니까, 앞에 있는 x에서 a를, 뒤에 있는 y에서 b를 뺀 f(x – a, y – b) = 0이 돼요.

f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0 → f(x - a, y - b) = 0

도형의 평행이동
방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0
f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0 → f(x - a, y - b) = 0

점의 평행이동에서는 평행이동한 것만큼 더해줬는데, 도형의 평행이동에서는 이동한 만큼 빼주는 거예요. 차이를 잘 기억하세요.

다음을 구하여라.
(1) y = 2x²를 x축으로 3만큼, y축으로 5만큼 이동한 이차함수의 그래프
(2) x² + y² - 10 = 0을 x축으로 4만큼, y축으로 -6만큼 이동한 도형의 방정식

도형을 x축으로 a만큼 평행이동하면 x대신 x - a, y축으로 b만큼 평행이동하면 y대신 y - b를 대입해주면 돼요.

(1) 번은 이차함수 그래프의 평행이동이에요.
x축으로 3만큼 평행이동: x → x - 3
y축으로 5만큼 평행이동: y → y - 5

y - 5 = 2(x - 3)²
y = 2(x - 3)² + 5

(2) 번은 원의 방정식의 일반형이네요.
x축으로 4만큼 평행이동: x → x - 4
y축으로 -6만큼 평행이동: y → y - (-6) = y + 6

(x - 4)² + (y + 6)² - 10 = 0
(x - 4)² + (y + 6)² = 10

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원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식

원의 접선의 방정식 세 번째에요. 이번에는 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 방정식이에요. 원 안에서는 원에 접선을 그을 수는 없으니까 당연히 원 밖의 한 점이어야겠죠?

여기서는 공식이 나오지 않아요. 게다가 접선의 방정식을 구하는 방법도 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법을 그대로 사용하니까 이해하기 쉬울 거예요. 대신 계산이 조금 복잡한데 문제에서는 계산하기 쉽게 식을 간단하게 주니까 많이 어렵지는 않을 거예요.

앞에서 충분히 했던 내용이니까 나머지는 그대도 하면 되고, 핵심적인 내용 딱 한 가지만 기억하세요.

원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식

원 밖의 한 점 P(x₁, y₁)에서 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 그은 접선의 방정식을 구하는 건데 다른 말로는 점 P(x₁, y₁)을 지나고 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 접하는 직선의 방정식이라고도 표현해요. 직선이 2개가 생기죠?

이 직선의 기울기를 아직 모르는데 m이라고 가정해 볼게요. 이게 이 글의 핵심이에요. 기울기를 m으로 놓는 거요. 그럼 우리가 구하려고 하는 접선의 방정식은 기울기가 m이고 점 P(x₁, y₁)을 지나는 직선이에요. 직선의 방정식 구하기에서 해봤죠?

y - y₁ = m(x - x₁)

이 직선에서 m을 구하면 식이 완성돼요. m을 구하는 방법은 두 가지에요. 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법 두 가지와 같아요. 판별식 D를 이용하는 방법과 (원의 중심과 직선 사이의 거리) = (반지름)을 이용하는 방법이요.

위의 직선을 y에 관해서 정리하면 표준형으로 바꿀 수 있어요. y = m(x - x₁) + y₁

이렇게 y에 관해서 정리한 식을 원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²에 대입하면 x에 관한 이차방정식이 되고, 여기서 판별식 D = 0일 때, m을 구하면 돼요.

위의 직선을 일반형으로 바꿔보세요. mx - y - mx₁ + y₁ = 0

원의 중심 (a, b)에서 접선 mx - y - mx₁ + y₁ = 0까지의 거리가 반지름 r과 같다는 것을 이용해서 m을 구할 수도 있어요.

원 밖의 한 점(x₁, y₁)에서 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 그은 접선의 방정식
기울기를 m이라고 가정하고 y - y₁ = m(x - x₁)이라는 식을 세운다.
(1) y - y₁ = m(x - x₁)을 원의 방정식에 대입하여 판별식 D = 0 이용하여 m을 구하거나
(2) 원의 중심(a, b)에서 직선까지의 거리 = 반지름을 이용하여 m을 구한다.

(0, 4)를 지나고 x² + y² = 9에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

한 점을 지나고 원에 접하는 직선의 방정식이 바로 한 점에서 그은 접선의 방정식이에요. 같은 말이니까 헷갈리지 마세요.

직선의 방정식의 기울기를 m이라고 가정하면 이 직선이 (0, 4)를 지나니까 식을 세울 수 있어요.
y - 4 = m(x - 0)
y = mx + 4

이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x² + (mx + 4)² = 9
x² + m²x² + 8mx + 16 - 9 = 0
(m² + 1)x² + 8mx + 7 = 0

D/4 = (4m)² - (m² + 1) × 7 = 0
16m² - 7m² - 7 = 0
9m² = 7
m² =
m = ±

답은 y = ±x + 4

이번에는 판별식이 아니라 원의 중심에서 접선까지의 거리를 이용해서 구해볼까요?

y = mx + 4
mx - y + 4 = 0

원의 중심은 (0, 0)이고 반지름은 3, 접선의 방정식은 mx - y + 4 = 0이에요.

y = ±x + 4로 답이 같죠?

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