수학방

삼각함수의 각의 변환 두 번째예요. 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서는 θ가 2nπ + θ일 때와 -θ일 때를 공부해봤는데요. 이 글에서는 θ가 π ± θ일 때와 일 때를 공부할 거예요.

삼각함수는 기본적으로 sin, cos, tan의 세 가지인데, 거기에 π ± θ와 로 네 개의 각이 나오죠? 그러니까 총 12가지 변환하는 내용이 나와요. 게다가 θ, -θ에 관한 내용도 있어서 양도 많고 상당히 헷갈리는 내용이니까 그림과 설명을 하나씩 잘 짚어가면서 공부해야 해요.

삼각함수 각의 변환

π ± θ의 삼각함수

θ와 π + θ의 삼각함수를 비교해보죠.

그림을 보면 알 수 있겠지만 θ를 나타내는 동경과 π+ θ를 나타내는 동경은 서로 원점에 대하여 대칭이에요. 점 P의 좌표를 (x, y)라고 하고 점 P'의 좌표를 (x', y')라고 한다면 점 P와 점 P'는 원점에 대하여 대칭이므로 부호가 서로 반대예요.

x' = -x
y' = -y

다른 방법으로 생각해보죠. 원점에 대하여 대칭이면 제 1 사분면의 각은 제 3 사분면의 각이 되고, 제 2 사분면의 각은 제 4 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 3 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 4 사분면

올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 에서 tan 함수는 제 1, 3 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 4 사분면의 부호는 (-)로 같아요. tan은 원점에 대하여 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 π + θ가 되어도 tan의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 cos는 원점에 대하여 대칭이 아니기 때문에 θ가 π + θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(π + θ) = -sinθ
• cos(π + θ) = -cosθ
• tan(π + θ) = tanθ

이번에는 π - θ의 삼각함수를 알아보죠. 위의 π + θ에서 θ를 -θ로 바뀌기만 하면 돼요.

sin(π - θ) = sin{π + (-θ)} = -sin(-θ) = sin(θ)
cos(π - θ) = cos{π + (-θ)} = -cos(-θ) = -cos(θ)
tan(π - θ) = tan{π + (-θ)} = tan(-θ) = -tan(θ)

의 삼각함수

이번에는 의 삼각함수를 알아보죠.

앞서 했던 여러 삼각함수에서는 대칭이동이었는데, 이번에는 대칭이동이 아니에요.

점 P의 좌표를 (x, y)라고 하고 점 P'의 좌표를 (x', y') 한다면 이 둘 사이에는 어떤 관계가 생길까요? x' = -y, y' = x의 관계가 성립해요. 이 관계가 어떻게 나오는지 잘 이해하셔야 해요.

x' = -y
y' = x

이번에는 의 삼각함수를 알아보죠. 위의 에서 θ를 -θ로 바뀌기만 하면 돼요.

지금까지 삼각함수의 각의 변환을 공부해봤는데, sin, cos, tan 세 가지에다 부호까지 엄청나게 헷갈리죠? 물론 이걸 다 외우면 좋겠지요. 하지만 너무 헷갈려서 외우기가 어렵다면 굳이 외울 필요는 없어요.

이걸 쉽게 변환하는 방법은 삼각함수 각의 변환 총정리에서 다뤄보기로 하죠.

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삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ
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호도법, 라디안(radian)
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삼각함수 각의 변환 첫 번째예요. 여기서는 삼각함수에 사용되는 각이 일반각일 때와 사용된 각의 부호가 반대로 되었을 때 삼각함수의 값이 어떻게 바뀌는지를 알아볼 거예요. 또 이 두가지를 합쳤을 때의 삼각함수 값도 알아볼 거고요.

일반각을 호도법으로 표시하는 방법에 대해서 알고 있어야해요. 그리고 삼각함수를 구할 때 사용했던 그림있죠? 좌표평면 위에 원을 그리고 한 점에서 수선을 내렸던 그림도 잘 알고 있어야해요. 이 두 가지만 알고 있으면 이번 내용은 별로 어렵지 않을 거예요.

계산 문제가 살짝 어려울 수 있는데, 이때는 그림을 그려서 풀면 조금 더 쉬울 거예요.

삼각함수 각의 변환

일반각의 삼각함수, 2nπ + θ

삼각함수 sinθ, cosθ, tanθ의 각에서 θ는 0 ≤ θ < 2nπ의 범위를 가져요. 그런데 같은 동경에 위치한 θ라 하더라도 각이 다를 수 있어요. 우리는 이걸 호도법, 라디안(radian)에서 일반각으로 표현하는 걸 공부했었지요. 2nπ + θ (n은 정수, 0 ≤ θ < 2nπ)

각의 크기는 다르더라도 동경의 위치가 같으니까 x, y, r의 값이 같고 이들의 삼각함수 값도 같아요.

• sinθ = sin(2nπ + θ)
• cosθ = cos(2nπ + θ)
• tanθ = tan(2nπ + θ)

-θ의 삼각함수

이번에는 θ의 부호가 반대일 때를 보죠. 부호가 반대라는 건 시초선으로 부터 동경이 움직이는 방향이 반대라는 뜻으로 그림으로 나타내면 다음처럼 돼요.

-θ일 때는 점 P'(x', y')을 이용해서 삼각함수를 구해야겠네요. 점 P와 점 P'는 x축 대칭이므로 y의 부호가 반대예요. x와 r은 그대로이고요.

x' = x
y' = -y

θ가 -θ로 바뀌면 sin과 tan는 부호가 반대로 바뀌지만 cos은 부호가 바뀌지 않는 걸 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해볼까요? θ와 -θ는 x축 대칭이에요. θ가 제 1 사분면의 각이라면 -θ는 제 4 사분면의 각이 되고, θ가 제 2 사분면의 각이라면 -θ는 제 3 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 4 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 3 사분면

삼각함수 값의 부호에서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 있었죠? 여기에서 cos 함수는 제 1, 4 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 3 사분면의 부호는 (-)로 같아요. cos은 x축에 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 -θ가 되어도 cos의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 tan는 x축 대칭이 아니기 때문에 θ가 -θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ

2nπ - θ의 삼각함수

위에서 했던 2nπ + θ(n은 정수)와 -θ의 삼각함수 이 두 가지를 합쳐보면 2nπ - θ의 삼각함수를 구할 수 있어요. 2nπ - θ는 -θ와 동경의 위치가 같아요. 따라서 삼각함수 값도 같지요.

sin(2nπ - θ) = sin{2nπ + (-θ)} = sin(-θ) = -sinθ
cos(2nπ - θ) = cos{2nπ + (-θ)} = cos(-θ) = cosθ
tan(2nπ - θ) = tan{2nπ + (-θ)} = tan(-θ) = -tanθ

다음 삼각함수의 값을 구하여라.

예제에 있는 각이 2π보다 크니까 일단 일반각으로 나타내야겠네요.

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삼각함수 사이의 관계

삼각함수의 정의에 대해서 알아봤는데요, 이번에는 삼각함수 사이의 관계에 대해서 알아보죠.

삼각함수는 sin, cos, tan 세 가지가 있고, 이들 사이에는 재미있는(?) 관계가 있어요. 삼각함수 사이의 관계를 그림과 식을 통해서 유도해보고, 그 결과를 이용해서 문제를 풀어볼 거예요.

삼각함수 사이의 관계를 유도과정은 별로 어렵지 않으니까 금방 이해할 수 있어요. 관계가 2가지 나오는데 문제에 자주 나오니까 꼭 외워두세요.

삼각함수 사이의 관계

삼각함수의 정의를 공부할 때 사용했던 그림이에요.

이 그림에서 삼각함수 세 가지를 구할 수 있었죠?

• sinθ =
• cosθ =
• tanθ =

sinθ를 cosθ로 나눠보죠.

위 그림에서 와 점 P에서 x축에 내린 점선, x축의 세 변으로 이루어진 삼각형은 직각삼각형이에요. 피타고라스의 정리의 정리에 의해 x² + y² = r²이 돼요. 이 성질을 이용해서 이번에는 sinθ와 cosθ를 제곱해서 더해보죠.

(sinθ)², (cosθ)², (tanθ)²를 sin²θ, cos²θ, tan²θ라고 써요. 따라서 위 내용을 간단히 정리하면 sin²θ + cos²θ = 1이라고 할 수 있죠.

삼각함수 사이의 관계

sin²θ + cos²θ = 1

θ가 제 2 사분면 위의 각이고 sinθ = 일 때, cosθ와 tanθ를 구하여라.

θ가 제 2 사분면 위의 각이니까 올 - 싸 - 탄 - 코에 의해서 sinθ만 양수이고, cosθ와 tanθ는 음수에요.

위 삼각함수 사이의 관계 두 번째를 이용해서 cosθ를 먼저 구해보죠.

sinθ와 cosθ를 알았으니 삼각함수 사이의 관계 첫 번째를 이용해서 tanθ를 구할 수 있어요.

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삼각함수의 각의 변환

삼각함수라는 새로운 함수를 공부할 거예요. 삼각함수는 쉽게 말해서 삼각비 + 호도법 + 함수예요. 삼각비에서 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 각에 대한 일정한 관계가 있었죠? 이 일정한 관계를 함수로 나타낸 것이 삼각함수예요. 삼각비에서는 직각삼각형에서 세 변의 길이의 비를 이용했다면 삼각함수에서는 좌표평면 위의 좌표를 이용하는 차이가 있어요. 또 삼각비에서는 육십분법으로 나타낸 각을 이용했다면 삼각함수에서는 호도법으로 나타낸 각을 이용하죠.

그러니까 삼각함수를 잘하려면 삼각비와 호도법에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요.

삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의

xy좌표평면에 반지름의 길이가 r인 원을 그리고 원 위의 임의의 점을 P라고 해보죠. x축 양의 방향을 시초선으로 하고 동경 가 이루는 각을 θ라고 할 때, ,  , ,는 θ의 크기에 따라 한 가지로 정해져요.

r ≠ 0일 때, θ → , θ → , θ → 는 각각 θ에 대한 함수가 돼요. 이 함수를 차례로 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하고 기호로 sinθ = , cosθ = , tanθ = 로 나타냅니다. 그리고 이 세 가지를 묶어서 삼각함수라고 해요.

마치 삼각비, sin, cos, tan에서 빗변과 밑변, 높이 사이의 비를 구했던 것처럼 말이죠. 반지름 r을 빗변의 길이, x를 밑변의 길이, y를 높이라고 생각하면 쉬워요. 대신 삼각비에서는 길이의 비여서 사용하는 숫자가 모두 양수였지만 삼각함수에서는 좌표를 이용하므로 음수도 사용한다는 차이가 있어요.

• sinθ =
• cosθ =
• tanθ =

좌표평면 위에서 원점 O와 점 P(-3, -4)를 이은 선분 OP를 동경으로 하는 각을 θ라고 할 때 sinθ, cosθ, tanθ를 구하여라.

= 5네요.

sinθ =
cosθ =
tanθ =

삼각함수 값의 부호

삼각함수 값의 부호는 θ가 나타내는 동경의 위치에 따라 달라져요. θ가 몇 사분면 위의 각인지에 따라 부호가 달라지죠. 이때, r은 반지름이니까 무조건 양수예요. 따라서 삼각함수의 부호에 영향을 주는 요소는 좌표평면에서 x, y의 부호입니다.

삼각함수 값의 부호

	제 1 사분면	제 2 사분면	제 3 사분면	제 4 사분면
x, y 부호	x > 0, y > 0	x < 0, y > 0	x < 0, y < 0	x > 0, y < 0
sinθ =	+	+	-	-
cosθ =	+	-	-	+
tanθ =	+	-	+	-

제 1 사분면에서는 세 가지 모두 양수, 제 2 사분면에서는 sinθ만 양수, 제 3 사분면에서는 tanθ만 양수, 제 4 사분면에서는 cosθ만 양수네요. 1, 2, 3, 4 사분면 순서대로 양수인 것들만 뽑아서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos)라고 외워요.

각 함수별로 보면 양수가 되는 사분면이 2개, 음수인 사분면이 2개씩 있어요. 사인함수는 제 1, 2, 사분면이 양수이고, 코사인함수는 제 1, 4 사분면이 양수, 탄젠트함수는 제 1, 3 사분면이 양수예요.

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애드센스의 수익금 지급에 대한 내용이 업데이트 되었네요. 메일이 왔을 때는 대충보고 넘어갔는데 실제로 접속해서 보니까 달라진 게 눈에 확 띄네요.

새로워진 지급 관련 기능

정확히 말하면 지급관련 내용을 보여주는 페이지에 몇 가지 관리 기능이 추가되고 용어와 인터페이스가 바뀌었습니다. 지급 방식이 바뀌지는 않았어요. 전자송금이 추가되었으면 했는데 그런 건 없어요.

지급 방식을 조금 더 쉽게 바꿀 수 있게 되었는데 수표 or 웨스트 유니언 두 개뿐이라 별로 쓸 일은 없을 것 같네요.

그보다는 용어가 조금 더 쉽게 바뀌었고 표의 셀에 배경색이 있어서 조금 더 보기가 좋아졌어요. 그리고 항목을 선택할 수 있는 옵션도 생겼고요. 이 역시 별로 사용할 일은 별로 없을 것 같아요.

새로운 기능

'지급' 및 '지급 설정' 페이지가 다음과 같이 변경되었습니다.

• '지급 요약'은 이제부터 '거래 내역'이라고 합니다.
• '지급 방법'은 이제부터 '지급 방식'이라고 합니다.
• '미지급 최종 수입'은 이제부터 '현재 잔액'이라고 합니다.
• 새로운 거래 내역표의 상단에는 최신 활동이 표시됩니다.
• 새 툴바 지원을 사용하면 거래 정보를 필터링, 인쇄, 내보내기 또는 다운로드할 수 있습니다.

더욱 유연해진 지급 설정 관리:

• 새로 연장된 일정에 따라 매월 20일까지 지급 정보를 변경할 수 있습니다.
• 보고 통화에 따라 기본 지급 기준액보다 큰 지급 기준액을 선택할 수 있습니다.
• 또한, 지정된 날짜까지 지급을 보류할 수도 있습니다.

지급 인터페이스의 향상된 탐색 기능:

• '지급 설정' 및 '수취인 프로필'을 한 곳에서 통합 관리할 수 있습니다.
• 탐색하는 페이지에 따라 그에 맞는 문맥 도움말이 표시됩니다.

새로 바뀐 이후의 지급 내용에만 적용되고 그 전에 지급된 내용에는 적용되지 않아요.

기능의 추가보다는 보고서가 보기 좋게 바뀌었다는 점에 만족해야 할 것 같아요.

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블로그에 댓글이 달리면 왠만하면 답글을 달자는 주의예요. 그래서 매일매일 확인하고 답글을 달아주는데, 관리자 페이지의 댓글에서 확인을 해봤는데 제가 답글을 남기지 않은 댓글이 엄청 많은 거예요. 하루만에 이렇게 많은 댓글이 달릴 리가 없어서 자세히 보니 분명 답글을 달아줬던 댓글들이었죠.

제가 남긴 답글들이 사라진 게 이상해서 휴지통을 열어봤더니 모두 휴지통에 가 있더라고요. 이유는 모르지만 일단 전부다 복구 시켰어요. 그리고 나서 댓글들을 천천히 읽어봤는데, 제가 쓰지 않은 댓글이 제 이름인 "수학방"으로 되어 있더라고요. 누군가가 제 이름을 도용(?)한 거였죠. 댓글 내용은 별 의미없는 ㅋㅋㅋ, zzz 등의 댓글이었고요.

어제 그런 장난 댓글이 달려서 삭제, 스팸차단을 했는데, 이 댓글을 차단하면서 IP뿐 아니라 작성자 차단을 했는데, 이 사람이 댓글을 달 때 "수학방"이라는 이름을 이용했으니까 제가 이제까지 썼던 모든 댓글이 함께 삭제된 거죠.

앞으로는 차단, 삭제를 할 때 꼭 확인해야 겠어요. 어쩌면 이전에 제 블로그를 자주 방문해 주던 분까지 차단당할지도 모르잖아요.

근데, 저 사람은 굳이 제 이름까지 써가면서 별 의미없는 댓글을 다는 이유가 궁금해지네요. 한 두개도 아니고 열 개 가까이 글에 ㅋㅋㅋ, zzz, ㅁㅈㅁ 같은 댓글을 남겼거든요. 스팸이라면 돈때문이라고 하겠지만 그런 것도 아니고 이런 행동들이 재미있는가 봐요. ㅎㅎ

마지막으로 해당 블로그의 운영자 이름으로는 댓글을 남길 수 없게 어떤 장치가 있었으면 좋겠다는 생각이 들었어요. 만약에 저 사람이 장단 댓글이 아니라 다른 사람의 댓글에 욕설이나 안좋은 내용의 댓글을 남겼다면 아무것도 모르는 방문자 입장에서는 제가 그런 줄 알 수도 있으니까요.

애드센스 배치가 상당히 신경쓰이죠. 한국에서는 상단 두 개, 하단 하나를 이용하거나 상하단 한 개, 사이드바 한 개를 많이 사용하고 있어요. 하지만 광고 배치라는 게 스킨에 따라 좌우되고 또 글의 내용, 글 속의 이미지의 배치 등에 따라 다른 결과를 가져올 수 있기때문에 남들에게 효과를 본 광고 배치가 반드시 본인의 블로그에서도 좋은 결과를 가져오지는 않아요.

지금 여러가지 광고 배치를 해보고 있는데, 차이가 조금 나는 것 같네요. 앞으로 여러 실험을 해볼텐데 그 전에 애드센스 사용자가 참고하면 좋을 만한 광고 배치가가 소개된 페이지를 알려드립니다.

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heatmap 테마라고 외국에서 유료로 판매되는 테마의 홈페이지에 소개된 몇 가지 레이아웃입니다. 유료로 판매되니만큼 효과가 있다는 뜻이겠죠. 하지만 실제 히트맵 테마를 사용하는 페이지를 찾을 수 없어 heatmap 테가가 여기서 소개된 광고 배치를 사용하고 있는 지는 모르겠네요.

Layout Example

heatmap은 사람들의 시선이 어떻게 이동하는 지를 나타내는 지도로 표시한 걸 말해요. 사람들의 시선이 많이 가는 곳에 광고를 배치하면 훨씬 더 좋은 결과를 가져올 수 있겠죠?

블로그의 메인페이지와 컨텐츠 페이지에 따라, 또 사이드바의 위치에 따라서 다양한 종류의 광고 레이아웃이 소개되어 있습니다. 본인의 블로그 스킨과 비슷한 스킨을 골라서 적용해 보세요. 외국의 경우 텍스트 광고의 비중이 높기때문에 본인의 블로그에서 텍스트 광고의 수입이 높으신 분들이라면 한 번쯤 시험해봐도 괜찮을 것 같아요.

저는 오른쪽 사이드바를 사용하고 있는데, 조만간 왼쪽 사이드바로 바꿀 때 이곳의 광고 배치를 참고해봐야 겠어요.

애드센스의 배치는 클릭율에 영향을 미치니까 광고 최적화에서 가장 중요한 요소라고 할 수 있어요. 남들이 좋다는 광고 배치보다 여러 번 실험을 통해서 본인 블로그에 가장 알맞은 광고 배치를 찾아보시기 바래요.

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애드센스 스코어 카드에 나오는 크롤러 오류 때문에 신경 많이 쓰이시죠? 크롤러 오류는 애드센스 수입과 별로 관계가 없으며 실제로 티스토리 사용자들로서는 아무런 해결책이 없다는 걸 아셔야 해요. (애드센스 크롤러 오류 원인과 해결 방법)

그런데도 불구하고 빨간 화살표로 표시되는 것 때문에 막연한 불안감을 갖는 분들이 많은 것 같아요. 그래서 이 글에서는 애드센스 크롤러 오류가 나쁜 지표가 아니라 좋은 지표일 수도 있다는 얘기를 해드릴게요. 좋게 생각하면 또 좋게 보이는 거니까요.

애드센스 크롤러 오류 긍정적으로 생각해요.

애드센스에서 생기는 크롤러 오류는 대부분이 로봇이 거부되어 생기는 오류예요. robots.txt 파일에서 막아놓았기 때문이죠.

크롤러 오류를 긍정적으로 생각해 보자고요.

크롤러 오류가 발생하는 곳 중 owner, admin은 관리자와 관련된 내용이니까 무시하고요. search, tag는 사용자와 관련된 내용이에요. 즉 방문자가 내 블로그에서 검색해서 결과 페이지에 광고가 노출되었다는 얘기죠. 또는 tag 중 하나를 클릭해서 관련 글의 목록과 광고가 표시되었다는 뜻이고요.

즉 search, tag에서 크롤링 오류가 많이 발생했다는 건 방문자들이 검색도 하고 관련 글을 많이 읽는다는 뜻으로 검색과 태그 기능을 제대로 이용하고 있다는 얘기죠.

검색과 태그를 잘 이용하고 있으면 체류시간, 페이지뷰도 늘어날 것이고 이탈률도 낮아지는 장점이 있죠. 그리고 블로그의 글이 마음에 들어 다른 글도 읽어본다는 거니까 블로그의 질이 높다는 것에 대한 반증이고요.

물론 애드센스 크롤러 오류가 search와 tag 사용량을 제대로 보여주지는 못하지만 그래도 그 추이는 알아볼 수 있잖아요.

애드센스 크롤러 오류를 그냥 수입이 떨어지는 좋지 못한 신호로 받아들이기 보다는 긍정적으로 바라보면 좋겠네요.

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최근 엄청난 취업난 속에서 가장 인기있는 직종이 바로 공무원이죠. 9급 공무원도 종류가 참 많은데, 그 중에서 유망한 8가지를 선정해봤어요.

각 직종별로 근무 환경이나 승진 기회 등에 차이가 있으니 아래 내용을 잘 참고하세요. 해당 직종에 맞는 자료를 많이 얻어서 열심히 분석을 하면 합격의 길이 조금 더 빨리 열리지 않을까요? 링크를 클릭하면 조금 더 자세한 내용을 볼 수 있어요.

9급 공무원 유망직종

교정직 공무원

구치소, 교도소, 보호감호소와 보안감호소 등에서 재소자를 관리하고 그들을 교정, 교화하는데 관련된 제반 업무를 수행한다.

교정직 공무원은 교도관직무규칙상 제복을 착용하는 정복교도관으로서 2급~9급까지의 단계적인 계급체계로 이루어져 있으며, 주요 업무는 구금확보 및 질서유지를 위한 보안, 경계감호 및 출정 등 보안부서업무와 사무부서 업무인 서무, 작업, 명적, 용적, 접견 업무로 구분되고, 각종 교정프로그램의 효과적 실시, 수용자 처우와 관련한 여건 조성 등 수용 관리업무 전반에 관한 사항을 총괄적으로 관장하는 공무원으로 투철한 사명감과 봉사정신이 요구되는 공무원이다.

사회복지 공무원

사회복지분야 정책수립 집행업무, 사회복지사업 계획수립 및 집행관리, 계층별 복지증진을 위한 복지정책 추진, 사회문제 해결, 복지 상담 등

검찰사무직 공무원

검찰 사무직 공무원은 지방 검찰청이나 지청의 각 과 또는 검사실에서 근무하며, 검사가 하는 범죄수사 및 공소제기 유지 등의 검찰 사무를 보조하는 업무를 수행하며 이외에도 국가의 이해와 관련된 소송사무, 각급 배상심의회의를 운영하며 사법경찰관리로서 활동하게 됩니다.

- 검사의 명을 받은 수사에 관한 사무
- 형사기록의 작성과 보존에 관한 사무
- 국가를 당사자 또는 참가인으로 하는 소송과 행정소송의 수행자로서 지정받은 검사의 소송업무 보관 및 이에 관한 기록
- 서류의 작성과 보전에 관한 사무

교육행정직 공무원

교육행정직 공무원은 각 시도 교육청이나 국공립 초중고등학교의 행정실에서 행정업무를 담당하게 된다.

근무환경이 양호하면 승진이 빠르고 동·하계 방학기간에는 자기 시간이 많아서 수험생들에게 인기를 끌고 있다.

일반행정직 공무원

각 기관의 일선 부서에서 일반 행정, 사회, 문화, 홍보 등 민원행정 업무를 전반적으로 담당하는 공무원이다.
감사원, 외무부, 검찰청을 제외한 정무의 모든 부처, 부서에 배치되어 근무하며 연중 시험 시행횟수 4~5회로 시험 시행일이 각기 다르기 때문에 모두 응시할 수 있다는 유리한 조건이며 채용인원이 가장 많아 합격이 더 쉽다.

세무직 공무원

각종 세법에 따라 개인 또는 사업체가 내는 각종 세금의 금액을 결정하기 위하여 신고서, 판매 영수증, 세금계산서 및 기타 군관련서류를 검토하고 과세자료를 추적, 조사하고 세금을 부과 승인, 결정하는데 관련된 업무를 수행한다.

경찰공무원

경찰관으로 임용되면 본청 지방청과 경찰서나 순찰지구대에서 국민의 생명 신체 및 재사의 보호와 범죄의 예방과 진압, 수사와 통의 단속 기타 공공의 안녕과 질서 유지를 목적으로 하는 업무에 종사하게 된다.

경찰서나 지구대에서 일정 기간 근무를 하고 나면 교통경찰관이나 수사 형사 등 경과별로 근무할 기회가 주어진다. 또한, 능력에 따라 일정한 근무기한이 지나면 자동 및 시험승진을 할 길이 확실하게 보장되어 있고 신분보장이 철저하게 되는 가장 안전한 직업이라고 할 수 있다.

소방공무원

행정자치부 장관의 위임을 받아 각 시도의 주관으로 채용하고 있으며, 긴급재난의 예방활동 및 구호업무와 각 시설물에 대한 소방점검 업무를 주로 담당한다. 매년 채용인원이 점차 늘어나고 있고, 시험과목별로 출제 수준이  높지 않아 안정된 공무원직을 선택하려는 젊은이들이 많이 선호하는 직종이다.

부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요.

공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요.

부채꼴 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠.

2π : 2πr = θ : l
l = rθ

원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요?

2π : πr² = θ : S

위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요.

반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요.

이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요.

공식을 유도할 수 있겠죠?

부채꼴 호의 길이
반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r²θ = rl

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm)

S = r²θ = × 4² × π = 8π(cm²)

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지금까지는 각의 크기를 나타낼 때, 30°, 90°처럼 도(°) 단위를 사용했어요. 이를 육십분법이라고 해요. 이글에서는 라디안이라는 새로운 단위와 호도법이라는 각도를 표시하는 방법을 공부할 거예요.

앞으로 나올 삼각함수에서는 육십분법을 사용하는 것보다 호도법을 사용하는 게 훨씬 더 편리하기 때문이죠. 여기서 공부할 호도법을 모르면 삼각함수를 공부하는 게 엄청나게 어려워지니까 매우 중요한 내용이에요.

육십분법과 호도법 사이의 차이를 잘 이해하고 하나의 각도를 두 방법으로 모두 나타낼 수 있도록 연습을 많이 하세요.

호도법

호도법은 호의 길이를 이용해서 각도를 표시하는 방법이라는 뜻이에요.

반지름의 길이가 r인 원에서 호의 길이가 반지름 r과 같은 호 AB를 잡고 그 각을 a°라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각에 비례하므로 원의 둘레와 부채꼴 호의 길이를 이용해서 비례식을 세울 수 있어요.

360° : 2πr = a° : r

부채꼴 호의 중심각 a는 반지름에 상관없이 항상 일정한 값을 갖게 되는데, 이 값을 1라디안(radian, radius angle)이라고 해요.

호도법: 라디안을 단위로 하여 각도를 나타내는 방법
π라디안 = 180°
1라디안 = , 1° = 라디안

일반적으로 라디안이라는 단위를 생략하는 경우가 많아요. 180°는 180이라고 말하지 않지만 π라디안은 그냥 π라고만 말하는 거죠

주요 각의 육십분법과 호도법 표현

육십분법	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
호도법	0					π	π	2π

일반각을 호도법으로 나타내기

동경이 나타내는 한 각의 크기를 a°라고 할 때, 일반각은 360° × n + a°였어요. n은 정수고 0° ≤ a° < 360°고요.

육십분법이 아니라 호도법으로 나타내보죠. 호도법에서는 동경이 나타내는 한 각의 크기가 a°가 아니라 θ라디안이고, 위 표에 있듯이 360° = 2π니까 대입해보면 2nπ + θ가 되는거죠. 마찬가지로 n은 정수고 0 ≤ θ < 2π의 범위를 가져요.

다음 동경이 나타내는 일반각을 호도법으로 나타내어라.
(1) 600°
(2) -600°

(1) 육십분법으로 나와있는 각의 일반각을 구하고 이를 라디안 단위를 이용해서 호도법으로 바꿔야겠네요.

600° = 360° × 1 + 240°

360° = 2π로 바꾸면 되니까, 240°가 호도법으로 얼마인지 구해야겠네요.

180° : π = 240° : θ
θ = π

위 내용을 정리하면,

600° = 360° × 1 + 240°
      = 2π × 1 + π

(2) 음수긴 하지만 상관없어요.

-600° = 360° × (-1) - 240°
        = 360° × (-2) + 120°

뒷부분(a 부분)이 0°보다 크거나 같고 360°보다 작아야 하므로 -240°를 +120°로 바꾸는 과정이 필요하네요.

180° : π = 120° : θ
θ = π

정리하면,

-600° = 360° × (-2) + 120°
        = 2π × (-2) + π

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새로운 단원이에요.

이 글에서는 이제까지 우리가 알고 있던 각의 범위를 확장할 거예요. 단순히 각의 크기를 구하는 게 아니라 각의 개념을 다시 정의하고 각을 파악하는 새로운 방법에 대해서 공부할 거예요.

일반각, 시초선, 동경, 사분면 위의 각 등 몇 가지 용어들이 나오는데 그냥 이해만 하면 되고, 굳이 외울 필요는 없어요.

앞으로는 각을 볼 때, 각이 나타내는 여러 가지 의미들을 잘 파악할 수 있어야 해요.

일반각

일반적으로 각은 두 직선 사이의 벌어진 정도를 말해요. 0° ~ 360° 사이의 각으로 나타내죠.

아래 그림에서 의 위치에서 점 O를 중심으로 가 회전할 때, 회전한 정도를 각의 크기라고 하고, 시작하는 선인 를 시초선, 움직이는 선인 를 동경이라고 해요.

우리가 이제까지 봐왔던 각은 방향을 고려하지 않았어요. 하지만 동경이 회전하는 방향도 중요하게 고려해야 할 요소예요. 동경 가 시계 반대방향으로 회전하면 양의 방향으로 회전한다고 하고, 시계 방향으로 회전하면 음의 방향으로 회전한다고 해요. 동경 가 양의 방향으로 회전하여 생긴 각을 양의 각, 음의 방향으로 회전해서 생긴 각을 음의 각이라고 합니다.

방향뿐 아니라 회전횟수에 대해서도 고려해 보죠. 동경 가 어떤 위치에 있을 때 몇 번 회전해서 현재 위치에 있는 지도 중요하겠죠?

첫 번째 그림에서 한 바퀴도 돌지 않고 각을 만들었다면 각의 크기는 30°라고 할 수 있어요. 하지만 두 번째 그림처럼 한 바퀴 돌고 각을 이루었다면 360° + 30°가 되고, 두 바퀴 돌고 각을 이루었다면 720° + 30°가 되겠죠?

같은 위치에 있는 동경이라고 하더라도 회전한 방향과 회전한 수에 따라 각의 크기가 달라져요. 그래서 동경의 위치만 보고 각의 크기를 나타낼 때는 θ = 360° × n + a° (n은 정수)라고 쓰는데 이를 일반각이라고 합니다.

일반각에서 a°는 양의 최소각을 말하고 대게 0° ~ 360°의 각을 이용해요. 360° × 2 + 1000° 이렇게 나타내지 않고 360° × 4 + 280°로 나타냅니다.

일반각
θ = 360° × n + a° (n은 정수)
0° ≤ a° < 360°

다음을 양의 최소각을 이용하여 일반각으로 나타내어라.
(1) 500°
(2) -500°

일반각은 360° × n + a°로 나타내는 데, 이때 n은 정수이고 0° ≤ a° < 360°의 범위를 가져요.

(1) 500° = 360° × 1 + 140°

(2) 번은 각의 크기는 500°로 같은데 (-)로 음의 각이에요. 회전한 방향이 반대란 얘기죠. n이 음수가 되겠네요.
-500° = 360° × (-1) - 140°
        = 360° × (-2) + 220°

사분면 위의 각

좌표평면 위에서 x축의 양의 방향을 시초선으로 잡을 때 동경 가 있는 사분면의 위치에 따라 각을 제 1 사분면의 각, 제 2 사분면의 각, 제 3 사분면의 각, 제 4 사분면의 각이라고 불러요. 참고로 x, y축은 사분면에 포함되지 않아요.

위 그림에서 가 제 1 사분면에 있으니까 이 각은 제 1 사분면의 각이네요.

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무리함수의 역함수도 그냥 일반적인 함수의 역함수와 같아요. 가장 큰 차이가 있는 게 바로 정의역이죠. 다항함수는 실수 전체가 정의역이고 분수함수는 분모 ≠ 0인 x를 제외한 실수가 정의역이에요. 무리함수는 근호 안이 0 또는 양수인 x가 정의역이고요.

무리함수의 역함수는 이차함수인데, 이제까지 우리가 공부했던 이차함수는 실수 전체 집합을 정의역으로 하는 함수지만 무리함수의 역함수인 이차함수는 정의역이 실수 전체가 아니에요. 따라서 정의역을 따로 구해줘야 하고 꼭 함께 써줘야 합니다. 역함수의 정의역을 찾는 걸 놓치지 마세요.

무리함수의 역함수

무리함수, 무리함수의 그래프에서 살짝 얘기한 적이 있는데, 무리함수의 역함수에 대해서 알아보죠.

역함수를 구하는 방법은 역함수, 역함수 구하는 법에서 했던 것과 똑같아요. 식만 무리식이 된 것뿐이죠.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

무리함수  (a ≠ 0)의 역함수가 이차함수  (a ≠ 0)라는 건 구해봤으니까 이번에는  (a ≠ 0)의 역함수를 한 번 구해볼까요?

먼저 정의역을 구해야 하죠. a > 0이라면 정의역은 {x|x ≥ }이고, a < 0이면 정의역은 {x|x ≤ }가 되겠네요. 치역은 a의 부호와 상관없이 {y|y ≥ c}고요.

무리함수의 역함수가 이차함수가 되었어요. 정의역은 원래 함수의 치역과 같으므로 {x|x ≥ c}이에요.

일반적으로 이차함수의 정의역은 모든 실수인 데 비해 무리함수의 역함수인 이차함수의 정의역은 실수 전체가 아니니까 꼭 정의역을 따로 구해줘야 합니다.

무리함수 역함수의 성질

역함수를 구하는 과정에서 x, y를 바꾸는 과정이 있어요. 직선에 대하여 대칭이동(y = x, y = ax + b)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y, y 대신 x를 대입한다고 했죠? 즉, x와 y를 바꾸는 거예요. 따라서 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이동한 것과 같죠. 이건 무리함수의 그래프에서만 아니고 모든 함수의 역함수에서 공통된 성질이에요.

의 역함수를 구하여라.

근호 안이 0 또는 양수여야 하므로 x + 5 ≥ 0에서 정의역은 {x|x ≥ -5}이에요. 치역은 {y|y ≥ 1}이고요.

역함수의 정의역은 {x|x ≥ 1}입니다.

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무리함수의 뜻과 성질을 공부했으니 이제 다른 형태의 무리함수에 대해서 알아보죠. 앞서 유리함수에서도 그랬듯이 기본형을 공부하고 나서 다른 형태의 함수를 공부할 때는 기본형을 평행이동한 걸 공부해요. 따라서 기본형의 성질을 잘 알고 있어야 해요.기본형에서 다른 형태로 평행이동을 하게되면 어떤 성질이 어떻게 바뀌는 지만 잘 파악하면 돼요.

이런 진행과정은 이차함수의 평행이동은 물론이고, 원의 방정식에서도 했던 과정이에요.

여러 형태의 무리함수 중에서 모양을 바꿔야하는 경우도 있으니 이 경우도 잘 봐두세요.

무리함수

무리함수  (a ≠ 0)의 그래프

유리함수 2, 분수함수에서 의 그래프는 의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프라고 했어요.

마찬가지로  (a ≠ 0)의 그래프는 (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프예요.

무리함수의 정의역은 근호 안의 부분이 0 또는 양수가 되는 x의 범위이고 그에 따라 치역도 정해진다고 했어요. a > 0일 때, 의 정의역은 {x|x ≥ p}이고, 치역은 {y|y ≥ q}가 됩니다.

a(x - p) ≥ 0
x - p ≥ 0       (∵ 양변 ÷ a)
x ≥ p

a < 0이라면 (양변 ÷ a)에서 부등호의 방향이 바뀌겠죠? 따라서 a < 0이면 의 정의역은 {x|x ≤ p}가 되고, 치역은 {y|y ≥ q}가 돼요. a의 부호가 정의역 부등호의 방향에 영향을 줘요. 치역은 a의 부호와 상관없이 같고요.

 (a ≠ 0)의 그래프
(a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프
a > 0일 때, 정의역은 {x|x ≥ p}, 치역은 {y|y ≥ q}
a < 0일 때, 정의역은 {x|x ≤ p}, 치역은 {y|y ≥ q}

 (a ≠ 0)의 그래프

의 그래프는 꼴로 바꿔서 풀어요.

식의 모양을 바꾸니  (a ≠ 0)의 그래프)의 그래프는 (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프라는 걸 알 수 있어요.

a > 0일 때, 정의역 {x|x ≥ }이고 치역은 {y|y ≥ c}가 되겠네요. a < 0일 때, 정의역 {x|x ≤ }이고 치역은 {y|y ≥ c}가 되겠네요.

 (a ≠ 0)의 그래프
의 꼴로 변형
  (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프

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유리함수에 이어 무리함수예요. 무리함수는 유리함수보다 조금 더 쉬워요. 유리함수에서 했던 것 중에서 식만 무리함수에 맞게 바꾸면 되거든요. 기본적인 내용은 모두 같아요.

무리함수에는 x의 범위와 y의 범위를 파악하는 게 중요합니다. 이건 실수영역에서 제곱근의 정의를 잘 생각해보면 금방 알 수 있는 내용이니까 어렵게 생각하지는 마세요.

무리함수는 무리식을 이용한 함수니까 무리식에 관해서 잘 이해하고 있어야 해요. 생각나지 않는다면 한 번 읽어보세요.

무리함수

함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식이면 유리함수라고 해요. 그럼 f(x)가 x에 대한 무리식이면 뭐라고 부를까요? 바로 무리함수예요.

보통은 라고 써요.

함수는 실수 범위에서만 구해요. 근호 안이 0 또는 양수여야 합니다. ax ≥ 0이어야 하는데, a = 0이면 y = 0이 되어 무리함수가 아니죠? 따라서 별다른 언급이 없으면 무리함수 에서는 a ≠ 0이어야 하고, 근호 안이 0 또는 양수인 x의 범위를 정의역으로 해요.

다만, 이 글에서는 설명을 위해서 a > 0인 경우만 다루기로 하죠.

 (a > 0)의 역함수를 구해볼까요? ax ≥ 0이어야하는데 a > 0이니까 정의역은 x ≥ 0이네요. 치역도 y ≥ 0이죠?

어떤가요?  x ≥ 0일 때, 무리함수  (a > 0)와 이차함수  (a > 0)은 서로 역함수라는 걸 알 수 있어요. 이차함수와 무리함수의 관계에 대해서 얼추 이해가 되죠?

이번에는 a > 0이라고 할 때 와 여러 무리함수의 그래프를 그려보죠. 근호 안은 0 또는 양수가 되어야 해요.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≥ 0이므로 제 1 사분면에 그려져요.

의 그래프 a > 0, x ≤ 0, y ≥ 0이므로 제 2 사분면에 그려지고요. 의 그래프와 모양은 같은데 x의 부호가 반대니까 y축에 대하여 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≤ 0이므로 제 4 사분면에 그려지죠. 의 그래프와 모양은 같은데, y의 부호가 반대니까 x축 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≤ 0, y ≤ 0이므로 제 3 사분면에 그려져요. 의 그래프와 모양은 같은데, x, y의 부호가 반대니까 원점에 대하여 대칭이고요.

(a > 0)에서 a가 커지면 커질수록 그래프는 x축에서 멀어져요. a < 0일 때는 a가 작으면 작을수록 x축에서 멀어지기 때문에 이 둘을 합쳐 |a|가 커질수록 x축에서 멀어진다고 해요.

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