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사인법칙에 이어 코사인법칙이에요. 코사인법칙은 두 개가 있는데 이 글에서는 제1 코사인법칙에 대해서 알아볼 거예요.

제1 코사인법칙은 그리 많이 사용하는 법칙은 아니에요. 그렇다고 전혀 사용하지 않는 것도 아니고 특히 다음에 공부할 제2 코사인법칙을 유도하는 과정에서 꼭 필요하기 때문에 반드시 알아야 하는 법칙입니다.

공식의 모양이 특징을 가지고 있어서 모양만 잘 보면 금방 외울 수 있어요.

코사인법칙

사인법칙은 세 변의 길이와 세 각의 sin, 외접원의 반지름 사이의 관계였어요. 코사인법칙은 한 변의 길이와 다른 두 변, 그 대각 사이의 관계를 나타내는 식이에요.

△ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고, 그 대변을 a, b, c라고 할 때 다음의 성질이 성립해요.

△ABC의 세 각을 A, B, C라 하고 그 대변을 a, b, c라고 할 때
a = bcosC + ccosB
b = ccosA + acosC
c = acosB + bcosA

코사인법칙을 잘 보면 a를 구할 때 b와 cosC를 곱한 것에 c와 cosB를 곱한 걸 더해주는 거예요. 두 각의 크기와 그 대변의 길이를 알 때 다른 한 변의 길이를 구하는 공식이지요. 두 변의 길이와 두 각의 cos을 교차로 곱해주는 게 특징이에요.

증명해 볼까요? a = bcosC + ccosB부터 증명해보죠. C를 이용해서 증명할 거예요.

코사인법칙 증명 - 예각일 때

첫 번째 c가 예각일 때에요.

A에서 에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

a =  + 에요.

cosB와 cosC를 이용해서 와 의 길이를 구해보죠.

△ABH에서

△ACH에서

결국 a =  +  = bcosC + ccosB라는 걸 알 수 있어요.

코사인법칙 증명 - 직각일 때

이번에는 C가 직각일 때에요.

C가 직각이면 따로 보조선을 그을 필요가 없어요.

cosC = cos90° = 0 → bcosC = 0

a = bcosC + ccosB가 성립해요.

코사인법칙 증명 - 둔각일 때

C가 둔각일 때에요.

A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

a =  - 에요.

cosB와 cosC를 이용해서 와 의 길이를 구해보죠.

△ABH에서

△ACH에서

a =  -  = ccosB + bcosC

세 경우를 통해서 C의 크기와 상관없이 a = bcosC + ccosB가 성립하는 걸 알 수 있어요. C가 아니라 A, B의 각을 바꿔가면서 같은 방법으로 증명하면 b = ccosA + acosC, c = bcosA + acosB가 성립하는 걸 확인할 수 있어요.

△ABC에서 A = 30°, B = 45°, a = 6cm일 때, b, c, C를 구하여라.

코사인법칙을 이용하려면 두 각의 크기와 그 대변의 길이를 알아야 해요. 하지만 문제에서는 한 변의 길이와 두 각의 크기를 알려줬어요. 두 각은 길이를 아는 변의 양 끝각이 아니네요.

일단 남은 한 각의 크기를 구해보죠. C = 180° - (30° + 45°) = 105°네요.

세 각의 크기를 알았어요. 원래 한 변의 길이는 알고 있으니 결국 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알게 된 거죠. 그러면 사인법칙을 이용할 수 있지요.

sin105°를 우리는 외우고 있지 않죠? 물론 삼각함수표를 사용하면 그 값을 알 수 있지만 외우고 있지는 않아요. 그렇다고 c를 구할 수 없는 건 아니에요. 이제 두 각의 크기(A, B)와 그 대변의 길이(a, b)를 알고 있으니까 코사인법칙을 이용해서 구하면 돼요.

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사인법칙은 공식이에요. 공식이니까 당연히 외워야겠죠? 그리고 사인법칙이 어떻게 유도되었는지 증명할 수 있어야 하고요.

사인법칙 증명 과정에 중학교 때 공부했던 원주각과 원에 내접하는 사각형, 외접, 외접원 등의 내용이 계속 나와요. 증명 자체는 어렵지 않지만 이미 잊어버린 내용일테니까 미리 한 번씩 읽어두세요.

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사인법칙을 외워두면 중학교 때 삼각비를 이용해서 구했던 것들을 조금 더 쉬운 방법으로 구할 수 있어요.

사인법칙, 사인법칙 증명

삼각형 세 각의 크기에 대한 사인과 대변의 길이, 외접원의 반지름 사이의 관계를 정리해놓은 걸 사인법칙이라고 해요.

아래 그림에서 △ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고 그 대변의 길이를 a, b, c라고 하죠. 외접원의 길이를 R이라고 하면 다음과 같은 관계가 성립해요.

△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

어떻게 이런 성질이 생기는지 증명해보죠. 일단 하나의 각에 대해서만 증명하면 다른 각에 대한 건 똑같은 방법으로 증명할 수 있어요.

사인 법칙 증명 - 예각일 때

∠A가 예각일 때에요.

점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는 BA'를 그었어요. 는 원의 지름이에요.

중3 때 공부했던 원주각의 성질에 의하면 한 원에서 한 호의 원주각의 크기는 같아요. 호 BC의 원주각이므로 ∠A = ∠A'가 돼요. 또, 지름의 원주각은 90°니까 ∠A'CB = 90°죠.

sinA = sinA' = →

사인 법칙 증명 - 직각일 때

∠A = 90일 때는 쉽죠.

sinA = sin90° = 1이고, ∠A = 90°이면 대변 는 원의 지름이므로 2R이에요.

사인 법칙 증명 - 둔각일 때

여기도 예각일 때와 마찬가지로 점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는 를 그어요. □ABA'C는 원에 내접해요.

원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각에 따르면 원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 합은 180°예요. A + A' = 180°이므로 A = 180° - A'

sinA = sin(180° - A') = sinA' = →

∠A가 예각, 직각, 둔각일 때 모두 이 성립해요. 같은 방법으로 ∠B, ∠C일 때도 증명할 수 있어요.

사인법칙의 사용

사인법칙은 삼각형의 세 각에서 각의 사인값과 길이의 비가 모두 같다는 거예요. 이를 이용해서 각의 크기와 변의 길이를 구할 수 있어요.

사인법칙의 사용
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때

두 번째 조건이 약간 특이하죠? 끼인각을 알려주는 게 아니라 끼인각이 아닌 각이 크기를 알려줄 때에요. 잘 보세요.

삼각비를 이용해서 일반 삼각형 변의 길이를 구할 때는 수선을 그어서 내려서 매우 복잡하게 구했잖아요. 이제부터는 그렇게 하지 않아도 삼각형 변의 길이와 각의 크기를 구할 수 있어요.

다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 3cm, b = 3cm, B = 60°일 때, A, C, c를 구하여라.

(1)번은 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬어요. C = 180° - (30° + 60°) = 90°

사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.

(2)번은 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.

A = 60° or A = 120°인데 A = 120°이면 △ABC는 삼각형이 아니죠? 따라서 A = 60°에요.

A = B = 60°이므로 C = 60°가 되겠네요.

사실 세 각의 크기가 60°로 모두 같으니까 정삼각형으로 c = 3cm라는 걸 알 수 있어요. 위의 과정을 굳이 해볼 필요는 없겠네요.

A = 60°, C = 60°, c = 3cm

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원래 부등식은 방정식의 확장판이라고 생각하면 쉬워요. 따라서 삼각부등식을 풀 때는 삼각방정식을 풀 때와 같은 방법으로 푼다는 것만 잘 기억하고 있으면 돼요. 거꾸로 말해서 삼각부등식을 풀려면 삼각방정식을 풀 줄 알아야 한다는 얘기지요.

삼각부등식은 삼각함수 + 부등식이에요. 삼각부등식 문제를 풀 때는 그래프를 꼭 그려야 하는데, 이때 부등식의 영역을 응용하면 문제를 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

되게 복잡하고 어려울 것 같지만, 막상 풀어보면 그렇게 어려운 문제들은 나오지 않으니까 너무 걱정하지는 마세요.

삼각부등식

삼각방정식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 방정식이에요. 그럼 삼각부등식은 뭘까요? 삼각부등식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 부등식이지요.

이차방정식을 푸는 방법이나 이차부등식을 푸는 방법이나 별 차이가 없었죠? 인수분해해서 해를 구했잖아요. 이차방정식의 해는 x = α or x = β처럼 등호를 사용한다면 이차부등식은 α < x < β처럼 부등호를 사용한다는 차이뿐이었어요.

삼각부등식을 푸는 과정도 삼각방정식을 푸는 과정과 별로 차이가 없어요. 삼각방정식을 풀 때 사용했던 방법들을 그대로 사용합니다. 삼각부등식도 해가 무수히 많이 생길 수 있기 때문에 한 번의 주기(0 ≤ x < 2π)로 범위를 제한하고요.

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

여러 방법으로 삼각부등식을 풀어보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그린 다음 보다 y = sinx가 위에 있는 구간을 찾으면 돼요.

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점 , 에서 만나고 x가 이 둘 사이의 범위에 있을 때 y = sinx의 그래프가 더 위에 있어요. 따라서 의 해는  < x < 에요.

단위원을 이용하는 방법

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 두 개 있는데 이 두 동경 사이의 각이 바로 삼각부등식의 해에요.

점 P와 점 Q에서 만나네요. P일 때는 , Q일 때는 에요. 동경 사이의 각이 해가 되는데 둘 사이의 각이 두 종류가 있어요. 하나는 P에서 Q로 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각들이고요. 다른 하나는 Q에서 P까지 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각이에요.

어떤 부분이 해가 될지 모를 때에는 부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0에서 사용했던 방법을 이용하세요. 임의의 각을 하나 대입해보는 거죠. 를 대입해보면  = 1 > 로 문제의 부등식을 만족해요. 따라서 가 들어있는 P에서 Q까지 양의 방향의 각들이 문제의 해에요. 해는  < x < 이네요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 :  : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

두 개의 직각삼각형이 그려졌는데도 이 두 직각삼각형의 빗변 사이의 각이 해에요. 두 빗변은 단위원을 이용한 방법에서의 동경과 같은 거니까 나머지는 단위원에서 했던 방법을 그대로 사용하면 돼요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

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삼각방정식이에요. 삼각방정식은 삼각함수 + 방정식이에요. 삼각함수보다 어렵긴 하지만 그래도 이차, 삼차방정식보다는 조금 더 쉬운 단원입니다. 삼각방정식 푸는 법 자체가 어렵지도 않을뿐더러 문제도 비교적 쉽게 나오는 편이거든요.

또 풀이 방법도 여러 가지여서 가장 쉽고 편한 방법을 골라서 문제를 풀 수도 있으니 금상첨화죠. 그래프를 그릴 수 있으면 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

별로 어려운 내용은 아니니까 쭉 한 번 훑어보세요.

삼각방정식

삼각방정식은 삼각함수의 각 또는 각을 나타내는 식 중에 미지수를 포함하는 방정식을 말해요. 그냥 쉽게 삼각함수의 각에 미지수 x가 있는 방정식이라고 생각하세요.

삼각함수의 각 자리에 x가 있으니까 위와 같은 식이 삼각방정식이에요.

삼각함수는 주기함수라서 똑같은 값을 가지는 경우가 많아요. 그래서 보통은 범위를 한 번의 주기로 제한합니다. 0 ≤ x < 2π

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

삼각방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있는데 하나씩 알아보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그리면 그 교점의 x좌표가 해에요.

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점에서 만나요. 해가 두 개라는 걸 알 수 있어요.

교점의 x좌표는 , 에요. 따라서 의 해는 x =  또는 x = 에요.

단위원을 이용하는 방법

삼각함수 그래프 그리는 법에서 단위원 위에서 동경의 위치를 바꿔가면서 그래프를 그렸었죠? 그걸 이용하는 거예요.

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 바로 삼각방정식의 해에요.

점 P와 점 Q에서 만나네요. 이때 동경 가 나타내는 크기가 삼각방정식의 해니까 x =  또는 x = 에요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 :  : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

삼각형을 그렸더니 우리가 외우고 있던 직각삼각형이 됐죠? 제 1 사분면의 x는 ∠POH로 육십분법으로 하면 30°, 호도법으로 하면 에요. 제 2 사분면의 x는 ∠HOQ = π - ∠QOH' = π -  = 에요.

따라서 x =  또는 x = 이네요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

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이차함수를 공부할 때 이차함수의 최댓값과 최솟값 공부했던 것 기억하나요? 삼각함수도 함수니까 최댓값과 최솟값을 구할 수 있겠죠? 지금부터 바로 삼각함수의 최대, 최소를 구해볼 거예요. 단순히 삼각함수의 최대, 최소가 아니라 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값을 구할 겁니다.

삼각함수의 최댓값과 최솟값은 삼각함수 + 이차함수의 최댓값과 최솟값이에요. 그다지 어려운 내용은 아니에요.

삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법과 주의할 점에 대해서 알아보죠.

삼각함수를 포함한 식의 최대, 최소

그냥 삼각함수의 최대, 최소는 치역을 구하면 되겠죠? 삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소에 나오는 내용을 이용하면 돼요. 하지만 그냥 삼각함수가 아니라 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법은 달라요.

삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 때는 아래의 순서대로 합니다.

1. 주어진 식을 하나의 삼각함수만 포함된 식으로 바꾼다.
2. 삼각함수를 t로 치환한다.
3. 삼각함수의 범위에 맞게 t의 범위를 구한다.

삼각함수를 포함한 식에 sin, cos이 하나만 있으면 바로 2번째 단계로 넘어가도 돼요. 그런데 sin과 cos이 섞여 있다면 sin만 있는 식으로 바꾸거나 cos만 있는 식으로 바꿔서 해야 해요. x, y가 섞여 있는 식보다는 x만 있는 식이나 y만 있는 식이 편한 것처럼요.

이때, 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sin²θ + cos²θ = 1이라는 관계를 이용하세요.
sin²x = 1 - cos²x
cos²x = 1 - sin²x

식을 하나의 삼각함수만 포함된 식으로 바꾼 후에는 삼각함수를 다른 문자로 치환하세요.
sinx → t
cosx → t
tanx → t

삼각함수를 t로 치환하면 t에 대한 일차함수 또는 t에 대한 이차함수가 돼요. 일차함수의 최댓값, 최솟값, 이차함수의 최댓값과 최솟값은 구할 수 있잖아요. 그 방법을 그대로 이용하면 돼요.

삼각함수를 t로 치환할 때 주의해야 할 게 있어요.

x의 범위가 주어져 있지 않다면 -1 ≤ sinx ≤ 1이므로 sinx를 t로 치환하면 -1 ≤ t ≤에요. cosx도 마찬가지고요. tanx의 치역은 실수 전체의 집합이니까 tanx를 t로 치환하면 t의 범위도 실수 전체의 집합이 되겠지요.

x의 범위가 주어졌을 때 sinx, cosx, tanx의 범위가 달라질 수도 있는데, 이때도 마찬가지로 삼각함수의 범위에 맞게 t의 범위를 구해야 해요. 예를 들어 0 ≤ x ≤ π일 때는 0 ≤ sinx ≤ 1이므로 sinx를 치환한 t의 범위도 0 ≤ t ≤ 1이 되지요.

다음을 구하여라.
(1) y = cos²x - 2cosx + 3의 최댓값과 최솟값
(2) y = 2cos²x - 8sinx - 1의 최댓값과 최솟값 (0 ≤ x ≤ π)

(1) cosx = t로 치환해보죠. x의 범위가 주어져 있지 않기 때문에 -1 ≤ cosx ≤ 1이에요. 따라서 -1 ≤ t ≤ 1이죠.

y = cos²x - 2cosx + 3
   = t² - 2t + 3
   = (t² - 2t + 1 - 1) + 3
   = (t - 1)² + 2

이차함수의 최댓값과 최솟값에서 최대, 최소는 경곗값 또는 꼭짓점에서 생기므로 이 값들을 대입해보죠.

t = cosx = -1일 때, 6
t = cosx = 1일 때, 2

최댓값은 6, 최솟값은 2네요.

(2) y = 2cos²x - 8sinx - 1에는 sinx와 cosx 두 종류의 삼각함수가 들어있어요. 따라서 한 종류의 삼각함수만 있도록 식을 바꿔야 해요.

y = 2cos²x - 8sinx - 1
   = 2(1 - sin²x) - 8sinx - 1
   = -2sin²x - 8sinx + 1

한 종류만 있게 바꾼 후에는 t로 치환해야 해요.

y = -2sin²x - 8sinx + 1
   = -2t² - 8t + 1
   = -2(t² + 4t) + 1
   = -2(t² + 4t + 4 - 4) + 1
   = -2(t + 2)² + 9

t의 범위도 구해야 하는데요. x의 범위가 0 ≤ x ≤ π이기 때문에 0 ≤ sinx ≤ 1이고, 0 ≤ t ≤ 1 이에요. 근데 꼭짓점이 이 범위에 있지 않네요. 주의하세요.

t = sinx = 0일 때, 1
t = sinx = 1일 때, -9

최댓값은 1, 최솟값은 -9네요.

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포터블 프로그램을 사용하는 가장 큰 목적은 바로 이동성이죠. USB나 외장 하드에 넣어 다니다가 아무 컴퓨터에서나 사용할 수 있으니까요. 단순히 프로그램을 사용하는 것을 넘어 평상시에 본인이 사용하던 설정을 그대로 이용할 수 있는 점도 가장 좋은 점이라고 할 수 있어요.

저는 포터블 프로그램을 다른 이유에서 사용하는데요. 바로 파일 관리가 쉽기 때문이에요. 대부분 포터블 프로그램은 파일을 한 폴더에 몰아놓고 사용하는 경우가 많은데 이렇게 하면 파일이 여기저기 흩어져있지 않아서 관리하기가 편해요.

utorrent도 그런 이유로 포터블 버전을 사용하고 있어요.

utorrent 포터블/무설치로 사용하기

utorrent 홈페이지에서 utorrent를 내려받으세요. 특이하게 이 파일은 설치파일이면서 실행파일이에요. 설정을 저장하는 파일 settings.dat가 있으면 그냥 실행되고 이 파일이 없으면 설치 과정을 거칩니다. 따라서 settings.dat 파일을 미리 만들어주면 설치없이 포터블로 사용할 수 있어요.

메모장을 열어 아무 내용도 입력하지 않고 그냥 settings.dat라는 파일을 만들어서 utorrent.exe 파일과 같은 경로에 저장합니다. 파일 형식을 "모든 파일"로 바꿔서 저장해야 합니다.

이렇게 하면 포터블 버전으로 사용할 준비가 끝났습니다. 추가로 파일들을 관리해야 할 필요가 있는데요.

utorrent를 실행시켜서 메뉴의 옵션 - 설정을 선택하세요.

디렉터리에서 토렌트 파일의 위치를 정해줄 겁니다. utorrent는 시드 파일을 저장하는데 이 파일의 위치를 기본 경로로 하지 않고 특정한 경로로 바꾸는 작업이에요.

토렌트 파일의 저장위치는 ".\torrent", 완료된 작업의 토렌트 파일 이동 위치는 ".\download"라고 입력하세요. 점(.)을 빠뜨리면 안됩니다. ".\"이 utorrent가 설치된 폴더를 뜻해요. utorrent 설치 폴더에 torrent, download라는 두 개의 폴더가 생기고 거기에 시드 파일을 저장하게 됩니다.

대게 포터블 프로그램을 업데이트할 때는 약간 복잡한 과정을 거쳐야 합니다. 설치파일의 압축을 풀어야 할 때도 있고, 파일을 원래 경로에 맞게 잘 분산도 시켜야 하고요. 하지만 utorrent는 매우 간단해요. utorrent를 업데이트 할 때는 별다른 업데이트 과정 없이 그냥 utorrent.exe파일만 받아서 덮어쓰기만 하면 돼요.

settings.dat를 만들고 설정을 바꾸는 것만으로 포터블 프로그램을 변신시킬 수 있고 관리나 업데이트가 더 쉬워지니까 utorrent를 사용하시는 분이라면 이 방법을 이용해보세요.

삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.

그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x - p)² + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.

먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.

삼각함수 그래프의 이동

y = sinx 그래프의 이동

y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.

그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요.

y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요.

만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, -에요.

sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요.

이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠.

이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠.

y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠.

그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요.

x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다.

y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교

	y = sinx	y = sin(bx)
주기	2π
최댓값	1	1
최솟값	-1	-1

이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠.

이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)²을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)²은 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠.

그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요?

y = sin(x + c)
y = sin{x - (-c)}

x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요.

y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q의 그래프를 생각해보세요.

같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요.

위 내용을 한 번에 정리해보죠.

y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠.

y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교

	y = sinx	y = asin(bx + c) + d
주기	2π
최댓값	1	|a| + d
최솟값	-1	-|a| + d

a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다.

y = cosx 그래프의 이동

y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요.

y = tanx의 그래프의 이동

하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다.

y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠.

a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요.

b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요.

c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요.

d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요.

삼각함수 그래프의 이동

	y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d	y = atan(bx + c) + d
최댓값	|a| + d	없음
최솟값	-|a| + d	없음
주기
점근선	없음.	(n은 정수)

위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요.

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지난주에 스킨을 반응형 스킨으로 바꾸면서 가장 기대했던 부분은 구글 웹로그 분석과 네이버 애널리틱스 통계를 모바일에서도 이용할 수 있다는 거였어요. 그동안에 모바일 웹에서는 통계를 사용할 수 없어서 답답한 게 있었거든요. 그냥 애드센스의 모바일 노출 수를 보고 대충 예상하는 정도였어요.

반응형 스킨에서는 이런 통계 도구를 이용할 수 있게 된 기념으로 통계 분석을 한 번 해봤어요. 이전에 예상했던 내용과 크게 다르지 않지만 조금 더 세부적으로 통계를 낼 수도 있고 몰랐던 사실까지 몇 가지가 있어요. 그리고 이런 내용을 바탕으로 스킨의 일부 구조를 바꿀 필요가 있다는 것도 깨달았고요.

잘 모르는 상태에서 예상만으로 운영하는 것과 정확한 통계를 바탕으로 해서 콘텐츠의 구조, 상태를 수정하는 건 차이가 있네요.

모바일 유입, 수입 분석

일주일 동안 유입 경로를 봤는데, 모바일이 70%, PC가 30% 정도 되네요. 애드센스의 노출 수로 예상했을 때는 75 : 25 정도일 거라고 생각했었거든요. 별 차이가 없긴 하지만 그래도 모바일의 비중이 엄청나게 높네요. 모바일 환경에 대응하기 위해서(?) 반응형 스킨으로 바꾸길 잘했다는 생각이 들어요.

위는 네이버 애널리틱스, 아래는 구글 웹분석로그의 통계입니다.

운영체제별 통계입니다.

네이버 애널리틱스는 PC와 모바일 기기의 운영체제를 한꺼번에 나타내고 있고, 구글 웹로그 분석은 모바일 운영체제만 따로 표시한 겁니다. 안드로이드가 절대다수네요.

구글 웹로그 분석에서는 기기별 통계도 확인할 수 있어요. 아이폰은 버전에 상관없이 하나로 보여주는데 갤럭시는 버전뿐 아니라 통신사까지도 구분해서 보여주는군요.

유입은 모바일과 데스크톱이 70 : 30이지만 수입은 반대로 30 : 70 정도 돼요. 모바일에서의 클릭률은 별로 높지 않고 단가도 PC보다 많이 낮으니까요.

모바일 수입만 놓고 보면 유입수에 대비해서 아이폰에서의 수입이 많았습니다. RPM이 웬만한 데스크톱 광고만큼의 수입이죠. 아이폰이 화면이 작아서 광고가 차지하는 비중이 상대적으로 더 높아 클릭이 많이 발생하는 게 아닌가 싶어요.

태블릿의 RPM이 데스크톱보다 더 높게 나오는 것도 같은 이유일 거예요. 태블릿이 화면은 더 작은데 광고는 데스크톱과 같은 광고나 나오니까 화면에서 광고가 차지하는 영역이 더 넓어지고 더 많은 관심을 끌게 되지요.

반응형 스킨으로 바꾼 후에 이렇게 모바일과 태블릿에서의 통계를 확인할 수 있고 또 PC의 통계와 비교하는 재미가 쏠쏠하네요. 유입이 많은 기기에 맞게 콘텐츠와 광고의 배치를 조금 더 신경 써야겠다는 생각도 들고요. 그리고 그냥 대충 예상만 했던 모바일의 유입 정도를 직접 확인했다는 것도 큰 수확이고요.

쓰면 쓸수록 반응형 스킨으로 바꾸길 잘했다는 생각이 들어요.

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애드센스에 새로운 광고 단위가 생겼어요. "맞춤 광고 크기"라는 광고 단위인데 아직 베타라 사용을 권하지는 않고요. 기존에 있던 반응형 광고 단위에 새로운 방식의 코드가 추가되었는데 그걸 소개하려고 합니다.

이전의 반응형 광고 단위는 미디어쿼리를 이용해서 원래 있던 애드센스 광고 단위의 크기에 정확하게 맞도록 수동으로 직접 입력해야했었잖아요. 광고의 크기가 맞지 않으면 광고가 제대로 보이지 않았습니다. 이번에 새로 나온 광고 코드는 크기를 수정할 필요없이 그냥 두면 알아서 스스로 화면에 알맞은 광고를 보여줍니다.

잠깐 시험삼아 스킨에 넣어봤는데 괜찮을 것 같기도 하면서 문제도 있는 것 같아요.

애드센스 반응형 광고 단위 새로운 코드

원래 있던 반응형 광고의 코드예요.

빨간색으로 된 것처럼 광고 크기를 정확히 입력해줘야해서 사용하기가 불편했어요. 물론 처음에 한 번만 하면 되는 거지만 여러 기기의 화면에 맞게 min-width를 조정하는게 쉬운 게 아니거든요.

새로 나온 광고 코드는 "스마트 크기 조정(권장)'이라고 이름이 붙여져 있네요. 도움말의 설명에 따르면 화면 크기에 맞춰 광고 크기를 자동으로 조정해서 보여준다는 건데요.

예를 들어 너비가 30%인 <div>가 있고 광고 코드를 이 <div> 안에 삽입한 경우, 사용자 화면의 너비에 따라 애드센스 광고 크기가 자동으로 조정되어 게재됩니다. 너비가 1,024픽셀인 태블릿에서 표시되는 페이지에는 크기가 307x₂50인 광고가 게재되며, 너비가 1,680픽셀인 21인치 데스크톱 PC의 경우 크기가 504x60인 광고가 게재됩니다.

시험삼아 잠깐 넣어봤는데 이제까지 봤던 애드센스 광고 단위가 크기가 조금 다르더군요. 300x250, 336x280 처럼 고정되어 있는 게 아니라 화면 크기에 따라 조금 더 크거나 작은 광고가 나오네요.

data-ad-format="auto"라고 되어 있어 있는 곳의 설정에서 광고 단위의 크기를 결정할 기준점을 정할 수 있습니다. rectangle, horizontal, vertical 중 하나를 선택해도 되고 둘 이상을 조합해서 사용해도 되고요. 예를 들어 사이드바에 광고를 넣을 때는 data-ad-format="vertical,rectangle"을 이용하면 사이드바의 가로 길이에 맞춰 160x600, 300x600과 비슷한 크기의 광고가 나오겠지요.

본문 상단에 data-ad-format="auto"로 테스틀 해봤는데, 브라우저와 버전에 따라 광고 크기가 다르게 나오네요. PC에서는 728x90, 468x60 처럼 가로로 긴 광고가 나왔습니다. 모바일에서는 300x250, 336x280 같은 광고가 나오고요. vertical로 바꿔봤지만 320x100보다 큰 광고가 나왔습니다. 모바일 상단에서 사용하기에는 정책위반의 가능성이 있어 보이네요.

이 광고는 본문 안에 넣는 광고에 적합할 것 같습니다. 본문 안에 728x90을 넣는 경우가 있던데 모바일에서 보면 광고가 짤리니까 정책위반의 가능성이 있어요. 따라서 본문 안에 새로 나온 반응형 광고 코드를 넣는 게 정책 위반 가능성도 줄이면서 수입을 올릴 수 있는 기회가 될 것 같아요.

또, 본문의 가로 길이가 600px인 경우에는 468x60을 넣는 것보다는 새로운 반응형 광고 코드를 넣으면 550x60 이런 광고가 나올수도 있고요.

다만, 원래 있던 반응형 광고 코드에 비해 적용이 간단하긴 하지만 브라우저와 버전, 기기에 따른 광고 크기를 예측할 수 없다는 단점이 있으니까 주의해서 꼭 맞는 곳에 사용하세요.

그리고 며칠 전부터 새로운 애드센스 텍스트 광고 형식도 보이네요. 아마 테스트 중인가봐요.

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삼각함수 그래프 세 번째 tan의 그래프예요. tan의 그래프는 앞서 했던 sin, cos의 그래프와 많이 다릅니다. 그래서 주의해서 봐야 해요. 다른 함수의 그래프와 헷갈릴 일은 없으니까 어쩌면 다행이기도 하죠.

tan의 그래프를 그릴 때 조금 어렵다면 삼각함수의 사촌 격인 삼각비의 tan를 생각하세요. 그때 공부했던 내용을 참고하면 tan 그래프를 그리고 이해하는 데 도움이 많이 될 거예요.

각 그래프의 특징을 보고 실제로 그래프를 종이에 예쁘게 그리는 연습을 하세요. 종이에 여러 번 그리는 게 그래프의 특징을 좀 더 빨리 파악하고 외우는 데 많은 도움이 됩니다.

삼각함수의 그래프 - tan 그래프

[중등수학/중3 수학] - 예각의 삼각비, 0°와 90°의 삼각비 구했던 거 기억나죠? 그것과 비슷해요. 삼각비와 삼각함수는 한 끗 차이니까요.

좌표평면 위의 단위원과 동경 가 만나는 점을 점 P(x, y)라고 하고 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 해보죠. 의 연장선과 x = 1이 만나는 점을 P'(x', y')이라고 하고요. 그리고 이때 동경 가 나타내는 각을 θ라고 해보죠.

△OPH ∽ △OP'H'이므로  (∵ x' = 1)

tanθ는 동경 의 연장선과 x = 1의 교점 P'의 y좌표, 높이라는 걸 알 수 있어요. 이를 이용해서 tanθ의 그래프를 그려보죠.

θ = 0일 때 P'의 y좌표는 0이므로 tanθ = 0이에요.

θ가 1사분면의 각일 때 θ가 커지면 높이도 커지므로 tanθ도 커져요.

θ = 90° = 이면 직각이라서 그 값을 알 수가 없어요. [중등수학/중3 수학] - 0°와 90°의 삼각비에서 tan90°는 그 값을 정할 수 없다고 했잖아요.

θ가 2사분면의 각일 때 x = 1과 교점이 아니라 x = -1과의 교점의 높이로 구해야겠죠?
  (∵ x' = -1)

그래서 tanθ의 부호가 (-)예요. θ가 커지면 높이가 줄어들지만, 부호가 (-)이므로 tanθ는 커져요.

θ = 180° = π이면 높이 = 0이므로 tanθ = 0이지요.

θ가 3사분면의 각이면 θ가 커질수록 tanθ도 커져요. 이때 x' = -1, y' < 0이므로 tanθ > 0이지요.

θ = 270° = 이면 역시 tanθ는 값을 정할 수 없어요.

θ가 4사분면의 각이면 x' = 1로 tanθ = y' < 0이므로 θ가 커질수록 높이는 작아지지만 tanθ는 커져요.

θ가 360° = 2π보다 커지면 위와 같은 내용이 반복돼요. 주기를 2π라고 생각할 수 있어요. 그런데 이 내용을 잘 보면 1사분면의 각일 때와 3사분면의 각일 때, 2 사분면의 각일 때와 4사분면의 각일 때의 변화가 같아요. 즉 주기가 π라는 걸 알 수 있죠. 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 tan(π + θ) = tanθ였어요.

tan 그래프의 가장 큰 특징은 sin 그래프, cos 그래프와 달리 물결 모양이 아니라는 거예요. 그리고 모든 영역에서 값이 커져요. 전부 다 오른쪽 위로 향하고 있어요.

그리고 , …… 처럼 nπ + (n은 정수)일 때, 값을 정할 수 없다는 거죠. 그래서 정의역은 nπ + (n은 정수)가 아닌 모든 실수고 치역은 모든 실수예요.

tan(-x) = -tanx이므로 원점에 대하여 대칭이에요.

nπ + (n은 정수)일 때 값을 정할 수는 없지만, 그때의 값에 계속 가까워지고 있어요. 무리함수의 그래프에서 점점 가까워지는 선을 점근선이라고 했죠? x = nπ + (n은 정수)가 바로 점근선이에요.

y = tanx 그래프의 특징
정의역 = {x|x ≠ nπ + (n은 정수)인 모든 실수}, 치역은 실수 전체의 집합
원점에 대하여 대칭
주기는 π
점근선은 x = nπ + (n은 정수)

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삼각함수의 그래프 두 번째 cos의 그래프에요. 이 글에서는 cos의 그래프를 그리는 방법과 정의역, 치역, 주기, 대칭 같은 특징에 대해서 알아볼 거예요.

삼각함수 각의 변환에서 sin과 cos은 서로 바뀌기도 했었죠. 그만큼 이 둘은 관계가 깊어요. cos의 그래프도 앞서 했던 삼각함수 sin 그래프와 거의 비슷해요. 그래프를 그리는 방법도 그래프의 모양과 성질까지 아주 비슷하죠. 그래서 헷갈릴 수 있어요. 반대로 조금의 차이만 제대로 기억하면 아주 쉽다는 뜻이에요. 마지막에 sin 그래프와 cos 그래프의 차이를 비교하는 내용이 있으니까 잘 봐두세요.

삼각함수의 그래프 - cos 그래프

cos 그래프를 그릴 때도 좌표평면 위의 단위원을 이용하는데요.

θ를 나타내는 동경 와 단위원이 만나는 점을 P(x, y)라고 하고 cosθ를 구해보죠.

즉 θ가 커지고 점 P가 움직일 때 cosθ는 x좌표의 값과 같아요.

이걸 이용해서 y = cosθ의 그래프를 그려보죠.

sin 그래프 그릴 때는 단위원이 있는 좌표평면을 그대로 이용했다면 여기서는 왼쪽으로 90° 돌려서 보면 편해요. x의 값이 중요하니까 왼쪽으로 돌리면 마치 x를 높이처럼 사용할 수 있거든요. 아래 왼쪽 그림에서 세로 방향이 x, 가로 방향이 y에요.

왼쪽 그림에서 삼각함수 cosθ가 x 좌표(높이)와 같다고 했어요. θ가 커지면 x 좌표의 값, 즉 cosθ의 값이 어떻게 바뀌는지 살펴보죠.

θ = 0일 때, cosθ = 1이네요.

θ가 제 1 사분면 위의 각일 때, θ가 점점 커지면 cosθ는 작아져요.

θ = 90° = 일 때, 동경이 y축의 양의 방향과 일치하니까 cosθ = 0이네요.

θ가 제 2 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 cosθ는 음수가 돼서 점점 작아져요. 그러다가 θ = 180° = π가 될 때 cosθ = -1이죠.

θ가 제 3 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 cosθ는 점점 커지고, θ = 270° = 가 되면 cosθ = 0이 되네요.

θ가 제 4 사분면 위의 각일 때, θ가 더 커지면 cosθ도 커지고 θ = 360° = 2π일 때, cosθ = 1이 돼요.

θ가 360보다 더 커지면 어떻게 되나요. 그래도 동경의 위치가 같으니까 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 했던 것처럼 cosθ = cos(2nπ + θ)가 돼요. 앞서 설명한 cosθ의 변화가 반복되는 거죠.

θ의 크기가 커지는 것과 cosθ의 관계를 나타낸 게 오른쪽 그래프에요. 마치 물결모양을 길게 그려놓은 것처럼 생겼죠.

cosθ의 값을 보면 처음에 1로 시작했다가 0까지 작아지고, 다시 -1까지 작아지고, 0이 되었다가 1까지 커지는 과정을 반복해요. -1부터 1 사이의 값만 가지요. 치역이 {y| -1 ≤ y ≤ 1}이에요. 반면 θ는 계속 커지기도 하고 계속 작아질 수 있으므로 정의역은 실수 전체의 집합이에요.

삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 cos(-θ) = cosθ가 됐었어요. θ가 음수가 되어도 cosθ는 양수이므로 이런 관계는 y축에 대하여 대칭이죠. 그래프를 보면 확인할 수 있어요.

y = cosθ는 y = cos(2nπ + θ)이므로 2π가 더해질 때마다 같아져요. 따라서 cosθ는 주기가 2π인 주기함수예요.

삼각함수 cosθ의 그래프의 성질
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y| -1 ≤ y ≤ 1}
y축에 대하여 대칭
주기가 2π인 주기함수

표 마지막에 있는 "0 ~ 2π까지 값의 변화"는  순서로 값이 바뀌는 나타낸 거예요. 이걸 잘 이해하면 그래프를 그릴 수 있어요.

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삼각함수를 공부했으니까 이제 그 그래프에 대해서도 알아봐야겠죠. 삼각함수의 그래프 중에서 첫 번째로 sin 함수의 그래프에 대해서 알아보죠. sin 함수의 그래프를 그리는 방법과 sin 함수의 그래프의 특징이에요.

sin함수의 그래프를 그리는 방법과 sin 그래프의 특징은 cos의 그래프 그리는 법과 특징과 거의 같아요. 따라서 이거 하나만 잘해놓고 cos 함수의 그래프와 차이만 알아두면 편하죠. tan 그래프는 조금 다르니까 나중에 따로 하고요.

주기함수와 주기라는 새로운 용어도 나오는데 그 의미를 잘 알아두면 삼각함수의 그래프의 특징을 이해하는 데 많은 도움이 될 거예요.

삼각함수의 그래프

sin 그래프

삼각함수의 그래프를 그릴 때는 좌표평면 위에 단위원(반지름의 길이가 1인 원)을 그려서 하는 게 편해요.

θ를 나타내는 동경 와 단위원이 만나는 점을 P(x, y)라고 하고 sinθ를 구해보죠.

즉 θ가 커지고 점 P가 움직일 때 sinθ는 y좌표의 값과 같아요.

이걸 이용해서 y = sinθ의 그래프를 그려보죠.

θ와 sinθ의 관계를 함수로 나타내면 y = sinθ로 나타낼 수 있어요. 여기서 y는 좌표평면에서 사용했던 y와는 다른 y입니다. 일반적으로 함수를 나타내는 y = f(x)에서의 y에요. f(x)는 x에 관한 식이므로 여기서는 x 대신 θ를 썼으니까 y = f(θ)라고 하는 게 맞겠네요. θ에 관한 식이 sinθ이므로 이 둘을 합쳐서 y = sinθ라는 함수가 되는 거예요.

왼쪽 그림은 좌표평면 위의 x, y이고 오른쪽 그림에서 x, y는 θ와 sinθ를 함수로 표현한 x, y에요. 차이를 분명히 이해해야 해요.

왼쪽 그림에서 삼각함수 sinθ가 y 좌표(높이)와 같다고 했어요. θ가 커지면 y 좌표의 값, 즉 sinθ의 값이 어떻게 바뀌는지 살펴보죠.

θ = 0일 때, sinθ도 0이네요.

θ가 제 1 사분면 위의 각일 때, θ가 점점 커지면 sinθ도 커지고요.

θ = 90°가 되었을 때를 보죠. 라디안으로하면 에요. 동경이 y축의 양의 방향과 일치하게 되고 이때의 sinθ = 1이네요.

θ가 제 2 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 sinθ는 작아져요. 그러다가 θ = 180° = π가 될 때 sinθ = 0이죠.

θ가 제 3 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 sinθ는 음수가 되어 점점 작아지고, θ = 270° = 가 되면 sinθ = -1이 되네요.

θ가 제 4 사분면 위의 각일 때, θ가 더 커지면 sinθ가 커지고 θ = 360° = 2π일 때, sinθ = 0이 돼요.

θ가 360보다 더 커지면 어떻게 되나요. 그래도 동경의 위치가 같으니까 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 했던 것처럼 sinθ = sin(2nπ + θ)가 돼요. 앞서 설명한 sinθ의 변화가 반복되는 거죠.

θ의 크기가 커지는 것과 sinθ의 관계를 나타낸 게 오른쪽 그래프에요. 마치 물결모양을 길게 그려놓은 것처럼 생겼죠.

sinθ의 값을 보면 처음에 0으로 시작했다가 1까지 커지고, 다시 0으로 작아지고, -1까지 작아지고, 0이 되는 과정을 반복해요. -1부터 1 사이의 값만 가지요. 치역이 {y| -1 ≤ y ≤ 1}이에요. 반면 θ는 계속 커지기도 하고 계속 작아질 수 있으므로 정의역은 실수 전체의 집합이에요.

삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 sin(-θ) = -sinθ가 됐었어요. θ가 음수가 되면 sinθ도 음수가 되므로 이런 관계는 원점에 대하여 대칭이죠. 그래프를 보면 확인할 수 있어요.

주기함수

어떤 행사를 할 때, 1주기 기념식, 2주기 기념식 이렇게 이름 붙은 행사를 봤죠? 여기서 말하는 주기는 어떤 일이 일정한 간격으로 반복적으로 행해질 때 그 반복되는 기간을 말해요. 기념식은 매년 같은 날짜에 열리니까 이 경우에는 주기가 1년이 되는 거죠. 대통령 선거는 5년에 한 번씩 해요. 그럼 주기가 5년이 되는 거예요.

함수 y = f(x)에서 임의의 x에 대하여 f(x) = f(x + p)가 성립하는 0이 아닌 p가 있을 때 이 함수를 주기함수라고 하고, p를 주기라고 해요.

y = sinθ는 y = sin(2nπ + θ)이므로 2π가 더해질 때마다 같아져요. 따라서 sinθ는 주기가 2π인 주기함수예요.

삼각함수 sinθ의 그래프의 성질
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y| -1 ≤ y ≤ 1}
원점에 대하여 대칭
주기가 2π인 주기함수

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듀륏체리님께서 댓글에 tistory-spidersweb이라는 반응형 스킨이 있다는 내용을 적어주신 걸 보고 탐이 나서 몇 번 시도한 끝에 스킨을 바꿨습니다.

반응형 스킨을 사용하는 게 정말 어려울 거라고 생각했는데, 의외로 쉬웠어요. 그냥 그대로 쓰면 돼요. 안되는 건 그냥 포기하면 되니까요. 따지고 보면 굳이 필요한 게 아니거든요.  다음뷰 손가락같은 추천 위젯 넣기 어려워서 배경 그림 넣기 어려워서 반응형 스킨을 망설이던 분들에게는 바꿔보라고 적극 추천해드려요. 모바일이 대세가 된 지금에 별로 필요하지도 않은 것에 미련때문에 더 이상 미루지마세요. 그냥 가져다가 그대로 얻기만 하면 됩니다.

정 맘에 안들면 스킨 저장해뒀다가 클릭 한 번이면 바로 복구되니까 시험삼아 해보세요.

반응형 스킨

이번에 사용한 반응형 스킨은 Tistory skeleton이라는 스킨이에요. 다운로드도 받을 수 있고 사용법과 몇 가지 팁들이 다 모여 있어요.

지금까지 사용했던 스킨은 xhtml, css2로 된 스킨이라 수정을 하거나 추가하고 싶을 게 있을 때 별 어려움없이 바꿀 수 있었는데, 반응형 스킨은 css가 다르더라고요. 게다가 css 파일이 style.css와 bootstrap.css 두 군데로 나뉘어 있어서 더 복잡하고요.

반응형 스킨을 사용하되 바꾼지 얼마 안되는 현재 사용하는 스킨과 외형적으로는 똑같이 만들려고 했는데 실패했어요. 지금 사용하는 스킨은 본문의 넓이와 사이드바의 넓이, 그 간격 등을 px값으로 정확하게 지정해서 사용했는데 반응형 스킨은 그게 안되거든요. 얼추 됐다고 생각하고 테스트해보니 브라우저가 다르거나 해상도가 달라지면 레이아웃이 깨지는 문제가 있었어요.

사실은 지난 주에 계속 작업을 해도 이 문제가 해결되지 않는 바람에 그냥 포기하기로 했어요. 이거 하나 포기하니까 나머지는 술술 풀리더라고요.

본문 영역과 댓글 영역을 꾸미는 등의 내용은 기존의 것들을 복사, 붙여넣기해서 해결했습니다. class만 바꿨어요. 애드센스 광고도 화면의 가로 길이에 따라 변화하도록 반응형 광고로 새로 작성했고요. 되는 건 되게 하고 안되는 건 하지 말자라는 생각으로 하나씩 바꿔가니 지금의 모습이 되었네요.

반응형 스킨은 기존의 스킨에 비해 예쁘지 않아요. 하지만 꾸미던 것들이 사라지니 훨씬 더 깔끔해졌네요.

물론 아직도 해결하지 못한 것들이 있지요.

사이드바 왼쪽으로 옮기기
사이드바의 글 목록 앞에 bullet
사이드바 태그 목록을 가로로
하단의 페이지 영역 가운데 배치
기존에 본문에 직접 삽입했던 광고들

반응형 스킨 적용하고 가장 좋은 건 구글 웹분석도구의 통계를 모바일에서도 이용할 수 있다는 점이에요.

바꾼지 하루밖에 안되서 통계로서의 의미는 없지만 며칠 지나다 보면 쓸만한 통계가 될 거예요.

최근에 스킨과 애드센스 배치에 열중하면서 블로그에 수학 컨텐츠도 거의 올리지 못하고 있어요. 이번에 반응형 스킨으로 바꾼 다음에는 스킨에 대한 관심은 좀 꺼두고 자중해야 겠네요.

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책상에 앉아있으면 무릎이 시린 나이가 되었어요. 작년까지는 괜찮았는데. ㅠㅠ 그래서 무릎담요를 하나 샀습니다.

원래는 무한도전 무릎담요를 사려고 했는데, 재고가 없어서 판매를 하지 않더라고요. 재입고 날짜라도 알려주면 기다렸다가 살 텐데 그런 계획도 없는 듯 보였습니다. 그래서 다른 걸 샀어요.

손난로 쿠션담요라고 손을 넣을 수 있는 주머니도 있고, 쿠션으로도 쓸 수 있는 무릎담요요. 겨울에는 무릎담요로 쓰고 봄, 여름에는 쿠션으로 쓸 수 있을 것 같아서 샀지요.

쿠션 옆구리에 주머니가 있어서 그 사이로 손을 넣을 수 있는데 그걸 손난로라고 표현했네요.

담요는 일반적인 무릎담요와 크게 다르지 않아요. 천이 부드럽고 따뜻합니다.

쿠션은 그냥 천 커버가 아니라 약간의 솜 같은 게 들어있어요. 담요없이 사용할 정도는 아니고요. 안에 담요를 말아서 넣으면 푹신푹신한 느낌이 더 있네요. 솜 없이 그냥 담요만 넣었다면 이 정도로 푹신푹신하지는 않았을 것 같아요. 이 솜이 한 군데 뭉쳐져 있어서 잘 풀어서 써야 하고요. 담요를 넣어야 쿠션으로 사용할 수 있는데, 이 과정이 매우 귀찮을 것 같아요. 그래서 쭉 쿠션으로 쓰든가 쭉 담요로 쓰든가 할 것 같아요.

디자이너가 만든 상품이라서 그런지 디자인이 귀엽습니다. 사진에 보이는 것만큼은 아니지만, 실물도 상당히 귀여워요. 나이 어린 여학생들이라면 좋아할지 모르겠지만, 성인들이 쓰기에는 약간 창피할 것 같아요.

그래서 담요는 가지고 다니면서 쓰겠지만, 쿠션은 가지고는 못 다니겠네요. 집에 오래돼서 안 쓰는 베개가 있는데 거기서 솜 빼다가 넣어서 집에서만 써야겠어요.

쿠션으로도 쓰고 담요로도 쓰려도 샀는데, 그냥 쿠션따로 담요따로 산 것과 다르지 않네요.

손난로 쿠션담요

어제 애드센스 320x100 광고 테스트 중이라는 글에서 새로 나온 320x100 광고를 테스트 한다고 했었어요. 그런데 이제 이 테스트를 중단해야 할 것 같습니다. 애드센스 정책 위반의 소지가 있어서요.

모바일 페이지를 수정하거나 광고를 바꿀 때 모바일 페이지 보기, 기기별로 모바일 페이지 확인하는 방법에서 소개한 트로이(http://troy.labs.daum.net)에서 확인을 하는데요. 보통은 그냥 제일 위에 있는 갤럭시S4화면에서만 확인했거든요.

그런데 오늘 다른 기기에서 어떻게 보이는지 확인하다가 한 가지를 발견했어요.

아래는 320x100 광고를 넣은 걸 갤럭시S4로 본 화면이에요. 여기는 별 문제가 없어보이죠.

그런데 문제는 아이폰이에요.

아래는 아이폰4에서 본 화면인데요. 본문이 전혀 보이지 않고 광고만 보이네요. 아이폰이 다른 스마트폰에 비해서 화면이 작아서 화면에 보여지는 콘텐츠의 양이 너무 적어요. 스크롤하지 않은 페이지에서 본문 내용이 충분히 보이지 않으면 애드센스 정책 위반이잖아요. 그래서 320x100을 사용하면 안 될 것 같아요.

근데 320x50 광고를 넣은 페이지를 아이폰4에서 볼 때 본문이 한 줄밖에 보이지 않는군요. 이것도 정책위반이 될 수도 있겠지만 애드센스 측에서도 티스토리의 애드센스 모바일 플러그인에 320x50 광고 단위를 사용하라고 권하고 있으니 이건 문제삼지 않을 것 같아요.

새로운 광고 단위가 나오고 수입도 괜찮을 것 같아서 실험을 하고 있었는데, 더 이상 실험을 할 수 없을 것 같아서 아쉽네요.

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