수학방

수학방 블로그를 책으로 만든지 벌써 3개월이 지났어요. 한꺼번에 모든 책이 다 나온 건 아니고 한 달에 한 권 정도 정리하는 시간이 걸렸죠. 지금까지 총 8개가 나왔습니다.

처음에는 책으로 만들 생각은 없었는데, 책으로 나오면 더 편할 것 같다는 댓글들이 있어서 책을 만들기로 했죠.

사실 책이 나오고 나서 블로그 운영은 더 안 좋아졌어요. 신규 방문자보다는 블로그 고정방문자들께서 책을 사는데, 책을 산 후에는 블로그에 거의 방문하지 않으니까요. 고정방문자가 줄면서 방문자 수도 줄고, 페이지뷰도 줄고, 애드센스 수익도 줄었습니다. 특히 페이지뷰가 높은 게 수학방 블로그의 가장 큰 좋은 점이었는데 이 부분에서 피해(?)가 커요.

그래도 책을 계속 낼 생각입니다. 새로운 내용을 쓰는 것도 아니고, 블로그에 있는 걸 그대로 다시 쓰는 거라서 어려운 작업은 아니거든요. 수식을 새로 써야 해서 매우 매우 매우 귀찮기는 하죠.

기본적으로 수학이라는 과목은 종이에 써가면서 공부해야 하는데 모니터를 보면서 눈으로 하는 공부는 한계가 있어요. 책으로 공부하는 게 훨씬 나으니까 웬만하면 책으로 공부할 수 있도록 하는 게 하는 게 좋을 것 같아요.

아무튼, 3개월이 지나서 처음으로 판매액 중 일부를 정산받았습니다. 가격과 정산 비율은 제가 정한 게 아니라 교보문고에서 정해준 대로 받아요.

Q: 개인 작가 회원의 정산 방식을 알려주세요.

A: 전월 판매액을 정산하여 지불 금액이 10만 원 이상인 분들은 지급 대상이 되며, 10만 원이 넘지 않을 때에는 자동 이월됩니다. 정산 대상 기간은 매월 전 월 판매분이며, 자세한 판매 내역 및 안내는 계약 시 안내된 파트너 페이지(PubPle 작가의 경우 [내 책 판매 조회])를 통해 확인하시기 바랍니다.

2월 정산액이 10만 원을 넘지 않아서 이월됐는데, 3월 정산액까지 합한 15만 원이 넘어 4월 말에 정산받았습니다.

정산일이 정확하게 쓰여 있지 않아서 그냥 말일을 예상하고 있었는데 25일에 입금되었네요. 어디나 다 그렇듯 세금 3.3% 제외하고 입금되었어요.

애드센스도 25일경에 입금되는데 이제 25일이 기다려지겠군요.

POD는 판매 열흘 뒤에 판매액으로 인정되니까 3월 말에 팔린 책들이 4월 초 수익으로 잡혀요. 그래서 4월에도 정산을 받을 정도는 되네요.

한 가지 아쉬운 점은 학생들 교재라 시즌을 많이 타요. 학기 초인 2월 중순부터 3월 말까지는 책이 어느 정도 팔렸는데, 4월 들어서는 거의 팔리지 않았어요. 특히 4월 10일 이후에는 판매가 뚝 끊겼어요. 일주일에 한 두 권 정도. 학기를 시작한 지 한 달이나 지났으니까 굳이 새 교재를 살 필요는 없겠죠. 저 같아도 안 살 거예요.

앞으로 2학기가 될 때까지는 판매가 거의 없어서 계속 이월될 것 같아요. 3, 4월에 정산받고, 계속 이월되다가 9, 10월에 정산받는 패턴이 계속될 것 같네요.

재미있는 건 블로그 방문자는 방학과 학기 초에는 별로 없는데, 책은 이와 반대로 방학 중, 학기 초에 팔리는군요.

블로그를 이런 방법으로도 활용할 수 있다는 걸 알려드리려고 정산받은 사실을 써봤어요.

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순열에서 가장 중요한 건 뽑는 순서에 따라 결과가 달라진다는 거예요. 그래서 뽑는 순서가 중요한지 아니면 중요하지 않은지를 잘 구별해야 해요.

문제에 따라서 한 개의 순열로 답을 구할 수 있는 경우도 있고, 여러 개의 순열을 구하여 계산해야 답을 얻을 수 있는 경우도 있어요. 또, 순열이 아니라 그냥 경우의 수를 구해야 하는 경우도 있고요.

어떤 유형에서 어떤 순서를 구할 때 순열을 쓸 것인지, 또 여러 개의 순열을 구해야 하는지를 잘 비교해 보세요.

유형이 많아서 다 다루지는 않고 간단한 것 몇 가지만 해보죠.

순열의 활용

0, 1, 2, 3, 4의 숫자가 적힌 숫자카드 다섯 장 중에서 세 장을 꺼내어 세 자리 자연수를 만들려고 한다. 경우의 수를 구하여라.

세 자리 자연수니까 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 구성할 세 장의 카드가 필요해요. 다섯 장중의 세 장을 뽑는 거니까 ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60일 것 같죠?

그런데 백의 자리가 0이 되면 세 자리 자연수가 아니죠? 따라서 백의 자리는 0이 올 수 없어요. 백의 자리에 올 수 있는 숫자 카드는 1, 2, 3, 4중 하나니까 경우의 수는 4죠?

십의 자리, 일의 자리에 올 카드 두 장을 뽑아야 하는데 백의 자리에서 한 장을 뽑았으니까 남은 카드는 0을 포함한 네 장이에요. 네 장의 카드에서 두 장을 순서대로 뽑아야 하니까 ₄P₂ = 4 × 3 = 12가지예요.

백의 자리 숫자 카드를 뽑는 경우와 십의 자리, 일의 자리 숫자 카드를 뽑는 사건이 둘 다 동시에 일어나야 하니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야겠네요.

세 자리 자연수를 만드는 경우의 수
= (백의 자리 카드를 뽑는 경우의 수) × (십의 자리, 일의 자리 카드를 뽑는 경우의 수)
= 4 × ₄P₂= 4 × 12= 48

숫자 유형에서는 첫 번째 자리에 0이 올 수 없다는 걸 주의해야 해요.

SM엔터테인먼트 회사에서 회식하기로 했다. 바쁜 일정 때문에 모든 그룹이 참여하지는 못하고 소녀시대 9명, f(x) 5명, 샤이니 5명, EXO 12명이 참여하였다. 같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃하여 앉을 때, 테이블에 앉은 방법의 수를 구하여라.

같은 그룹 멤버끼리 서로 이웃해서 앉아야 하니까 소녀시대는 소녀시대끼리 샤이니는 샤이니끼리 앉아야 해요.

예를 들어 (소녀시대), (샤이니), (f(x)), (EXO) 이런 식으로 앉을 수도 있고 (소녀시대), (EXO), (샤이니), (f(x)) 이런 식으로 앉을 수도 있죠? 즉 네 그룹이 서로 순서를 바꿔서 앉을 수 있어요. 그러니까 그룹이 앉는 방법의 수는 ₄P₄죠.

그런데 소녀시대 그룹 안에서도 멤버 9명이 자리를 앉는 방법이 있어요. 9명 멤버 모두가 순서대로 앉는 거니까 ₉P₉죠. f(x)도 샤이니도 EXO도 각 그룹 안에서 멤버들이 앉는 방법이 있고요. ₅P₅, ₅P₅, ₁₂P₁₂가 될 거예요.

그룹이 앉는 것, 각 그룹의 멤버들이 앉는 건 모두 동시에 일어나니까 곱의 법칙으로 경우의 수를 구해야 해요.

따라서 답은 ₄P₄ × ₉P₉ × ₅P₅ × ₅P₅ × ₁₂P₁₂ = 4! × 9! × 5! × 5! × 12! 이에요.

숫자가 너무 크니까 계산은 하지 않을게요.

여기서 가장 중요한 건 이웃해야 하는 것들을 하나의 묶음으로 보는 거예요. 각 그룹의 멤버들끼리 이웃해서 앉는 거니까 각 그룹을 하나의 묶음으로 보는 거지요. 그 묶음들을 배치하는 경우의 수를 구해요. 그리고 각 묶음 안에서 자리 배치를 하는 경우의 수를 구하는 거죠. 묶음을 배치하는 것과 묶음 안에서 배치하는 건 동시에 일어나는 사건이니까 이 두 개를 곱해요.

이웃하는 경우의 수를 구하는 순서예요.

1. 이웃하는 것을 하나의 그룹으로 묶어서 계산
2. (묶음을 배치하는 순열) × (각 묶음 안에서 구성원을 배치하는 순열)

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이제까지 등차수열을 공부했는데, 이제는 등비수열에 대해서 공부할 거예요.

이름만 잘 봐도 둘의 차이를 알 수 있어요. 등차수열과 등비수열에서 다른 건 "차"가 "비"로 바뀐 것뿐이에요. 이 점만 잘 생각해보면 등차수열에서 했던 내용을 바탕으로 해서 쉽게 공부할 수 있어요.

등차수열에서도 등차수열의 뜻과 일반항, 등차중항을 공부했듯이 여기서도 등비수열의 뜻과 등비수열의 일반항, 등비중항에 대해서 알아보죠.

등비수열

1, 2, 4, 8, 16, …은 어떤 특징이 있나요? 바로 앞항에 2를 곱해서 얻어지는 항을 죽 적어놓은 수열이에요.

등차수열은 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이라면 등비수열은 첫째항에 일정한 수를 곱해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요.

등차수열에서 더해지는 일정한 수를 공차라고 하죠? 등비수열에서 곱해지는 일정할 수를 공비라고 해요. 공차는 공통된 차이, 공비는 공통된 비를 뜻하죠. 등차수열에서 등비수열로 바뀐 것처럼 공차도 공비로 바뀌었어요.

1, 2, 4, 8, 16, …을 보죠.

제1항 = 1
제2항 = 제1항 × 2 = 2
제3항 = 제2항 × 2 = 4
제4항 = 제3항 × 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 곱해서 새로운 항을 얻었으니까 공비는 2이에요.

등비수열에서 등비(等比)는 비가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 비, 제2항과 제3항의 비, …, 제(n - 1)항과 제n항의 비, …가 같아요. 이 비가 바로 공비예요. 보통 비는 비례로 나타내기도 하지만 분수로 나타내기도 하죠? 여기서는 비를 분수를 이용해서 구해요.

다시 1, 2, 4, 8, 16, …을 보죠.

각 항과 바로 앞의 항의 비가 모두 2로 같아요. 그러니까 공비가 2인 거죠.

등비수열은 Geometric Progression을 줄여서 G.P라고 하고 공비(Common Ratio)는 r이라고 나타내요.

주의할 점은 첫째항 a₁ ≠ 0이에요. 첫째항이 0이라면 어떤 수를 곱해도 모든 항이 다 0이 되어버리죠. 그리고 공비 ≠ 0이에요. 공비가 0이라면 첫째항이 어떤 항이더라도 나머지 모든 항이 0이 되어버려요. 따라서 별다른 얘기가 없다면 등비수열에서 첫째항 a₁과 공비 r은 0이 아니에요. 첫째항과 공비가 0이 아니니까 모든 항이 0이 아니겠죠?

등비수열: 첫째항에 일정한 수를 곱해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공비(r): 각 항에 곱해지는 일정한 수

(단, a₁ ≠ 0, r ≠ 0)

등비수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. r은 공비고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ × r
a₃ = a₂ × r = (a₁ × r) × r = a₁ × r²
a₄ = a₃ × r = (a₁ × r²) × r = a₁ × r³
a₅ = a₄ × r = (a₁ × r³) × r = a₁ × r⁴
a_n = a_{n - 1} × r = {a₁ × r^{(n - 2)}} × r = a₁ × r^{(n - 1)}

마지막 줄을 보면 등비수열의 일반항 a_n = a₁ × r^{n - 1}라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공비를 알면 등비수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항
a_n = ar^{n - 1}      (단, n은 자연수)

다음 등비수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, r = -2
(2) a₂ = -10, a₅ = 10
(3) 2, 6, 18, 54, 162, …

제1항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 일반항은 a_n = ar^{n - 1}이에요.

(1) 제1항과 공비를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 20 × (-2)^{(n - 1)} = 5 ×(-2)² × (-2)^{n - 1} = 5 × (-2)^{n + 1}

(2)번은 공비를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 다섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공비를 구해보죠.

a_n = ar^{n - 1}
a₂ = ar^{2 - 1} = -10
ar = -10

a_n = ar^{n - 1}
a₅ = ar^{5 - 1} = 10
ar⁴ = 10

두 식을 나누면 r³ = -1 → r = -1

r = -1을 대입하면 a = 10이 나와요.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 10 × (-1)^{n - 1}

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공비는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 앞의 항을 뒤의 항으로 나눠주면 구할 수 있어요.

제1항이 2, 공비가 3이네요.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 2 × 3^{n - 1}

등비수열 3, 9, 27, 81, …에서 처음으로 10,000보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라. (단, log3 = 0.4771)

먼저 일반항을 구해야겠네요.

a_n= ar^{n - 1} = 3 × 3^{n - 1} = 3ⁿ

3ⁿ이 10,000보다 클 때니까 부등식을 세워보죠.

n은 자연수니까 8.3840보다 큰 9일 때 10,000보다 크네요. 따라서 답은 제9항입니다.

등비중항

등차중항은 세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때 가운데 b가 a, c의 등차중항이고 였어요.

등비중항은 세 수 a, b, c가 순서대로 등비수열을 이룰 때 가운데 b가 a, c의 등비중항이에요.

공비를 r이라고 하면 b = ar, c = br이죠.

등비중항
세 수 a, b, c가 순서대로 등비수열을 이룰 때, b는 a, c의 등비중항
b² = ac

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조합에 대해서 공부했으니까 이번에는 조합의 활용에 대해서 공부해보죠.

순열은 뽑는 순서가 중요하고 조합은 뽑는 순서는 상관이 없어요. 활용 문제는 주관식으로 나오니까 문제를 읽고 뽑는 순서가 중요한지 중요하지 않은지를 잘 파악해야 해요. 뽑을 때 꼭 뽑아야 하는 게 있는지 뽑으면 안 되는 게 있는지도 영향을 주니까 그 부분도 주의해야 하고요.

그리고 뽑기 문제가 아닐 때도 조합을 이용해서 풀어야 하는 경우가 있어요. 이런 문제는 순열과 조합의 활용이라고 알아채기가 매우 어렵습니다. 따라서 유형을 잘 익혀두세요.

조합의 활용

한 반의 학생 수가 30명일 때 다음을 구하여라.
(1) 반장 1명, 부반장 1명을 뽑는 경우의 수를 구하여라.
(2) 주번 2명을 뽑는 경우의 수를 구하여라.

(1)번은 총 2명을 뽑는데, 한 명은 반장, 한 명은 부반장이에요. 반장과 부반장을 뽑을 때는 순서가 중요해요. 뽑히는 순서에 따라 역할이 달라지니까요. 그럼 순열로 풀어야 하죠?

30명 중에 두 명을 뽑는 거니까 ₃₀P₂ = 30 × 29 = 870(가지)

(2)번은 30명 중에서 2명을 뽑는데, 둘 다 주번이라서 역할이 같아요. 뽑히는 순서가 중요하지 않죠. 조합으로 풀어야 해요.

₃₀C₂ = 30 × 29 ÷ 2 = 435(가지)

수정이는 라면을 끓여 먹으려고 한다. 라면, 수프, 물, 떡, 달걀, 치즈, 만두, 파, 김치의 9가지 재료 중 라면, 수프, 물을 포함하여 5가지를 선택해서 라면을 끓인다고 할 때, 라면을 끓일 수 있는 경우의 수를 구하여라.

여기서 선택할 때 순서를 중요하지 않죠? 그러니까 조합을 이용해서 경우의 수를 구해야 해요.

9가지 중의 5가지를 선택해서 라면을 끓일 수 있어요. 그러니까 ₉C₅인 것 같죠?

하지만 라면, 수프, 물의 세 가지는 꼭 포함해야 해요. 그렇다면 수정이가 실제로 선택할 수 있는 건 라면, 수프, 물의 세 가지를 제외한 떡, 달걀, 치즈, 만두, 파, 김치의 6가지 중 2가지예요. 그러니까 전체 재료의 수와 선택할 수 있는 재료의 수 모두에서 3을 빼줘야 해요.

₉C₅ → _{9 - 3}C_{5 - 3} = ₆C₂

위 식의 -3에서 3은 라면, 수프, 물을 의미해요.

(가지)

부분집합의 개수 구하기에서 특정한 원소 k개를 반드시 포함하는 부분집합의 개수를 구했어요. 이때 특정한 원소 k개를 제외한 원소를 이용해서 부분집합을 구하고 그 특정한 원소를 부분집합에 넣어주는 방법을 이용했었죠? 즉, (특정한 원소 k개를 반드시 포함하는 부분집합의 개수 ) = (특정한 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 )라는 거죠.

여기서도 같아요. 어떤 항목을 반드시 포함되어야 할 때는 그 항목을 뺀 그 나머지를 이용해서 경우의 수를 구하는 거죠. (특정한 항목을 반드시 포함하는 경우의 수) = (특정한 항목을 제외한 경우의 수)예요.

수정이는 라면을 끓여 먹으려고 한다. 라면, 수프, 물, 떡, 달걀, 치즈, 만두, 파, 김치의 9가지 재료 중 라면, 수프, 물을 포함하여 5가지를 선택해서 라면을 끓인다고 할 때, 라면을 끓일 수 있는 경우의 수를 구하여라. (단, 달걀과 치즈 중 적어도 하나는 넣어야 한다.)

문제를 살짝 바꿨어요. 나머지는 다 똑같고 달걀과 치즈 중 적어도 하나는 넣어야 해요. 달걀과 치즈 둘 다를 넣어도 되고, 달걀만 넣거나 치즈만 넣어도 괜찮아요.

이런 문제도 부분집합의 개수 구하기에서 했어요. 특정한 원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 거였죠. 이때는 (전체 부분집합의 개수) - (특정한 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)를 이용해서 구했어요.

치즈도 없고 달걀도 없는 조리 방법의 수는 처음부터 라면과 치즈가 선택 목록에 없었다고 생각하면 쉽게 구할 수 있어요. 떡, 만두, 파, 김치의 4가지 중에서 2가지를 선택하는 방법의 수와 같죠.

그리고 전체 라면 조리법 수에서 달걀과 치즈가 둘 다 없는 라면 조리법 수를 빼면 둘 중 적어도 하나를 포함하는 조리법 수를 구할 수 있어요.

전체 라면의 조리 방법 개수는 위에서 구한 것처럼 _{9 - 3}C_{5 - 3} = ₆C₂ = 15
치즈도 없고 달걀도 없는 라면의 조리 방법 수 = _{6 - 2}C₂ = ₄C₂ = 6

라면, 수프, 물은 반드시 포함하고 치즈와 달걀 중 적어도 하나는 포함하는 라며 조립법 수 = 15 - 6 = 9

전체 n가지 중 r가지를 선택할 때
p가지를 반드시 포함해야 하는 경우의 수 = _{n - p}C_{r - p}
p가지 중 적어도 하나를 포함해야 하는 경우의 수 = (전체 경우의 수) - (p가지를 포함하지 않는 경우의 수) = _nC_r - _{n - p}C_r

다음 그림에서 사각형의 총 개수를 구하여라.

보통 이런 형태의 문제는 어떻게 풀었나요?

사각형 1개짜리: (3 × 4) = 12
사각형 2개짜리: (2 × 4) + (3 × 3) = 17
사각형 3개짜리: (1 × 4) + (2 × 3) = 10
사각형 4개짜리: (2 × 3) + (1 × 3) = 9
사각형 6개짜리: (1 × 3) + (2 × 2) = 7
사각형 8개짜리: 2
사각형 9개짜리: 2
사각형 12개짜리: 1

12 + 17 + 10 + 9 + 7 + 2 + 2 + 1 = 60(개)

다른 방법으로 한 번 풀어보죠.

사각형에서 각 선분에 이름을 붙여봤어요. 가로줄은 a, b, c, d, e, 세로줄은 ①, ②, ③, ④

a, b와 ①, ②가 있으면 사각형을 한 개 만들 수 있어요. 또, a, b와 ①, ③이 있으면 사각형을 만들 수 있고요. 이런 식으로 가로줄 2개와 세로줄 2개가 있으면 사각형을 만들 수 있어요.

가로줄은 총 5개가 있는데 그중 2개를 선택할 수 있죠. 세로줄은 총 4개가 있는데 그중 2개를 선택하고요. 가로줄과 세로줄에서 모두 2개씩을 골라야 하니까 곱의 법칙을 이용해야겠네요.

₅C₂ × ₄C₂ = 10 × 6 = 60

조합을 이용하니까 더 쉽게 풀 수 있죠?

일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n개의 점에서 두 점을 잇는 직선의 개수 = _nC₂
일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n개의 점에서 세 점을 잇는 삼각형의 개수 = _nC₃
가로 m개의 선과 세로 n개의 선이 만나서 생기는 사각형의 개수 = _mC₂ × _nC₂

직선은 서로 다른 두 점을 연결하면 생겨요. 따라서 두 점의 개수를 구하는 방법과 직선의 개수는 같아요. 삼각형은 서로 다른 세 점을 연결하면 생기니까 세 점의 개수를 구하는 방법의 개수와 삼각형의 개수가 같고요. 마지막 사각형의 개수는 위 예제에서 했던 거예요.

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등차수열에 이어 조화수열에 대해서 알아보죠. 조화수열은 등차수열과 아주 밀접한 관계가 있어요.

조화수열의 일반항을 구할 건데 이때 등차수열의 여러 성질을 이용합니다. 따라서 등차수열의 성질과 여러 내용을 잘 이해하고 있어야 해요.

조화중항이라는 것도 알아볼 거예요. 조화중항은 등차수열의 등차중항과 관계가 있으니까 등차중항에 대해서도 알고 있어야 하죠.

조화수열

등차수열은 첫째항에 일정한 수(공차)를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요. 등차수열의 각 항의 역수로 이루어진 수열을 조화수열이라고 해요. 다시 말해 어떤 수열의 역수들이 등차수열을 이룰 때 이 수열을 조화수열이라고 하지요.

어떤 수열의 일반항을 a_n이라고 표현하니까 이 수열의 역수인 수열의 일반항은 이 되겠죠?

기준을 어디에 둘 것인가가 중요한데, 조화수열의 일반항을 a_n이라고 한다면 역수인 등차수열의 일반항은 이 될 것이고, 등차수열의 일반항을 a_n이라고 한다면, 조화수열의 일반항은 이 되는 거죠.

여기서는 조화수열이 중요하니까 조화수열의 일반항을 a_n, 그 역수로 된 등차수열의 일반항을 이라고 하죠.

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열
조화수열: a₁, a₂, a₃, … , a_n, …
등차수얼:

조화수열의 일반항 구하기

조화수열의 역수가 등차수열이니까 이를 이용해서 조화수열의 일반항을 구해요.

제1항이 a₁, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n - 1)d죠?

그런데 a_n는 조화수열의 일반항이니까 등차수열의 일반항은 역수인 로 나타낼 수 있어요. 또 조화수열의 제1항을 a₁이라고 한다면 등차수열의 제1항은 이 되고요.

조화수열은 그 자체가 어떤 특징이 있는 게 아니라서 공차를 구할 수 없어요. 대신 역수인 등차수열에서는 공차를 구할 수 있죠. 공차는 등차수열에서 구하는데, 공차 d = a₂ - a₁로 구해요. 하지만 여기서도 a₁, a₂는 조화수열의 항을 나타내니까 그 역수를 이용해서 으로 구해요.

이걸 공식에 대입해보죠.

이건 조화수열의 일반항 a_n이 아니라 역수인 등차수열의 일반항 이에요. 이렇게 구한 결과의 양변을 역수로 취한 것이 우리가 구하려고 하는 조화수열의 일반항이에요.

조화수열의 일반항을 구하는 방법을 정리하면 아래와 같아요.

1. 조화수열의 일반항 a_n의 역수를 취하여 등차수열 수열의 일반항 로 바꾼다.
2. 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 을 구한다.
3. 등차수열의 일반항 의 역수를 취하여 조화수열의 일반항 a_n으로 바꾼다.

다음 조화수열의 일반항을 구하여라.

조화수열이니까 그 역수가 등차수열을 이뤄요. 등차수열로 적어보죠.

첫째항이 2이고 공차 d = 4 - 2 = 2인 등차수열이네요.

등차수열의 일반항이 이니까 역수를 취하면 조화수열의 일반항은 이에요.

조화중항

등차수열에는 등차중항이라는 게 있었어요. 조화수열에도 조화중항이 있어요.

세 수 a, b, c가 차례로 조화수열을 이룰 때, b가 a, c의 조화중항이에요.

조화중항을 구하는 방법은 조화수열의 일반항 구할 때와 같아요. 역수를 취해서 등차중항을 구한 다음 다시 역수를 취해요.

역수를 취해보죠.

역수를 취하면 이 세 역수는 순서대로 등차수열을 이루고, 여기서 은 의 등차중항이에요. 등차중항은 두 수의 산술평균이죠?

세 수 a, b, c가 순서대로 조화수열을 이룰 때

b는 a, c의 조화중항

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등차수열의 합 공식을 알아봤는데요. 여기서는 이 등차수열의 합 공식을 이용해서 등차수열을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 이렇게 구한 등차수열은 어떤 특징을 가졌는지 알아보죠. 특히 등차수열의 합으로 구한 일반항에서 제1항부터 등차수열이 아닌 경우도 있으니까 이 부분을 주의해서 보세요.

그리고 등차수열의 일반항의 성질에서 일반항의 모양만 보고 공차와 제1항을 구할 수 있었죠? 마찬가지로 등차수열의 합 공식을 보고 공차와 제1항을 바로 구할 수 있어요. 어떻게 구하는지 알아보죠.

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계

등차수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
S_n = a₁ + a₂ + … + a_n = S_{n - 1} + a_n

마지막 줄을 보죠.

S_n = S_{n - 1} + a_n
a_n = S_n - S_{n - 1}

등차수열의 합을 이용해서 등차수열의 일반항을 구할 수 있어요.

이 내용을 수식으로 표현하면 아래처럼 되겠죠?

그림으로 표현해볼까요?

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 일단 여기서는 제2항부터 등차수열이라는 것만 확인할 수 있어요.

그럼 제1항부터 등차수열인지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?

a_n에 n = 1을 대입해서 S₁와 값이 같으면 제1항을 일반항으로 표시할 수 있으니까 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요. 만약에 a_n에 n = 1을 대입한 값과 S₁의 값이 다르면 제1항을 일반항으로 표시할 수 없다는 뜻으로 이 수열은 제2항부터 등차수열이에요.

등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
a₁ = S₁
a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2)
(a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → 제1항부터 등차수열
(a_n에 n = 1을 대입) ≠ S₁ → 제2항부터 등차수열

제1항이 a, 공차가 d일 때, 제1항부터 제n항까지의 등차수열의 합은 이에요. 전개해서 정리해보죠.

S_n을 전개해서 정리했더니 n에 대한 이차식이라는 걸 알 수 있어요. 상수항은 0이고요.

특히 2차항의 계수 A = 예요. 공차 d는 (이차항의 계수) ×2죠. 2A = d

a₁ = S₁인데 S₁ = A + B고요.

등차수열 일반항의 성질에서 등차수열의 일반항 a_n = An + B꼴로 n에 대한 일차식이라고 했어요. n의 계수가 공차 d고 제1항은 A + B였죠? 함께 외워두면 좋아요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 합 S_n = An² + Bn일 때 (n은 자연수)
  공차 d = 2A
  a₁ = S₁ = A + B

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

제n항 a_n = S_n - S_{n - 1}이에요. 대입해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n - {2(n - 1)² + 3(n - 1)}
    = 2n² + 3n - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3)
    = 2n² + 3n - 2n² + n + 1
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 = 5

등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 공차 d = A = 4, 등차수열의 합 S_n = An² + Bn에서 공차 d = 2A = 2 × 2 = 4인 것도 추가로 확인할 수 있어요.

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5로 S₁과 같아요. 따라서 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요.

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n + 4일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

위 예제와 다른 점이 보이나요? 위에서는 S_n에서 상수항이 0이었는데 여기서는 4예요.

방법은 똑같으니까 한번 해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n + 4 - {2(n - 1)² + 3(n - 1) + 4}
    = 2n² + 3n + 4 - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3 + 4)
    = 2n² + 3n + 4 - 2n² + n - 3
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 + 4 = 9

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5 ≠ S₁ = 9죠? 따라서 이 수열은 제2항부터 등차수열인 수열이에요.

S_n에서 상수항 = 0이면 제1항부터 등차수열, 상수항 ≠ 0이면 제2항부터 등차수열이에요.

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이번 글에서는 등차수열의 각 항을 더한 등차수열의 합을 구할 거예요.

아주 간단히 생각만 살짝 바꾸면 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있어요. 방법은 어렵지 않으니까 그 원리를 금방 이해할 수 있을 거예요. 등차수열의 합 공식은 두 가지예요. 사실은 한 가지인데, 등차수열에서 어떤 조건을 알려주느냐에 따라 모양이 다르니까 둘의 차이를 잘 비교하세요.

문제를 활용하기에 따라서 쉬운 문제와 어려운 문제의 수준 차이가 많이 나니까 문제를 풀 때 집중해서 잘 봐야 해요.

등차수열의 합

등차수열 1, 2, 3, 4, 5, …, 10을 이루는 항들의 합을 구해볼까요?

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 …… ①

바로 계산할 수도 있는데 우변의 순서를 거꾸로 해보죠.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 …… ②

순서를 바꿔놓고 봤더니
①식의 제1항 1과 ②식의 제1항 10을 더하면 11
①식의 제2항 2와 ②식의 제2항 9를 더하면 11
①식의 제3항 3과 ②식의 제3항 8을 더하면 11
①식의 제10항 10과 ②식의 제10항 1을 더하면 11

①과 ②식은 총 열 개의 항으로 되어 있는데 같은 순서에 있는 항끼리 더하면 모두 11로 같아요. 11인 항이 10개 있으니까 그 합은 11 × 10이에요. 그런데 이건 S가 아니라 2S죠. 2로 나눠주면 S = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10을 구할 수 있어요.

식으로 정리해보죠. ①과 ② 두 식을 더해요.

① + ②
2S = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + … + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1)
2S = 11 + 11 + 11 + … + 11 + 11 + 11
2S = 11 × 10
S = 55

1부터 10까지 자연수를 모두 더하면 55가 나와요.

더해야 하는 항의 순서를 거꾸로 해서 한 번 더 더하면 그냥 더하는 것보다 훨씬 더 계산이 쉬워져요.

이번에는 등차수열 a_n의 제1항부터 제n항까지 합을 구하는데 그 합을 S_n이라고 해보죠.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n - 1} + a_n

첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d이죠? 그리고 합을 구하는 마지막 제n항 a_n을 l이라고 해보죠.

a₁ = a
a₂ = a + d
a₃ = a + 2d
a₄ = a + 3d
a_{n - 1} = a + (n - 2)d = l - d
a_n = a + (n - 1)d = l

위 내용을 S_n에 대입해요.

S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l - 2d) + (l - d) + l …… ③

우변은 a₁부터 a_n까지 순서대로 더하는 건데 이 순서를 거꾸로 해볼까요?

S_n = l + (l - d) + (l - 2d) +  … + (a + 2d) + (a + d) + a …… ④

두 식을 더해보죠.

제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요.

원래 마지막 항 l = a_n = a + (n - 1)d니까 대입해보면,

등차수열의 합 공식을 두 개 얻었어요. 처음 공식은 n, a, l로 이루어져 있죠? 첫째항과 마지막 항을 알 때 사용하는 공식이에요. 두 번째 공식은 n, a, d로 이루어져 있으니까 첫째항과 공차를 알 때 사용하는 공식이에요.

등차수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n
첫째항이 a, 마지막 항이 l일 때:
첫째항이 a, 공차가 d일 때:

다음을 구하여라.
(1) 제10항이 17, 제20항이 37인 등차수열의 제1항부터 제20항까지의 합
(2) 두 자리 자연수 중에서 2의 배수 또는 5의 배수의 합
(3) 제1항부터 제10항까지의 합이 120, 제11항부터 제20항까지의 합이 320인 등차수열의 제21항부터 제30항까지의 합

(1)번에서 합을 구하는 끝항을 알려줬어요. 첫 항만 구하면 되겠네요.

a₁₀ = a + 9d = 17
a₂₀ = a + 19d = 37

연립해서 풀어보면 d = 2, a = -1이 나와요.

합을 구하는 등차수열의 첫 항과 끝항을 알았으니까 공식에 대입해보죠.

답은 360이네요.

(2) 두 자리 자연수니까 10 ~ 99까지의 자연수예요.

2의 배수인 수열: 10, 12, 14, …, 96, 98
5의 배수인 수열: 10, 15, 20, …, 90, 95
2의 배수이면서 5의 배수인 수열: 10, 20, 30, …, 80, 90

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)

집합으로 표시하면 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)이에요.

2의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 98, 공차는 2예요. 등차수열의 합 공식을 이용하려면 항이 몇 개인지 구해야겠네요.

a_n = a + (n - 1)d
98 = 10 + (n - 1) × 2
98 = 10 + 2n - 2
n = 45

2의 배수의 수열의 합 =

5의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 95, 공차는 5예요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
95 = 10 + (n - 1) × 5
95 = 10 + 5n - 5
n = 18

5의 배수의 수열의 합 =

10의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 90, 공차는 10이에요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
90 = 10 + (n - 1) × 10
90 = 10 + 10n - 10
n = 9

10의 배수의 수열의 합 =

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)
= 2430 + 945 - 450
= 2925

(3)번은 어려운 문제니까 집중해서 잘 보세요.

제1항부터 제10항까지, 제11항부터 제20항까지, 제21항부터 제30항까지 세 개의 식을 세워야 해요.

제1항부터 제10항까지 합이 120이니까 이걸 이용해서 식을 세워보죠.

첫째항이 a, 공차가 d일 때 등차수열의 합:

제11항부터 제20항까지의 합은 제11항을 제1항으로 하고, 제20항을 제10항으로 하는 새로운 등차수열 b_n을 생각할 수 있겠죠?

b₁ = a₁₁ = a + 10d
b₁₀ = a₂₀ = a + 19d

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (b₁ ~ b₁₀까지의 합)

a와 d에 대한 연립방정식이 되었어요.

a = 3, d = 2가 나오네요.

a₂₁ = c₁, a₃₀ = c₁₀인 새로운 수열 c_n을 이용해서 제21항부터 제30항까지의 합을 구해보죠.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합) = (c₁ ~ c₁₀까지의 합)

c₁ = a₂₁ = a + 20d = 3 + 20 × 2 = 43
c₁₀ = a₃₀ = a + 29d = 3 + 29 × 2 = 61

제21항부터 제30항까지의 합은 520이네요.

이걸 새로운 수열 b_n, c_n를 생각하지 않고 조금 다르게 풀어볼까요? 합과 합의 관계를 이용하는 거예요.

제1항부터 제10항까지의 합은 위에서와 똑같이 구해요.

제11항부터 제20항까지의 합을 구하는 과정을 아래처럼 생각할 수 있겠죠?

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (a₁ ~ a₂₀까지의 합) - (a₁ ~ a₁₀까지의 합)

마찬가지로 a와 d에 대한 연립방정식을 만들 수 있어요.

여기서도 a = 3, d = 2가 나와요.

마지막 제21항부터 제30항까지의 합을 구하는 과정도 위처럼 합을 이용해서 나타낼 수 있어요.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합)
= (a₁ ~ a₃₀까지의 합) - (a₁ ~ a₂₀까지의 합)

답은 똑같이 520이 나와요.

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등차수열의 일반항에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

등차수열의 일반항에서 식만 보고 별 계산 없이 곧바로 공차와 첫째항을 구할 수 있어요. 어떻게 이게 가능하지 알아볼 거예요. 어떤 일반항을 보고 이게 등차수열인지 아닌지 확인하는 방법도 알아볼 거고요.

그리고 등차중항이라는 것도 알아볼 건데, 등차중항의 뜻과 등차중항을 이용해서 등차수열을 구하는 방법까지 알아보죠.

등차수열 일반항의 성질

첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 전개해서 정리해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = dn + a - d
a_n = An + B

등차수열의 일반항은 a_n = An + B꼴로 쓸 수 있어요. 이게 무슨 말이냐면 n의 계수 A가 공차 d라는 거예요.

n = 1을 대입해서 제1항을 구해보죠.

a_n = An + B
a₁ = A + B

지금까지는 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항 a_n을 구했어요. 이제는 반대로 등차수열의 일반항을 알면 첫째항과 공차를 구할 수 있다는 뜻이에요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때
  공차 d = n의 계수
  a₁ = (n의 계수) + (상수항)

등차수열의 일반항 a_n = 2n + 3일 때 첫째항과 공차를 구하여라. (n은 자연수)

첫째항을 n = 1을 대입해서 구할 수 있어요.

a₁ = 2 × 1 + 3 = 5

원래대로 공차를 구하려면 어떻게 할까요? a₂를 구해서 d = a₂ - a₁로 구하겠죠?

d = a₂ - a₁ = 2 × 2 + 3 - (2 × 1 + 3) = 7 - 5 = 2

첫째항은 5, 공차는 2네요.

공식으로 바로 구해보죠. 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때 공차 d는 n의 계수, 첫째항은 (n의 계수) + (상수항)이에요.

a_n = 2n + 3 = An + B

공차 d = A = 2
첫째항 a₁ = A + B = 2 + 3 = 5

이런저런 계산할 필요없이 바로 구할 수 있죠?

등차수열 증명

등차수열이라는 말없이 그냥 일반항만 알려줬을 때 이 수열이 등차수열인지 아닌지 알 수 있을까요?

어떤 수열의 일반항이 a_n = 3n + 1일 때 이 수열은 등차수열일까요? 아닐까요?

등차수열인지 알아보는 가장 기본은 공차가 있는지 알아보는 거예요. 공차는 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이를 비교해보면 되죠? 등차수열은 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정한데 이걸 식으로 나타내면 a_{n + 1} - a_n = d에요. 이 d가 공차죠.

a_{n + 1} - a_n
3 × (n + 1) + 1 - (3 × n + 1)
= 3n + 3 + 1 - 3n - 1
= 3

n + 1항과 바로 앞 n항의 차이가 상수 3으로 일정해요. 따라서 이 수열은 등차수열이에요.

일반항 a_n이 주어졌을 때 등차수열인지 알아보는 방법
한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정하면 등차수열
a_{n + 1} - a_n = d

위에서 했던 등차수열 일반항의 성질과 묶어서 생각해보죠. 일반항이 a_n = 3n + 1로 자연수 n에 대한 1차식이에요. 그러니까 공차는 n의 계수인 3이고 첫째항은 (3 + 1) = 4인 등차수열인 거죠.

등차중항

세 수 a, b, c가 있다고 해보죠. 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이룬다면 어떤 조건이 있어야 할까요?

한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 같아야 해요.

b - a = c - b
2b = a + c

가운데 있는 b가 앞과 뒤에 있는 a, c의 산술평균이면 세 수가 순서대로 등차수열을 이뤄요. 이때 b를 a와 c의 등차중항이라고 해요. 두 항의 가운데 있는 항이니까 중항이죠.

등차수열 1, 3, 5, 7, 9, …에서 1과 5의 등차중항은 3이고, 5와 9의 등차중항은 7이에요.

세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때

b는 a, c의 등차중항 (a와 c의 산술평균)

다음 세 수가 순서대로 등차수열일 때, x를 구하여라.
(1) 5, x, 13
(2) 8, 3x, x²

숫자가 3개밖에 안되니까 그냥 구할 수도 있겠지만 등차중항을 이용해서 문제를 풀어보죠.

(1)에서는 x가 5와 13의 등차중항이에요. 등차중항은 산술평균이죠?

(2)에서는 3x가 8과 x²의 등차중항이에요.

x = 2 or 4

8, 6, 4 또는 8, 12, 16인 등차수열이네요.

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수열이 뭔지 알았으니까 이제 수열의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.

첫 번째로 공부할 수열은 등차수열이에요. 등차수열에서는 공차라는 용어를 사용하는데 공차가 무엇을 의미하는지를 알고 공차를 구할 수만 있으면 등차수열 전부를 이해했다고 할 수 있어요. 그런데 공차를 구하는 건 매우 쉬워요.

수열에는 일반항이라는 게 있어요. 공차를 이용해서 등차수열의 일반항을 구하는 방법도 알아볼 거예요.

등차수열

1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 늘어놓은 수열이죠? 어떤 규칙이 있을까요? 제1항은 1이고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 1이 더 크죠?

2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 늘어놓은 수열인데 제1항은 2고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 2가 커요.

이처럼 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열을 등차수열이라고 하고 더해지는 일정한 수를 공차라고 해요.

2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 = 제1항 + 2 = 4
제3항 = 제2항 + 2 = 6
제4항 = 제3항 + 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 더해서 새로운 항을 얻었으니까 공차는 2예요.

등차수열에서 등차(等差)는 차이가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 차이, 제2항과 제3항의 차이, …, 제(n - 1)항과 제n항의 차이, …가 같아요. 이 차이가 바로 공차예요.

다시 2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 - 제1항 = 4 - 2 = 2
제3항 - 제2항 = 6 - 4 = 2
제4항 - 제3항 = 8 - 6 = 2

각 항과 바로 앞의 항의 차이가 모두 2로 같아요. 그러니까 공차가 2인 거죠.

등차수열은 Arithmetic Progression을 줄여서 A.P라고 하고 공차(Common Difference)는 d라고 나타내요.

등차수열: 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공차(d): 각 항에 더해지는 일정한 수
a_n = a_{n - 1} + d
d = a_n - a_{n - 1}

등차수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. d는 공차고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d
a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d
a_n = a_n-1 + d = {a₁ + (n - 2)d} + d = a₁ + (n - 1)d

마지막 줄을 보면 등차수열의 일반항 a_n = a₁ + (n - 1)d라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항
a_n = a + (n - 1)d      (단, n은 자연수)

다음 등차수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, d = -2
(2) a₂ = -10, a₆ = 10
(3) 3, 9, 15, 21, 27, …

제1항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요.

(1) 제1항과 공차를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 20 + (n - 1) × (-2) = -2n + 22

(2)번은 공차를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 여섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공차를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a₂ = a + (2 - 1)d = -10
a + d = -10

a_n = a + (n - 1)d
a₆ = a + (6 - 1)d = 10
a + 5d = 10

두 식을 연립해서 풀면 a = -15, d = 5가 나와요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = -15 + (n - 1) × 5
a_n = 5n - 20

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공차는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 뒤의 항에서 앞의 항을 빼주면 구할 수 있어요.

d = a₂ - a₁ = 9 - 3 = 6

제1항이 3, 공차가 6이네요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 3 + (n - 1) × 6
a_n = 6n - 3

등차수열 4, 7, 10, 13, …에서 처음으로 100보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라.

먼저 일반항을 구해야 겠네요.

d = a₂ - a₁ = 7 - 4 = 3

a_n = a + (n - 1)d = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

a_n = 3n + 1 > 100
3n > 99
n > 33

n은 자연수니까 33보다 큰 34일 때 100보다 크네요. 따라서 답은 34항입니다.

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수열은 지금까지 한 번도 본 적이 없는 새로운 단원이에요. 따라서 처음 보는 용어들이 많이 나와요. 용어의 뜻과 그 의미를 제대로 이해하고 넘어가야 해요.

좋은 점이라면 다른 단원에 대해서 이해가 부족해도 새롭게 시작할 수 있다는 거지요. 방정식을 몰라도 함수를 몰라도 수열을 공부하는 데는 전혀 지장이 없어요.

이번 글에서는 수열에서 사용하는 기본적인 용어인 항, 일반항의 뜻에 대해서 알아볼 거예요. 앞으로 수열 단원에서 계속 사용할 용어니까 머리 속에 팍팍 집어넣으세요.

수열

1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 그냥 쭉 써놓은 거죠. 1, 3, 5, 7, 9, …는 홀수, 2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 그냥 쭉 써놓은 거예요.

이처럼 어떤 규칙에 따라서 숫자들을 늘어놓은 걸 수열이라고 해요.

1, 4, 7, 10, 13, …은 앞의 숫자보다 3이 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이고, 1, 2, 4, 8, 16, 32, …는 앞의 숫자보다 2배 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이죠.

수열을 이루고 있는 숫자들 하나하나를 항이라고 해요. 그리고 제일 앞에 있는 항을 제1항(첫째항), 두 번째에 있는 항을 제2항(둘째항), 세 번째 있는 항을 제3항(세째항), n번째 있는 항을 제n항(n번째 항)이라고 해요. 여기서 n은 항이 있는 자릿수로 자연수예요.

제1항을 기호로 a₁이라고 하고, 제2항은 a₂, 제3항은 a₃, 제n항은 a_n로 표시해요.

a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n, …

1, 3, 5, 7, 9, …를 보죠.

첫 번째에 있는 항 = 제1항 = a₁ = 1
두 번째에 있는 항 = 제2항 = a₂ = 3
세 번째에 있는 항 = 제3항 = a₃ = 5
네 번째에 있는 항 = 제4항 = a₄ = 7
다섯 번째에 있는 항 = 제5항 = a₅ = 9
n 번째에 있는 항 = 제n항 = a_n = 2n - 1

집합에서 원소의 개수가 유한개인 집합을 유한집합, 원소의 개수가 무수히 많아서 셀 수 없는 집합을 무한집합이라고 하죠? 소수에서 소수점 아래 숫자의 개수가 유한개인 소수를 유한소수, 소수점 아래 숫자가 끝도 없이 계속되면 무한소수라고 하고요.

수열에서도 항의 개수가 유한개인 수열을 유한수열, 항이 끝도 없이 계속되어 수를 셀 수 없는 수열을 무한수열이라고 해요. 유한수열에서 마지막 항을 끝항이라고 해요. 무한수열은 끝을 알 수 없으니 끝항이라는 게 없겠죠?

수열에서 제n항 a_n를 알려주면 n = 1, 2, 3…을 대입해서 모든 항을 구할 수 있죠? 그래서 a_n을 일반항이라고 해요. 그리고 일반항이 a_n인 수열을 간단히 {a_n}이라고도 나타내요.

수열: 어떤 규칙에 따라 숫자들을 늘어놓은 것
항: 수열을 이루고 있는 숫자 하나하나
유한수열: 항의 개수가 유한개인 수열
무한수열: 항이 끝도 없이 계속되어 항의 수를 셀 수 없는 수열
끝항: 유한수열에서 제일 마지막 항
a_n: 제 n 번째 항, 일반항 (n은 자연수)
{a_n}: 일반항이 a_n인 수열

다음을 구하여라.
(1) 일반항이 2 × 3^{n - 1}인 수열의 첫 번째 항부터 다섯 번째 항까지
(3) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …인 수열의 n 번째 항과 10번째 항

(1) 일반항 a_n = 2 × 3^{n - 1}일 때, n = 1, 2, 3, 4, 5를 대입해서 그 값을 구하면 그게 항이에요.

n = 1일 때: a₁ = 2 × 3^{1 - 1} = 2
n = 2일 때: a₂ = 2 × 3^{2 - 1} = 6
n = 3일 때: a₃ = 2 × 3^{3 - 1} = 18
n = 4일 때: a₄ = 2 × 3^{4 - 1} = 54
n = 5일 때: a₅ = 2 × 3^{5 - 1} = 162

이 수열은 무한수열인데, 다섯 번째 항까지만 구하라고 했으니까 답은 2, 6, 18, 54, 162에요.

(2)번은 규칙을 찾아야겠네요. 이 수열은 짝수의 수열이에요. a_n = 2n이죠?

n = 10일 때, a₁₀ = 20

따라서 a_n = 2n, a₁₀ = 20

로그부등식은 로그방정식 + 지수부등식이에요. 기본적으로 로그라는 기본 틀이 같으니까 로그방정식의 풀이법을 따르는데 식 자체가 부등식이니까 지수부등식에 나왔던 내용과 비슷하죠.

로그부등식을 풀 때 이용하는 성질은 로그함수의 그래프를 생각하면 쉽게 이해할 수 있어요. 로그함수의 그래프는 밑이 1보다 클 때와 0보다 크고 1보다 작을 때의 두 가지가 있었죠? 그래서 로그부등식을 푸는 기본 성질도 두 가지가 있어요.

이 두 가지 성질만 잘 이해하면 로그부등식의 문제를 푸는 게 아주 쉬워요.

로그부등식

로그방정식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 방정식이죠? 그러니까 로그부등식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 부등식을 말해요.

지수부등식, 지수부등식의 풀이에서 지수함수의 그래프를 이용해서 지수부등식을 설명했어요. 로그부등식에서도 로그함수의 그래프를 이용해서 설명할게요.

로그함수 y = log_ax 그래프는 밑인 a의 크기에 따라 함수의 특징이 달라졌어요. a > 1일 때는 x가 증가하면 y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

아래는 a > 1일 때의 y = log_ax 그래프예요.

밑이 1보다 큰 로그함수는 증가함수니까 x₁ < x₂이면 log_ax₁ < log_ax₂이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 같아요.

이번에는 0 < a < 1일 때의 y = log_ax 그래프예요.

밑이 0보다 크고 1보다 작은 로그함수는 감소함수니까 x₁ < x₂이면 log_ax₁ > log_ax₂이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 반대예요.

• 임의의 양수 x₁, x₂에 대하여 a > 0, a ≠ 1일 때
• a > 1일 때
  • log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ < x₂
  • (로그부등식의 부등호의 방향) = (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
• 0 < a < 1일 때
  • log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ > x₂
  • (로그부등식의 부등호의 방향)과 (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

로그부등식을 풀 때는 이 성질을 이용해요. 이 성질은 지수부등식, 지수부등식의 풀이에서의 특징과 같아요.

이건 밑이 같을 때예요. 만약에 밑이 다르면 어떻게 해야 할까요? 간단해요. 로그의 성질이나 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 밑을 같게 만들어 주면 돼요.

지수에 로그가 있을 때는 로그를 취해서 풀어요.

공통부분이 있다면 치환을 하고요.

로그방정식에서 했던 것과 똑같죠?

그러니까 로그부등식은 지수부등식 + 로그방정식이에요.

그리고 로그부등식을 풀 때 절대 빠뜨리면 안 되는 게 한 가지 있어요. 바로 밑이 1이 아닌 양수, 진수가 양수인지 꼭 확인하는 거요. 로그의 정의에서 얘기한 밑과 진수의 조건에 맞는지 확인하는 거죠. 로그방정식에서도 중요한 내용이었어요.

다음 로그부등식의 해를 구하여라.
(1) log₂(x + 1) < 4
(2) log₃x ≥ log₉x
(3) (logx)² - logx < 6

(1)은 좌변은 로그, 우변은 그냥 실수네요. 우변에 log₂2 = 1을 곱해보죠.

log₂(x + 1) < 4
log₂(x + 1) < 4log₂2
log₂(x + 1) < log₂2⁴

양변의 밑이 2로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x + 1 < 2⁴
x < 15

여기서 끝이 아니죠? 로그의 진수는 양수여야 하니까 좌변의 진수 x + 1도 양수여야 해요.

x + 1 > 0
x > -1

따라서 해는 -1 < x < 15

(2)번은 양변의 밑이 서로 다르네요. 로그의 성질을 이용해서 밑을 같게 만들어줘야 해요.

양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x² ≥ x
x² - x ≥ 0
x(x - 1) ≥ 0

x ≤ 0 or x ≥ 1

진수 x²과 x가 양수여야 하죠?

x² > 0
x ≠ 0

x > 0

따라서 해는 x ≥ 1

(3)에는 밑이 없네요. 상용로그란 얘기죠. logx = t로 치환해보죠.

(logx)² - logx < 6
t² - t < 6
t² - t - 6 < 0
(t - 3)(t + 2) < 0
-2 < t < 3

-2 < logx < 3
-2log10< logx < 3log10
log10^-2 < logx < log10³

밑이 10으로 같고 1보다 크니까 부등호의 방향과 진수의 방향이 같아요.

10^-2 < x < 10³

진수 x는 0보다 커야하죠? x > 0

따라서 해는 < x < 1000

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지수, 지수의 성질(지수법칙), 지수함수와 그래프, 지수방정식, 지수부등식 순서로 공부했어요. 로그도 똑같겠죠? 로그, 로그의 성질, 로그함수와 그래프까지 했으니 이제 로그방정식을 공부할 차례에요.

로그방정식을 푸는 방법은 여러 가지예요. 로그의 정의와 로그의 성질을 이용해서 푸는 게 제일 기본적인 방법이에요. 그러니까 로그의 정의와 로그의 성질에 대해서 정확하게 알고 있어야 해요. 그 외에 문제 유형에 따라 여러 가지 방법들이 있으니 책에 있는 다양한 문제들을 많이 풀어보세요.

로그방정식

로그방정식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수가 있는 방정식을 말해요.

log_{x + 1}3 = 8, log₂x = 8 등

밑이 같은 두 로그가 같은 값을 가지려면 진수가 같아야 해요. 또 진수가 같은 두 로그가 같은 값을 가지려면 밑이 같아야 하고요. 물론 이때 밑은 1이 아닌 양수, 진수는 양수여야 하죠.

a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0일 때
log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
log_af(x) = log_bf(x) ⇔ a = b or f(x) = 1
log_af(x) = c ⇔ a^c = f(x)

기본적으로는 위의 세 가지를 이용해서 로그방정식을 풀어요.

두 번째 성질을 보죠. 만약에 f(x) = 1이라면 어떻게 될까요?

log₂1 = log₃1 = log₄1 = 0

로그에서 진수가 1이면 밑이 서로 달라도 로그는 모두 0으로 같아요. 양변의 값이 같으니까 f(x) = 1도 로그방정식의 해가 될 수 있죠?

진수인 f(x) ≠ 1일 때는 밑이 서로 같아야 하니까 a = b고요.

세 번째는 로그의 정의를 이용해서 로그를 지수로 바꾼 거예요.

이렇게도 생각할 수 있어요. log_aa = 1이잖아요. 그래서 우변 c에 a를 밑으로 하는 로그를 곱하는 거죠. 그다음 로그의 성질을 이용해서 c를 진수의 지수로 올리는 거예요.

log_af(x) = c
log_af(x) = c × log_aa
log_af(x) = log_aa^c
f(x) = a^c

이처럼 로그의 성질을 이용해서 로그방정식을 풀 수 있어요. 그러면 다른 로그의 성질을 이용해서 로그방정식을 풀 수도 있겠죠?

log₂3 = log₄x가 있다고 해보죠.

이라는 성질이 있어요.

이렇게 풀 수도 있겠죠? 다른 로그의 성질을 이용해보죠. 양쪽에 있는 두 로그의 밑이 다르니까 밑을 같게 만들어 볼까요? 로그의 밑 변환 공식을 이용하면 서로 밑을 똑같이 만들어 줄 수 있어요.

밑 변환 공식을 이용했더니 밑이 같아졌어요. 밑이 같아졌으니까 계속 풀 수 있죠.

이번에는 지수에 로그가 있을 때를 보죠.

2^log₄8 = x

이럴 때는 양변에 로그를 취해요.

2^log₄8 = x
log₂2^log₄8 = log₂x
log₄8 log₂2 = log₂x
log₄8 = log₂x

양쪽 다 로그가 되었어요. 밑이 다르니까 로그의 성질을 이용하거나 밑 변환 공식을 이용해서 밑을 같게 해준 다음에 풀면 되죠.

정리해보죠.

• 로그의 성질 이용: log_af(x) = c ⇔ a^c = f(x)
• 밑이 같을 때
  • 진수가 같다. log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
• 밑이 다를 때
  1. 로그의 성질, 로그의 밑 변환 공식을 이용하여 밑을 같게 만들어 준다.
  2. 진수가 같다.
• 진수가 같을 때: log_af(x) = log_bf(x)
  • 진수 = 1. f(x) = 1
  • 밑이 같다. a = b
• 지수에 로그가 있을 때: 양변에 로그를 취한다.

로그방정식을 풀 때는 항상 밑과 진수가 양수인지 확인해야 해요. 또 밑은 1인지 아닌지까지도 확인해야 하고요.

문제를 풀다 보면 공통부분이 생기기도 하는데 그럴 때는 치환을 하기도 해요. 치환은 긴 식을 간단히 해서 푸는 기술(?)로 어려운 문제를 풀 때는 항상 나오는 얘기니까 지수방정식에서도 빠지지 않아요.

다음 로그방정식의 해를 구하여라.
(1) log₂x = 3
(2) log₃(x + 2) = log₃x²
(3) log_{(x - 1)}(x + 1) = log₂(x + 1)

(1) 로그의 정의에 맞게 지수로 바꿔보죠.

log₂x = 3
x = 2³
x = 8

(2)번은 양쪽의 로그의 밑이 같아요. 그러니까 진수끼리 같아야 하죠.

log₃(x + 2) = log₃x²
x + 2 = x²
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 or -1

여기서 잊지말고 꼭 확인해야 할 게 있어요. (진수) > 0이요. (x + 2) > 0, x² > 0이어야 해요. 2와 -1 모두 이 범위를 만족하니까 해가 될 수 있네요.

x = 2 or -1

(3)번은 밑과 진수에 모두 미지수가 들어있네요. 그런데 진수가 (x + 1)로같아요. 그러니까 밑이 같은 경우를 생각해볼 수 있겠죠?

log_{(x - 1)}(x + 1) = log₂(x + 1)
x - 1 = 2
x = 3

또 진수 (x + 1) = 1이면 밑이 달라도 로그의 값은 0이어서 양변이 같을 수 있어요. 이 경우도 생각해봐야 하죠?

x + 1 = 1
x = 0

x = 3 or 0인데, 로그의 밑은 1이 아닌 양수니까 x - 1 > 0으로 x > 1(x ≠ 2)이에요. 따라서 해는 x = 3

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그래프를 공부하면 항상 그래프의 이동을 공부했어요. 로그함수의 그래프를 공부했으니 로그함수 그래프의 평행이동과 대칭이동에 대해서 공부할 차례죠.

이차함수든 지수함수든 로그함수든 어떤 함수가 됐든 그래프의 평행이동과 대칭이동은 별거 없어요. 원리는 다 똑같아요. 지금까지 계속 해왔던 거니까 간단히 짚고 넘어가죠.

여기서 공부하는 그래프를 외울 필요는 없어요. 그래프를 보고 "이건 어느 방향으로 어떻게 이동했구나."를 알면 돼요. 물론 함수식을 보고 "그래프가 어디에 어떻게 그려지겠구나."를 예상할 수 있어야 하고요.

로그함수 그래프의 평행이동

점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 적용하면 돼요.

• x축으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p 대입
• y축으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q 대입
• x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p 대입, y 대신 y - q 대입

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)그래프를 평행이동하면 어떻게 되는지 정리해보죠.

• 처음: y = log_ax
• x축으로 p만큼 평행이동한 그래프
  • x 대신 x - p 대입
  • y = log_a(x - p)
• y축으로 q만큼 평행이동한 그래프
  • y 대신 y - q 대입
  • y - q = log_ax → y = log_ax + q
• x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프
  • x 대신 x - p, y 대신 y - q 대입
  • y - q = log_a(x - p) → y = log_a(x - p) + q

아래는 로그함수 y = log_ax (a > 1)의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프예요. 각 그래프의 오른쪽 아래에 식이 쓰여 있어요. 0 < a < 1일 때의 그래프도 원리는 같아요.

로그함수 그래프의 대칭이동

로그함수 그래프의 대칭이동은 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 했던 내용과 똑같아요.

• y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x 대입
• x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y 대입
• 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x 대입, y 대신 -y 대입
• y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y 대입, y 대신 x 대입

참고로 마지막에 있는 y = x에 대하여 대칭이동을 보죠. 로그함수 그래프를 y = x에 대칭이동하면 지수함수의 그래프가 된다는 건 로그함수와 로그함수의 그래프에서 공부했어요.

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)그래프를 대칭이동하면 어떻게 되는지 정리해보죠.

• 처음: y = log_ax
• y축에 대하여 대칭이동한 그래프
  • x 대신 -x 대입
  • y = log_a(-x)
• x축에 대하여 대칭이동한 그래프
  • y 대신 -y 대입
  • -y = log_ax → y = -log_ax
• 원점에 대하여 대칭이동한 그래프
  • x 대신 -x, y 대신 -y 대입
  • -y = log_a(-x) → y = -log_a(-x)

아래는 로그함수 y = log_ax (a > 1)의 그래프를 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 그래프예요. 0 < a < 1일 때의 그래프도 원리는 같아요.

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로그함수와 로그함수의 그래프에 대해서 알아보죠.

로그의 정의에서 공부했던 것처럼 로그와 지수(거듭제곱)는 서로 깊은 관계가 있어요. 따라서 로그함수와 지수함수도 아주 깊은 관계가 있죠. 그래프도 물론이고요.

역함수와 역함수의 그래프의 성질에 대해서 알고 있으면 로그함수와 지수함수의 관계를 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

로그함수

역함수, 역함수 구하는 법에서 역함수 구하는 방법 공부했었죠?

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 역함수를 구해보죠.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
   지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)에서 정의역은 실수의 집합이고, 치역은 양수의 집합이었어요. 그리고 일대일 대응이죠.
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
   로그의 정의에 따르면 y = a^x → x = log_ay
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
   y = log_ax
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
   정의역은 양수의 집합, 치역은 실수의 집합

지수함수의 역함수를 구했더니 a를 밑으로 하는 로그가 되었죠? 이 로그를 로그함수라고 해요.

로그함수
y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)
지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 역함수
정의역은 양수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합

로그함수의 그래프

로그함수의 그래프를 한 번 그려보죠.

로그함수는 지수함수의 역함수예요. 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이에요. 지수함수 y = a^x의 그래프를 y = x에 대칭이동한 그래프가 로그함수 y = log_ax의 그래프죠.

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 (0, 1), (1, a)를 지나고 x축이 점근선이었어요.

그리고 a의 범위에 따라 두 가지 형태가 있었죠. a > 1일 때는 x가 증가할 때, y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

왼쪽이 a > 1일 때로 얇은 빨간선이 y = a^x의 그래프, 두꺼운 파란선이 y = log_ax의 그래프예요. 로그함수의 그래프도 x가 증가하면 y가 증가하네요. 로그함수의 그래프는 y축에 점점 가까워지니까 y축이 점근선이에요.

오른쪽이 0 < a < 1일 때로 지수함수와 로그함수의 그래프에서 x가 증가하면 y가 감소해요.

지수함수 y = a^x, 로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)를 비교해보죠.

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상용로그의 활용에서 빼놓지 않고 나오는 문제는 예금 문제예요. 원금, 기간, 연이율 등을 알려주고 만기 때 얼마를 받을 수 있나를 묻는 문제지요.

물론 계산기로 간단하게 계산할 수 있는 문제이긴 하지만 상용로그의 성질과 상용로그표만 있다면 계산기 없이도 그 값을 구할 수 있어요.

단리와 복리라는 방법으로 계산하는데 이게 상당히 복잡해요. 아마 한 두 번 읽어서는 이해가 안 될 수도 있어요. 여러 번 반복해서 꼼꼼하게 읽어보세요.

상용로그의 활용

먼저 단리와 복리에 대해서 알아보죠.

예를 들어 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 단리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원이죠.
두 번째 해에도 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 주죠. 총 102만 원이 됐어요.
세 번째 해도, 네 번째 해도 매년 1만원을 이자로 줍니다.

결국, 10년동안 1만 원씩 10번을 주니까 총 10만 원의 이자를 받죠. 물론 원금 100만 원도 받고요. 100만 원이 10년 후에는 110만 원이 돼요.

이걸 식으로 나타내보죠. 1% = 0.01이군요.

첫해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01 + 0.01) = 100만원(1 + 0.02)
세 번째 해: 100만원(1 + 0.02) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.02 + 0.01) = 100만원(1 + 0.03)
n 번째 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 × n = 100만원(1 + 0.01 × n)

이게 단리예요. 원금은 일정하고 그에 대한 이자만 지급하는 방식이에요.

복리는 조금 복잡해요.

똑같이 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 복리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원의 돈이 있어요.
두 번째 해에는 원금 100만 원의 1%인 만 원만 이자로 주는 게 아니에요. 원금 100만 원에 전년도에 받은 이자 1만 원까지 101만 원의 1%인 1만 1백 원을 이자로 주지요. 총 102만 1백 원이 있어요.
세 번째 해에는 원금 100만 원에 첫해에 받은 이자 1만 원, 두 번째 해에 받은 1만 1백 원까지 해서 102만 1백 원의 1%인 1만 201원을 이자로 줘요. 총 103만 301원이 있어요.

이걸 식으로 나타내보죠.

첫 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원(1 + 0.01) × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)²
세 번째 해: 100만원(1 + 0.01)² + 100만원(1 + 0.01)² × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)²(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)³
n 번째 해: 100만원(1 + 0.01)ⁿ

복리는 이렇게 단리와 다르게 이자에도 이자를 쳐줘요. 그래서 단리보다 계산도 복잡하고 마지막에 받는 돈도 더 많이 받죠.

원금을 A, 이율을 r%라고 할 때 n년 후의 원리합계
단리: 원, 복리: 원

1000만 원을 연이율 5%로 10년간 예금하려고 한다. 단리로 계산할 때와 복리로 계산할 때의 10년 후 원리합계의 차이는 얼마인지 구하여라. (log1.05 = 0.0212, log1.63 = 0.2122)

먼저 단리로 계산해보죠.

15,000,000원이네요.

복리로 계산해보죠.

1.05¹⁰을 구하려면 구할 수는 있어요. 하지만 상용로그값이 나와 있으니 이걸 활용해볼까요?

1.05¹⁰에 상용로그를 취해보죠.

log1.05¹⁰ = 10 × log1.05 = 10 × 0.0212 = 0.212

우리가 알아야하는 건 1.05¹⁰인데, 실제로 구한 건 log1.05¹⁰ = 0.212에요. 그럼 여기서 1.05¹⁰을 어떻게 구할까요? 두 상용로그의 값이 같으려면 진수가 같아야 해요. 상용로그표에서 0.212라는 상용로그값을 갖는 진수를 찾으면 그 진수와 1.05¹⁰가 같다는 거지요.

똑같은 값은 없고 log1.63 = 0.2122로 0.212와 가장 가깝네요.

즉 log1.05¹⁰ = 0.212 ≒ 0.2122 = log1.63

1.05¹⁰ ≒ 1.63이라는 걸 구했어요. 실제로 1.05¹⁰ ≒ 1.6289에요.

이제 식에 대입해보죠.

16,300,000원이네요.

복리로 하면 16,300.000원, 단리로 하면 15,000,000만원이에요.

그 차이는 1,300,000원이네요.

복리로 하는 게 훨씬 이익이죠?

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