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거듭제곱근의 성질에 대해서 알아볼 거예요. 여기서 공부할 거듭제곱근의 성질은 앞으로 계속 공부할 거듭제곱근의 기본이 되는 성질이에요.

내용이 복잡해서 조금 어려울 수도 있지만, 꼭 이해하고 넘어가야 하는 내용이에요. 한 번 읽어서는 이해가 안될수도 있으니 여러 번 꼼꼼히 읽어보세요.

중3 때 공부했던 제곱근의 성질과 비슷한 점도 있고, 중2 때 공부했던 지수법칙을 확장했다고 생각하면 조금 쉽게 공부할 수 있을 거예요.

거듭제곱근의 성질

n이 2 이상의 정수일 때, 은 n 제곱해서 a가 되는 실수예요. 그러니까 를 n번 곱한 는 a가 되겠죠?

 = a

 = 2죠? 제곱근 안에 있는 제곱인 수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있어요. 그럼 처럼 n 제곱근호 안에 있는 n 제곱인 수도 거듭제곱근 밖으로 꺼낼 수 있겠죠? 어떻게 꺼내는지 알아볼까요?

aⁿ에 n 제곱근호를 씌운 을 구해보죠. a의 n 거듭제곱근과 a에 n 거듭제곱근호을 씌운 것의 차이는 이해하죠? 2의 제곱근은 ±고, 2에 근호를 씌운 건 그냥 예요.

실수인 거듭제곱근에서 a가 양수인지 음수인지, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 실수 a의 n 제곱근을 구했었어요.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수		0	없다.
n이 홀수

저 표를 말로 정리해보면 다음과 같아요.

• 양수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 양수, 음수 2개)
• 음수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 없음
• 양수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 1개)
• 음수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 음수 (n 제곱근은 1개)

여기서는 a가 aⁿ으로 바뀌었어요. 그러니까 a의 부호와 n에 따라 aⁿ의 부호가 어떻게 바뀌는지가 중요하죠.

• a > 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
• a < 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = -a
• a > 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
• a < 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 음수 → 음수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 음수 → < 0이므로  = a

되게 복잡해 보이는데 간단히 말해서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 결과는 원래 수와 같은 부호라는 거예요. 한 가지 덧붙이자면 n이 짝수든 음수든 0은 그냥 0이고요.

• 에서 a = 3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 3이에요.  = 3
• 에서 a = -3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 a 앞에 (-)를 붙여야 해요.  = -(-3) = 3
• 에서 a = 3이고 n = 5로 홀수예요. 원래 수와 부호가 같으니까 결과는 3이에요.  = 3
• 에서 a = -3으로 음수고 n = 5로 홀수예요. 결과는 원래 수와 부호가 같은 음수인 -3이에요.  = -3

n이 짝수일 때 는 무조건 양수예요. a > 0이면  = a라는 거죠. n이 홀수일 때는 원래 부호 그대로니까 a > 0이면  = a예요. 그러니까 a > 0이면 n이 짝수이든 홀수이든 상관없이 은 무조건 양수 a라는 거예요.

• 
• a > 0이면  =  a

거듭제곱의 성질 - 지수법칙 이용

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 기억나죠? 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

중학교 3학년 때는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부했었고요.

이었어요. 제곱근을 곱할 때는 그냥 숫자끼리 곱하고 근호를 씌워주면 됐었죠? 제곱근의 나눗셈도 마찬가지로 숫자끼리 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었어요. 거듭제곱근에서도 같은 성질이 있는지 알아보죠.

a > 0, b > 0, n이 2 이상의 정수일 때를 n 제곱해보죠.

지수법칙과 위에서 했던  = a 두 가지를 이용했어요. a > 0, b > 0이니까  > 0, > 0으로  > 0이에요.

이번에는 ab에 n제곱근을 씌운 를 보죠. a > 0, b > 0이니까 ab > 0이에요. 양수에 n 제곱근호을 씌우면 그 결과는 양수예요. 따라서 는 양수 ab의 양의 n 제곱근이죠.

는 양수고, n 제곱하면 ab가 돼요. ab의 양의 n 제곱근은 이니까 결국 둘은 같은 거죠.

 =

이와 비슷한 방법으로 아래 공식들을 증명할 수 있어요.

a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

(1) 에서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 원래 수의 부호예요.

= 3 + 4 - 5 - (-6)
= 8

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거듭제곱근에 대해서 알아봤는데요. 이제는 거듭제곱근에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

거듭제곱근을 구할 때는 방정식을 이용해서 구했는데 그렇게 구한 거듭제곱근에는 실수도 있고 복소수도 있었죠? 앞으로는 거듭제곱근 중에서 실수인 것만 사용하는데, 실수인 거듭제곱근은 몇 개가 있는지 그래프를 통해서 알아볼 거예요.

그리고 실수인 거듭제곱근이 의미하는 것에 대해서도 알아볼 건데 이게 좀 어려우니까 집중해서 잘 보세요.

실수인 거듭제곱근

방정식에서 x의 차수만큼 해가 존재해요. 거듭제곱근도 식으로 표현하면 일종의 방정식이죠?

xⁿ = a ⇔ a의 n제곱근

위 식을 만족하는 x는 n개 존재해요.

방정식의 해는 삼차방정식 x³ = 1의 허근 ω 오메가의 성질에서 봤던 것처럼 실근과 허근이 섞여 있어요. 마찬가지로 a의 n 제곱근은 n개 있는데 그중에는 실수와 허수가 섞여 있는 거죠. 하지만 여기서는 실수인 것만 다뤄요.

xⁿ = a를 만족하는 실수 x를 구하기 위해서 두 개의 그래프로 나눠서 생각해보죠. y = xⁿ과 y = a의 그래프의 교점의 x좌표가 실수 x가 되겠죠?

n이 짝수일 때

먼저 n이 짝수일 때예요. 그냥 간단하게 이차함수의 그래프를 생각하세요. y축에 대하여 대칭이에요.

a > 0일 때는 y = xⁿ과 y = a의 그래프는 두 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 두 개라는 걸 알 수 있어요. 양수인 것은 , 음수인 것은 예요.

n = 2일 때도 양수와 음수 2개의 제곱근이 있었어요.

거듭제곱근을 나타낼 때는 근호()의 모서리에 조그맣게 n을 쓰고 근호 안에는  a를 써요. 읽을 때는 그냥 n제곱근 a라고 읽고요. 에서는 2를 생략하고 그냥 만 써도 괜찮아요.

a = 0일 때는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 0은 그냥 0이죠?  = 0

a < 0일 때는 만나는 점이 없어서 n 제곱근 중에 실수인 x가 없어요.

n이 홀수일 때

a의 부호와 상관없이 y = xⁿ과 y = a의 그래프는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 이때는 라는 한 개의 실수만 있어요.

a > 0이면 교점이 y축보다 오른쪽에 있으니까 x = , a = 0이면 x =  = 0이죠. 그럼 a < 0일 때는 교점이 y축보다 왼쪽에 있으니까 x = 일까요?

그래프에서 보면 y축에서 왼쪽에 있는 교점의 x좌표 앞에 (-)가 안 붙어있죠? 왜 그럴까요?

실수의 곱에서 음수를 홀수 개 곱하면 그 결과가 음수고, 음수를 짝수 개 곱하면 그 결과가 양수예요. x³ = -1에서 어떤 똑같은 수를 세 번 곱해서 -1이 나오려면 세 수가 모두 음수인 -1이어야 해요. 음수를 세 개 곱해야 음수가 나오니까요.

xⁿ = a에서 n이 홀수일 때, a < 0이면 x < 0이어야 한다는 거죠. x가 음수여야 x를 홀수 개 곱했을 때 음수 a가 나와요.

x = 인데, 그 자체가 이미 음수라는 의미를 포함하고 있어요. 그러니까 따로 n 제곱근호 앞에 (-) 부호를 붙이지 않아도 음수라는 거죠.

마치 ax² + bx + c = 0 (a < 0)에서 a 앞에 (-) 부호가 없지만 a 자체가 음수인 거랑 비슷한 거예요.

조금 이해하기 어려울 수 있는데, 천천히 다시 읽어보세요.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수		0	없다.
n이 홀수

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거듭제곱근에 대해서 공부할 거예요. 거듭제곱근은 이름에서 알 수 있듯이 거듭제곱과 관련된 내용이에요. 거듭제곱이 나오면 당연히 지수법칙이 따라오고요. 또, 이름 뒷부분에 제곱근이라는 게 있으니까 제곱근과도 관련된 내용도 나와요. 따라서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미 등 중학교에서 공부했던 내용에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

반대로 말해서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미를 잘 이해하고 있다면 쉽게 공부할 수 있는 내용이에요.

거듭제곱근

거듭제곱과 지수법칙

거듭제곱과 지수법칙에 대해서 간단히 정리해보죠.

거듭제곱은 어떤 수를 반복해서 곱하는 것을 말해요.

2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, …

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑, 오른쪽 위에 잇는 (곱한 횟수)를 지수라고 하죠.

(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

이런 지수에는 특별한 법칙이 성립하고 이를 지수법칙이라고 해요.

m, n이 자연수일 때
a^m × aⁿ = a^{m + n}
(a^m)ⁿ = a^mn

거듭제곱근

제곱근은 뭔가요? 제곱해서 실수 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 하죠?

x² = a ⇔ x =

그럼 세제곱해서 a가 되는 수도 있겠죠? 그런 수를 바로 a의 세제곱근이라고 해요.

y³ = a

2² = (-2)² = 4이므로 4의 제곱근은 ±2죠.
2³ = 8이므로 8의 실수인 세제곱근은 2에요.
2⁴ = (-2)⁴ = 16이므로 16의 실수인 네제곱근은 ±2죠.

이처럼 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …이 있는데, 이를 통틀어서 거듭제곱근이라고 해요.

삼차방정식의 허근 ω 오메가의 성질에서 ω는 x³ = 1의 한 허근이었죠? 여기서 x는 세제곱해서 1이 되는 수니까 x는 1의 세제곱근이에요.

xⁿ = a일 때
x는 a의 n 제곱근
(a는 실수, n은 2 이상의 자연수)

다음을 구하여라.
(1) -1의 세제곱근     (2) 81의 네제곱근

(1) x³ = -1
x³ + 1 = 0
(x + 1)(x² - x + 1) = 0
-1의 세제곱근은 -1,

(2) x⁴ = 81
x⁴ - 81 = 0
(x² + 9)(x² - 9) = 0
(x + 3i)(x - 3i)(x + 3)(x - 3) = 0

81의 네제곱근은 ±3, ±3i

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그래프와 행렬의 관계에 대해서 알아보죠.

그래프를 행렬로 바꿔볼 거예요. 그래프를 행렬로 바꿨을 때 행렬이 그래프의 특징들을 잘 드러내는지도 알아볼 거예요. 행렬이 나타내는 그래프의 특징을 보고 그래프를 예상할 수 있어야 해요.

정말 어려울 것 같지만 따지고 보면 별거 아닌 내용이에요.

행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기

다음과 같은 그래프가 있다고 해보죠.

한 점이 다른 점과 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0이라고 써서 표로 나타내 보죠. 예를 들어 A는 B와 변으로 연결되어 있으니까 1, D와는 변으로 연결되어 있지 않으니까 0이라고 쓰는 거예요.

이번에는 이 표를 행렬로 나타내보죠.

4차 정사각형렬이네요. (꼭짓점의 개수) × (꼭짓점의 개수) 행렬이죠.

이 행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 그어지는 대각선에 대해서 대칭이에요. A와 B가 변으로 연결되어 있으면 B와 A도 연결되어 있어서 같은 값을 가지니까요.

행렬의 성분으로 표현하자면 (i, j)의 성분 = (j, i)의 성분이 되는 거예요.

반대로 행렬만 보고 그래프의 특징을 알아낼 수 있나요?

예를 들어 이 행렬은 4차 정사각행렬이에요. 꼭짓점이 4개 있다는 뜻이에요.

변의 개수를 알 수 있을까요? 변은 꼭짓점과 꼭짓점을 연결한 선이에요. 행렬에서 1이 의미하는 건 두 꼭짓점 사이가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠? 그래서 행렬에 있는 1을 모두 더하면 돼요. 하지만 AB와 BA를 모두 1로 나타냈으니까 중복되는 걸 빼려면 행렬에서 1을 모두 더한 값을 2로 나눠줘야 하죠.

변의 개수 = (행렬의 모든 성분의 합) ÷ 2

한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점에 연결된 변의 개수도 구할 수 있어요. 행렬에서 1은 다른 꼭짓점과 연결되었는지를 나타내는 거니까 A에서 다른 꼭짓점으로 연결된 변의 개수는 A가 있는 제 1 행의 모든 성분을 다 더한 값과 같아요.

꼭짓점에 연결된 변의 개수 = 해당 꼭짓점이 나타내는 행(또는 열)의 모든 성분의 합

A에 연결된 변의 개수는 A를 나타내는 제 1 행 (또는 제 1 열)의 성분을 모두 더한 2가 되는 거죠.

행렬의 성분과 경우의 수

행렬을 P라고 해볼게요.

P =

p₁₂ = 1이 의미하는 건 A와 B가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠.

P를 제곱했더니 위와 같은 행렬이 만들어졌어요. P는 두 꼭짓점이 서로 변으로 연결되어 있는지 아닌지를 나타내요. 즉 1이면 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 하나만 지나는 된다는 걸 말하죠. P²은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 두 번 지나면 된다는 걸 의미해요. 여기서는 1이 아닌 2, 3이라는 숫자도 있죠? 이건 경우의 수를 말해요.

p₁₁ = 2죠? A에서 변을 두 개 지나서 A로 오는 방법이 두 가지가 있다는 얘기예요. A - B - A, A - C - A의 두 가지예요.

p₂₁ = 1이죠? B에서 변을 두 개 지나서 A로 가는 방법이 한 가지가 있다는 얘기예요. B - C - A뿐이네요.

Pⁿ의 p_ij = k (n, k는 자연수)
→ i에서 n개의 변을 지나서 j로 가는 방법은 k가지이다.

그래프와 행렬 1 - 그래프에서 경로에는 한 번 지나간 변은 다시 지나지 않는 것으로 한다고 했는데 행렬에서는 한 번 더 지나는 것도 포함된다는 차이가 있어요.

다음 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 그래프를 행렬로 나타내어라.
(2) A에서 변을 두 개 지나서 B까지 가는 방법의 수를 구하여라.

표 그리는 건 그냥 생략하고 바로 행렬를 나타내보죠. 두 점이 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0을 넣어요.

(2) A에서 B까지 변을 두 개 지난다고 했으니까 행렬을 제곱해야겠네요.

A에서 B까지 이동하는 걸 나타내는 성분은 1행 2열의 성분이니까 2이네요. A - C - B, A - D - B의 두 가지 방법이 있어요.

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그래프인데요. 이제까지 우리가 봤던 함수의 그래프와는 조금 다른 형태의 그래프예요. 오히려 일반적인 도형과 더 비슷해요. 모양뿐 아니라 용어도 같고 부르는 이름도 같고요. 그래프와 도형은 비슷하니까 둘을 잘 비교해서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

내용을 이해하는 데 도움을 받을 수 있지만 일단 이해하고 나면 서로 헷갈릴 수 있으니까 그 차이점을 분명히 알아야 해요. 분명히 도형과 그래프는 다른 영역의 내용이니까 그래프의 내용을 도형에 적용하거나 도형의 성질을 그래프에 적용하면 안 돼요.

그래프와 행렬 1 - 그래프

함수에서의 그래프는 함수식을 만족하는 점들의 순서쌍은 좌표평면 위에 나타낸 것을 말하죠? 여기에서 그래프는 그냥 점과 선으로 이루어진 그림을 말해요. 아래 그림처럼 생긴 게 그래프예요.

점 A, B, C, …가 있는데 그래프에서 점을 꼭짓점이라고 하고 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 해요.

도형에서 점을 A, B, … 부르듯이 그래프에서도 꼭짓점을 A, B, … 라고 불러요. 도형에서 변을 부를 때 양쪽 점의 이름을 이용해서 AB, BC, … 부르듯이 그래프에서도 변을 부를 때는 AB, BC, …라고 부르고요. 또 도형에서 AB와 BA는 같죠? 그래프에서도 마찬가지예요.

다각형에서의 변은 직선이었죠? 그런데 그래프에서의 변은 곡선도 괜찮고 이상하게 생긴 찌그러진 선도 상관없어요. 그냥 꼭짓점을 연결한 선이면 모두 변이에요. 꼭짓점 E와 H를 연결한 선은 곡선이죠? 이 곡선도 변이에요.

다만 변에서 주의해야 할 건 두 꼭짓점을 연결하는 변이 하나만 있어야 해요. 아래 그림의 IJ처럼 서로 다른 선으로 연결되면 안 돼요.

서로 같은 그래프

꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘려서 두 그래프가 같은 그림으로 그려질 수 있으면 두 그래프는 같다고 해요.

두 번째 그림은 첫 번째 그림의 AD를 구부려서 그린 거예요.

세 번째 그림은 첫 번째 그림의 A의 위치를 바꿔서 그린 거고요.

네 번째는 첫 번째 그림에서 A의 위치를 바꾸고 BC를 구부려서 그린 거예요.

따라서 네 개의 그림이 모두 서로 같은 그래프죠.

네 그림 모두 꼭짓점이 A, B, C, D이고 변은 AB, BC, CD, DA예요. 이처럼 꼭짓점과 변이 같은지 비교해보면 서로 같은 그래프인지 알 수 있어요.

경로

경로는 지나가는 길을 말하죠. "집에서 출발해서 서점 들렀다가 버스를 타고 학교에 간다." 이때의 경로는 학교 → 서점 → 버스 정류장(승차) → 버스 정류장(하차) → 학교가 되겠죠?

수학에서 경로도 같아요. 그래프의 한 꼭짓점에서 출발해서 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 순서대로 꼭짓점을 나열한 것을 경로라고 해요. 차이가 있다면 한 번 지난 변을 다시 지나지 않는 거예요. AB를 지났으면 BA를 지나지 않고 가야 해요. AB = BA니까요.

그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로
(2) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로(단, 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나지 않는다.)

(1) 경로는 한 번 지난 변을 지나지 않고 꼭짓점을 이동할 때 이 꼭짓점들을 순서대로 나열한 것을 말해요. 한 번 지난 변을 또 지나지 않으면 되고, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나도 상관없어요. 꼭짓점 별로 세 가지 방향이 있네요.

모양이 좀 이상하긴 한데요. 경우의 수 구할 때처럼 <을 이용해서 구하면 쉽게 구할 수 있어요.

ABC, ABDAC, ABDC, AC, ADBAC, ADBC, ADC로 총 7가지 경로가 있네요.

(2) 똑같이 경로를 구하는 문제인데, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않는다고 했어요. (1)에서 구했던 경로 중에 같은 꼭짓점을 두 번 지나지 않는 걸 찾아보죠.

7개의 경로 중에서 ABDAC와 ADBAC는 꼭젓점 A가 반복되니까 제외해야 겠죠? 결국 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나는 않는 경로는 ABC, ABDC, AC, ADBC, ADC로 총 5가지 네요.

차수

다항식에서의 차수는 문자가 곱해진 횟수를 말하죠. 여기서의 차수는 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수를 말해요.

이 그림의 A에서는 AB, AC, AD의 세 변이 있으니까 3차예요. 다른 꼭짓점들도 모두 3차네요.

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보통 도형에서의 위치관계는 수직, 평행 등을 묻는데 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 그런 게 아니에요. 교점이 몇 개 생기느냐를 말하죠. 앞서 했던 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근의 내용과 비슷하니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 거의 한 쌍둥이라고 할 수 있어요.

이차함수 그래프의 대략적인 모습과 직선을 그리면 조금 더 쉽게 이해할 수 있으니까 그림도 함께 외우세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 했던 내용을 살짝만 바꾸면 돼요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

중학교 2학년 때 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식에 대해서 잠깐 공부한 적이 있어요. x축은 식으로 나타내면 y = 0이라는 직선의 방정식으로 나타낼 수 있죠? x축도 직선이니까 이걸 확장하면 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 구할 수 있는 거죠.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 x축이 몇 개의 교점을 가지느냐를 알아볼 때 어떻게 했나요? x축이 y = 0이니까 이걸 이차함수 식에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식 D의 부호를 구했죠? D > 0이면 교점이 2개, D = 0이면 교점이 1개, D < 0이면 교점이 0개예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 직선 y = mx + n 사이의 관계를 구할 때도 똑같아요. 직선 y = mx + n를 이차함수 y = ax² + bx + c에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식의 부호를 구하면 교점의 개수를 알 수 있어요.

ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b - m)x + c - n = 0

위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 서로 다른 두 허근 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

이차함수의 그래프와 직선 둘 다좌표평면 위에 있어서 실수 범위에서만 다루기니까 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식	D > 0	D = 0	D < 0
위치관계	서로 다른 두 점에서 만난다.	한 점에서 만난다. (접한다.)	만나지 않는다.
그래프
교점의 개수	2개	1개	0개

표에서는 a > 0일 때의 그래프만 그렸는데, a < 0이면 그래프가 위로 볼록이니까 그림을 180° 뒤집으면 돼요.

이차함수 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접하고, 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하여라.

기울기가 1이라고 했으니까 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x² + 3x - 3 = x + b
x² + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 1² - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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이차함수와 이차방정식은 참 많이 닮았어요. 그래서 이차함수의 그래프를 그리고 그 그래프를 통해서 이차방정식 실근의 개수를 알 수 있지요.

이 글에서는 이차함수의 그래프와 이차방정식 실근의 개수에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이차함수 그래프를 간략하게 그릴 줄 알고 이차함수와 이차방정식의 간단한 관계만 알면 금방 이해할 수 있는 내용이에요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프에서 그래프가 x축과 만나는 점이 있다고 해보죠. x축을 방정식으로 나타내면 y = 0이니까 교점에서의 x좌표를 구하려면 이차함수 식에 y = 0을 대입해서 구해요.

ax² + bx + c = 0이라는 식이 되고 여기서 구한 x가 이차함수 그래프와 x축의 교점의 x좌표예요. 그런데 이 식의 모양은 어디서 많이 본 모양이죠? 바로 이차방정식이에요. 즉, 이차방정식의 해가 교점의 x좌표예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

교점의 x좌표와 해가 서로 같으니까 개수도 서로 같겠죠?

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축과의 교점이 2개면 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해도 두 개고, 교점이 하나면 해도 하나예요.

이차함수의 그래프와 x축과의 교점이 없으면 이차방정식의 해도 없어요. 좌표평면은 실수로만 이루어져 있으니까 정확히 말하면 실근이 없는 거죠. 수를 복소수까지 확장해보면 허근을 가져요.

이 얘기는 반대로도 할 수 있어요. 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해가 서로 다른 두 실근이면 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축이 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차방정식의 해가 중근이면 이차함수의 그래프와 x축은 한 점에서 만나요.

이차방정식이 실근을 가지지 않으면(서로 다른 두 허근을 가지면) 이차함수의 그래프와 x축은 만나지 않아요.

이차방정식이 실근을 몇 개 가지는지는 이차방정식의 판별식을 통해서 알 수 있어요.

ax² + bx + c = 0

D = b² - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0이면 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0이면 서로 다른 두 허근(실근 없음) ⇔ 만나지 않는다.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프	x축과 두 점에서 만난다.	x축과 한 점에서 만난다. (접한다.)	x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해	서로 다른 두 실근	중근	서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차함수의 그래프에서 이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x² + 2x + k + 2의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x² + 2x + k + 2 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = 2² - 4 × 1 × (k + 2) > 0
4 - 4k - 8 > 0
4k < -4
k < -1

k < -1이면 서로 다른 두 점에서 만나네요.

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리더스타임이라는 새로운 광고가 시작되었습니다.

사실 애드센스 말고 다른 광고 단위가 나오면 혹시나 하는 마음에 테스트해보는데 항상 역시였죠. 애드센스를 능가하는 CPC 광고는 아직 없는 것 같아요. 능가까지는 아니더라도 반만큼의 수익을 가져다주는 서비스도 없었죠.

이번에 새로 시작한 리더스타임은 CPT라는 새로운 방식이에요. 광고를 클릭 횟수가 아니라 광고를 클릭하고 열리는 사이트에서 얼만큼의 시간을 보내느냐를 기준으로 수익을 배분하는 거죠. 이 광고는 본문과 광고가 매칭만 잘 된다면 수익이 많이 생길 수 있는 구조죠. 실제로 광고 후기를 올린 글 몇 개를 보니 단가가 1,000원이 넘는 경우도 있더라고요.

물론 아직 애드센스보다 광고주 수가 적다 보니 클릭률은 매우 낮은 수준입니다. 단가가 높아도 클릭률이 낮으면 별 소용이 없겠죠.

하지만 그럼에도 불구하고 리더스타임 테스트를 시작한 건 모바일 광고 때문이에요.

애드센스는 정책상 모바일 페이지 상단에 크기가 큰 광고는 사용할 수가 없죠. 안전하게 사용하려면 320x100을 사용해야 하는데 이게 클릭율과 단가가 너무 낮아 수익이라고 하기에도 민망한 수준이에요. 수학방은 모바일 유입이 60% ~ 70%을 차지하는데 320x100에서 발생하는 수익을 다 합쳐봐야 한 달에 $20 정도밖에 안 돼요. 그래서 모바일에서 애드센스를 대체할 광고를 찾고 있었는데 마침 리더스타임이 생겼다길래 이제 테스트를 시작해 보려고 합니다.

리더스타임은 하나의 광고 코드를 사용하면 모바일페이지에 맞게 크기가 조절되는데 광고 크기가 커요. 자동으로 조절되는 광고이니 크기가 크다고 정책 위반이 되지는 않을 테고요. 물론 방문객의 입장에서 모바일의 작은 화면에 큰 광고가 있으면 거부감이 들겠지만, 블로거로서는 큰 광고가 더 많은 수익을 가져다주니 어쩔 수 없는 선택이라고 생각합니다.

근데 문제는 PC 페이지의 상단에서는 애드센스 수입이 좋고 모바일 상단에서만 안 좋거든요. 그래서 PC 상단은 애드센스, 모바일 상단은 리더스타임으로 하려고 시도했지만, 애드센스 정책에 맞게(코드 수정 없이) 사용하는 방법을 몰라서 그냥 상단 광고를 아예 리더스타임으로 바꿨습니다.

PC 상단의 애드센스 수입을 포기하면서까지 테스트를 해보는 건 3배 보상 계획 때문이에요. 3월 초에 서버가 다운되서 페이지 로딩이 길어지는 문제가 발생했는데 그에 따른 보상을 해준다고 합니다.

3월 한달 간 리더스타임으로 수익을 발생시키는 퍼블리셔에게 실적의 3배로 보상하고자 합니다. 이유여하를 막론하고 리더스타임 퍼블리셔라면 3월 한달 간은 무조건 발생시킨 실적의 3배를 지급받으실 수 있도록 내부회의를 통해 결정하였으니, 조금이나마 도움이 되셨으면 하는 마음이며, 앞으로 이러한 일이 발생되지 않도록 비제이피플즈 임직원 일동 전원이 최선을 다하도록 하겠습니다.

따라서 이번 3월에는 애드센스 수입의 1/3만 나와도 본전이죠. 이런 보상책이 없었다면 애드센스만큼의 수익이 나와야 하니까 불안하겠지만 1/3만 나와도 실패는 아니니까 마음 편하게 테스트할 수 있어요.

게다가 새로 시작하는 서비스라서 이벤트도 합니다. 자동차도 주고 목표를 달성하면 얼마를 더 주고 하는 이벤트가 많이 있지만, 그거야 정말 잘 나가는(?) 몇 분에게만 해당하는 거니까 신경 끄고요. 그나마 가장 가능성이 있는 게 타임보너스의 더블 보너스예요.

Double Bonus
리더스타임 가입 후 광고 게시를 통해 90일 안에 30만 원 이상의 수익을 발생시키면 30만 원을 보너스로 지급합니다.
참고 : 회원가입 후 90일 동안 35만 원 수익 발생 시 총 65만 원을 지급. 단 90일 안에 미션 성공시 최초 1회만 지급합니다.

90일에 30 만원이면 하루 3,000원이 조금 넘는 금액이거든요. 이 정도는 충분히 해볼 만하잖아요.

위에 얘기했던 3배 보상과 더블 보너스 이벤트 믿고 한 번 테스트해 보려고요. 가능하면 3배 보상이 주어지는 이달 말까지는 테스트해 볼 생각이지만 수익이 영 아니다 싶으면 일주일 만에도 끝날 수 있을 것 같아요.

혹시 저처럼 이 두 가지 믿고 테스트해볼 분 있으면 한 번 해보세요.

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인터넷 사이트에 올라온 유머예요. 아마도 누군가 문제집에 나오는 문제를 보고 재미있어서 인터넷에 올렸나 봐요. 간단한 인수분해 문제인데 실생활과 연결지어서 문제를 냈더니 유머가 되어버렸어요.

수학과 관련된 유머가 몇 가지 있었죠? 물론 이번 문제는 문제 자체에 웃음을 짓는 경우라 풀이 때문에 웃었던 유머와 조금 다른 경우죠.

1초 고민하는 수학 문제
경우의 수 문제 푸는 법
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딸이 집에 들어오는 게 싫은 아빠

문제는 길게 써놨는데 실제로는 아주 쉬운 문제예요. 식도 알려줬고 결과도 알려줬으니까요.

일단 ab월 cd일이니까 월과 날짜를 나타내는 a, b, c, d는 양수여야 해요. 그리고 10월 10일이나 01월 01일일 수도 있으니 0도 괜찮죠. 그러니까 a, b, c, d ≥ 0이에요.

첫 번째 식을 먼저 보죠.

(x² - 2x)² + x² - 2x - 2 = (x²2 - 2x - a)(x² - 2x + b)

좌변을 전개하면 4차식이 되니까 전개한 후에 인수분해하는 것보다는 괄호로 묶은 부분을 치환해서 푸는 게 더 쉬워요. 복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환

(x² - 2x)² + x² - 2x - 2
= (x² - 2x)² + (x² - 2x) - 2
= t² + t - 2                                    (∵ x² - 2x = t 치환)
= (t - 1)(t + 2)
= (x² - 2x - 1)(x² - 2x + 2)              (∵ t = x² - 2x)

상수항을 비교해보면 a = 1, b = 2 or b = -1, a = -2인데, a ≥ 0, b ≥ 0이므로 a = 1, b = 2에요.

두 번째 식을 보죠.

2x² + xy - 7x - 3y + 3 = (x - 3)(cx + y - d)

좌변에 항이 다섯 개나 있어요. 이럴 때는 차수가 낮은 한 문자를 선택해서 내림차순으로 정리한 다음에 인수분해를 해요. 복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때

2x² + xy - 7x - 3y + 3
= xy - 3y + 2x² - 7x + 3                      (∵ 차수가 낮은 y에 대하여 내림차순 정리)
= (x - 3)y + (2x - 1)(x - 3)
= (x - 3)(y + 2x - 1)
= (x - 3)(2x + y - 1)

c는 x의 계수니까 c = 2, d는 상수항이니까 d = 1이에요.

결국 abcd = 1221이네요.

여러 분이 미래라면 집에 들어가는데 얼마나 걸릴까요? ㅎㅎ

참고로 이 문제는 고등학교에 올라가면 배우는 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법이라는 방법을 이용해서도 풀 수 있어요.

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복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환
복잡한 식의 인수분해 2 - 항이 4개 이상일 때
인수분해의 활용 - 수의 계산, 식의 값

원래 작년 1학기에 오픈캐스트를 발행했었어요. 가능하면 학교 진도에 맞추려고 일주일에 한 번 발행했었죠. 2학기에는 하지 않았는데 이번에 새 학기를 맞이하여 다시 발행을 시작했습니다. 어차피 작년에 배우는 수학이랑 올해 배우는 수학이랑 별로 다르지 않으니까 발행되는 오픈캐스트는 거의 같아요.

이번에는 고등학교 1학년을 위해서 "고등수학" 오픈캐스트를 추가했어요. 중등수학은 1, 2, 3학년용을 하나의 캐스트로 발행하고 고등학교 1학년용은 다른 캐스트로 발행해요. 중학생은 학년 당 2 ~ 3개를 글을 모아서 매주 월요일에 발행하고, 고등학생은 8개의 글을 모아서 매주 목요일에 발행합니다. "수학방의 중등수학" 오픈캐스트에서 중고등수학을 모두 발행하니까 해당 학년에 맞는 글을 찾아서 읽으세요. 다른 학년의 글도 예습, 복습하는 셈 치고 읽으면 더 좋고요.

수학방 블로그에 바로 접속하지 않아도 혹시 수학방 블로그를 잊고 있더라도 네이버에 접속해서 오픈캐스트를 통해서 글을 받아 볼 수 있어요. 참 편리하죠. 네이버 오픈캐스트 구독 방법을 참고하여 구독을 해보세요.

수학방의 중등수학 오픈캐스트

공부는 꾸준하게 하는 게 제일 중요해요. 문제집을 사도 앞에 1, 2단원만 열심히 풀도 그 뒤는 풀지 않고 내버려 둔 경험 다들 있을 거예요. 아무리 좋은 학습사이트라고 할지라도 처음에 몇 번 와서 공부하지만 조금 지나면 시들해지죠. 이럴 때 오픈캐스트를 구독하면 매일 공부해야 하는 부담도 없고 질리지도 않아요. 잊힐만하면 네이버에서 새소식으로 알려줘서 관심을 가질 수 있도록 도와주니 계속 찾아올 수 있죠.

네이버 오픈캐스트 구독하고 일주일에 한 번씩만이라도 수학방에 찾아와서 공부하세요.

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오늘 신문에 [이슈분석] 윈도XP 지원 종료, 한 달 앞으로…제 2의 `y<sub>2</sub>K` 사태 오나라는 기사가 올라왔어요. 이제 XP 지원기간이 한 달밖에 남지 않았는데 준비가 부실하다는 거죠.

그래서 블로그 방문자 중에 XP 사용자가 얼마나 되는지 구글 애널리틱스로 살펴봤어요. 이런 거 볼 때 확실히 좋은 도구예요. 물론 네이버 애널리틱스로 확인할 수도 있는데 이건 항목을 바꾸면 지정한 날짜가 계속 바뀌는 문제가 있어서 잘 사용하지 않게 되더라고요.

반응형 스킨으로 바꾸기 전에 한 번 확인해 본 적이 있는데 그때는 운영체제보다는 IE 버전이 중요했던지라 대충 보고 넘어갔거든요. 이번에는 운영체제와 IE 버전을 조금 더 자세히 들여다봤어요.

Windows XP 사용자 비율

방문자들의 운영체제를 본 건데 안드로이드가 66%, iOS가 7%나 되네요. 모바일 유입이 70%가 넘어요. 이에 비해 Windows의 비율은 26%를 겨우 넘었어요.

Windos 사용자 비율을 조금 더 자세히 살펴보죠. Windows 7이 가장 많고 그다음이 바로 문제의(?) XP가 24%로 2위예요. 대부분의 데스크탑에서 Windows를 사용한다는 걸 고려해보면 컴퓨터 사용자의 24%가 Windows XP를 사용한다고 해석할 수 있어요. 상당히 높은 비율이죠.

모바일을 포함한 전체 사용자 중 Windows XP 사용자 비율을 따지면 6% 정도 되는군요.

이번에는 브라우저 버전이에요. 그런데 안드로이드 브라우저가 뭘 의미하는지 모르겠네요. 안드로이드 운영체제에 기본 설치된 브라우저를 말하는 것 같기는 해요. 그리고 크롬은 데스크탑에서 사용하는 크롬인지 모바일 앱 크롬인지 아니면 둘을 섞어놓은 건지 모르겠고요. 어차피 이번 보고서의 목적은 IE 사용자를 알아보는 거니까 별 의미가 없긴 하지만요. IE가 21% 예요.

IE를 조금 더 자세히 살펴봤어요. 8.0 사용자가 가장 많아요. 33%나 되죠. 7.0 사용자도 20%가 넘어요. 심지어 4.0 사용자도 있네요. 8.0은 전체 비율로 따지면 7%가 조금 넘어요. Windows XP에서 지원하는 가장 높은 버전이라고 치면 위에서 본 XP 사용자 6%보다 조금 높은 수치죠. 아마도 더 Windows 7, Windows 8 사용자 중 일부가 IE를 업데이트하지 않고 그냥 사용하는 가 봅니다.

그런데 IE 7.0이 높은 건 의외네요. 아마 본인이 사용해야 하는 어떤 프로그램이 7.0을 이용해야만 하는 경우가 있다던데 그런 경우일 것 같아요.

아직 Windows XP - IE 7, 8을 사용하는 분들이 많이 있다는 걸 직접 확인할 수 있어요.

지금 반응형스킨을 사용하고 있는데 IE 8 이하 버전에서는 원래 의도했던 대로 화면이 나오지 않죠. 이 때문에 반응형 스킨을 사용하기를 꺼리는 분들이 꽤 있어요. 저야 모바일 사용자가 많아서 반응형 스킨으로 바꿨지만 데스크탑 사용자를 고려한다면 XP - IE 7, 8 사용자가 많다는 사실을 봤을 때 반응형 스킨으로 바꾸는 건 무리가 있을 것 같아요.

사실 블로그를 운영하는 입장에서는 브라우저별로 지원하는 HTML 태그나 CSS 버전이 달라서 애를 먹는 경우도 많아요. 여러 가지를 모두 만족하는 블로그를 만든다는 게 엄청 어렵거든요.

꼭 필요한 경우가 아니라면 사용할 수 있는 가장 최신 버전의 운영체제와 브라우저를 이용해줬으면 하는 게 블로거로서의 입장이죠. 그럴 수 없다면 IE가 아닌 다른 브라우저의 최신 버전을 사용해줬으면 하는 바람도 있고요.

XP 사용자가 얼마나 줄어드는지 다음 달에 한 번 더 확인을 해봐야겠어요.

교보문고 퍼플을 이용해서 책을 낸지 한달이 넘었습니다. 종이책을 만드는 게 딴 세상 얘기는 아니라는 것도 알았고 다른 사람이 내가 만든 책을 돈을 내고 사간다는 사실에 놀라기도 합니다. 많이 팔리는 건 아니지만 사가는 사람이 있다는 사실이 신기하죠.

그런데 교보문고 퍼플의 보고서 기능은 너무 부실해요. 책 판매 부수, 금액 정도만 확인할 수 있거든요. 그나마 책을 산지 열흘 정도가 지난 뒤에야 확인할 수 있어요. 그래서 이런 보고서 기능을 보완하고자 링크프라이스와 연계하는 방법을 이용하기로 했어요.

아주 훌륭한 보고서는 아니지만 둘을 연계하면 그래도 지금보다는 훨씬 좋아진 보고서를 만들 수 있습니다.

교보문고 퍼플 정산 기능 보완하기

교보문고 퍼플의 POD는 전문 작가가 일반 아닌 개인이 종이책을 출판하기에는 가장 좋은 서비스인 건 확실합니다. 이것저것 할 것 없이 그냥 원고만 써서 제출하면 되니까요. 그런데 정산보고서가 블로거들이 사용하는 광고 매체의 보고서에 비해 기능이 너무 없어요.

특히 POD는 책을 산 날이 아니라 배송받은 다음 날 결산이 되니까 시차도 생기고요. 그나마 이 시차도 8일이면 8일, 10일이면 10일이 아니라 8 ~ 10일 사이의 시차죠. 그래서 약간 답답함이 있어서 다른 방법이 없나 찾던 중에 링크프라이스의 사용자 정의 링크를 이용하기로 했습니다.

링크프라이스의 사용자 정의 링크는 링크프라이스에 있는 머천트 중에 사이트의 메인페이지가 아닌 특정 상품 페이지로 이동하는 링크를 말해요. 다른 링크와 마찬가지로 사용자정의 링크를 통해서 클릭하거나 상품을 사면 그 횟수와 비율을 알 수 있어요.

그러니까 자기가 만든 책의 교보문고 주소를 이용해서 사용자 정의 링크를 만들면 링크프라이스의 통계를 사용할 수 있는 거죠.

사용자정의 링크 만드는 방법은 링크프라이스 사용자정의 링크 만들기에 소개해 놓았습니다.

링크프라이스 3월 4일 보고서를 보죠. 12번의 클릭이 있었고 그중 1건의 구매가 있네요. 구매율은 8.33%고요.

보고서의 "T(구매건별)"를 눌러보면 조금 더 자세한 보고서를 볼 수 있어요. 판매시간과 상품 코드를 볼 수 있어요. 사용자정의 링크를 만들 때 u_id를 입력했다면 이 아이디를 통해서 어떤 상품인지 바로 확인할 수 있어요. 물론 상품코드와 교보문고의 책 판매 페이지 주소를 비교해도 어떤 책이 팔린 것인지 확인할 수도 있고요.

만약에 이게 없었더라면 이 판매 결과는 교보문고 퍼플 판매 정산조회 페이지에 3/12, 3/13, 3/14 셋 중 하루에 정산된 걸로 표시될 거예요.

물론 책이 언제 팔렸는지 안다는 건 아무 의미가 없을 수도 있어요. 교보문고에서 돈을 떼먹는 것도 아니고요. 하지만 제가 낸 책인 학습 교재는 학기가 시작할 때나 방학처럼 특정 시기에 판매가 집중된다는 걸 생각해보면 열흘 가까운 시차라면 그것도 일정하지 않은 시차라면 판매를 예측하는데 어려움이 많아요.

특히 블로거라면 매일매일 광고 클릭이 어떻게 바뀌는지를 확인하는 습관이 있어서 이런 보고서는 굉장히 중요하죠.

퍼플을 이용해서 책을 판매하는 분 중에 실시간 보고서가 필요하다면 이런 방법도 활용해보세요. 혹시 다른 방법이 있으면 공유도 부탁하고요.

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링크프라이스 사용자정의 링크 만들기

교보문고 퍼플 판매 정산조회

수학방 책이 나왔습니다.

블로그로 수입 내는 분들은 CPA 사이트인 링크프라이스를 이용하실 거라고 봅니다. 그런데 블로거 대부분이 머천트 사이트에서 제공하는 배너와 링크를 그냥 블로그 메인페이지에서만 사용하죠. 이런 형태의 배너에서는 수입이 발생하기가 쉽지 않아요.

때로는 본인의 블로그와 어울리는 배너를 만들고 싶거나 메인페이지가 아닌 다른 페이지로 링크를 걸고 싶을 때도 있거든요. 그럴 때 유용한 방법이 사용자정의 링크예요.

특히 사용자정의 링크는 블로그 메인이 아니라 후기나 추천 글을 쓸 때 그 효과가 훨씬 더 좋은 링크입니다. 글과 상품 링크가 가장 잘 조화로울 수 있도록 글을 작성할 수 있거든요.

링크프라이스 사용자정의 링크 만들기

사용자정의 링크를 사용할 때 가장 좋은 점은 해당 사이트의 메인 페이지가 아닌 특정페이지로 연결할 수 있다는 거예요. 예를 들어서 지마켓에서 옷을 사고 후기를 남길 때 지마켓 메인 페이지가 아닌 실제 옷을 구매했던 상품 페이지로 링크를 거는 거지요. 상품으로 바로 가는 링크와 구매 후기가 함께 있다면 제품을 살 확률이 더 높아지겠죠?

머천트에서 이벤트를 하는 경우도 있을 텐데 메인페이지가 아니라 이벤트 페이지로 바로 연결할 수 있다면 이벤트 참여율이 높아질 거예요.

글의 주제와 방문자의 특성에 잘 맞는 페이지로 바로 접속할 수 있게 사용자정의 링크를 이용한다면 블로그 수익을 늘릴 수 있어요.

때로는 머천트에서 제공하는 배너가 자신의 블로그 디자인과 잘 맞지 않을 때도 있을 거예요. 그럴 때 블로그 디자인에 맞게 새로운 배너를 만들고 이 배너에 사용자정의 링크를 삽입할 수도 있고요.

사용자정의링크는 링크프라이스 홈페이지상에서 제공하는 배너 등의 링크와 별도로 본인이 직접 원하는 특정 상품이나 특정 페이지로 연결되는 링크를 생성할 수 있습니다.
링크타입에 따라 배너링크,텍스트링크 혹은 링크프라이스 코드로 변환된 URL만 별도로 생성할 수 있으며, 머천트 ID 입력 유무에 따라 크게 TYPE01과 TYPE02로 나뉘어집니다.

사용자정의 링크 만드는 방법은 어렵지 않아요. 바로 연결하고 싶은 특정페이지의 주소만 알면 됩니다.

링크프라이스에 로그인한 다음 광고 가져가기 - 서비스별로 찾기 - 셀프서비스를 선택합니다.

타입은 두 가지가 있는데요. Type1은 해당 상품의 주소를 입력해서 바로 사용자정의 링크를 만드는 거고, Type2는 머천트를 선택한 후에 상품 주소를 입력해서 사용자정의 링크를 만드는 거예요. 근데 사실 무슨 차이가 있는지 모르겠네요.

여러 사용자링크를 만들 때 사용자지정값(u_id)을 지정하면 보고서에서 상품별 판매 내역을 확인할 때 편리해요. 타겟 URL에 특정 페이지 주소를 붙여넣으세요. 링크를 저장해 놓으면 나중에 타겟 URL을 바꾸거나 여러 설정을 수정할 수 있으니까 웬만하면 체크하세요. 숏링크는 이름 그대로 짧은 주소를 만드는 거예요.

만들어진 링크는 글을 쓸 때 넣어도 좋고 어디든지 사용할 수 있어요.

머천트 메인 페이지로 갈 때는 여러 가지 제약이 있지만 특정한 상품으로 가는 링크를 활용하면 무궁무진한 활용법이 있을 거예요. 많이 활용해보세요.

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보통 원하는 사이트에 접속할 때는 즐겨찾기를 이용하게 되는데요. 브라우저나 앱을 먼저 실행시킨 후에 몇 번의 클릭을 해서 접속해야 하죠.

보통 앱을 설치하게 되면 홈 화면에 바로 가기 아이콘이 생기는데 이처럼 자주 가는 사이트나 웹페이지의 바로 가기를 만들어 사용하면 훨씬 더 쉽고 빠르게 해당 사이트에 접속할 수 있어요. PC에서 자주 가는 사이트는 홈에 바로 가기를 만들기도 하잖아요. 그거랑 같은 거죠.

블로그 바로 가기 앱 만드는 방법이 블로그 운영자들에게 도움이 되는 방법이라면 이 방법은 블로그를 사용하는 분들에게 도움이 되는 방법이에요. 방법은 어렵지 않으니까 금방 따라할 수 있어요.

블로그 바로 가기 홈 화면에 추가

먼저 휴대전화에서 브라우저나 네이버, 다음 같은 앱을 실행하세요. 홈화면에 추가할 사이트 또는 페이지에 접속하세요. 아래 그림은 수학방에서 중3 수학 목차 페이지입니다.

그림의 제일 오른쪽 아래에 보면 "…"이 있어요. 사용하는 브라우저나 앱에 따라 오른쪽 아래가 아니라 오른쪽 위에 있기도 하고 위치는 다를 수 있어요.

"…"을 누르면 메뉴가 나오는데 여기서 "홈 화면 추가"를 선택하세요.

"홈 화면 추가"를 누르면 바로 가기를 만들 수 있는 창이 열려요. 여기에 사용할 이름을 적고 추가를 누르세요.

위 과정을 마치면 홈 화면에 아래 그림처럼 바로 가기 아이콘이 표시된 걸 볼 수 있어요.

이제 홈 화면에서 "중3 수학 목차" 아이콘을 선택하면 지정했던 중3 수학 목차 페이지가 열리게 되는 거죠.

특정 사이트 가려고 앱 실행시키고 북마크 창 열어서 선택하고 하는 과정을 단 한 번에 끝낼 수 있는 좋은 방법이에요.

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블로그 바로가기 앱 만드는 방법

연립방정식을 행렬로 나타내고 역행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구해봤어요. 이제는 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구할 때 해가 한 개일 수도 있고 하나도 없을 수도 있고 무수히 많을 수도 있어요. 어떤 조건이 있을 때 해의 개수가 달라지는지 알아보죠.

연립방정식의 식을 하나씩 따로 떼 보면 직선의 방정식이기도 하니까 직선의 방정식과 두 직선의 방정식의 위치관계를 통해서 이를 설명해 볼게요. 혹시 기억이 나지 않는다면 아래 두 글을 먼저 읽어보세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직, 두 직선의 위치관계 - 일반형

연립일차방정식이 해를 가질 조건

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

일단 행렬식 D = ad - bc ≠ 0이면 해를 가져요. 역행렬을 이용해서 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

ad - bc = 0일 때는 해가 무수히 많거나 하나도 없다고 했어요. 해가 무수히 많을 때는 해가 있는 거죠. 그러면 무수히 많은 해를 가지려면 ad - bc = 0외에 어떤 추가 조건이 있어야 할까요?

두 직선의 위치관계 - 일반형에서 두 직선 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선의 교점은 두 직선이 나타내는 직선의 방정식의 공통근이니까 두 직선이 일치하면 두 직선의 방정식은 무수히 많은 해를 가지죠.

연립방정식 는 ax + by = p, cx + dy = q라는 두 직선의 방정식으로 나타낼 수 있으니까 여기에 위 내용을 그대로 적용해보죠.

에서 이면 이 연립방정식은 무수히 많은 해를 가져요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해

이번에는 p = q = 0인 을 보죠. 직선의 방정식으로 나타내면 ax + by = 0, cx + dy = 0이에요. 이 두 직선은 원점을 지나는 직선이에요. 따라서 x = y = 0이라는 공통근을 일단 무조건 한 개를 가져요.

행렬로 나타내면 이에요.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 을 해로 가져요. x = y = 0인 한 쌍의 해죠.

ad - bc = 0이고 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 무수히 많을 해를 가지고 x, y 계수비와 상수항의 비가 다르면 해가 하나도 없어요. 그런데 상수항의 비를 구하려고 했더니 분모가 0이 돼버리죠? 이 방법으로는 해가 무수히 많은지 하나도 없는지 알 수가 없다는 뜻이에요. 다른 방법을 찾아봐야겠네요.

ad - bc = 0
ad = bc

두 직선의 방정식의 기울기가 같아요. 그리고 두 직선은 모두 원점을 지나요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 기울기가 같고 y절편이 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선이 일치하니까 두 직선의 방정식의 공통근도 무수히 많아지겠죠?

일반적으로 ad - bc = 0일 때 해가 하나도 없을 수도 있어요. 하지만 위에서 본 것처럼 이 두 직선은 원점을 지나므로 무조건 x = y = 0이라는 해를 가져요. 따라서 해가 하나도 없는 경우는 생길 수가 없는 거예요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

가 x = y = 0 이외의 해를 가질 때 상수 k의 값을 구하여라.

우변이 모두 0이에요. 이런 연립방정식은 x = y = 0이라는 한 쌍의 해는 무조건 갖지요. 그리고 ad - bc = 0이면 x = y = 0 이외의 해를 가지는데 이 해는 무수히 많아요.

k(k - 2) - 3 = 0
k² - 2k - 3 =
(k - 3)(k + 1)
k = -1 or 3

k = -1 or 3이면 이 연립방정식은 x = y = 0이외의 해를 가져요.

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해가 특수한 연립방정식

정리해볼까요

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해

ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해