함수의 정의에 이어 함수에서 사용하는 용어에 대해서 알아보죠. 정의역, 공역, 치역인데 들어본 적이 있을 거예요. 그냥 한 번 복습하는 차원에서 다뤄보죠.
용어의 정의에 대한 내용이니 외우기보다는 그 뜻을 잘 이해하는 게 중요해요. 사실 별 중요한 뜻이 있는 건 아니지만, 나중에 헷갈리기 쉽거든요.
두 함수가 서로 같은 함수인지 아닌지 알아보는 방법도 공부할 거예요. 두 함수가 서로 같은지를 확인하는 조건이 있는데, 이 조건을 잘 알아두세요.
정의역, 공역, 치역, 함숫값
함숫값
집합 X에서 집합 Y로의 함수를 f: X → Y라고 나타내죠. 이때 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소를 함수 f에 의한 x의 함숫값이라고 해요.
기호로는 f: x → y로 나타내기도 하고 y = f(x)로 나타내기도 해요.
X의 임의의 원소 a에 대한 함숫값은 x = a를 대입하면 됩니다. y = f(x)가 y = f(a)가 되는 거예요.
정의역, 공역, 치역
두 집합 X, Y에서 집합 X의 각 원소에 대하여 집합 Y의 원소가 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수라고 하며, 이것을 기호로 f: X → Y라고 나타내요.
여기서 두 집합 중 X를 함수 f의 정의역, Y를 함수 f의 공역이라고 해요. 또 함숫값 f(x)를 원소로 하는 집합을 함수 f의 치역이라고 해요. 함숫값은 집합 Y의 원소이니까 치역은 공역의 부분집합이죠.
정의역과 공역에 대해서 별다른 언급이 없다면 정의역과 공역은 실수 전체의 집합을 의미합니다.
다음 함수의 정의역, 공역, 치역을 구하여라.
(1) y = x + 1
(2) y = x2 + 1
정의역과 공역에 대한 별다른 얘기가 없으면 실수 전체의 집합으로 생각하세요.
(1) 번의 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이에요. 치역은 함숫값들의 집합인데, 정의역이 실수 전체의 집합이니까 x + 1의 결과도 실수 전체의 집합이에요. 따라서 정의역, 공역, 치역이 모두 실수 전체의 집합입니다.
(2) 번도 정의역, 공역에 대한 얘기가 없으니 실수 전체의 집합이에요. x2 + 1에 어떤 값이 들어가더라도 1보다 커요. 따라서 함숫값은 1보다 큰 실수겠죠? 정의역과 공역은 실수 전체의 집합, 치역은{y|y ≥ 1인 실수}네요.
서로 같은 함수
정의역과 공역이 서로 같은 두 함수 f, g가 있어요. f: X → Y, g: U → V
f의 함숫값을 f(x), g의 함숫값을 g(x)라고 할 때, 정의역의 모든 원소 x에 대하여 두 함수의 함숫값이 서로 같으면 f(x) = g(x)가 되죠. 이때 두 함수를 같다고 하고 f = g라고 해요.
두 함수가 서로 같지 않으면 f ≠ g라고 표시합니다.
두 함수 f: X → Y, g: U → V가 같을 조건
정의역과 공역이 같다. X = U, Y = V
모든 원소 x에 대한 함숫값이 같다. f(x) = g(x)
X = {-1, 0, 1}, Y = {0, 1, 4}일 때, 두 함수 f(x) = (x + 1)2, g(x) = (x - 1)2가 서로 같은 함수인지 아닌지를 판별하여라.
두 함수가 같으려면 정의역과 공역이 같고, 함숫값이 같아야 해요. 일단 두 함수의 정의역과 공역이 같네요. 함숫값이 서로 같은지 보죠.
f(-1) = (-1 + 1)2 = 0
f(0) = (0 + 1)2 = 1
f(1) = (1 + 1)2 = 4
g(-1) = (-1 - 1)2 = 4
g(0) = (0 - 1)2 = 1
g(1) = (1 - 1)2 = 0
치역이 같아요. 그래서 언뜻 보면 두 함수는 같은 함수처럼 보여요. 하지만 치역이 같은 건 아무런 상관이 없어요. 함숫값이 같아야 해요. 즉 f(-1) = g(-1), f(0) = g(0), f(1) = g(1)이어야 하죠. 함숫값이 같지 않으니 두 함수 f, g는 서로 같은 함수가 아니에요. f ≠ g
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도움이 많이 되서 자주 찾아오는데 댓글은 처음 남기네요 ^^;;
함수의 상등 조건에서
두 함수의 공역도 반드시 같아야 하나요?
기본서마다 약간씩 다르고 여기저기 알아보는데도 차이가 있네요
같아야해요.
대부분의 경우에 실수 전체를 정의역과 공역으로 하기때문에 크게 신경 쓸 필요는 없어요.
으하하하
정말 감사함다
네, 댓글 고맙습니다.
그럼 함수랑 함숫값은 같은건가요??ㅠ 왜 둘다 y=f(x) 라고 표현하죠??ㅠ
함수와 함숫값은 다릅니다.
함수와 함수값(http://mathbang.net/277)을 참고하세요.
함수의 상등
정의역 공역 함숫값이 같으면 된다
입에 달고다녀야지요
정공함 정공함 정공함
맥을 집어 주셨네요
항상 정공치? 정공함? 둘이 너무 너무 헷갈렸어요
치역은 상관없는거군요 ㅋ
함수의 특징을 나타내는 게 정의역, 공역, 함숫값이니까 이게 같아야 같은 함수라고 할 수 있죠. 치역은 함숫값의 집합이니까 함숫값만 같으면 같고요.
f: X→Y와 y=f(x) 이 둘의 차이는 무엇인가요?
그냥 같다고 생각하셔도 됩니다.
함수의 상등에 치역만 같으면 되는거 아닌가요??? 왜 공역도 같아야 하죠???
일단 두 함수의 정의역, 치역, 함수값이 같다고 해보죠.
그런데, 치역이 같은 두 함수의 공역이 서로 다르다는 말은 한 함수에서는 치역 ≠ 공역이라는 말이죠. 둘 다 치역 ≠ 공역일 수도 있지만 이건 빼고 생각해보죠.
치역 = 공역인 함수는 역함수를 구할 수 있지만, 치역 ≠ 공역인 함수는 역함수를 구할 수 없죠.
두 함수가 서로 같은 함수려면 둘 다 역함수를 구할 수 있거나 둘 다 구하지 못하거나 해야하는데, 그렇지 못한 상황이 생겨버려요. 그러면 서로 같다고 할 수 없죠.
빠르고 자세한 답변 감사합니다~ 이제야 알겠네요...
죄송한데 둘 다 치역≠공역인 경우도 설명해 주실 수 있겠습니까???
제가 궁금한건 못 참는 성격이라서 ㅎㅎ
둘 다 역함수를 못 구하는 거죠.
그런데 이 상황에서는 두 함수에 비교해서 공역이 다를 수 있지 않나요?
공역이 다를 수도 있죠.
어찌됐든 서로 같은 함수는 아니라는 거예요.
삼차함수, 사차함수 그래프에서 정의역은 모든실수가 맞나요?
반드시 그런 것은 아닙니다. 문제에 따라 다를 수 있어요.
비밀댓글입니다
특별한 언급이 없으면 실수 전체라고 생각해도 됩니다.
다만 식에 따라서 달라질 수 있습니다. (의미상 양수여햐 거나 등...)
질문의 문항을 봤을 때는 실수 전체일 듯 합니다.
비밀댓글입니다
상관은 없는데, 함수를 정의할 때 사용했던 문자를 그대로 써야 해요.
비밀댓글입니다
그러면 예를들어 f:Z->Z이면 정의역과 치역이 z로 같아지는 건가요????????
정의역과 공역은 같지만, 치역이 같은지는 알 수 없어요.
그렇다면 함수가 같기 위해서 치역이 같을 필요는 없다는 것이죠?
네, 정의역과 공역이 같고 함숫값이 같아야 해요.
비밀댓글입니다
고쳤어요. ㅠ
비밀댓글입니다
비밀댓글입니다
역시 수학은 기본기가 가장 중요한 것 같네요
대학원에서 딥러닝 때문에 선형대수 다시 보고 있는데, Domain, Range, Codomain이 정의역 치역 공역이였군요...