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상용로그도 제곱근표, 삼각함수표처럼 그 값을 미리 구해놓은 표가 있어요.

이 글에서는 상용로그표를 이용하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. 상용로그표에서 원하는 숫자의 상용로그 값을 어떻게 찾는지 말이죠. 상용로그표를 이용하는 방법은 제곱근표, 삼각함수표와 같으니까 어렵지 않아요.

상용로그표에는 전에 사용했던 표에는 없던 비례부분이라는 게 있는데, 비례부분이 어떤 걸 말하는지 또 비례배분을 이용해서 상용로그값을 어떻게 찾는지도 알아보죠.

상용로그표

상용로그표는 1.00 ~ 9.99까지의 상용로그값을 표로 만들어 놓은 거예요. 제곱근표, 삼각비표, 삼각함수표랑 비슷하지요.

세로에는  1.0 ~ 9.9까지 있는데, 일의 자리와 소수점 이하 첫 번째 자리이고, 가로에는 0 ~ 9까지의 있는데 소수점 이하 두 번째 자리를 나타내요. 소수점 앞에 0이 생략되어 있어요.

세로에서 일의 자리와 소수점 이하 첫 번째 자리, 가로줄에서 소수점 이하 두 번째 자리를 선택해서 만나는 점의 숫자가 상용로그값이에요.

log1.23에서 일의 자리와 소수점 이하 첫 자리가 1.2니까 세로줄에서 1.2를 선택하고, 소수점 이하 두 번째 자리 3이니까 가로줄에서 3을 선택했어요. 두 줄이 만나는 0.0899가 log1.23의 값이에요.

비례부분의 법칙

상용로그표에서는 1.00 ~ 9.99사이의 값을 구할 수 있어요. 상용로그표에 있지 않은 숫자는 상용로그표에 나온 숫자와 10의 거듭제곱을 이용해서 구할 수 있어요.

log123 = log(1.23 × 10²) = log1.23 + log10² = 0.0899 + 2 = 2.0899

그런데, 1.234처럼 상용로그표에 나온 숫자와 10의 거듭제곱으로 나타낼 수 없는 수의 값은 어떻게 구할까요? 이런 값을 구할 때 비례부분의 법칙이라는 걸 활용해요.

비례부분의 법칙은 진수의 변화가 작을 때 진수가 바뀌는 것과 상용로그 값이 바뀌는 게 정비례한다고 가정하고 근삿값을 구하는 거예요. 구하려고 하는 숫자와 가장 가까운 두 숫자를 상용로그표에서 찾아서 그 둘의 비례를 이용해서 값을 구하는 거죠.

log1.234의 값을 구해보죠.

상용로그표에서 진수 1.234와 가장 가까운 두 숫자는 1.23, 1.24예요.

log1.23 = 0.0899
log1.24 = 0.0934

두 상용로그에서 진수가 0.01차이 날 때 상용로그값은 0.0035차이나죠? 1.234와 1.23은 0.004차이 나고요. 진수가 차이 나는 비율만큼 상용로그값도 차이가 난다고 보고 이걸 비례식으로 세워보죠.

(1.24 - 1.23) : (0.0934 - 0.0899) = (1.234 - 1.23) : x
0.01 : 0.0035 = 0.004 : x

비례식을 풀어보면 x = 0.0014가 나와요.

log1.234
= log1.23 + 0.0014
= 0.0899 + 0.0014
= 0.0913

이런 방법으로 0.001단위씩 구한 숫자들을 상용로그표의 비례부분에 적어놓았어요.

상용로그표의 비례부분에서 세로줄의 1.2와 가로줄 비례부분의 4가 만나는 곳의 숫자 14가 0.0014예요. 상용로그표에는 소수점 아래 네 자리 숫자로 나와 있으니까 14에서 1은 소수점 아래 세 번째, 4는 소수점 아래 네 번째 자리의 숫자예요.

14라는 건 그 줄에서 구한 모든 값에 항상 0.0014를 더해주는 거예요.

log1.234 = log1.23 + 0.0014
log1.244 = log1.24 + 0.0014
log1.254 = log1.25 + 0.0014

위 상용로그표를 보고 log1.353의 값을 구해볼까요?

일단 상용로그표에서 log1.35 = 0.1303이네요. 그리고 비례부분을 보면 1.3과 비례부분의 3이 만나는 곳의 숫자가 10인데 이건 0.0010을 의미해요. 따라서 log1.353 = log1.35 + 0.0010 = 0.1313이에요.

상용로그표에 나와 있지 않는 숫자들의 상용로그값을 구할 수 있겠죠?

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거듭제곱근에서 제곱근이 기본인 것처럼 로그의 기본은 상용로그예요.

이 글에서는 상용로그가 무엇인지, 상용로그에서 사용하는 용어인 지표와 가수가 무엇인지에 대해서 알아볼 거예요. 또 이 지표와 가수는 어떤 특징이 있는지도 알아볼 거고요. 지표와 가수의 성질을 이용하면 2¹⁰⁰처럼 엄청 큰 숫자를 직접 구해보지 않아도 몇 자리 자연수인지 쉽게 알 수 있어요. 예제를 통해서 직접 구해보죠.

상용로그

10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라고 해요. 거듭제곱에서 지수 1은 생략하죠? 제곱근에서 의 2를 생략하는 것처럼 상용로그에서는 밑 10을 생략해요.

log₁₀2 = log2
log₁₀10 = log10 = 1
log₁₀100 = log100 = log10² = 2

상용로그의 지표와 가수

일반적으로 양수 N은 N = a  × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)으로 나타낼 수 있죠?

123 = 1.23 × 10²
0.123 = 1.23 × 10^-1

N = a  × 10ⁿ의 양변에 상용로그를 취해보죠.

logN = log(a × 10ⁿ)
logN = loga + log10ⁿ
logN = n + loga

1 ≤ a < 10에 상용로그를 취해보죠.

log1 ≤ loga < log10
0 ≤ loga < 1

loga는 소수예요.

logN = n + loga에서 정수 부분 n을 logN의 지표, 소수 부분인 loga를 logN의 가수라고 해요.

중3 때 공부했던 무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 무리수를 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타내는 것처럼 상용로그도 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때 다음 상용로그의 지표와 가수를 구하여라.
(1) log123
(2) log12300
(3) log0.123
(4)

양수 N = a  × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)로 바꾸고 상용로그를 취하여 logN = n + loga가 되었을 때 정수 부분 n을 지표, 0 ≤ loga < 1인 소수 부분을 가수라고 해요.

(1) log123 = log(1.23 × 10²)
log123 = log1.23 + log10²
log123 = 2log10 + log1.23
log123 = 2 + 0.0899

지표는 2, 가수는 0.0899

(1) log12300 = log(1.23 × 10⁴)
log12300 = log1.23 + log10⁴
log12300 = 4log10 + log1.23
log12300 = 4 + 0.0899

지표는 4, 가수는 0.0899

(3) log0.123 = log(1.23 × 10^-1)
log0.123 = log1.23 + log10^-1
log0.123 = -1 + 0.0899

지표는 -1, 가수는 0.0899

(4)번은 진수가 분수네요. 로그의 뺄셈으로 바꿀 수 있죠?

지표는 -2, 가수는 -0.0899일까요? 아니에요. 가수의 범위는 0 ≤ 가수 < 1인데, 여기서는 0보다 작아요.

무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 음수인 무리수는 어떻게 했나요? 0 ≤ (소수 부분) < 1이어야 하니까 소수 부분이 음수일 때 소수 부분에는 (+1)을 정수 부분에는 (-1)을 해줬어요. 여기서도 똑같이 소수 부분에 (+1), 정수 부분에 (-1)을 해줘요.

-2 - 0.0899
= (-2 - 1) + (1 - 0.0899)
= -3 + 0.9101

지표는 -3, 가수는 0.9101

(3)번에서는 지표는 음수지만 0 ≤ 가수 < 1를 만족하니까 그냥 그대로 둔 거고 (4)번은 가수가 0보다 작아서 +1, -1을 해줘서 값을 바로잡은 거예요.

상용로그의 값이 음수일 때 지표와 가수

위 예제에서

log123 = 2 + 0.0899 = 2.0899
log0.123 = -1 + 0.0899 = -0.9101

log123은 log123 = 2 + 0.0899으로 쓰여 있으나 log123 = 2.0899로 쓰여 있으나 지표와 가수를 알아보기 쉬워요.

log0.123 = -1 + 0.0899로 쓰여 있으면 지표와 가수를 알아보기 쉬워요. 그런데 log0.123 = -0.9101로 되어 있으면 지표와 가수를 알아보기 힘들죠? 그래서 log0.123 = -1 + 0.0899 = 로 쓰기도 해요. 음수인 지표 위에 윗줄(bar)를 긋고 양수인 가수는 그냥 그대로 소수점 이하 숫자로 적는 거죠.

 = -3 + 0.9101에서 지표는 -3이니까 위에 줄을 그어서 , 그 뒤에 가수 0.9101을 그대로 붙인 로 나타내죠.

이런 표현법은 음수인 지표와 양수인 가수를 한꺼번에 쓴 거니까 일반적인 양수, 음수와 달라요.

 ≠ -3.9101

 = -3 + 0.9101
-3.9101 = -3 - 0.9101

상용로그 지표와 가수의 성질

몇 가지 더 구해볼까요?

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = log(1.23 × 10¹) = log1.23 + log10¹ = log10 + log1.23 = 1 + 0.0899
log1230 = log(1.23 × 10³) = log1.23 + log10³ = 3log10 + log1.23 = 3 + 0.0899
log0.0123 = log(1.23 × 10^-2) = log1.23 + log10^-2 = -2log10 + log1.23 = -2 + 0.0899

앞의 예제와 위에서 구한 상용로그들을 순서대로 적어보죠.

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = 1 + 0.0899
log123 = 2 + 0.0899
log1230 = 3 + 0.0899
log12300 = 4 + 0.0899
log0.123 = -1 + 0.0899
log0.0123 = -2 + 0.0899

어떤 특징이 있나요?

일단 제일 먼저 눈에 띠는 건 가수가 모두 같아요. 진수가 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300, 0.123, 0.0123으로 숫자들의 배열은 같고 소수점의 위치만 다를 때 가수가 모두 같죠.

두 번째는 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300으로 진수의 자리수가 하나 늘어날 때마다 지표가 1씩 커지죠? 진수의 정수 부분이 한 자리면 지표는 0, 진수의 정수 부분이 두 자리면 지표가 1이에요. 진수의 정수 부분의 자릿수보다 지표가 1작아요. 진수의 정수 부분이 n자리면 지표는 n - 1이죠.

정수 부분이 0일 때는 어떤가요? 0.123에서 정수 부분이 0으로 한 자리니까 지표는 -1이죠. 그런데, 0.0123에서 정수 부분이 0으로 한 자리인데 지표는 -2죠? 정수 부분이 n자리면 지표가 n - 1이라는 건 진수의 정수 부분이 0일 때는 성립하지 않는 걸 알 수 있어요.

정수 부분이 0일 때는 다른 특징이 있어요.

0.123에서는 소수점 이하 첫 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요. 그리고 이때의 지표는 -1이죠. 0.0123에서는 소수점 이하 두 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오고 이때의 지표는 -2예요.

즉 진수의 정수 부분이 0일 때는 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리수가 지표와 같아요. 소수점 이하 n번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오면 지표는 -n이에요. -n은 이라고도 표시하죠?

지표와 가수의 성질
진수의 정수 부분이 0보다 클 때: 정수 부분의 자릿수가 n이면 상용로그의 지표는 n - 1
진수의 정수 부분이 0일 때: 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리가 n이면 상용로그의 지표는 -n()
진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다를 때: 상용로그의 가수가 같다.

이 지표와 가수의 성질을 알면 위의 예제처럼 로그의 성질을 이용해서 계산을 하지 않고 진수만 보고 바로 지표와 가수를 바로 알아낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때, log1230000의 지표와 가수를 구해보죠.

1230000은 정수 부분이 7자리이므로 지표는 6, 진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다르니까 가수는 같아요.

log1230000 = 6 + 0.0899

log2 = 0.3010, log3 = 0.4771일 때 다음을 구하여라.
(1) 2¹⁰⁰는 몇 자리의 자연수인지 구하여라.
(2) 은 소수 몇 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는지 구하여라.
(3) 6⁵⁰은 몇 자리의 자연수인지 구하여라.

(1) 2¹⁰⁰에 상용로그를 취해보죠.

log2¹⁰⁰ = 100 × log2 = 100 × 0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10

지표가 30이므로 진수 2¹⁰⁰의 정수 부분은 31자리네요. 따라서 2¹⁰⁰은 31자리 자연수입니다.

(2) 도 상용로그를 취해보죠.

지표가 -61이므로 소수점 이하 61번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요.

(3) 6⁵⁰에 상용로그를 취해보죠

log6⁵⁰ = 50 × log6 = 50 × (log2 + log3) = 50 × (0.3010 + 0.4771) = 50 × 0.7781 = 38.905 = 38 + 0.905

지표가 38이므로 진수 6⁵⁰은 정수 부분이 39자리입니다. 따라서 6⁵⁰은 39자리 자연수네요.

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로그의 성질 두 번째예요. 로그의 성질 첫 번째는 로그의 정의를 이용해서 유도했어요. 로그의 성질 두 번째는 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 유도해요.

여기서 공부한 성질까지 합쳐서 로그의 성질 모두를 외워야 합니다. 이름만 성질이고, 실제 내용은 공식이에요. 로그의 성질을 알고 있어야 로그의 계산을 할 수 있어요.

로그의 계산은 단순한 사칙연산에 불과하니까 로그의 성질만 알고 있다면 금방 풀 수 있어요.

로그의 성질 두 번째

로그의 성질 네 가지를 공부했었는데, 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 새로운 로그의 성질을 유도할 수 있어요. 여기서도 네 가지를 유도해보죠.

밑과 진수에 모두 지수가 있을 때예요. c(c > 0, c ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 성질에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있었죠? 그것처럼 밑의 지수도 앞으로 가져올 수 있어요. 밑의 지수는 분모로, 진수의 지수는 분자로 가져와요.

로그의 성질에서 네 번째 성질과 비슷하니까 하나로 합쳐서 아래처럼 바꿀 수 있겠죠?

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, m, n이 실수일 때

이렇게 네 개는 꼭 외우세요.

이번에는 밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱해보죠.

밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱하면 1이에요.

지수에 로그가 있을 때 로그의 성질

처럼 지수에 로그가 있을 때도 있어요. 특히 지수의 밑과 로그의 밑이 a로 같아요.

= t라고 하고 양변에 a를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

네 번째 줄에서 두 로그의 값이 같을 때, 밑이 a로 같으니까 진수끼리도 같아야 해서 b = t이에요.

마지막 줄에서는 = t라고 했으니까 대입했고요.

결과는 지수의 밑과 로그의 밑이 같으면 진수만 남는다는 거예요.

이번에는 를 보죠. 이때는 지수의 밑은 a, 로그의 밑은 c로 서로 달라요.

= t라고 하고 양변에 c를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서는 로그의 성질을 이용해서 진수의 지수를 로그 앞으로 내렸다면 다섯 번째 줄에서는 반대로 로그 앞에 있던 log_ca를 진수 b의 지수로 올렸어요.

마지막 줄에서는  = t라고 했으니까 대입했고요

생긴 게 좀 이상하죠? 지수에 있는 로그의 밑은 둘 다 c로 같은데, 지수의 밑과 로그의 진수가 서로 자리를 바꿨죠? 양쪽의 지수에 밑이 같은 로그가 있을 때는 지수의 밑과 로그의 진수를 서로 바꿔도 같다는 거예요.

로그의 성질 두 번째
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, m, n이 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂3 × log₃4
(2)

(1) log₂3 × log₃4
= log₂3 × log₃2²
= 2 × log₂3 × log₃2
= 2

밑과 진수가 서로 바뀐 두 로그의 곱은 1이에요. 그래서 앞에 2만 남았어요.

(2) 밑과 진수가 바뀐 두 로그인데 곱이 아니라 덧셈이에요.

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로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠?

이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요.

밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요.

로그의 밑 변환 공식

로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요.

a^x = b를 로그로 변환해보죠.
a^x = b ⇔ log_ab = x   …… ①

a^x = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요.

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ca로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요.

새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요.

예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 2², b = 2³이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠.

a = 27, b = 81이라면 a = 3³, b = 3⁴니까 c = 3을 사용하고요.

이번에는 a^x = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? log_bb = 1

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ba로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요.

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1

a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요.

다음을 간단히 하여라.
(1) log₄2
(2) log₂3 × log₃4

(1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠.

(2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요?

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로그의 성질입니다. 이름이 성질이라고 해서 단순히 성질이 아니라 로그의 계산을 할 때 기본이 되는 계산 법칙이에요. 지수에 지수법칙이 있다면 로그에는 로그의 성질이 있어요.

로그의 성질에는 로그, 밑, 지수, 진수 등 나오는 게 많아서 헷갈리기 쉬워요. 그 모양을 정확하게 이해해야 해요. 비슷하게 생긴 모양의 식을 헷갈리면 안 돼요.

로그의 성질은 로그의 정의에서 로그와 거듭제곱의 관계를 이용해서 유도합니다. 따라서 이 내용도 알고 있어야 해요.

로그의 성질

a⁰ = 1, a¹ = a에요. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a⁰ = 1 ⇔ log_a1 = 0
a¹ = a ⇔ log_aa = 1

진수가 1이면 결과는 0이고 밑과 진수가 같으면 결과는 1이에요. 이게 로그의 성질 첫 번째예요.

a^x = M, a^y = N이라고 해보죠. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x   …… ①
a^y = N ⇔ log_aN = y   …… ②

이 두 개를 곱한 다음 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x × a^y = a^{x + y} = MN ⇔ log_aMN = x + y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
log_aMN = log_aM + log_aN

이번에는 a^x = M을 a^y = N으로 나누고 로그로 변환해보죠.

a^x ÷ a^y = a^{x - y} = ⇔  = x - y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면

진수가 두 양수의 곱으로 되어 있으면 로그의 합으로, 진수가 두 양수의 나눗셈으로 되어 있으면 로그의 차로 바꿀 수 있어요. 로그의 성질 두 번째와 세 번째입니다.

이번에는 새로운 성질을 유도해보죠.

a^x = M = L^k이라고 해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x
a^x = L^k ⇔ log_aL^k = x   …… ③

③에서 log_aL^k = x니까 위 식의 x에 대입하면 log_aL^k = klog_aL이 성립해요.

진수가 지수를 가지고 있을 때 지수를 로그 앞으로 가져올 수 있다는 얘기죠. 로그의 성질 네 번째예요.

로그의 성질에서 주의해야 할 건 밑이 같아야 한다는 거예요. 지수법칙에서도 밑이 같을 때만 성립했어요. 그리고 진수가 어떻게 구성되어 있는가에 따라서 계산이 달라져요.

아래 식처럼 모양이 비슷한 다른 식에서는 성립하지 않는 성질이에요. 잘 구별하세요.

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
(2)
(3)

(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
= 1 + log₂2² + log₂2³
= 1 + 2log₂2 + 3log₂2
= 1 + 2 + 3
= 6

하나씩 구해서 더해도 되고 밑이 같고 로그의 합으로 되어 있으니 곱으로 바꿔서 풀 수도 있어요.

log₂2 + log₂4 + log₂8
= log₂(2 × 4 × 8)
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6

(2) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₃2는 더 계산할 수가 없으니 그냥 뒀어요.

(3) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니까 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₄2는 (2)번의 log₃2와 달리 계산할 수 있으니까 계산을 끝까지 해야 해요.

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로그입니다. 로그는 새로운 내용인데, 다행히도 거듭제곱과 거듭제곱근의 친구예요. 절친 중의 절친이죠. 셋이 서로 정말 닮아있어요.

로그는 거듭제곱과 거듭제곱근에 대해서 잘 이해하고 있다면 쉽게 할 수 있어요. 계산이 어렵지도 않고 지수에서 했던 내용이 많이 나오거든요. 거듭제곱의 다른 이름이 지수니까요.

첫 번째 시간이니까 로그의 정의에 대해서 확실히 이해하세요. 정의만 잘 이해하면 계산은 그냥 하나도 어렵지 않은 단지 귀찮은 지수법칙 계산일 뿐이에요.

로그의 정의

a^x = b라는 식이 있다고 해보죠?

만약에 a, x는 알고 있는데, b를 모른다고 해보죠. 그럼 b를 어떻게 구하나요? a를 x번 곱해서 b를 구하겠죠? 이걸 거듭제곱이라고 불러요. b = a^x 지수법칙, 지수함수도 같은 부류죠.

이번에는 x, b는 알고 있는데 a를 모른다고 해보죠. 여기서 a는 x제곱해서 b가 되는 수로 거듭제곱근을 이용해서 구할 수 있어요.

마지막으로 a, b는 알고 있는데 x를 모른다고 해보죠. x를 어떻게 구할까요? 바로 x를 구하는 방법이 로그에요. 영어로는 Logarithm이라고 하지요.

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그는 사실 하나의 식이에요. 그 식에서 우리가 얻으려고 하는 게 무엇인지에 따라 부르는 이름이 달라지고 표시하는 방법이 달라지는 거죠.

거듭제곱근을 구할 때 식의 모양을 바꾸는 것처럼 로그를 구할 때도 식의 모양을 바꿔요. a와 b를 이용해서 x를 구하는 식이요.

먼저 Logarithm의 앞 세 글자 log를 쓰고 a는 아래 첨자로, b는 그냥 보통 글자로 써요. a를 log 글자의 오른쪽 아래에 조그맣게 쓰는 건 지수를 오른쪽 위에 조그맣게 쓰는 것과 비슷해요.

이렇게 나타낸 log_ab를 a를 밑으로 하는 b의 로그라고 해요. 아래에 조그맣게 쓰는 a를 밑, 보통 글자로 쓰는 b를 진수라고 하죠. a는 원래 지수에서도 밑이었죠?

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1이어야 그 결과가 실수가 된다고 했어요. 로그에서도 마찬가지로 a > 0이어야 그 결과가 실수예요.

로그의 의미에서 생각해보면 a를 몇 제곱해야 b가 나오는지 구하는 거예요. 그런데 a = 1, b = 1이면 x가 어떤 수가 되더라도 식을 만족하니까 무수히 많은 x가 존재해요. 또 a = 1이고 b ≠ 1이라면 이걸 만족하는 x는 존재하지 않죠. 따라서 a ≠ 1이어야 해요.

결국, a > 0이고 a ≠ 1이어야 해요.

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1일 때 y > 0이었어요. 여기서는 y 대신 b를 사용했으니 마찬가지로 b > 0이에요.

 (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 사이에 관계에 대해서 이해하고 있어야 해요.

다음에서 지수는 로그로, 로그는 지수를 이용하여 나타내어라.
(1) 2³ = 8
(2)
(3) 10^-3 = 0.001
(4) 4 = log₃81
(5)

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때, a^x = b ⇔ x = log_ab

(1) 2³ = 8 ⇔ 3 = log₂8

(2)

(3) 10^-3 = 0.001 ⇔ -3 = log₁₀0.001

(4) 4 = log₃81 ⇔ 3⁴ = 81

(5)

다음 로그의 값을 구하여라.
(1) log₃81
(2) log₄2

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 x = log_ab ⇔ a^x = b로 바꿔서 해를 구해요. 그러면 지수방정식으로 풀 수 있어요.

(1) x = log₃81로 놓으면
3^x = 81
3^x = 3⁴
x = 4

(2) x = log₄2로 놓으면
4^x = 2
(2²)^x = 2
2^2x = 2
2x = 1
x =

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이차함수의 그래프와 이차부등식의 풀이에서 그래프를 그려보면 이차부등식의 해를 구하는 과정을 조금 더 쉽게 이해할 수 있었어요. 지수함수의 그래프를 그리고, 지수함수 그래프의 특징을 잘 이해한다면 지수부등식의 성질을 이해하는 데 많은 도움이 됩니다.

원래 방정식과 부등식은 사촌이죠? 그러니까 지수부등식과 지수방정식은 뜻은 물론 풀이방법도 서로 비슷해요. 지수부등식이 가지는 몇 가지 특징이 있는데 이걸 지수방정식의 풀이방법과 잘 조합한 게 지수부등식의 풀이 방법이에요.

지수부등식

지수방정식은 지수에 미지수가 있는 방정식이죠. 그럼 지수부등식은요? 지수에 미지수가 있는 부등식이에요. 방정식의 등호(=)가 부등식에서는 부등호(>, ≥, <, ≤)로 바뀐 것뿐이고요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해에서 이차함수의 그래프를 이용해서 이차부등식을 푸는 방법을 알아봤지요? 지수부등식에서도 지수함수의 그래프를 이용해서 풀면 훨씬 더 쉬워요.

먼저 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프의 특징을 간단하게 되짚어보죠.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

치역이 양수의 집합이니까 임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0이에요.

a > 1일 때의 그래프를 볼까요? 지수 x가 증가하면 결과 y도 증가해요.

지수함수 y = a^x (a > 1)의 그래프는 증가함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수가 지수도 커요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ < x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요.

0 < a < 1일 때의 그래프는 지수 x가 증가하면 결과 y는 감소해요.

지수함수 y = a^x (0 < a < 1)의 그래프는 감소함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수의 지수가 작아요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ > x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대예요.

정리해보죠.

• 임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
• a > 1일 때
  • a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
  • (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
• 0 < a < 1일 때
  • a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
  • (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수부등식을 풀 때는 밑을 같게 한 다음 위 성질을 이용해서 풀어요.

다음 지수부등식을 풀어라.
(1)
(2)

지수부등식에서 밑이 1보다 클 때는 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요. 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대고요.

(1) 우변의 무리수를 지수를 이용해서 나타내보죠.

밑이 2로 1보다 크니까 부등호의 방향이 같아요.

(2)

밑이 서로 다르니까 같게 해줘야겠네요.

밑이 0보다 크고 1보다 작으니까 부등호의 방향이 반대예요.

-x + 2 < 2x - 4
3x > 6
x > 2

이제는 항이 3개인 지수부등식을 풀어보죠. 항이 3개인 지수방정식은 어떻게 풀었나요? 지수방정식의 모양을 바꾼 후에 a^x = t로 치환해서 풀었죠? 지수부등식에서도 똑같이 치환해서 풀어요.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0의 해를 구하여라.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0
4 × 3^x × 3 - (3²)^x - 27> 0
-(3^x)² + 12 × 3^x - 27 > 0
(3^x)² - 12 × 3^x + 27< 0
t² - 12t + 27< 0                    (∵ 3^x = t로 치환)
(t - 9)(t - 3) < 0
3 < t < 9
3 < 3^x < 9                          (∵ t = 3^x)
3¹ < 3^x < 3²
1 < x < 2

밑 3이 1보다 크니까 방향은 그대로 두고 풀었더니 1 < x < 2가 나오네요.

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지수와 지수법칙, 지수함수에 이어 지수방정식이에요. 방정식은 이제까지 정말 많이 다뤘던 거니까 생소하지는 않죠?

지수방정식은 다른 방정식에 비해서 조금 더 쉽다고 할 수 있어요. 식 자체가 고차방정식보다 단순하거든요. 그리고 이차방정식, 고차방정식은 여러 가지를 공부했는데 지수방정식은 이 글 하나만 하면 끝나니까 양도 적지요.

지수의 조건과 방정식의 풀이라는 두 가지를 잘 조합하면 의외로 쉽게 풀 수 있는 단원이니까 천천히 한 번 읽어보세요.

지수방정식

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 그러니까 지수방정식은 이름 그대로 지수에 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠.

지수에 미지수가 있으면 지수방정식, 지수가 아닌 밑에 미지수가 있으면 지수방정식이 아니에요. 2^x = 4는 지수에 미지수가 있으니까 지수방정식이고 x² = 4는 밑에 미지수가 있는 이차방정식이에요. 둘을 잘 구별하세요.

지수함수, 지수함수의 그래프 y = a^x에서 밑 a가 모든 실수는 아니었죠? a > 0이고 a ≠ 1이었어요. 지수방정식에서도 밑은 양수이고 1이 아니에요.

지수방정식의 풀이

3^x = 9를 어떻게 풀까요?

간단히 하면 3^x = 9 = 3²니까 x = 2라는 답을 구할 수 있어요.

두 수가 같을 때, 밑이 같으면 지수도 같아야 하죠. 반대로 생각하면 두 수가 같을 때, 지수가 같다면 밑이 같아야 같아야 하고요.

이 두 가지가 기본적인 풀이법이에요.

a^f(x) = a^g(x) → f(x) = g(x)
a^f(x) = b^f(x) → a = b

첫 번째에서 만약에 a = 1이라면 어떻게 되나요? f(x) ≠ g(x)여도 1^f(x) = 1^g(x) = 1이에요. 사실 이런 경우는 거의 없어서 별로 신경 쓰지 않아도 되지만 혹시 밑에도 미지수가 있다면 a = 1인지 아닌지 확인해봐야 해요.

두 번째에서 f(x) = 0이라면 어떻게 될까요? (양수)⁰ = 1이에요. a ≠ b여도 a^f(x) = b^f(x) = 1이 되지요. 따라서 f(x) = 0인지 아닌지도 확인해야 해요.

정리해보죠.

지수방정식: 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식
밑이 같을 때: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (단, a > 0, a ≠ 1)
지수가 같을 때: a^f(x) = b^f(x) ⇔ a = b or f(x) = 0 (단, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

다음 지수방정식을 풀어라.
(1) 2^{x + 1} = 4³
(2)
(3)
(4) (x - 1)^{x + 2} = 5^{x + 2}

양변이 같을 때, 밑이 같으면 지수가 같고, 지수가 같으면 밑이 같아요. 그리고 지수가 0으로 같은지도 확인해야 하고요.

(1) 밑이 같게 식을 바꿔보죠.

2^{x + 1} = 4³
2^{x + 1} = (2²)³
2^{x + 1} = 2⁶

밑이 2로 같아요. 그러니까 지수가 같아야 하죠.

x + 1 = 6
x = 5

밑이 로 같으니까 지수를 비교해보죠.

2x + 4 = -2
x = -3

밑이 5로 같으니까 지수를 비교해보죠.

(4) 밑이 다르고 지수가 같아요. 이때는 지수가 0으로 같을 때와 밑이 같을 때로 나눠서 봐야 하죠.

ⅰ) 지수가 0일 때

x + 2 = 0
x = -2

ⅱ) 지수가 0이 아니고 밑이 같을 때

x - 1 = 5
x = 6

x = -2 or 6

이제까지는 항이 2개일 때를 봤어요. 항이 3개일 때도 있는데 풀이법이 달라요. 항이 3개면 치환을 이용해서 풀어요.

식에서 a^x = t로 치환하고 t에 대한 방정식을 푸는 거죠. 단 a > 0이고 a ≠ 1이니까 a^x > 0이라서 t > 0이에요.

지수방정식의 풀이법 2
a^x = t로 치환 (t > 0). (a > 0, a ≠ 1)

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16의 해를 구하여라.

항이 3개 이상인데 상수항을 계산하면 항이 3개예요. 치환할 수 있게 정리해보죠.

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16
(2²)^x + 2² × 2^x - 32 = 0
(2^x)² + 4 × 2^x - 32 = 0

여기서 2^x = t로 치환해보죠.

t² + 4t - 32 = 0
(t - 4)(t + 8) = 0
t = 4 or -8

2^x = 4 or -8

2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

2^x = -8
2^x > 0이므로 2^x = -8이 될 수 없다.

따라서 해는 x = 2

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지수함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

지수함수 그래프의 평행이동과 지수함수 그래프의 대칭이동이에요. 중학교 3학년 때 이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동을 공부했었죠? 함수의 종류만 달라졌을 뿐 그래프의 평행이동, 대칭이동이라는 건 똑같아요.

게다가 도형의 평행이동, 대칭이동은 1학년 때 공부했잖아요. 이 내용을 그냥 지수함수의 그래프에 적용한 것뿐이에요.

새로운 내용도 아니고 이미 공부했던 걸 아주 살짝 확장하는 것이니까 그냥 한 번 죽 읽어보세요.

지수함수 그래프의 평행이동

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 평행이동하면 어떻게 될까요? 점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 지수함수의 그래프에 적용해보죠.

일단 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요.

점을 평행이동하면 이동한 만큼 원래 점의 좌표에 더해줘요. (x, y)라는 점을 x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 그 결과는 (x + p, y + q)예요.

도형의 평행이동에서 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 f(x - p, y - q) = 0이 된다고 했어요. x 대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하죠.

f(x, y) = 0의 평행이동
x축 방향으로 p만큼 평행이동: x 대신 x - p. f(x - p, y) = 0
y축 방향으로 q만큼 평행이동: y 대신 y - q. f(x, y - q) = 0
x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동: x 대신 x - p, y 대신 y - q. f(x - p, y - q) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 어떤 특징이 있었나요? 그래프 자체뿐 아니라 꼭 지나는 점이 있었어요. (0, 1)과 (1, a)죠. 이 점도 평행이동하죠? 이동한 만큼 더해줘요.

그리고 점근선이 있었죠? 점근선은 x축 즉 y = 0이라는 직선이었어요. 이 직선은 x축 방향으로 평행이동해도 똑같아요. y축 방향으로 평행이동할 때는 y = 0 대신 y - p = 0이니까 y = p가 되지요.

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p를 넣어줘요.
y = a^x → y = a^{x - p}
(0, 1) → (p, 1), (1, a) → (1 + p, a)
점근선: y = 0 → y = 0

지수함수 y = a^x의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 넣어요.
y = a^x → y - q = a^x → y = a^x + q
(0, 1) → (0, 1 + q), (1, a) → (1, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y 대신 y - q를 넣어줘요.
y = a^x → y - q = a^{x - p} → y = a^{x - p} + q
(0, 1) → (p, 1 + q), (1, a) → (1 + p, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

이건 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지, 원래 식에 뭘 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 평행이동

y = ax의 그래프	y = ax - p의 그래프
y = ax + q의 그래프	y = ax - p + q의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

지수함수 그래프의 대칭이동

이번에는 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 대칭이동하면 어떻게 되는지 알아보죠.

이것 역시 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 했던 내용을 지수함수의 그래프에 적용하는 거예요.

f(x, y)= 0의 대칭이동
x축에 대하여 대칭이동: y 대신 -y. f(x, -y) = 0
y축에 대하여 대칭이동: x 대신 -x. f(-x, y) = 0
원점에 대하여 대칭이동: x 대신 -x, y 대신 -y. f(-x, -y) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를
x축에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^x → y = -a^x
y축에 대하여 대칭이동 하면 y = a^-x
원점에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^-x → y = -a^-x

지수함수의 그래프에서 y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이라는 걸 공부했었죠?

이것도 역시 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지 식에 어떻게 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 대칭이동

y = ax의 그래프	y = a-x의 그래프
y = -ax의 그래프	y = -a-x의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

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[고등수학/고1 수학] - 대칭이동 - 직선에 대하여 대칭이동(y = x, y = ax + b)

지수법칙에 이어 지수함수예요. 지수함수는 이름 그대로 지수를 이용한 함수예요.

x가 증가할 때 y는 증가하는지 감소하는지, 그래프가 어느 방향으로 향하는지, 반드시 지나는 점이 있는지 등 함수의 그래프를 공부할 때 알아야 하는 성질이 몇 가지 있죠? 지수함수의 그래프에서도 똑같이 그런 특징들을 알아볼 거예요.

그러니까 지수함수는 앞에서 했던 지수가 실수일 때 지수법칙, 일반적인 함수와 그래프의 두 내용이 섞여서 나와요. 이미 알고 있는 두 내용이니까 잘 읽어보면 이해하는 게 그렇게 어렵지는 않을 거예요.

지수함수

a > 0일 때, 임의의 실수 x에 대하여 a^x는 그 값이 하나만 있어요. x에 대하여 한 개의 값만 대응하니까 함수라고 할 수 있죠.

이 y = a^x를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 해요.

만약에 a = 1이면 y = 1이라는 상수함수가 되죠? 그래서 지수함수에서는 a ≠ 1이에요.

실수인 거듭제곱근에서 a < 0이고 n이 짝수일 때 y = 를 만족하는 실수는 없다고 했어요. 그러니까 a < 0도 안 돼요.

그래서 지수함수에서는 a > 0이라는 조건이 붙어요.

지수함수
실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)를 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

지수함수의 그래프

y = a^x에서 x = 0이면 y = 1이죠? x = 1이면 y = a예요. 즉, y = a^x의 그래프는 a와 관계없이 무조건 (0, 1), (1, a)라는 두 점을 지나요.

a > 1일 때를 보죠.

a = 2라고 해볼까요?

…
2^-3 =
2^-2 =
2^-1 =
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
…

지수가 커지면 커질수록 그 결과도 커져요. 반대로 지수가 작아지면 작아질수록 결과도 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 위로 향하는 그래프죠. 지수 x가 작아지면 y도 작아지는데, 0에 한없이 가까워지기만 할 뿐 0보다는 커요. 그래프가 점점 가까워지는 직선을 점근선이라 하죠? x축이 점근선이에요.

0 < a < 1일 때를 볼까요?

a = 이라고 해보죠.

지수가 작아지면 작아질수록 그 결과는 커져요. 반대로 지수가 커지면 커질수록 결과는 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 아래로 향하는 그래프죠. 여기서도 x축이 점근선이에요.

y = 2^x와 y = 의 값을 잘 보세요.

밑이 역수일 때 지수인 x의 부호가 반대면 y값이 같아요. 즉 밑이 역수인 두 지수함수는 y축에 대하여 대칭인 걸 알 수 있어요.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

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실수인 거듭제곱근
거듭제곱근의 성질
지수법칙 - 실수 지수, 정수 지수, 유리수 지수 비교

지수법칙 마지막 지수가 실수일 때예요. 사실 지수법칙은 별거 없어요. 중학교 때 공부했던 지수법칙과 똑같아요. 단지 지수의 종류가 달라지는 것뿐이에요.

그렇다고 결과만 알아서는 안 되겠죠. 지수의 종류가 달라져도 어떻게 해서 지수법칙이 성립하는지도 알고 있어야 해요.

끝으로 이제까지 공부했던 지수법칙에서 지수의 종류에 따라 조건들이 어떻게 달라지는지도 비교해보죠.

지수법칙 - 실수 지수

이제 지수가 실수일 때를 알아보죠. 지수가 유리수일 때는 지수의 확장 - 유리수 지수에서 알아봤으니까 지수가 무리수일 때만 알아보면 되겠죠?

지수가 무리수인 을 구해볼까요?

 = 1.414… 예요. 에 가까워지는 유리수 1, 1.4, 1.41, 1.414, …가 3의 지수라고 해보죠.

3¹, 3^1.4, 3^1.41, 3^1.414, …처럼 될 텐데 이 값들은 일정한 값이 가까워지는데 이 일정할 값을  로 정의할 수 있어요.

이처럼 지수가 무리수일 때도 a^x을 정의할 수 있죠.

지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에서 밑이 양수고, 지수가 유리수일 때 지수법칙이 성립했어요. 여기서는 밑이 양수이고 지수가 실수일 때의 지수법칙이 성립해요.

a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때
a^xa^y = a^{x + y}
a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

지수법칙을 그대로 적용하면 돼요.

지수법칙 비교

이제까지 지수법칙에서 지수가 정수일 때, 유리수일 때, 실수일 때를 공부했어요. 지수법칙 자체만 보면 계산 방식은 같아요. 밑이 같고 곱하기면 지수끼리 합, 밑이 같고 나누기면 지수끼리 차, 거듭제곱은 지수끼리 곱이죠.

하지만 지수의 종류에 따라 밑이 달라요. 그 차이를 비교해보죠. 외워야 하는 건 아닌데 그래도 알아두세요.

왜 이런 조건들이 붙는지는 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수, 지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에 나와 있어요.

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중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙은 지수가 자연수였지요? 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수에서는 지수가 정수일 때의 지수법칙을 알아봤고요.

지수의 체계가 한 단계씩 확장되고 있죠? 이제는 지수가 유리수일 때를 알아볼 거예요. 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 그리고 그때 지수의 조건은 무엇인지에 대해서 알아보죠.

단순히 지수법칙만 외우면 되는 게 아니라 어떤 경우에 지수법칙이 성립하는지도 알아두세요. 그리고 거듭제곱근과 어떤 관계가 있는지도 알아야 해요.

지수의 확장 - 유리수 지수

지수의 확장 - 정수 지수에서 공부했던 지수법칙 중에서 (a^m)ⁿ = a^mn가 있었어요. a ≠ 0이고, m, n은 정수죠.

이번에 유리수 p, q에 대해서도 (a^p)^q = a^pq가 성립하는지 알아볼까요?

정수 m, n에 대하여 p = , q = n을 대입해보죠.

을 n 제곱했더니 a^m이 되었어요. 반대로 말하면 은 a^m의 n 제곱근이라는 얘기죠.

모양을 보세요. a의 지수 에서 분자인 m은 제곱이 되고, 분모인 n은 제곱근이 되었어요.

실수인 거듭제곱근에서 제곱근호 안이 0보다 작고 n이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근은 없다고 했어요. 따라서 여기서는 실수인 거듭제곱근이 나올 수 있게 a > 0인 경우만 다뤄요. a = 0이면 그냥 0이니까 굳이 다룰 필요가 없고요.

n이 제곱근의 의미를 가지려면 n ≥ 2인 정수여야 해요.

정리해보죠.

유리수인 지수
a > 0이고, m, n(≥ 0)이 정수일 때

유리수인 지수가 있다는 걸 알아봤으니 지수법칙이 성립하는지도 알아보죠. 이게 복잡하고 기니까 하나씩 주의해서 잘 보세요.

정수 m, n , p, q (n, q ≥ 2)에 대하여 라고 해보죠.

첫 줄과 마지막 줄만 보면 a^ra^s = a^{r + s}예요.

지수가 유리수라서 유도 과정이 복잡해서 그렇지 그냥 밑이 같고 곱하기이면 지수끼리 더한다는 원래의 지수법칙에 지나지 않아요.

이외에도 우리가 알고 있던 지수법칙이 모두 성립해요.

지수가 유리수일 때 지수법칙
a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
a^ra^s = a^{r + s}
a^r ÷ a^s = a^{r - s}
(a^r)^s = a^rs
(ab)^r = a^rb^r

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)

지수가 유리수일 때의 지수법칙도 별반 다를 게 없어요. 그냥 지수끼리 더하고 빼고, 곱하면 되죠.

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단비스님의 블로그 티스토리 애드센스 모바일,PC용 배치와 반응형 광고 단위를 스킨에 넣는 방법이라는 글 마지막 부분에 애드센스 반응형 광고의 가로세로 크기를 0으로 해서 광고가 노출되지 않도록 하는 방식에 대한 소개가 나와요. 애드센스 행아웃 진행하셨던 켈리님께 질문한 캡처 화면도 있고요.

이제까지 애드센스 광고를 숨기는 건 정책위반이라고 알고 있어서 어떤 경우든 광고를 숨기면 안 되는 줄 알았거든요.

애드센스는 확답이 아니라 애매하게 답변해서 블로거들이 혼란을 느끼는 경우가 많아서 확답을 듣고 싶었어요. 크기를 0으로 하는 방법이 광고를 숨기는 게 아닌지 애드센스에 문의했고 답변을 받았습니다.

결론은 광고를 숨기는 행위가 아닌 정당한 광고 구현 방식이라는 거지요.

광고가 노출되는데 안 보이는 게 숨기는 거고, 노출 자체가 안되는 건 광고 구현 방식이라는 거지요.

참고로 반응형 애드센스의 고급(코드 수정 필요)에서 크기를 0으로 해야지 그냥 스킨의 style.css에서 크기를 0으로 하는 걸 말하는 게 아니니까 주의하세요. 외부스타일 시트에서 반응형 광고의 크기를 설정하는 건 지원되지 않아요. style.css를 이용해서 상위 컨테이너의 크기를 0으로 만드는 건 광고는 노출되는데 숨기는 행위라서 정책위반일 가능성이 매우 높고요.

사실 이 블로그 유입량의 70%는 모바일이에요. 모바일 페이지 상단에 320x100을 노출하고 있지만 수익이 거의 없거든요. 그래서 수입도 얼마 되지 않아서 떼버리고 싶었는데 상단 광고가 모바일에서는 안 보이고 데스크톱에만 보이게 하는 방법을 찾지 못해서 그냥 내버려두고 있었거든요.

이제는 반응형 광고의 크기 제한을 통해서 노출을 금지하는 것이 정책위반이 아니라는 걸 확실히 알았으니 이 방법을 이용해서 모바일 상단 광고를 떼기로 했습니다.

데스크톱에서만 336x280이 노출되고 모바일 화면에서는 제 책 광고가 나오도록 했어요. (수학방 책이 나왔습니다.)

조금 다른 방법으로 활용할 수 있을 거예요.

일반적으로 데스크톱에서는 상단 2개가 수익이 가장 많은데, 모바일에서는 상단 1개밖에 사용할 수 없어서 고민하는 분들을 많이 봤거든요. 모바일 화면에서는 광고의 위치를 다른 곳으로 옮기는 스크립트를 사용하는 분도 있고요.

이제 간단히 데스크톱 상단에 애드센스 2개를 나오게 한 다음에 모바일 화면에서는 둘 중 하나의 크기를 0으로 만들어서 노출하지 않도록 하는 것도 가능하죠.

반응형 광고 단위가 아니면 사용할 수 없는 방법이긴 하지만 대세가 반응형 광고이니만큼 적절한 방법으로 적절한 곳에 사용해보세요.

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수학방 책 목록 - 중등수학

	1학기	2학기	1, 2학기 통합
중학교 1학년	6,700원 자세히 보기	1학기 말 예정	1학기 말 예정
중학교 2학년	7,000원 자세히 보기	1학기 말 예정	1학기 말 예정
중학교 3학년	6,500원 자세히 보기	7,800원 자세히 보기	12,100원 자세히 보기

수학방 책 목록 - 고등수학

구분	2013년 이전 입학생 (2011, 2012, 2013년에 1학년)		2014년 이후 입학생 (2014, 2015, 2016년에 1학년)
1학년	고등수학 (상) 9,700원 자세히 보기	고등수학 (하) 10,700원 자세히 보기	수학 Ⅰ 10,700원 자세히 보기	수학 Ⅱ (여름 방학 중 예정)
2, 3학년	수학1, 수학 2, 적분과 통계, 기하와 벡터 등 (2015년 예정)		미적분 1, 2, 확률과 통계, 기하와 벡터 (2015년 예정)

아래는 책 내부 모습입니다. 사진 크기를 줄였더니 화질이 좀 떨어지네요.

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 다 기억하고 있죠? 지수가 자연수일 때 성립하는 법칙이었죠.

이 글에서는 중학교 때 공부했던 지수법칙을 조금 더 확장해보죠. 지수가 0이나 음의 정수일 때는 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

지수가 양의 정수(자연수)에서 정수 전체로 넓혀지지만, 지수법칙의 방법이 달라지거나 새로운 법칙이 나오는 게 아니니까 생각보다 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

공식으로 외우는 건 어려울 수 있어도 실제 계산을 해보면 훨씬 더 쉽다는 걸 느낄 거예요.

지수의 확장 - 정수 지수

중학교 때 공부했던 지수법칙부터 정리해보죠. 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

m, n이 자연수일 때

a^m × aⁿ = a^{m + n}

(a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m

(ab)^m = a^mb^m

지수 m, n이 자연수일 때였어요. 이제는 m, n이 자연수가 아니라 0이거나 음의 정수일 때는 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요.

지수법칙 첫 번째 a^m × aⁿ = a^{m + n}에서 a ≠ 0이고 m = 0이라고 해보죠.

a⁰ × aⁿ = a^{0 + n} = aⁿ

양변을 aⁿ로 나눠볼까요?

a⁰ × aⁿ = aⁿ
a⁰ = 1                  (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0일 때, a⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요.

이번에는 m = -n일 때를 보죠.

a^m × aⁿ = a^-n × aⁿ = a^{-n + n} = a⁰ = 1

이번에도 양변을 aⁿ로 나눠요.

a^-n × aⁿ = 1
a^-n =          (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0이고, n이 양의 정수일 때
a⁰ = 1, a^-n =

0은 0이고 -n은 음의 정수죠? 그러니까 이제부터는 지수가 양의 정수(자연수)뿐 아니라 0, 음의 정수일 때도 지수법칙을 활용할 수 있어요.

0이 아닌 수의 0제곱은 1이에요. 계산할 때 지수가 음의 정수면 숫자는 역수로 바꾸고 지수는 양의 정수로 바꿔서 하면 쉬워요. a^-n =

(-1)⁰ = 1, 2⁰ = 1,

지금까지는 a^m ÷ aⁿ에서 나눗셈 기호 앞, 뒤에 있는 수에서 어느 쪽이 지수가 더 크냐 작으냐를 따져서 계산했잖아요. 앞으로는 그럴 필요가 없어요.

a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}로 바로 계산해서 지수에 맞게 값을 고쳐주면 되는 거예요.

지수가 자연수일 때, 0일 때, 음수일 때를 한 번에 합쳐서 지수가 정수일 때로 정리해보죠.

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

참고로 a = 0이고 지수 m이 자연수인 경우인 0², 0³등은 정의할 수 있어요. 0 × 0 = 0, 0 × 0 × 0 = 0이죠. 하지만 지수 m이 0이거나 음수인 경우인 0⁰, 0^-1, 0^-2 등은 정의하지 않아요. 네이버캐스트 - 0의 0제곱은?

다음을 간단히 하여라.
(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
(2) (a²b^-3)⁴

(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
= a⁶ × a⁴ ÷ a^-5
= a^{6 + 4 - (-5)}
= a¹⁵

(2) (a²b^-3)⁴
= (a²)⁴(b^-3)⁴
= a⁸b^-12
=

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