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원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식
원의 접선의 방정식 두 번째입니다. 기울기를 알 때에요. 기울기를 알고 있으니까 이미 직선의 방정식의 절반을 알고 있는 거예요. y = mx + n꼴에서 기울기 m을 알고 있으니 y절편 n만 구하면 되겠네요.
원과 직선이 접한다는 건 한 점에서 만난다는 것이고 이는 원과 직선의 위치관계에 했던 내용이에요. 한 점에서 만나는 조건들이 있었는데 이 조건을 이용해서 원의 접선의 방정식을 구할 거예요.
원의 접선의 방정식을 구하는 공식이 나오는데, 외우기 어렵다면 원과 직선의 위치관계를 구하는 과정을 이용해서 문제를 풀어도 좋아요.
원의 접선의 방정식 - 기울기를 알 때
(x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선을 구해보죠.
원과 직선의 위치관계에서 원과 직선이 한 점에서 만날 때 판별식 D = 0이거나 (원의 중심에서 접선까지의 거리) = (반지름)인 관계가 있다고 했어요. 이를 이용해서 접선의 방정식을 구해요.
위 그림에 보면 접선의 방정식이 2개가 그려져 있어요. 기울기는 같고 y절편만 다른 두 개의 접선의 방정식이 생기기 때문이에요. 이 두 개를 모두 구해야 합니다.
판별식 D를 이용
먼저 x2 + y2 = r2에 접하는 접선의 방정식을 구해보죠. 접선의 방정식을 y = mx + k라고 하고 이 방정식을 원의 방정식에 대입해서 정리해서 D를 구해볼까요?
x2 + y2 = r2
x2 + (mx + k)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mkx + k2 = r2
(m2 + 1)x2 + 2mkx + k2 - r2 = 0
D/4 = m2k2 - (m2 + 1)(k2 - r2) = 0
m2k2 - m2k2 + m2r2 - k2 + r2 = 0
m2r2 - k2 + r2 = 0
k2 = m2r2 + r2
k2 = r2(m2 + 1)
k = ±r
x2 + y2 = r2에 접하는 접선의 방정식은 y = mx ±r
이차함수 그래프, y = (x - p)2 + q는 y = x2의 그래프를 x축으로 p만큼 이동해서 x 대신 x - p를, y축으로 q만큼 이동해서 y 대신 y - q를 넣어 준거라고 했어요. 꼭짓점이 (0, 0)에서 (p, q)로 이동했잖아요. 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2은 x2 + y2 = r2을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 이동한 원의 방정식이에요. 원의 중심이 (0, 0)에서 (a, b)로 이동했어요. 그래서 접선의 방정식도 x 대신 x - a, y대신 y - b를 넣어주면 돼요.
(x - a)2 + (y - b)2 = r2의 제곱에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y = mx ± r
원의 중심과 접선까지의 거리 이용
x2 + y2 = r2의 중심에서 y = mx + k까지의 거리는 반지름 r과 같아요.
원의 중심 (0, 0)
y = mx + k → mx - y + k = 0
점과 직선 사이의 거리 공식에 대입해보죠.
따라서 y = mx ± r
위와 같은 이유로 x축으로 a만큼 이동하며 x 대신 x - a를, y축으로 b만큼 이동하면 y 대신 y - b를 대입해요.
x2 + y2 = r2의 접선의 방정식은 y = mx ± r
(x - a)2 + (y - b)2 = r2의 접선의 방정식 y - b = m(x - a) ± r
기울기가 m인 원의 접선의 방정식
판별식 D를 이용: 접선의 방정식 표준형을 원의 방정식에 대입하고 D = 0이 되는 값을 구한다.
원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리 이용: (원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리) = (반지름 r) 이용
x2 + y2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y = mx ± r
(x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y - b = m(x - a) ± r
공식에서 (y - b)와 (x - a)는 원의 방정식에 있는 걸 그대로 가져다 쓰면 되니까 더 쉽죠?
다음을 구하여라.
(1) x2 + y2 = 16에 접하고 y = x - 1에 평행한 접선의 방정식
(2) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 25에 접하고 기울기가 3인 접선의 방정식
(1) y = x - 1에 평행한 그래프니까 두 직선의 위치관계에 따라 기울기가 1이네요. y = x + k라고 해보죠.
x2 + (x + k)2 = 16
x2 + x2 + 2kx + k2 - 16 = 0
2x2 + 2kx + k2 - 16 = 0
D/4 = k2 - 2(k2 - 16) = 0
k2 - 2k2 + 32 = 0
k2 = 32
k = ±
k = ±4
따라서 접선의 방정식은 y = x ± 4
(2)번은 공식에 대입해서 구해볼까요?
y - b = m(x - a) ± r
y + 2 = 3(x - 1) ± 5
y = 3x - 5 ± 5
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원의 접선의 방정식, 접점을 알 때 접선의 방정식
원 위의 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 거예요. 원과 직선이 만나는 한 점을 접점이라고 하고, 접점을 지나는 직선의 방정식이니까 원의 접선의 방정식이라고 해요.
접선의 방정식도 직선의 방정식의 한 종류니까 직선의 방정식 구하기를 이용하여 구합니다. 또 접선의 방정식은 원 위의 한 점을 지나니까 이를 이용하기도 하고요.
접선의 방정식을 구하는 경우는 여러 가지가 있지만, 이 글에서는 접점의 좌표를 알 때 접선의 방정식 구하는 방법을 알아볼 거예요.
원의 접선의 방정식, 접점을 알 때 접선의 방정식
원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식 l을 구해보죠. 원의 중심을 C(a, b), 접점의 좌표를 P(x1, y1)라고 할게요.
원의 접선은 반지름에 수직이에요. 선분 CP가 반지름이므로 구하고자 하는 접선의 방정식 l과 수직이죠. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했죠? 직선 l의 기울기를 m이라고 해보죠.
직선 l은 기울기가 m이고, P(x1, y1)을 지나는 직선이니까 직선의 방정식 구하는 공식에 넣어보면
일반적으로 기울기는 
①의 공식으로 접선의 방정식을 구할 수도 있지만 다른 공식이 또 있어요.
접점 P(x1, y1)는 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접이기도 해요. (x1, y1)을 대입해보죠.
(x1 - a)2 + (y1 - b)2 = r2 ……… ②
①, ②식을 각각 전개해서 더한 다음에 인수분해하면 아래 공식을 유도할 수 있어요. 유도 과정은 길어서 생략할게요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
원래 원의 방정식은 (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = r2인데, (x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2으로 바뀌었죠? x 하나가 x1으로, y 하나가 y1으로 바뀐 형태예요……
원의 접선의 방정식
(x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접점 P(x1, y1)을 지나는 접선의 방정식
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
두 가지다 같은 결과가 나옵니다. 보통은 원의 방정식의 모양과 비슷해서 외우기 쉬운 두 번째를 많이 사용하는데, 본인이 외우기 쉬운 공식을 외우세요.
다음을 구하여라.
(1) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 5 위의 점 (3, -3)에서의 접선의 방정식
(2) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 50 위의 점 (4, -2)에서의 접선의 방정식
(3) x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0위의 점 (-2, -3)에서의 접선의 방정식
(1) 번은 원의 중심이 (2, -1)이고 접점의 좌표는 (3, -3), r2 = 5예요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(3 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = 5
x - 2 - 2y - 2 - 5 = 0
x - 2y - 9 = 0
어떤 공식을 이용하든 결과가 똑같죠?
(2) 원의 중심은 (-3, -1), 접점의 좌표는 (4, -2), r2 = 50이네요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(4 + 3)(x + 3) + (-2 + 1)(y + 1) = 50
7x + 21 - y - 1 = 50
7x - y - 30 = 0
(3) 번은 먼저 표준형으로 바꿔야겠네요.
x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0
x2 + 6x + y2 - 2y - 7 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 - 7 - 9 - 1 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 = 17
원의 중심이 (-3, 1)이고 접점의 좌표가 (-2, -3), r2 = 17이군요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(-2 + 3)(x + 3) + (-3 - 1)(y - 1) = 17
x + 3 - 4y + 4 = 17
x - 4y - 10 = 0
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원과 직선의 위치관계
원과 직선의 위치관계
기억나진 않겠지만, 원과 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 원과 직선의 위치관계에서 공부했었어요. 이때는 그림을 보면서 어떤 위치관계가 있는지만을 공부했었죠.
이제는 단순히 원과 직선의 위치관계의 종류뿐 아니라 그러한 위치를 갖는 조건을 알아볼 거예요. 물론 위치관계를 가질 조건은 원의 방정식과 직선의 방정식의 관계를 말하죠. 주어진 식을 이용해서 원과 직선에 어떤 관계가 있을 때, 어떤 위치관계에 있는지를 알아보죠.
앞서 했던 여러 단원의 내용이 광범위하게 나오니까 전에 공부했던 내용을 잘 떠올려보세요.
원과 직선의 위치관계
원과 직선의 위치관계는 그림에서 보듯이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 한 점에서 만날 때, 만나지 않을 때 세 가지 경우가 있어요. 한 점에서 만날 때를 접한다고 하고요.
판별식 이용
원의 방정식은 x, y에 관한 이차방정식이고 직선의 방정식은 x, y에 관한 일차방정식이에요. 그래프에서의 교점은 원의 방정식의 해이면서 직선의 방정식의 해 즉 연립방정식의 해고요. 그러니까 교점의 개수를 구하는 건 연립방정식의 해의 개수를 구하는 것과 같아요.
이차방정식과 일차방정식으로 된 연립방정식은 일차식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식에 대입해서 풀었어요. 여기서도 이 방법을 이용합니다.
일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식인 원의 방정식에 대입하면 그 식은 이차식이에요. 이 이차식의 해의 개수가 연립방정식의 해의 개수이고, 이건 이차방정식의 판별식을 이용해서 구할 수 있어요.
- 일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리
- 1의 식을 이차식인 원의 방정식에 대입. 전개
- 2의 식에서 판별식 D를 구한다.
D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 만나지 않는다.
직선을 y에 대해서 정리한 형태가 바로 직선의 방정식의 표준형이에요. 그리고 이걸 원의 방정식에 대입하여 판별식을 구하는 이차식은 일반형이고요.
원의 중심에서 직선까지의 거리 이용
점과 직선 사이의 거리 공식을 이용할 수도 있어요. 원의 방정식에서 원의 중심의 좌표를 구한 다음 원의 중심과 직선 사이의 거리를 구하고 이를 원의 반지름과 비교하는 거예요.
원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 원의 반지름을 r이라고 해보죠.
d < r ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
d = r ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
d > r ⇔ 만나지 않는다.
원의 중심을 구하려면 원이 표준형으로 되어 있어야겠죠? 원과 직선 사이의 거리를 구할 때 직선의 방정식은 일반형이고요.
위의 내용을 표로 정리해보죠.
| 판별식 D 이용 | 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용 | |
|---|---|---|
| 형태 | 원의 방정식: 일반형 직선의 방정식: 표준형 |
원의 방정식: 표준형 직선의 방정식: 일반형 |
| 방법 | 직선의 방정식을 한 문자에 관하여 정리한 후 원의 방정식에 대입하여 판별식 이용 | 원의 중심과 직선의 방정식 사이의 거리 이용 |
| 서로 다른 두 점 | D > 0 | d < r |
| 한 점 | D = 0 | d = r |
| 만나지 않는다. | D < 0 | d > r |
다음 원의 방정식과 직선의 방정식이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 k의 조건을 구하여라.
(1) x2 + y2 + 4x + 8y + k - 8 = 0, x + y - 4 = 0
(2) (x - k)2 + (y + 2)2 = 5, x + 2y + 10 = 0
(1)번은 원의 방정식은 일반형, 직선의 방정식도 일반형이네요. 원의 방정식은 일반형이라면 직선의 방정식이 표준형이어야 판별식을 이용할 텐데 말이죠. 그런데 이때는 직선의 방정식을 그냥 표준형으로 바꾸면 돼요. 표준형으로 바꾸는 건 정말 쉬우니까요.
x + y - 4 = 0
y = -x + 4
이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x2 + (-x + 4)2 + 4x + 8(-x + 4) + k - 8 = 0
x2 + x2 - 8x + 16 + 4x - 8x + 32 + k - 8 = 0
2x2 - 12x + k + 40 = 0
이차식이 만들어졌는데, 이차식의 해의 개수가 두 방정식의 교점의 개수와 같아요. 서로 다른 두 실근을 가진다고 했으니 D > 0이어야겠네요.
D/4 = 62 - 2(k + 40) > 0
36 - 2k - 80 > 0
2k < -44
k < -22
(2) 원의 방정식은 표준형, 직선의 방정식은 일반형이에요. 이때는 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용해요.
원의 중심의 좌표는 (k, -2), 반지름은 
절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이를 이용했어요.
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두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식과 거의 비슷해요. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 표준형이 아니라 일반형을 이용했어요. 그리고 항등식의 성질을 이용했죠. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식에서도 일반형과 항등식의 성질을 이용합니다.
차이가 있다면 때에 따라서는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 나올 수도 있다는 거예요. 어떤 경우에 원의 방정식이 되고, 어떤 경우에 직선의 방정식이 되는지 잘 알아두세요.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
그림에서 보듯이 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 무수히 많아요. 그래서 교점만 가지고는 원의 방정식을 구할 수 없죠. 대게 문제에서는 교점이 아닌 다른 점의 좌표를 주거나 다른 힌트를 줍니다. 다른 힌트를 대입할 수 있게 미리 원의 방정식을 만들어야 해요.
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이라고 했어요. (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이었죠.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식도 똑같아요. 두 원의 방정식을 x2 + y2 + Ax + By + C = 0, x2 + y2 + A'x + B'y + C' =0이라고 한다면 (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0으로 두면 돼요.
이 방정식도 k에 관한 항등식을 이용해서 증명할 수 있어요.
두 원 x2 + y2 + Ax + By + C = 0과 x2 + y2 + A'x + B'y + C' = 0의 교점을 지나는 원의 방정식
⇔ (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0
⇔ x2 + y2 + Ax + By + C + k(x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식
그런데 k = -1일 때를 보죠.
x2 + y2 + Ax + By + C - (x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0
x2 + y2 + Ax + By + C - x2 - y2 - A'x - B'y - C') = 0
(A - A')x + (B - B')y + (C - C') = 0
전개한 결과는 ax + by + c = 0꼴의 직선의 방정식의 일반형이에요. 즉 k = -1일 때는 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 된다는 걸 알 수 있어요.
두 원의 방정식이 x2 + y2 - 2x + 14y - 50 = 0과 x2 + y2 + 6x + 8y - 25 = 0일 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 두 원의 교점과 (0, 0)을 지나는 원의 방정식
(2) 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 x2 + y 2 + Ax + By + C + k(x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0이에요. k ≠ -1이면 원의 방정식이고, k = -1이면 직선의 방정식이 되죠.
(1)번은 x2 + y2 - 2x + 14y - 50 + k(x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0인데, 이 원의 방정식이 원점 (0, 0)을 지나니까 (0, 0)을 대입해보죠.
-50 + k(-25) = 025k = -50
k = -2
k = -2를 원래의 식에 대입하면
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - 2(x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - 2x2 - 2y2 -12x -16y + 50 = 0
-x2 - y2 - 14x - 2y = 0
x2 + y2 + 14x + 2y = 0
(2)번은 x2 + y2 - 2x + 14y - 50 + k(x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0에서 k = -1이면 돼요.
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - (x2 + y2 + 6x + 8y - 25) = 0
x2 + y2 - 2x + 14y - 50 - x2 - y2 - 6x - 8y + 25 = 0
-8x + 6y - 25 = 0
8x - 6y + 25 = 0
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축에 접하는 원의 방정식
직선의 방정식에서는 축과 만나는 점이 있었어요. 그걸 x, y절편이라고 부르죠. x, y절편의 좌표를 이용해서 직선의 방정식을 구할 수 있었어요.
원의 방정식에서는 축과 단순히 만나는 게 아니라 접하는 경우에 대해서 공부할 거예요. x, y축에 접하는 원의 방정식은 어떤 특징이 있는지 알아보고, 이를 이용해서 축에 접하는 원의 방정식을 구하는 방법도 알아볼 거예요.
그냥 식만 생각하기보다는 그래프를 종이에 그려보면 조금 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요. 특징이 간단하니까 그래프만 그리면 문제는 금방 풀 수 있어요.
축에 접하는 원의 방정식
x축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 x축에 접하고 있으므로 중심의 y좌표는 반지름 r과 같아요. b = r
원이 제 1사분면이 아니라 제 4사분면에 있다면 어떨까요? 그때도 b = r이 될까요? 원이 제 4사분면에 있다면 b < 0이에요. 반지름 r은 길이니까 무조건 0보다 커야 해요. 이때는 -b = r이라고 해야겠죠?
두 경우에 모두 적용될 수 있게 |b| = r이라고 합니다.
원이 제 1사분면에 있든 제 4사분면에 있든 상관없이 b2 = r2이니까 (x - a)2 + (y - b)2 = r2을 (x - a)2 + (y - b)2 = b2이라고 쓸 수 있어요.
x축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 y좌표의 절댓값
r = |b|
(x - a)2 + (y - b)2 = b2
y축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 y축에 접하고 있으므로 중심의 x좌표는 반지름 r과 같아요. a = r
원이 제 1사분면이 아니라 제 2사분면에 있다면 어떨까요? 그때도 a = r이 될까요? 원이 제 2사분면에 있다면 a < 0이에요. 반지름 r은 길이니까 무조건 0보다 커야 해요. 따라서 두 경우에 모두 적용될 수 있게 |a| = r이라고 해야겠죠?
여기서도 원이 위치한 사분면에 관계없이 a2 = r2니까 (x - a)2 + (y - b)2 = a2이라고 쓸 수 있어요.
y축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 x좌표의 절댓값
r = |a|
(x - a)2 + (y - b)2 = a2
x, y축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 x, y축에 접하고 있으므로 중심의 x좌표와 중심의 y좌표, 반지름 r이 같아요. a = b = r
그런데, a, b는 원이 위치한 사분면에 따라서 부호가 달라져요. a또는 b가 (-)가 될 수 있다는 얘기지요. r은 양수여야 하니까 |a| = |b| = r이라고 해야 합니다.
앞선 두 경우에는 r을 a 또는 b로 대신 썼는데, 이번에는 반대로 a, b를 r로 바꿔서 나타내보죠.
원이 제 1사분면에 있으면 원의 중심은 둘 다 (+)니까 원의 중심을 (r, r)이고 할 수 있죠.
(x - r)2 + (y - r)2 = r2
원이 제 2사분면에 있으면 원의 중심의 x좌표는 (-), y좌표는 (+)에요. 원의 중심을 (-r, r)이고 할 수 있어요.
(x + r)2 + (y - r)2 = r2
원이 제 3사분면에 있으면 원의 중심은 둘 다 (-)니까 원의 중심을 (-r, -r)이고 할 수 있어요.
(x + r)2 + (y + r)2 = r2
원이 제 4사분면에 있으면 원의 중심의 x좌표는 (+), y좌표는 (-)에요. 원의 중심을 (r, -r)이고 할 수 있어요.
(x - r)2 + (y + r)2 = r2
| 원의 위치 | 중심의 좌표 | 원의 방정식 |
|---|---|---|
| 제 1사분면 | (r, r) | (x - r)2 + (y - r)2 = r2 |
| 제 2사분면 | (-r, r) | (x + r)2 + (y - r)2 = r2 |
| 제 3사분면 | (-r, -r) | (x + r)2 + (y + r)2 = r2 |
| 제 4사분면 | (r, -r) | (x - r)2 + (y + r)2 = r2 |
x, y축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 x좌표의 절댓값 = 중심의 y좌표의 절댓값
r = |a| = |b|
다음 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심의 좌표가 (1, 2)이고 x축에 접하는 원의 방정식
(2) 중심의 좌표가 (-3, -4)이고, y축에 접하는 원의 방정식
(3) 반지름의 길이가 5이고 제 4사분면에서 x, y축에 접하는 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요.
x축에 접하는 원이라면 중심의 y좌표의 절댓값과 반지름이 같고, y축에 접하는 원이라면 중심의 x좌표의 절댓값과 반지름이 같아요. x, y축에 동시에 접하는 원이라면 (중심의 x좌표 절댓값)= (중심의 y좌표 절댓값) = (반지름 r)이고요.
(1)은 x축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 y좌표| = |2| = r
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 22
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 4
(2)는 y축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 x좌표| = |-3| = r
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 32
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 9
(3)은 x, y축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = r이에요. 그런데, 제 4사분면 위에 있으니까 중심의 x좌표는 (+), 중심의 y좌표는 (-)에요. 원의 반지름이 5니까 중심의 좌표는 (5, -5)네요.
(x - 5)2 + (y + 5) 2= 52
(x - 5)2 + (y + 5)2 = 25
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아폴로니오스의 원은 고대 수학자 아폴로니오스가 발견해서 그의 이름을 따서 불러요. 발견한 사람의 이름을 붙이는 건 히포크라테스의 초승달도 있었고 에라토스테네스의 체도 있었죠?
아폴로니오스의 원은 그렇게 중요한 내용은 아니니까 그냥 참고용으로 쉬워가는 길에 잠깐 읽는 정도라고 생각하세요. 이런 유형의 문제를 어떻게 푸는지만 알고 있으면 돼요.
증명과정의 계산이 조금 복잡하긴 하지만 어렵지는 않으니까 직접 증명을 해보는 것도 괜찮을 듯싶네요. 꼭 해보라는 건 아니고 그냥 해보는 것도 괜찮다는 거예요.
아폴로니오스의 원
두 점 A, B에 대하여 
P(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2)이라고 하고 두 점 사이의 거리를 이용하여 거리를 구해서 비례식을 세우고 정리해보죠.
중간과정은 복잡하니까 그냥 넘어가고 마지막 줄을 보면 x2 + y2 + Ax + By + C = 0꼴로 이건 원의 방정식 일반형이에요. 두 점에서 m : n의 거리에 있는 점들을 모두 모으면 원이 된다는 것을 알 수 있어요.
조금 더 쉽게 증명해보려면 점 A, B를 그대로 평행이동시켜서 A(0, 0), B(a, 0)으로 놓고 해보세요.
아폴로니오스의 원에서 선분 AB의 중간에 있는 점 P는 내분점이 되고, 선분 AB의 연장선에 있는 점은 외분점이에요.
원의 방정식이니까 원의 중심과 반지름을 구해야겠죠? 원을 잘 보면 내분점 P와 외분점 Q를 지름의 끝점으로 하는 원이에요. 원의 방정식에서 두 점을 지름의 끝점으로 하는 원의 중심은 양 끝점의 중점이라고 했지요? 아폴로니오스 원에서는 내분점 P와 외분점 Q의 중점이 원의 중심이고, 반지름은 선분 PQ 길이의 절반이에요.
두 점 A(-2, 5), B(4, 5)에 대하여
P(x, y)라고 해보죠. 두 점 사이의 거리를 이용하여 비례식을 세워보죠.
답은 x2 + y2 - 12x - 10y + 45 = 0 네요.
표준형으로 고쳐볼까요?
x2 + y2 - 12x - 10y + 45 = 0
x2 - 12x + y2 - 10y + 45 = 0
x2 - 12x + 36 - 36 + y2 - 10y + 25 - 25 + 45 = 0
(x - 6)2 + (y - 5)2 - 16 = 0
(x - 6)2 + (y - 5)2 = 16
원의 중심이 (6, 5)고 반지름은 4인 원의 방정식이었군요.
m = n일 때
아폴로니오스의 원이 만들어지려면 나누는 비율인 m, n이 서로 같지 않아야 해요. (m ≠ n)
만약에 m = n이라면 원이 아니라 직선이 생겨요.
이 직선은 선분 AB를 수직이등분하는 선이 됩니다.
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세 점을 지나는 원의 방정식, 원의 방정식 일반형
원의 방정식 표준형에 이어서 원의 방정식 일반형에 대해서 알아볼 거예요. 식의 일반형은 좌변에 모든 항이 있고, 우변 = 0인 꼴을 말해요.
이차함수 식 구할 때 이차함수의 일반형을 이용했어요. 바로 세 점의 좌표를 알려줬을 때죠. 원의 방정식도 비슷합니다. 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 일반형을 이용해요.
표준형을 일반형으로 바꾸는 건 간단히 전개만 하면 되지만, 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 조금 달라요. 하지만 이미 많이 해봤던 거라서 금방 할 수 있어요.
세 점을 지나는 원의 방정식
원의 방정식의 표준형은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요. 전개해보죠.
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
여기서 -2a = A, -2b = B, a2 + b2 - r2 = C라는 문자로 치환하면
x2 + y2 + Ax + By + c = 0
원의 방정식 일반형
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
원의 방정식 표준형은 원의 중심과 반지름을 바로 확인할 수 있는 장점이 있어요. 일반형은 그렇지 못하죠? 그런데도 일반형을 쓰는 이유는 세 점의 좌표를 알고 있을 때 조금 더 쉽게 원의 방정식을 구할 수 있기 때문이에요.
세 점 (-2, 2), (4, -6), (5, -5)을 지나는 원의 방정식을 구하여라.
x2 + y2 + Ax + By + C = 0에 세 점의 좌표를 대입해보죠.
(-2)2 + 22 - 2A + 2B + C = 0
2A - 2B - C = 8 ……… ①
42 + (-6)2 + 4A - 6B + C = 0
4A - 6B + C = -52 ……… ②
52 + (-5)2 + 5A - 5B + C = 0
5A - 5B + C = -50 ……… ③
A, B, C에 관한 연립방정식이 만들어졌어요. 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀어봤었죠?
① + ② = 6A - 8B = -44
3A - 4B = -22 ……… ④
① + ③ = 7A - 7B = -42
A - B = -6 ……… ⑤
④, ⑤를 연립해서 풀면 A = -2, B = 4
①에 A = -2, B = 4를 대입하면 C = -20
답은 x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0
원의 방정식 일반형을 표준형으로
원의 방정식 일반형을 다시 표준형으로 바꿔보죠. 이차함수 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법과 똑같아요.
원의 중심의 좌표는 
표준형에서 우변은 반지름의 제곱이므로 0보다 커야 해요. 값을 다 비교할 필요는 없고 반지름의 분자에 있는 제곱근 안의 값만 0보다 크면 되죠.
A2 + B2 - 4C > 0
이차방정식의 판별식처럼 주어진 식이 원의 방정식 원인지 아닌지를 판단할 때 사용해요. 자주 사용하는 건 아니니까 꼭 알아야 하는 건 아니지만 알아두면 편리하긴 하죠.
x2 + y2 - 6x + 8y + k = 0이 원의 방정식일 때, 상수 k의 범위를 구하여라.
A2 + B2 - 4C > 0
(-6)2 + 82 - 4k > 0
36 + 64 - 4k > 0
4k < 100
k < 25
일반형을 표준형으로 바꿔서 계산해볼까요?
x2 + y2 - 6x + 8y + k = 0
x2 - 6x + y2 + 8y + k = 0
x2 - 6x + 9 - 9 + y2 + 8y + 16 - 16 + k = 0
(x - 3)2 + (y + 4)2 + k - 25 = 0
(x - 3)2 + (y + 4)2 = 25 - k
우변 25 - k는 반지름의 제곱이므로 25 - k > 0. 따라서 k < 25
어떤 방법으로 해도 답은 똑같아요. 편한 방법을 선택하세요.
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원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 있으면 돼요. 오히려 중학교 때 공부했던 원주각, 중심각 등보다 쉽다고 할 수 있죠.
직선의 방정식에서 표준형과 일반형을 공부했어요. 원의 방정식에도 표준형과 일반형이 있는데, 이 글에서는 원의 방정식 표준형을 알아볼 거예요.
원의 방정식 공식을 유도하는 방법과 여러 문제에서 어떻게 원의 방정식을 구하는 지를 유형별로 알아보죠.
원의 방정식
원은 한 점(정점)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이에요. 이때 한 정점을 원의 중심이라고 하고, 같은 거리를 반지름이라고 하죠.
좌표평면에서 한 점 C에서 같은 거리(반지름. r)에 점을 그리고 임의의 점의 좌표를 P라고 해보죠. 반지름 r은 
P는 임의의 점이니까 원 위에 있는 모든 점은 위 방정식을 만족해요. 이 방정식이 바로 원의 방정식입니다.
원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
⇔ (x - a)2 + (y - b)2 = r2
만약에 원의 중심이 원점(0, 0)이면 x2 + y2 = r2이겠죠?
위와 같은 형태를 원의 방정식의 표준형이라고 해요. 이차함수에서도 직선의 방정식에서도 표준형이라는 용어를 사용했었죠? 표준형을 보면 반지름과 원의 중심을 쉽게 구할 수 있는 장점이 있어요.
다음을 보고 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심이 (3, 2)이고 반지름이 9인 원
(2) 중심이 (-1, 2)이고 (2, 6)을 지나는 원
(3) (-3, -5)와 (5, 9)을 지름의 양 끝점으로 하는 원
원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요.
(1) 공식에 그대로 대입해보죠.
(x - 3)2 + (y - 2)2 = 92
(2) 공식에 넣어보면 (x + 1)2 + (y - 2)2 = r2에요.
원의 방정식이 (2, 6)을 지나니까 이걸 식에 대입하면 r을 구할 수 있어요. 대입해보죠.
(x + 1)2 + (y - 2)2 = r2
(2 + 1)2 + (6 - 2)2 = r2
32 + 42 = r2
r2 = 9 + 16
r2 = 25
구하는 원의 방정식은 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25
(3) 중심과 반지름이 아니라 지나는 두 점을 알려줬네요. 그런데 두 점이 지름의 양 끝점이라고 했어요. 지름은 원의 중심을 지나는 직선으로 지름의 중점이 원의 중심이에요. 원의 중심을 구하면 (2) 번에서 했던 방법을 이용해서 r2을 구할 수 있어요.
원의 중심의 좌표를 (a, b)라고 한다면
원의 중심은 (1, 2)이니까 (x - 1)2 + (y - 2)2 = r2이네요. (5, 9)를 대입해보죠.
(x - 1)2 + (y - 2)2 = r2
(5 - 1)2 + (9 - 2)2 = r2
42 + 72 = r2
r2 = 16 + 49
r2 = 65
따라서 원의 방정식은 (x - 1)2 + (y - 2)2 = 65
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좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.
점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.
공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.
점과 직선 사이의 거리 공식
점 P(x1, y1)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x2, y2)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.
(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)
직선 PH는 두 점 P(x1, y1)와 H(x2, y2)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,
이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -
직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.
-
a(y2 - y1) = b(x2 - x1)
x2 - x1 = ak, y2 - y1 = bk ……… ①
x2 = x1 + ak, y2 = y1 + bk
H(x2, y2)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax2 + by2 + c = 0
a(x1 + ak) + b(y1 + bk) + c = 0 (∵ ①)
ax1 + a2k + by1 + b2k + c = 0
(a2 + b2)k + ax1 + by1 + c = 0
(a2 + b2)k = -ax1 - by1 - c
k = -
(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.
점 (x1, y1)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d
점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.
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두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
직선의 방정식을 구하는 마지막 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식이에요. 직선의 방정식 구하기에서는 기울기나 점의 좌표를 주고 직선의 방정식을 구하는 거였는데, 이제는 직선의 방정식을 두 개주고 이를 이용해서 새로운 직선의 방정식을 구해야 합니다.
사실 이 글에서 다룰 내용은 어렵지 않은데, 앞서 했던 내용과 섞여서 나오면 조금 어려워져요. 앞서 했던 직선의 방정식 구하기와 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에 대해서 알고 있어야 해요.
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구해보죠.
먼저 결론부터 얘기할게요.
두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식
⇔ ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0
⇔ (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0
ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 교점의 좌표를 (p, q)라고 해보죠.
ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 교점 (p, q)를 지난다고 한다면 ap + bq + c + k(a'p + b'q + c') = 0가 되어야 해요.
그런데, ap + bq + c = 0, a'p + b'q + c' = 0이니까 실제로 식이 성립해요. k가 어떤 값을 가져도 상관없이 성립하죠? 이 식은 임의의 k에 대하여 항상 성립하는 항등식으로 (p, q)를 무조건 지나는 직선의 방정식이에요.
공식을 잘 보면 두 직선의 방정식을 알려줬을 때, 하나는 그대로 쓰고 다른 하나에 k를 곱해서 더한 게 0이 되는 거예요.
2x - y - 1 = 0, x - y - 3 = 0의 교점을 지나고 7x - 4y + 1 = 0과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.
두 직선의 교점을 지나는 방정식은 (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이에요.
2x - y - 1 + k(x - y - 3) = 0
2x - y - 1 + kx - ky - 3k = 0
(k + 2)x - (k + 1)y - 3k - 1 = 0
직선의 방정식을 먼저 구했는데 k를 모르니까 완전한 식이 아니죠? 이 식이 7x - 4y + 1 = 0과 평행하다고 했어요. 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에서는 (x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비)여야 두 직선의 방정식이 평행이죠?
-4(k + 2) = -7(k + 1)
-4k - 8 = -7k - 7
3k = 1
k =
k = 
2x - y - 1 +
6x - 3y - 3 + x - y - 3 = 0
7x - 4y - 6 = 0
한 정점을 지나는 직선의 방정식
ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0처럼 생긴 직선이 꼭 지나는 점이 하나 있어요. k가 어떤 값을 가지든 상관없이 꼭 지나는 점이죠. 이 점의 좌표를 구해보죠.
ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 k와 상관없이 항상 같은 점을 지난다는 말은 k의 값에 상관없이 식이 항상 성립한다는 뜻이에요. 즉 k에 관한 항등식이라는 거지요.
항등식이 되려면 0k + 0 = 0꼴이 되어야 해요. 즉 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0이 되어야 하죠. 이건 직선의 방정식 두 개이기도 하지만 연립방정식이기도 하잖아요. 연립방정식의 해이자 두 직선의 교점이 바로 꼭 지나는 점이에요.
(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 일정한 점을 지날 때, 이 점의 좌표를 구하여라.
k와 관계없이 지나는 한 점의 좌표에요. "k와 관계없이"니까 k에 관한 항등식이어야겠죠? k에 관해서 정리해보죠.
(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0
kx - 2x + 3y - 2ky + 6 = 0
k(x - 2y) - (2x - 3y - 6) = 0
x - 2y = 0
x = 2y
2x - 3y - 6 = 0
4y - 3y - 6 = 0
y = 6
x = 12
(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 지나는 점의 좌표는 (12, 6)이네요.
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애드센스 이용자로서 이번 주는 조금 바쁜 주였어요. 3일 동안 애드센스 행아웃을 통한 온라인 교육(Learn width Google)도 있었고, Google 애드센스 최적화 담당자의 최적화 상담 지원도 받았거든요.
네 번의 교육과 상담을 통해서 블로그를 운영하고 애드센스를 최적화하는데 많은 도움을 받았습니다. 궁금했던 것들을 해결하고 애매했던 내용들에 대해 확실히 이해하게 되었지요. 최근에 구글이 조금 친절하게 바뀌고 있는 듯하네요.
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애드센스 최적화 상담은 전화로 이루어졌어요.
애드센스 최적화도 나름대로 잘 돼어있고, RPM도 높은 편이라는 칭찬도 들으니 기분이 좋네요. 유입량을 늘리면 좋겠다는 얘기도 해주셨고요. 이건 블로거의 영원한 숙제가 아닐까 싶어요.
사이드바의 160x600을 300x600으로 바꿔보라고 권유해서 지금 A/B 테스트를 해보는 중입니다. 전에 잠깐 테스트했었는데 그때는 300x600이 나온 지 얼마 안돼서 광고가 없어서 160x600이 수익이 더 좋았거든요. 요즘에는 300x600 광고도 꽤 늘어서 다시 해보면 다른 결과가 나올지도 모르겠네요.
궁금했던 게 많이 있었는데, 대부분은 온라인 교육을 통해서 해결되어서 질문을 많이 하지는 않았어요. 몇 가지 궁금한 것만 확인하는 차원 정도에 그쳤습니다. 친절하게 대답해주시더라고요.
온라인 교육에서 나오지 않았던 내용 중에 한가지 공유하자면, 스킨을 자주 변경하면 수익이 떨어지느냐를 물어봤는데요.
전에 제트센스에서 잠깐 회자되었던 내용인데, 블로그 스킨을 수정하면 크롤러가 새로운 블로그로 판단하게 되고, 타겟팅되었던 광고가 초기화되어 수익이 떨어진다는 얘기가 있었어요. 새로운 페이지로 인식하니까 광고 타겟팅을 처음부터 다시 하느라고 기존에 잘 나오던 광고는 안 나오고 관련성이 적은 다른 광고가 나온다는 얘기였지요.
최근에 스킨 일부를 수정하고 수익이 떨어진 듯하여 이를 물어봤는데 아무 상관없다고 합니다.
이제 마음껏 스킨 수정해도 되겠어요.
Learn With Google
최적화 상담을 받기 전에 Learn with Google 행아웃 온라인 교육이 있었습니다. 전에는 정책 관련 내용이었는데 이번에는 애드센스 최적화와 모바일 광고에 대한 얘기였어요.
특히 제일 궁금했던 DFP는 일반 개인 블로거가 할 수 있는 게 아니더군요. 저는 게재위치 타겟팅의 확장판인 줄 알았거든요. DFP에 등록해놓으면 광고주가 블로그 직접 선택해서 애드센스와 광고주의 광고가 경쟁을 하는 건 줄 알았는데, 제가 영업(?)을 해서 얻은 광고 네트워크를 등록하는 거였더라고요.
온라인 교육은 실시간으로 진행되었지만 그 동영상은 유튜브에서 볼 수 있어요. 유튜브 Adsense Korea 채널의 동영상을 꼭 한 번 보세요. 이번 온라인 교육 동영상뿐 아니라 기본적인 사용법부터 활용법까지 다양한 동영상들이 있어요.
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[블로그/애드센스] - 애드센스를 본문 상단 오른쪽에 넣기
두 직선의 위치관계 - 일반형
두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.
직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.
두 직선의 위치관계 - 일반형
ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.
ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -
a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.
a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -
기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
-
-
기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
-
-
기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.
기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
-
앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?
연립방정식의 해의 개수
미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.
해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.
해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?
해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔
해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔
직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.
| ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0 |
연립방정식 근의 개수 | |
|---|---|---|
| 평행 | = ≠  |
해가 없다. |
| 일치 | = = |
해가 무수히 많다 |
| 수직 | aa' + bb' = 0 | 1개 |
| 한 점에서 만난다. |
|
1개 |
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두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.
이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.
증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.
두 직선의 위치관계 - 평행, 일치
평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.
두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H
∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°
두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.
m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.
두 직선의 위치관계 - 수직
y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.
여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)
두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) = -1이 되는군요.
수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.
| y = mx + n,y = m'x + n' | ||
|---|---|---|
| 평행 | 기울기는 같고, y절편은 다르다 | m = m', n ≠ n' |
| 일치 | 기울기가 같고 y절편도 같다. | m = m', n = n' |
| 수직 | (기울기의 곱) = -1 | mm' = -1 |
| 한 점에서 만난다 | 기울기가 다르다 | m ≠ m' |
y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?
y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n
y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.
y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3
y = 2x - 3이네요.
y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.
y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.
두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.
a + b = 1 + 3 = 4
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절댓값 기호가 포함된 식의 그래프
직선의 방정식을 구해봤어요. 이제 직선의 방정식을 그래프로 그려볼 거예요. 웬만한 건 일차함수 그래프 그리기에서 해봤으니까 여기서는 새로운 것을 해보죠.
절댓값 기호가 들어있는 직선의 방정식 그래프를 그리는 거예요. 절댓값 기호의 위치가 여러 가지가 있고, 이 위치에 따라 그리는 방법이 달라져요. 매우 어렵고 상당히 헷갈리는 내용이죠.
헷갈리지 않게 잘 읽어보고 그래도 어려운 것 같으면 가장 기본적인 원리만이라도 익히도록 하세요.
절댓값 기호가 포함된 식의 그래프
가장 기본적인 y = x의 그래프를 그려보죠.
원점을 지나고 1, 3사분면을 지나는 그래프네요.
y = |x|의 그래프를 그려볼까요? 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서 절댓값 기호 안을 0이 되게 하는 숫자를 기준으로 구간을 나눠서 계산했죠? 여기서도 그렇게 해보죠.
y = |x|
x ≥ 0일 때, y = x
x < 0일 때 y = -x
그래프로 그려보면
이렇게 나옵니다. 모양이 어떤가요? y = x그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로이고, x < 0인 부분 즉 y < 0인 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양이에요.
이걸 다른 말로 표현해 보죠. 우변이 |x|로 양수이기 때문에 좌변 y도 항상 양수여야 해요. 따라서 y < 0인 부분을 꺾어버렸다고 생각하면 돼요.
이번에는 y = |x - 1|의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0이 되는 구간을 나누어 합니다.
y = |x - 1|
x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1일 때, y = x - 1
x - 1< 0 → x < 1일 때, y = -x + 1
y = x - 1 그래프에서 x ≥ 1인 곳은 그대로이고, 이 부분을 y축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이에요.
좌변 y는 항상 양수여야 하죠? 그래서 y < 0인 부분의 그래프를 꺾어버렸다고 생각하세요.
이번에는 y = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.
y = |x| - 1
x ≥ 0일 때, y = x - 1
x < 0일 때 y = -x - 1
y = x - 1의 그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로, 이 부분을 y축에 대칭이동 시킨 모양이에요. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고 이걸 y축에 대칭 시킨 모양이죠.
-1을 좌변으로 이항하면 y + 1 = |x|가 돼요. 우변이 항상 양수이므로 좌변의 y + 1이 0보다 작은 부분(y < -1)을 꺾어버렸어요.
|y| = x의 그래프를 그려보죠. 이번에는 y에 절댓값 기호가 있네요.
y ≥ 0일 때, y = x
y < 0일 때, y = -x
y = x의 그래프에서 y ≥ 0인 곳은 그대로 두고 이 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양입니다. 좌변이 |y|이기 때문에 x는 항상 양수에요. 그러니까 x < 0인 부분을 꺾어버린 거죠.
|y| = x - 1의 그래프를 그려보죠.
|y| = x - 1
y ≥ 0일 때, y = x - 1
y < 0일 때, y = -x + 1
y = x - 1의 그래프에서 y ≥ 0인 부분은 그대로이고, 이 부분을 x축에 대칭이동 한 모양입니다. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(y ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고, 이걸 x축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이지요.
좌변이 |y|로 항상 양수입니다. 따라서 x - 1이 0보다 작은 부분을 꺾어버렸어요.
이번에는 x, y에 절댓값이 있는 |y| = |x|의 그래프를 그려보죠.
x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x
x < 0, y < 0일 때, y = x
|y| = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.
x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x - 1
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x + 1
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x - 1
x < 0, y < 0일 때, y = x + 1
(절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0, y ≥ 0)인 y = x - 1의 그래프를 그리고 이걸 x축, y축, 원점에 대칭이동 시킨 모양이죠.
절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 그리기
그래프를 두 가지 방법으로 표현합니다.
- 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞는 그래프를 찾고, 그 그래프를 x축 또는 y축에 대칭이동 시켰다.
- 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞지 않는 그래프를 찾고 그 그래프를 꺾어버렸다.
대부분은 대칭이동 했다는 표현을 많이 쓰는데, 일부 선생님이나 교재에서 꺾었다는 표현을 하기도 하니까 둘 다 알아두세요.
표현법에 따라 그래프를 그리는 방법이에요.
대칭이동을 이용한 그래프 그리기
- 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
- (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간의 그래프를 찾는다.
- ②에서 찾은 그래프를 절댓값 기호가 없는 문자로 된 축 방향으로 대칭이동(x에 절댓값이 있으면 y축, y에 절댓값이 있으면 x축 방향으로 대칭이동)
꺾기를 이용한 그래프 그리기
- 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
- (절댓값 기호 안) < 0이 되는 구간을 찾는다.
- ②에서 찾은 그래프가 양수가 되도록 절댓값 기호가 있는 문자 축 방향으로 그래프를 꺾는다.
절댓값 기호가 어디 있느냐에 따라서 그래프를 그리는 방법이 달라지죠? 어떻게 그리는지를 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않으면 외우지 마세요. 어설프고 헷갈리게 외우는 것보다는 외우지 않는 게 더 좋아요.
절댓값 기호 안이 0이 되게 하는 구간을 나눠서 식을 구하고 그래프를 그리더라도 시간이 오래 걸리지 않으니까 차근차근 그리는 것이 더 좋을 수 있어요.
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우리 식을 얘기할 때 일반형, 표준형 이런 얘기하죠? 이차함수에서 y = ax2 + bx + c를 이차함수 일반형, y = a(x - p)2 + q를 표준형이라고 했잖아요. 일차방정식은 ax + b = 0, 이차방정식은 ax2 + bx + c = 0 이렇게 썼어요.
직선의 방정식도 마찬가지로 일반형, 표준형이 있어요. 직선의 방정식의 일반형과 표준형을 알아볼텐데, 용어가 크게 중요한 게 아니니까 공식처럼 외우지 말고 그 의미를 잘 이해하세요. 그냥 단순한 용어 정리일 뿐이에요.
직선의 방정식의 일반형
미지수가 x, y 두 개인 일차방정식은 ax + by + c = 0으로 써요. 이 방정식을 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기에서 사용했던 y = ax + b 꼴로 한 번 바꿔보죠.
ax + by + c = 0
by = -ax - c
b ≠ 0이면 양변을 b로 나눌 수 있어요.
기울기는 
이때 a = 0이면 y =
b = 0이면 양변을 b로 나눌 수 없지요.
0y = -ax - c
ax = -c
x =
양변을 a로 나눴더니 y축에 평행한 직선이 되는군요.
이때 a = 0이면 어떻게 될까요? b = a = 0이 되어서 c = 0이라는 아무 것도 아닌 게 되어버렸네요.
| 방정식 ax + by + c = 0 | a ≠ 0 | a = 0 |
| b ≠ 0 |  기울기는 , y절편은 |
y = x축에 평행한 직선 |
| b = 0 | x =  y축에 평행한 직선 |
모양을 바꾸고 나니 모두 직선이라는 것을 알 수 있죠?
보통 좌변에 모든 항을 이항하고 우변에 0만 있는 형태를 일반형이라고 해요. 미지수가 2개인 방정식은 미지수가 x, y이고 차수가 1인 방정식인데 그래프가 직선이죠? 그래서 ax + by + c = 0의 꼴을 직선의 방정식의 일반형이라고 해요.
모양을 바꿨던 y = ax + b꼴을 직선의 방정식의 표준형이라고 해요. 기울기와 x, y절편을 쉽게 알아볼 수 있는 형태지요.
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