수학방

저녁에 배가 고파서 네네치킨 한 마리 시켜먹었더니 리지니 쿠폰을 주네요. 리니지 안하는데 ㅠㅠ

이런 쿠폰 보다는 그냥 머스타드 소스나 하나 더 줬으면 해요. ㅋㅋ

중고나라에서 2,000 ~ 3,000 정도에 거래되는 걸 보니 괜찮은 아이템인 모양이군요. 하지만 저는 과감하고 깔끔하게 그냥 드립니다.

수학방을 찾는 학생들 게임하면서 머리 좀 식히라고 할랬더니 19금 게임이군요. 하지만 수학방에는 중고생 말고도 찾아오는 분이 많으니 될 수 있으면 그런 분들이 받으셨으면 좋겠어요. ㅎㅎ

댓글에 메일 주소 남겨면 메일로 쿠폰 번호 보내드릴께요.

추첨을 할 건데, 다음 순서에 해당하는 사람을 우선 뽑겠습니다.

1. 이전에 수학방에 본인이 19세 이상이라는 댓글을 단 적이 있는 분
   (ex. 재수를 준비하는 학생입니다………., 군대 제대하고 다시 공부하고 있어요.. 등)
2. 티스토리 블로그 운영하시는 분
3. 유재석 얼굴 옆에 있는 두 사람의 캐릭터가 뭔지 알려주는 분
4. 선착순

※ 쿠폰 보내드린 후에 댓글에 남겨진 메일 주소는 삭제합니다.

사용법과 주의사항은 아래에 써 놓았습니다.

• 폭풍의 지원 상자(+6 각인 무기, +2 엑세서리 풀세트)
• 무료 이용권 (7일 20시간 무료 이용권)
• 스노윙 보급 상자(각종 물약, 주문서 세트)

이용방법

• http://nshop.plaync.com/lineage 접속
• 우측 상단 "쿠폰 등록" 버튼 클릭, 쿠펀번호 입력(로그인 후 이동 가능)

주의사항

• 본 쿠폰은 등록 후 바로 사용가능하며, 유효기간은 2014년 7월 30일까지입니다.
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• 본 쿠폰은 계정당 1회에 한해 사용 가능합니다.
• 본 게임은 "청소년 이용불가"이므로 미성년자는 이용하실 수 없습니다.
• 자세한 내용은 리니지 홈페이지(http://lineage.lilaync.com)에서 확인할 수 있습니다.

자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.

이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.

지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.

자연수 거듭제곱의 합

자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.

이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²

그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니에요. 그래서 공식을 바로 적용할 수가 없죠. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.

항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.

(x + 1)³ - x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ = 3x² + 3x + 1

이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, n을 대입해보죠.

x = 1 → 2³ - 1³ = 3 × 1² + 3 × 1 + 1
x = 2 → 3³ - 2³ = 3 × 2² + 3 × 2 + 1
x = 3 → 4³ - 3³ = 3 × 3² + 3 × 3 + 1
x = 4 → 5³ - 4³ = 3 × 4² + 3 × 4 + 1
x = n → (n + 1)³ - n³ = 3 × n² + 3 × n + 1

위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 - 1³과 마지막 식의 (n + 1)³만 남게 되죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.

(n + 1)³ - 1³ = 3(1² + 2² + 3² + 4² + … + n²) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n

우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 ∑를 이용해서 나타내고 을 대입해보죠.

자연수 제곱의 합 공식을 얻었어요.

자연수 세제곱의 합 공식

자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 항등식을 이용해요. (x + 1)⁴ - x⁴

(x + 1)⁴ - x⁴ = 4x³ + 6x² + 4x + 1

위에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.

자연수 거듭제곱의 합 공식

을 간단히 하여라.

시그마(∑)의 기본 성질을 이용해서 각 항을 나눠보죠. 그리고 위에서 유도한 자연수 거듭제곱의 합 공식을 대입해요.

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수열의 합을 나타내는 기호인 시그마(∑) 기호에 대해서 알아봤어요. 숫자들의 합을 시그마(∑) 기호를 이용해서 나타낼 수 있어야 하고, 반대로 시그마(∑)를 보고 식으로 풀어서 쓸 수도 있어야 해요.

이 글에서는 시그마(∑)의 기본 성질에 대해서 알아볼 거예요. 성질이 어떻게 유도되는지 잘 알아두세요. ∑의 성질을 증명하는 방법은 매우 간단해요. 원래 의미 그대로 식으로 풀어서 쓴 다음에 더하는 거지요.

마지막으로 시그마(∑)의 기본성질이 성립하는 조건과 성립하지 않는 조건에 대해서도 알아볼 거예요. ∑를 이용해서 식을 나타낼 때는 ∑의 위아래에 있는 숫자가 작으니까 주의해서 잘 보세요.

시그마 ∑의 성질

∑의 성질을 증명하는 방법은 간단해요. ∑를 원래대로 풀어서 써보는 거죠. 풀어서 쓴 다음 같은 종류끼리 묶고, 묶은 건 다시 ∑로 나타내보는 거예요.

먼저, 합이 k에 대한 두 가지 식의 합 또는 차로 되어 있을 때예요.

각각의 식의 합을 따로 구해서 더하거나 빼도 같아요.

다음은 상수 c가 곱해져 있을 때예요.

상수 c가 곱해져 있을 때는 합을 구한 다음에 c를 곱해주는 것과 같아요.

이번에는 k에 대한 식이 아니라 그냥 상수 c일 때예요.

k에 대한 식이 아니라서 모든 항이 c예요. c가 n개만큼 있으니까 그 합은 cn이 되겠죠.

∑의 기본 성질 (c는 상수)

이 성질은 합과 차로 되어 있을 때만 성립해요. 곱이나 나눗셈, 완전제곱일 때는 성립하지 않아요.

첫 번째 성질에서 주의해야 할 게 있어요. 좌우변을 바꿔서 기본 성질을 적용할 때 두 개의 ∑에 있는 각각의 시작 항과 마지막 항이 서로 같아야 해요.

1. a_k와 b_k의 합을 구하는 첫째항이 1, 마지막 항이 n으로 같아서 기본 성질을 이용할 수 있어요.
2. a_k의 합을 구하는 첫째항은 1, b_k의 합을 구하는 첫째항은 2로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.
3. a_k의 합을 구하는 마지막 항은 n, b_k의 합을 구하는 마지막 항은 m으로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.

일 때 다음을 구하여라.
(1)
(2)

(1)은 k에 대한 두 식의 합으로 되어 있어요. 그리고 각 식에는 상수 2, 3이 곱해져 있고요. ∑의 성질을 이용해서 모양을 바꿔보죠.

(2)번은 식이 좀 복잡하네요. 각각 전개해서 구하는 방법도 있고, 둘을 하나로 합쳐서 전개하는 방법도 있어요.

두 개의 ∑이 있으니까 하나로 합칠 수 있죠? 하나로 합쳐서 전개해보죠.

답은 같으니까 어떤 방법으로 풀어도 상관없어요.

을 간단히 하여라.

k에 대한 식은 같은데, ∑ 기호 아래에 있는 k의 시작값이 달라요. 그러니까 ∑의 성질을 이용해서 둘을 합칠 수 없어요. 이때는 다른 방법을 이용해요.

은 제1항부터 제10항까지의 합이에요. 이걸 제1항부터 제5항까지의 합과 제6항부터 제10항까지의 합 두 부분으로 나눌 수 있죠?

이걸 처음의 식에 대입해보죠.

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연립방정식의 활용 두 번째예요. 보통 모든 단원 마지막에 나오는 활용 문제의 유형은 사실 거기서 거기예요. 식의 종류만 달라지죠. 일차방정식, 연립방정식 이렇게요.

하지만 연립방정식에만 나오는 특이한 유형이 있는데, 바로 흐르는 강물에서 배의 속력에 대한 문제예요. 일반적인 속력이나 소금물 농도 문제는 자주 다루니까 복습을 하는 효과가 있어서 잊어버리는 경우가 별로 없는데, 흐르는 강물에서 배의 속력 문제는 연립방정식의 풀이에서만 나오는 유형이라 잊어버리기 쉬운 유형이에요.

하지만 한가지 간단한 팁만 알고 있으면 일반적인 속력 문제와 다르지 않으니까 쉽게 풀 수 있어요. 여기서 알려주는 이 팁을 꼭 기억하세요.

연립방정식의 활용 두 번째

흐르는 강물에서 배의 속력 문제

배의 속력은 원래 정지된 호수 위를 움직일 때의 속력이에요. 하지만 강물은 흐르죠? 그래서 강물이 흐르는 경우에는 따로 이야기하지 않아도 강물의 속력까지 고려해줘야 해요. 강물은 아래쪽으로 흐르니까 강을 거슬러 올라갈 때는 강물의 속력을 빼주고 강을 내려올 때는 강물의 속력을 더해줘야 배가 실제로 움직이는 속력이 나와요. 문제만 읽어서는 찾기 어려운 내용이죠.

• 배가 강물을 거슬러 올라갈 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 - 강물의 속력
• 배가 강을 따라 내려올 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 + 강물의 속력

길이가 10km인 강을 배로 거슬러 올라갈 때는 5시간, 내려올 때는 2시간이 걸렸다. 배의 속력을 구하여라.

배의 속력을 구하라고 했는데, 배의 속력만 생각해서는 이 문제를 풀 수 없어요. 강물도 움직인다는 것을 고려해야 해요.

배의 속력을 x, 강물의 속력을 y라고 하죠.

강을 거슬러 올라갈 때 배의 실제 속력 = x - y
강을 내려올 때의 배의 실제 속력 = x + y

강을 올라갈 때와 내려올 때의 이동거리는 강의 길이와 같아요. 둘 다 10km

니까 공식에 대입하면 연립방정식을 세울 수 있어요.

① + ②
2x = 7
x = 3.5
y = 1.5

배의 속력은 시속 3.5km, 강물의 속력은 시속 1.5km네요.

두 자리 수에 관한 문제

두 자리 수에 관한 문제에서는 10의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 놓고 풀면 돼요. 조심해야 할 건 실제로 구하는 수는 10 × x + y라는 거예요.

각 자리의 숫자의 합이 15인 두 자리 자연수가 있다. 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수가 처음의 수보다 9가 클 때 처음 수를 구하여라.

십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라고 할 때 처음 수는 10x + y에요.

처음 수의 두 자리의 숫자의 합이 15라고 했으니까 x + y = 15

십의 자리와 일의 자리를 바꾼 숫자는 10y + x인데 이게 처음 수보다 9가 크다고 했어요.
10y + x = 10x + y + 9
x - y = -1

연립방정식이 세워졌죠?

① + ②
2x = 14
x = 7
y = 8

처음 수는 10x + y = 78이네요.

이 외에도 나이에 관한 문제(몇 년 후 나이가 OO배가 된다는 형식), 비용에 관한 문제(어른은 입장료 10,000원 어린이는 5,000원일 때 총 요금이 OO원, 어른 몇 명?, 어린이 몇 명?) 등 여러 형태가 나옵니다. 위에서 얘기한 유형의 문제에 비해서는 비교적 쉽다고 할 수 있죠.

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오랜만에 애드센스 경고 메시지 받았습니다.

경고 메시지를 받으면 어떤 부분이 위반되었다는 건지 긴가민가한 부분들이 있는 데 이번 경고 메시지에서 지적한 건 아주 눈에 띄는 거라서 바로 해결했습니다. 빼도 박도 못하게 정책 위반이었어요. 당황하지 않고 차분히 보면 금방 해결할 수 있죠.

다행히 큰 정책 위반도 아니고 여러 페이지에서 발생하는 문제도 아니라서 간단히 주의만 받았어요.

경고 메시지를 받으면 광고가 안 나오는 줄 알았는데, 광고는 제대로 나오고 수익도 정상적으로 잡히네요.

경고 메일이 먼저 와서 수정하고 기다리던 중에 애드센스에서 정식으로 경고메시지를 보내왔어요. 시차가 좀 있군요.

귀하의 애드센스 계정이 애드센스 프로그램 정책을 준수하도록 사이트를 수정해야 합니다. 3영업일 이내에 위의 사이트를 수정하세요. 3영업일 후에 Google이 위의 사이트에서 임의로 일부분을 다시 검사할 수 있습니다. 사이트 수정이 완료되면 아래에서 '해결됨' 버튼을 클릭하고 간단한 양식을 작성하세요. 사이트를 수정하지 않아 사이트가 계속 애드센스 프로그램 정책을 위반하는 경우에는 위에 나온 웹사이트에서 광고 게재가 중단될 수 있으니 유의하시기 바랍니다.

URL 예: http://mathbang.net/notice/301

광고와 콘텐츠가 겹침: Google 프로그램 정책에 명시된 바와 같이 게시자는 어떠한 방식으로든 Google 광고의 작동 방식을 수정해서는 안 됩니다. 여기에는 광고가 사이트 콘텐츠를 일부 가리거나 웹페이지 부분이 광고를 일부 가리도록 광고를 배치하는 것도 포함됩니다.

문제가 된 페이지에 접속했는데, 애드센스 광고가 아래 그림처럼 나왔어요.

사이드바가 오른쪽에 나와야 정상인데 본문 아래쪽에 나오면서 애드센스 광고가 사이드바와 페이지 내비게이션에 겹쳐서 보이네요. 콘텐츠와 광고가 겹쳐 나오니 당연히 정책 위반이지요.

스킨때문에 그런 건 아니고 이 페이지를 쓸 때 html 모드에서 썼는데 div 태그를 제대로 닫지 않아서 생기는 문제였습니다. 아주 간단한 문제죠.

문제를 해결했으니까 알려준 대로 '해결됨' 버튼을 클릭하고 간단한 양식을 채워서 보내야겠죠?

녹색 "해결됨"으로 바뀌었네요. 나중에 확인해주겠죠.

구글 애널리틱스로 보니까 그제인 24일 토요일에 이 페이지에서 광고 클릭이 발생했네요. 광고를 클릭하자마자 오류를 잡아내다니 애드센스는 정말 대단하군요.

혹시 다른 글 보시다가 이상하게 나오는 페이지가 있으면 댓글로 신고해 주세요. 부탁해요.

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김연아 선수 은퇴 기념 메달 받았습니다. 토요일인데 우체국 택배는 쉬지도 않는 군요. 4월 초에 신청했으니까 한 달 반만에 받았네요.

김연아 기념 메달 받았다고 하니까 소치 올림픽 때 받은 은메달과 똑같은 거 받았느냐고 묻는 분들이 계시는데 그게 아니고 김연아 선수 은퇴 기념해서 한국조폐공사와 화동양행에서 따로 만든 메달이에요.

총 4개를 판매하는데, 2가지만 샀어요. 금메달은 130만 원이 넘고 은(대형)은 50만 원 가까이 해요. 이 두개는 너무 비싸서 못 사고, 154,000원짜리 은, 55,000원짜리 백동 2가지만 샀습니다.

사실 은으로 된 다른 기념주화가 57,000원인 것에 비하면 154,000원은 3배 가까이 비싸긴 한데, 그래도 수익금 일부를 피겨 꿈나무를 위해 사용한다고 하니 그냥 샀어요. 제가 예약할 때는 세월호 사고 전이었고, 세월호 사고 이후에 세월호 성금으로도 사용한다고 밝혔습니다.

기념주화는 그 자체가 현금이라서 돈으로 바꿔서 사용할 수 있는데, 기념메달은 그렇게 사용할 수가 없죠. 게다가 이번에 나온 건 너무 비싸게 나와서 사는 분들도 많이 없었는가 봐요. 나중에 판매할 때 제값을 받지 못할 거라는 우려를 하는 분도 꽤 있네요. 저야 재테크 하거나 팔려고 산 게 아니라 말 그대로 소장용으로 산 거니까 별로 상관없긴 하지만요. 받고 나서 은(대형)도 살 걸 그랬나 하는 생각을 잠깐 하긴 했어요. 그래도 비싸신 비싸네요.

왼쪽은 은, 오른쪽이 백동이에요.

은메달이에요. 파랗게 나오는데 핸드폰 케이스가 파란색이라서 그게 비쳐서 그래요. 원래는 그냥 은색입니다. 소치 동계올림픽 쇼트 프로그램에서 했던 스파이럴 동작이네요. 무한도전에서 명수옹께서 따라했던 그 동작이죠.

아래는 숭례문 복구 기념주화 사진인데, 오른쪽 아래 작은 끈이 있어서 넣었다 뺐다 할 때 편한데 이번 기념메달에는 이게 없어서 불편해요.

이건 기념메달(백동)이에요. 플라스틱 보관함에 끼워져 있어요. 시상식 장면이에요.

이건 백동 메달에 있는 김연아 선수의 프로필과 설명이고요. 뒷면에는 올포디움에 대한 설명도 있어요.

두 개를 나란히 놓고 찍은 사진인데, 핸드폰 케이스가 비쳐서 때문에 보기 안 좋네요.

김연아 은퇴 기념 메달 C(은)

김연아 은퇴 기념 메달 D(백동)

대부분의 사람이 쓸데없는데 돈 쓴다고 한 마디씩 하는 메달 수령 후기였습니다.

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리더스타임이라는 CTP 광고가 새롭게 시작한 지 좀 됐죠? 티스토리와 네이버 양쪽 모두에 사용할 수 있는 몇 안되는 광고죠. 전에 잠깐 테스트 삼아 사용해 봤는데, 애드센스에 비해 수입이 훨씬 적어서 3, 4일만에 내렸어요.

그런데 이번에 리더스타임에서 새로운 광고를 만들었어요. 이름하야 이미지매칭 광고죠. 공지사항을 보면 광고 효율이 상당히 높다고 추천하더라고요. 스크린샷에는 이미지가 나오고 하단에 텍스트 광고가 나오는 형태라서 그것만 봐서는 원래 있던 이미지팝과 뭐가 다른지 알 수 없어서 직접 광고 코드를 넣어서 비교해보려고요.

이미지 하단에 텍스트 광고를 보여주는 광고는 외국의 카우리, luminate 등 몇 가지가 있었어요. 우리나라 광고에서는 못 본 것 같네요. 어쩌면 이미지팝 광고가 처음일지도 모르겠네요.

이 글에 실제 광고 코드를 삽입하고 여러 번 미리보기를 해봤습니다. 몇 번 보니까 차이가 확실히 드러나네요.

이미지팝의 설명에는 "이미지를 활용한 광고로 이미지 활용 및 광고를 동시에 진행할 수 있는 장점을 가지고 있습니다."라고 나와요. 글 쓸 때 사용할 이미지도 얻고 덤으로 광고까지 나오는 거지요.

이미지팝 광고 예시 (스크린샷 아닌 실제 광고입니다.)

이미지팝의 그림은 고정이에요. 페이지를 새로고침해도 바뀌지 않아요. 하단에 나오는 텍스트 광고는 계속 바뀌고요. 대신 이미지에는 링크가 없고 하단 광고에만 링크가 있어서 이미지를 클릭해도 광고 수입은 생기지 않을 것 같아요.

카우리와 luminate는 원래 블로그에 있던 이미지에 광고를 보여줬는데, 리더스타임의 이미지팝 광고는 자체 이미지를 보여주고 그 이미지에만 광고를 보여주는 점이 다르네요. 카우리와 luminate는 평소에는 그냥 원래 이미지를 보여주다가 마우스를 올리면 하단에 광고가 나오는 형태인데, 리더스타임의 이미지팝은 텍스트 광고가 항상 고정된 위치에 노출되어서 이미지의 하단을 가리는군요. 이미지도 얻고 광고까지 나오게 할 때 유용할 거로 생각했는데 하단을 가리는 건 목적에 맞지 않는 것 같아요.

이미지매칭 광고는 "광고와 이미지를 매칭하여 방문자로 하여금 최대한의 니즈를 끌어낼 수 있는 장점을 가지고 있습니다."라는 설명이 나오는데, 무슨 말인지 잘 와 닿지는 않네요.

이미지매칭 광고 예시 (스크린샷 아닌 실제 광고입니다.)

이미지매칭은 새로고침을 하면 그림과 하단 광고가 둘 다 계속 바뀌네요. 대신 이미지과 하단 텍스트 광고가 같은 문구이거나 같은 종류의 광고가 나와요. 이미지와 텍스트에 같은 광고가 나와서 "매칭"이라는 이름이 붙었나 봅니다. 이미지팝과 달리 이미지에도 링크가 있어서 클릭하면 수익이 생길 것 같아요. 하나의 광고에 이미지광고와 텍스트 광고가 동시에 나오는 형태입니다. 그리고 하단의 텍스트 광고가 오르락내리락하면서 시선을 많이 끕니다. 이미지과 텍스트 광고의 매치가 잘 되고, 하단 광고가 움직이면서 시선도 많이 끄니까 클릭이 많이 생길 수밖에 없겠어요. 단순히 이미지광고만 나올 때보다 좋을 것 같아요.

이미지팝은 이미지도 얻고 광고도 넣을 때 사용하고, 이미지매칭 광고는 이미지광고와 텍스트 광고를 동시에 사용할 수 있는 장점이 있어요. 목적이 다르긴 하지만 어찌 됐든 공지사항처럼 이미지매칭이 광고 클릭율이 높은 건 당연한 것 같네요.

리더스타임은 CTP라는 새로운 방식은 물론이고 이미지매칭이라는 새로운 광고 형태도 개발했네요. 여러 가지를 시도하는 게 좋아 보여요. 아직은 광고주도 부족하고, 본문과 일치하는 광고가 나오는 경우도 드물긴 하지만 두고 볼만한 광고 시스템이네요.

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등차수열의 합, 등비수열의 합에 이어 여러 가지 수열의 합이에요. 여기서는 시그마(∑)라는 새로운 기호와 표현법을 공부할 거예요. 시그마가 나타내는 것과 시그마와 관련된 숫자, 문자의 위치가 어디인지 잘 알아두세요. 물론 그 위치에 있는 문자와 숫자가 어떤 의미인지도 잘 알아야 하고요.

처음 보는 이상하게 생긴 기호라 많이 낯설 거예요. 새로운 기호를 공부하므로 기호를 식으로 식을 기호로 바꾸는 연습이 필요합니다. 어렵지는 않으니까 금방 할 수 있을 거예요.

여러 가지 수열의 합

이제까지 수열을 a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_{n - 1}, a_n으로 표현했어요. 그리고 이 수열의 합 S_n은 공식을 이용해서 구했고요. 그런데 등차수열의 합, 등비수열의 합은 제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요. 물론 공식을 잘 활용하면 다른 범위의 수열의 합을 구할 수도 있긴 있죠.

이제부터는 수열의 합을 표현하는 다른 방법을 알아보죠.

예를 들어 "제1항부터 제n항까지의 합을 구하라." 이 말을 간단하게 식으로 나타낼 수 있으면 편하겠죠? 이처럼 말로 길게 써야 하는 수열의 합을 쉽게 나타내는 방법이 있어요.

모양이 좀 이상하게 생겼죠? 저기 가운데 뾰족하게 생긴 걸 "시그마"라고 읽어요. 합이니까 영어로는 sum인데, 첫 글자 s에 해당하는 그리스 문자가 바로 시그마(∑)예요.

시그마를 제외한 나머지 자리에 번호를 붙여봤어요. 번호에 해당하는 내용이 어떤 건지 알아보죠.

①에는 문자가 들어가요. 문자는 k, i 등 어떤 거라도 상관없어요. 다만, 대게 n은 항의 순서를 나타내는 문자라서 n은 잘 사용하지 않아요.

②는 수열의 합을 구할 시작 항의 번호를 써요. 제1항부터 합을 구하려면 1, 제2항부터 합을 구하려면 2를 써요.

③은 수열의 합을 구할 마지막 항의 번호를 써요. 제100항까지 합을 구하려면 100, 제n항까지 합을 구하려면 n을 써요.

④는 수열의 일반항을 써요. 수열의 일반항에서는 n을 이용해서 a_n = (n에 대한 식)의 꼴이었죠? 여기서는 n이 아니어도 상관없는데 반드시 ①에서 사용했던 문자에 대한 식이어야 해요. ①이 k였다면 k에 대한 식, i였다면 i에 대한 식이어야 해요.

n은 항의 순서를 나타내니까 일반항을 나타내는 식에서는 n이라는 문자 대신 k라는 문자를 나타냈어요.

읽을 때는 "시그마 k가 1부터 n까지일 때, a_k" 또는 "k가 1부터 n까지일 때, a_k의 합"이라고 읽어요.

"일반항이 a_n인 수열의 제5항부터 제10항까지의 합을 구하여라."를 간단히 아래처럼 나타낼 수 있겠죠?

다음을 ∑를 사용하여 나타내어라.
(1) 1 + 2 + 3 +  4 + … + 99 + 100
(2) 4 + 7 + 10 + … + 79 + 82

(1)은 자연수네요. 이 수열의 일반항은 a_n = n이에요. 1은 제1항이고 100은 제100항이죠? 그러니까 일반항이 n인 수열의 제1항부터 제100항까지 더하는 거네요.

(2)의 일반항을 구해보죠. d = a₂ - a₁ = 3, a₁ = 4이므로 a_n = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

마지막 항이 82인데, 이게 몇 번째 항인지 알아야겠죠?
3n + 1 = 82
n = 27

일반항이 3n + 1인 수열의 제1항부터 제27항까지의 합을 구하는 거네요.

괄호를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.

∑가 사용된 식

이번에는 거꾸로 수열의 합을 나타내는 식을 보고 그 값을 구해보죠.

일단 문자는 k고, 일반항이 k에 대한 식이에요. 시작 항은 2고 마지막 항은 5죠. 일반항이 (k + 1)인 수열의 제2항부터 제5항까지 더하라는 거예요.

a_n: (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1), (4 + 1), (5 + 1), …, (n - 1 + 1), (n + 1)

a₂ ~ a₅까지 더하는 거니까 3 + 4 + 5 + 6 = 18이네요.

이처럼 수열을 쓰고 해당하는 항을 더할 수도 있지만, 더 쉽게 하려면 (k + 1)이라는 식의 k자리에 2부터 5까지 대입해서 얻은 항들을 더해서 바로 구할 수도 있어요.

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원리합계, 단리와 복리 두 번째예요. 상용로그에서 했던 것까지 따지면 세 번째죠. 여기서는 복리에 대해서 알아볼 거예요. 복리의 정의와 복리를 구하는 방법은 앞서 공부했던 내용과 같아요.

단리에 관련된 문제는 잘 나오지 않아요. 복리에 대한 문제가 많이 나오는데 이게 한 번에 하려면 너무 어려울 수 있어서 기본적인 건 단리에서 다루었어요. 단리와 복리의 차이만 있을 뿐 그 외에는 아무런 차이가 없거든요. 그러니까 복리에 대해서 제대로 이해하려면 앞서 단리에서 했던 내용을 완전히 이해하고 있어야 합니다.

등비수열의 활용

수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 공부했던 단리에서 원금을 처음에 한 번만 넣는 경우와 매년 넣는 경우를 살펴봤죠? 원금을 매년 넣는 것도 매년 초에 넣는 것과 매년 말에 넣는 걸 공부했어요. 여기서도 똑같습니다. 처음 한 번만 넣는 경우, 매년 초에 넣는 경우, 매년 말에 넣는 경우의 세 가지를 알아보죠.

먼저 원금을 처음 한 번만 넣는 경우를 보죠. 이건 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용이에요.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣는다고 해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만원 + 100만원 × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)
2년 후: 100만원(1 + 0.05) + 100만원(1 + 0.05) × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)²
3년 후: 100만원(1 + 0.05)² + 100만원(1 + 0.05)² × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)²(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)³
10년 후: 100만원(1 + 0.05)¹⁰

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)¹⁰이에요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년 동안 복리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년 동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05)¹⁰이에요.

두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁹죠.

세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁸이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05)¹이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)¹⁰, 100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)⁸, …, 100만 원(1 + 0.05)², 100만 원(1 + 0.05)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05), 100만 원(1 + 0.05)², …, 100만 원(1 + 0.05)⁸, 100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)¹⁰

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05)¹⁰, 공비가 (1 + 0.05)인 등비수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05)ⁿ

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등비수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫째항이 a, 마지막 항이 l, 등비가 r인 등비수열의 합은  공식에 넣어서 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
a_n = a(1 + r)ⁿ
원리합계는 등비수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 했듯이 매년 1월 1일에 넣으면 넣는 햇수만큼 이자를 모두 받을 수 있지만, 연말에 넣으면 마지막 해의 이자를 받을 수 없어요. 총 기간에서 마지막 1년을 뺀 기간만 이자를 받는 거죠.

이번에는 매년 말인 12월 31에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년간 복리로 넣는다고 해볼까요?

여기서도 해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년 치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁹

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년 치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁸

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05)⁰ = 100만 원

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)⁸, …, 100만 원(1 + 0.05)², 100만 원(1 + 0.05), 100만 원

거꾸로 써보죠.
100만 원, 100만 원(1 + 0.05)¹, 100만 원(1 + 0.05)², …, 100만 원(1 + 0.05)⁸, 100만 원(1 + 0.05)⁹

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05)⁹인 등비수열이에요. 공비는 (1 + 0.05)이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원(1 + 0.05)^{n - 1}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등비수열의 합 공식

 공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + r)ⁿ
매년 말에 입금하면 a_n = a(1 + r)^{n - 1}
원리합계는 등비수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

단리면 등차수열, 복리면 등비수열이에요. 매년 초에 입금할 때와 매년 말에 입금할 때의 일반항은 모양은 같은데, 지수가 하나는 n, 다른 하나는 n - 1이고요. 이 두 가지만 기억하면 돼요.

매년 초에 50만 원씩 연이율 3%로 5년간 복리로 예금할 때, 5년 뒤에 받는 원리합계를 구하여라. (1.03⁵ ≒ 1.1592)

매년 초에 입금하네요. 해마다 넣는 돈이 5년 뒤에 얼마가 되는지 차례대로 써보죠. 첫해에 입금하는 돈은 5년간 이자를 받을 수 있어요.

첫해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵
두 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴
세 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)³
네 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)²
다섯 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹

5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴, 5 × 10⁵(1 + 0.03)³, 5 × 10⁵(1 + 0.03)², 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹

이 수열의 순서를 바꿔보죠.

5 × 10⁵(1 + 0.03)¹, 5 × 10⁵(1 + 0.03)², 5 × 10⁵(1 + 0.03)³, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵

첫째항이 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹이고 마지막 항이 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵, 공비가 (1 + 0.03)인 등비수열이에요.

원리합계가 이 등비수열의 합과 같으므로 등비수열의 합 공식을 이용해서 구해보죠.

5년 뒤의 원리합계는 약 2,732,933원입니다.

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상용로그의 활용, 단리와 복리

단리와 복리는 상용로그의 활용에서 해봤어요. 상당히 까다로운 문제였죠? 수열에서 공부하는 단리와 복리는 그보다 조금 더 까다로워요. 원리는 같은데 돈을 넣는 횟수가 많고 돈을 언제 넣느냐에 따라서 그 결과가 달라지거든요. 문제를 풀 때 돈을 넣는 횟수와 돈을 넣는 시기 두 가지를 잘 구별해야 합니다.

단리와 복리에서 돈을 넣는 횟수와 시기에 따라 결과가 왜 달라지는지 이해를 잘해야 해요. 상당히 어렵습니다. 집중해서 잘 보세요. 여기서는 상대적으로 계산이 간단한 단리를 이용해서 설명할게요.

등차수열의 활용

단리와 복리는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 공부했었죠? 단리는 원금에 일정한 이자를 더하는 거고, 복리는 원금은 물론 이자에도 이자를 더하는 거예요.

상용로그에서 공부했던 단리, 복리와 수열에서 공부하는 단리, 복리는 기본적으로 의미는 같지만, 한 가지 중요한 차이가 있어요. 상용로그에서의 단리, 복리는 원금을 처음 딱 한 번만 입금해요. 처음에 딱 한 번만 넣고 5년이든 10년이든 일정한 지났을 때의 금액을 구하는 거죠. 수열의 단리, 복리에서는 원금을 처음에 한 번만 넣는 게 아니라 매달 또는 매년 넣어요. 첫해에 돈을 넣고, 두 번째 해에 또 넣고, 세 번째 해에 또 넣어요. 각 해에 넣는 돈에 모두 이자가 붙는 거죠.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 단리로 넣는다고 해보죠.

이 경우는 처음에 한 번만 넣어요. 그러니까 상용로그에서 했던 것처럼 10년 뒤의 금액을 구해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만 원 + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05)
2년 후: 100만 원(1 + 0.05) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 2)
3년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 2) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 3)
10년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 9) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 10)

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

여기까지는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용 그대로예요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 넣는 연이율 5%인 예금을 10년 동안 단리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

이건 한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

이번에는 두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 10년 중 1년이 지났으니까 이 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)죠.

이번에는 세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05 × 1)이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 10), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 10)

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05 × 1)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05 × 10), 공차가 100만 원 × 0.05인 등차수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05 × n)

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등차수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫 항이 a, 마지막 항이 l인 등차수열의 합은 이므로 공식에 넣어보면 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
a_n = a(1 + rn)
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

똑같은 상황을 조금만 바꿔보죠. 다른 건 다 똑같고, 매년 말인 12월 31에 100만 원을 넣는다고 해볼까요?

예를 들어 2014년 1월 1일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31일이에요. 그런데 연말인 2014년 12월 31일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31이죠. 햇수로 10년이지만 정확하게 날짜로 계산하면 9년밖에 안 돼요. 그러니까 이자는 9년치 이자만 받을 수 있어요.

매년 1월 1일에 넣는 것과 매년 12월 31일 넣는 것의 차이를 이해했나요?

여기서도 매해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05 × 0)

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 0)

거꾸로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 0), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9)

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05 × 9)인 등차수열이에요. 공차는 100만 원 × 0.05이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원{1 + 0.05 × (n - 1)}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등차수열의 합  공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + rn)
매년 말에 입금하면 a_n = a{1 + r(n - 1)}
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

돈을 한 번만 입금하는지 매년 입금하는지 잘 살펴야 해요. 그리고 연초에 입금하는지 연말에 입금하는지도 잘 구별해야 하고요.

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등차수열, 등차수열의 일반항
등차수열의 합, 등차수열의 합 공식

티스토리의 블로그 스킨을 수정하다 보면 굉장히 어렵죠. 고치고 나서 제대로 나오는지 미리보기를 눌러서 확인하고, 또 고치고 미리보기하고 이런 걸 몇 번씩 반복해야 해요. 카테고리 목록이라든지 댓글 목록처럼 미리보기로 볼 수 없는 곳은 일일이 저장해서 확인해야 하고요.

크롬의 개발자도구를 이용하면 이런 작업을 조금 간단히 할 수 있어요. 미리보기를 따로 할 필요없이 바로 적용해서 볼 수 있거든요. 개발자도구를 이용하면 현재 보고 있는 페이지의 html, css 코드를 수정할 수 있어요. 이런 기능을 이용해서 블로그의 스킨을 수정한다면 블로그 스킨 수정이 훨씬 쉬워집니다.

크롬 개발자도구로 블로그 스킨 수정하기

개발자도구는 다른 브라우저에도 있는 기능인데, 보통은 오류를 찾거나 소스 코드 분석을 할 때 사용해요. 크롬에는 현재 보이는 화면의 코드를 수정할 수 있는 기능이 있어서 더 편리하죠. (다른 브라우저는 사용해보지 않아서 이런 기능이 있는지는 모르겠어요.)

블로그 스킨을 수정하고 싶은 페이지에 접속합니다.

도구 - 개발자도구를 선택해도 되고, 아래 그림처럼 수정하고 싶은 곳에 마우스 오른쪽 클릭을 해서 요소 검사를 선택해도 됩니다. 요소 검사를 선택하면 html에서 원하는 위치로 바로 이동할 수 있어서 더 편리해요.

"Recent Posts"에서 "요소 검사"를 클릭했더니, 개발자도구 창에서 해당하는 html 소스가 선택되어 있어요.

html에서 고치고 싶은 곳에 마우스 커서를 놓고 F2를 누르면 편집할 수 있는 창이 나와요. Recent Posts를 최신글 목록이라고 바꿔보죠.

개발자도구의 왼쪽 창에는 html 소스가 나오고 오른쪽 창에는 css가 나와요. 왼쪽의 html 창에서 소스를 하나씩 선택하면 그 소스에 해당하는 css가 오른쪽 창에 나옵니다. css는 구조와 클래스에 따라 여러 css가 함께 적용되기도 하는데, 이때, 우선순위에서 밀려서 적용되지 않는 건 가로줄이 그어져 있어요. 아래 그림에서 font-size: 1.3em이 그렇죠.

체크박스가 있는데, 여기서 선택을 해제하면 해당 css 속성을 적용되지 않도록 바뀝니다.

다음은 css를 수정해보죠. text-aling:center를 추가해봤어요. 글자를 가운데 정렬하는 css에요.

두 부분을 수정했더니 화면에서 왼쪽 정렬이 되어있던 "Recent Posts"가 가운데 정렬의 "최신글 목록"으로 바뀌었어요.

실제로 블로그 스킨의 html과 css를 수정한 게 아니라 그냥 그 화면에 보여지는 것만 임시로 바꾼 거예요. 따라서 저장되지는 않아요. 이렇게 하나씩 바꾸고 수정하면서 내 블로그에 맞는 설정을 찾을 수 있어요.

이렇게 찾은 설정들을 모아서 html, css를 한 번에 수정하는 거죠.

아래 그림은 css 편집창의 제일 아래에 있는 화면인데, 레이아웃을 보여주는 그림이에요. 파란색 300 x 16이 실제 크기, 그 주변으로 padding, border-width, margin을 상하좌우의 네 부분으로 나눠서 보여줘요. margin-top:12px, margin-bottom:10px, border-bottom:1px, padding-bottom:10px이라는 걸 알 수 있어요.

생활코딩 - 크롬 개발자도구에 동영상으로 설명된 게 있으니까 한 번 둘러보세요. 버전이 조금 다르긴 하지만 글을 읽는 것보다 훨씬 더 이해가 잘 될 거예요.

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교보문고에서 제가 만든 책을 판매하고 있습니다. 그런데 교보문고의 보고서는 실시간이 아니고 열흘 정도 차이가 있어요. 그래서 실시간 보고서를 보고 싶어서 링크프라이스의 사용자 정의 링크를 만들어서 활용하고 있어요. 그래도 정확하게 열흘이 아니라서 이게 딱 맞아 떨어지지는 않지만 그대로 언제쯤 수익이 정산되는지 대충 짐작은 할 수 있죠.

저야 교보문고의 보고서를 대체하기 위해서 사용하지 링크프라이스가 목적이 아니니까 별 상관은 없지만, 링크프라이스를 통해서 판매를 목적으로 하는 경우라면 링크프라이스의 여러 기능을 잘 이해하고 다양한 방법으로 활용하면 더 많은 수익을 낼 수 있어요.

이 글에서는 링크프라이스의 사용자 정의 링크에서 사용자 사용자지정값 u_id라는 항목이 있는데, 이게 어떤 기능을 하는 것인지 어떻게 활용할 수 있는지 알아보죠. 먼저 사용자지정값이 무엇인지부터 알아볼까요?

사용자정의 링크를 만드는 화면이에요. 사용자지정값이라는 입력칸이 있어요. (링크프라이스 사용자정의 링크 만드는 방법)

사용자정의 링크를 만드는 페이지에 나오는 사용자지정값에 대한 설명이에요.

사용자자지정값(u_id): 리워드태그를 사용하시면 리워드리포트를 통해서 어필리에이트 웹사이트의 어느 회원이 구매 또는 가입을 했는지 확인할 수 있습니다. 회원제로 운영하신다면, 리워드 태그를 사용하여 회원별 실적을 확인하십시오. "저장"에 체크하시면 리워드태그 값을 자동입력 되도록 할 수도 있습니다. (예: 회원아이디가 $member_id 이고, 서버스크립트가 PHP일때, <?=$member_id?>를 저장하고 사용가능)

무슨 소린지 잘 모르겠죠? 일반 블로거라면 굳이 알 필요는 없어요.

간단히 말하면 링크에 아이디를 부여해서 관리할 수 있는 기능입니다. 그리고 보고서에서 해당 아이디를 통해서 좀 더 자세한 내용을 확인할 수 있죠.

링크프라이스의 보고서는 어떤 상품이 판매되었는지를 알려줍니다. 그런데 어떤 링크를 통해서 상품이 판매되었는지를 확인할 수 없죠. 이걸 알려주는 게 사용자지정값(u_id)예요.

링크프라이스의 보고서 보면 제일 오른쪽 끝에 있는 T(상품별 보기)를 선택하세요. u_id로 검색할 수도 있어요.

보고서가 나오는데, 오른쪽 끝에 u_id가 있어요.

제가 사용자정의 링크를 만들 때, 1학년 1학기는 u_id를 11, 2학년 1학기는 21, 3학년 1학기는 31, 3학년 2학기는 32, 3학년 1, 2학기 통합은 30으로 정했어요.

보고서의 두 번째 줄에 있는 "수학방의 중등수학 3"은 u_id가 30으로 제가 지정한 u_id와 일치해요. 즉 제가 지정한 링크를 클릭하고 교보문고에 접속해서 그 페이지에 있는 상품을 산 거죠.

보고서의 가운데에 있는 "수학방의 중등수학 1-1"은 원래대로라면 u_id가 11이어야 하는데, 31이죠? 이 말은 31이 나타내는 3학년 1학기 링크를 타고 교보문고에 접속한 다음에 1학년 1학기 책을 샀다는 뜻이에요. 클릭해서 접속한 페이지와 실제 책을 산 페이지가 달라요.

이 외에도 제 링크를 클릭해서 다른 소설책을 사는 경우도 있고요.

이처럼 사용자지정값은 링크에 아이디를 붙여서 관리할 수 있어요.

링크프라이스의 사용자링크가 단순히 내가 링크한 페이지의 상품이 팔리는 게 아니라 다른 상품을 팔 수도 있다는 걸 확인할 수 있죠. 그렇다면 어떤 페이지로 이어지는 링크가 더 효율적인지 파악하는 것도 가능하죠.

예를 들어 온라인 쇼핑몰에서 티셔츠 판매 페이지로 바로 가는 링크와 티셔츠 목록이 나열된 페이지로 가는 링크 두 개가 있다고 해보죠. 일반적인 보고서라면 단순한 판매량만 나오지만 두 링크를 만들 때 u_id를 지정한다면 어느 쪽으로 접속을 유도할 때 더 많은 상품이 판매되는지 확인할 수 있어요. 더 효과가 좋은 링크를 사용해야겠죠.

단순한 링크 주소라도 효과가 다르니까 이런 방법을 통해서 더 효과가 좋은 링크를 찾아보세요.

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반응형 스킨을 사용한 지 벌써 6개월 정도 돼가네요.

반응형 스킨의 가장 큰 장점은 기기에 상관없이 비슷한 블로그 화면을 보여줄 수 있다는 거죠. 부수적으로 구글 웹로그 분석을 모바일에서도 사용할 수 있다는 점도 좋고요.

그 외에도 많은 장점이 있는데, 개인적으로 가장 좋은 건 구글에서 검색 유입이 들어온다는 거예요. 예전에 구글 웹마스터 도구에서 매개변수를 잘못 건드리는 바람에 구글에서 블로그의 모바일 페이지만 검색되고 PC 페이지가 검색되지 않았거든요. 포럼에서 알려준 대로 매개변수 설정을 초기화해도 문제가 해결되지 않아서 포기하고 있었어요.

이유는 모르겠는데, 반응형스킨으로 바꾸고 난 다음부터는 구글에서 검색되는 PC 페이지가 점점 늘어나고 있어요. 반대로 검색 결과에서 모바일 페이지는 점점 없어지고 있고요. 지금은 거의 모든 PC 페이지가 검색돼요.

하지만 아직 해결되지 않은 문제가 있더라고요.

아래는 구글에서 검색한 결과인데요. 첫 번째 링크의 주소가 "http://mathbang.net/m/post/view/id/396"처럼 되어 있어요.

반응형 스킨을 사용하면 모바일 페이지가 필요 없으니 모바일 웹 스킨을 off 하죠. 그랬더니 모바일 페이지 주소인 "m/…/"이 들어가 링크가 정상적으로 작동하지 않아요. 그냥 블로그의 홈으로 이동해버립니다.

"http://mathbang.net/m/396"처럼 매개변수없는 모바일 주소는 정상적으로 해당 페이지로 이동하고요.

반응형 스킨을 처음 사용할 때는 구글 검색결과에서 이런 형태의 주소가 많았었는데 점점 개수가 줄어들어 들고 있어서 그냥 놔두면 언젠가는 전부 다 없어질 수도 있을 거예요.

저와 같은 문제를 겪고 있는 분들도 계실 거예요. 시간이 지나면 자연스럽게 없어지니까 그냥 기다리시면 될 것 같아요.

구글 검색 결과에서도 알아서 없어지고 있어서 별문제는 없어 보이지만 다른 블로그나 홈페이지에서 링크를 걸 때 사용된 게 간혹 있더라고요. 모바일 기기에서 주소를 바로 복사해서 붙여넣은 모양이지요.

이건 구글의 문제라기보다 티스토리의 문제인 것 같아요. 모바일 스킨을 off할 수 있는 기능을 만들 때 모바일 주소로 된 페이지의 이동을 제어했어야 하는데, 티스토리에서 미쳐 신경 쓰지 못한듯 합니다. 빨리 수정되었으면 좋겠네요.

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등비수열의 합과 등비수열의 일반항의 관계는 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계에서 했던 내용의 반복이에요. 수열만 등차수열에서 등비수열로 바뀐 것뿐이에요.

등차수열의 합을 나타내는 식을 보면 등차수열의 제1항과 공차를 바로 구할 수 있었죠? 여기서도 등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 공비를 바로 구하는 방법을 알아볼 거예요. 더 나아가 등비수열의 일반항을 바로 구하는 공식도 공부할 거고요.

합에 대한 식만 주어졌을 때 이 식이 등비수열의 합을 나타내는 식인지 아는 방법도 알아볼 거예요.

등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계에서 했던 것처럼 등비수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
S_n = a₁ + a₂ + … + a_n = S_{n - 1} + a_n

마지막 줄을 보죠.

S_n = S_{n - 1} + a_n
a_n = S_n - S_{n - 1}

등비수열의 합을 이용해서 등비수열의 일반항을 구할 수 있어요.

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 a_n = S_n - S_{n - 1}은 제2항부터 나타낼 수 있어요.

그럼 제1항부터 일반항 a_n으로 나타낼 수 있는지 확인하려면 어떻게 해야 할까요? a_n에 n = 1을 대입해서 S₁과 값이 같으면 제1항도 일반항 a_n으로 나타낼 수 있어요.

등비수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
a₁ = S₁
a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2인 자연수)
(a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → a_n = S_n - S_{n - 1} (n ≥ 1인 자연수)

등비수열의 합을 보고 일반항 구하기

제1항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 등비수열의 합 공식을 전개해보죠.

a, r은 상수니까

이라고 한다면 식을 아래처럼 바꿀 수 있어요.

S_n = Arⁿ - A

어떤가요? 등비수열의 합에서 rⁿ의 계수와 상수항을 더하면 0이라는 걸 알 수 있어요.

이렇게 간단하게 쓴 등비수열의 합 공식을 이용해서 등비수열의 일반항 a_n을 구해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = (Arⁿ - A) - (Ar^{n - 1} - A)
    = Arⁿ - Ar^{n - 1}
    = rAr^{n - 1} - Ar^{n - 1}
    = Ar^{n - 1}(r - 1)
    = A(r - 1)r^{n - 1}

이 방법은 n ≥ 2인 일반항을 나타내는 식이에요. 그런데 n = 1일 때도 이 일반항으로 나타낼 수 있으면 좋겠죠? a_n에 n = 1을 대입해서 S₁과 값이 같은지 확인해보죠.

a_n = A(r - 1)r^{n - 1}
a₁ = A(r - 1)r^{1 - 1} = A(r - 1)

그다음 S_n = Arⁿ - A에도 n = 1을 대입해요.

a₁ = S₁ = Ar¹ - A = A(r - 1)

두 방법으로 구한 a₁이 서로 같아요. 그러니까 이 방법은 n ≥ 2일 때뿐 아니라 n = 1일 때도 사용하는 방법이에요.

등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 일반항을 바로 구할 수 있어요. 공식으로 외워두면 좋은데 굳이 외우지 않아도 상관은 없어요.

예를 들어 S_n = 10ⁿ - 1이 주어졌다고 해보죠.

S_n = 10ⁿ - 1 = 1 × 10ⁿ - 1로 10ⁿ의 계수 1과 상수항 -1을 더하면 0이니까 이 식은 등비수열의 합을 나타내는 식이에요. A = 1, r = 10이죠.

따라서 a_n = A(r - 1)r^{n - 1} = 1 × (10 - 1)10^{n - 1} = 9 × 10^{n - 1}라는 걸 바로 구할 수 있어요.

등비수열의 합은 S_n = Arⁿ - A꼴
이때, a_n = A(r - 1)r^{n - 1}

S_n = 4^{n - 2} + x가 등비수열의 합을 나타낸 식일 때 x를 구하여라.

합을 나타내는 식이 S_n = Arⁿ - A꼴이면 등비수열이에요.

S_n = 4^{n - 2} + x = 4^-2 × 4ⁿ + x

제1항부터 제n항까지의 수열의 합이 다음과 같을 때 일반항 a_n를 구하여라.
(1) 2ⁿ - 1
(2) 3^{n + 1} - 3

수열의 합이라고 알려줬는데 어떤 수열인지부터 알아야겠죠? S_n = Arⁿ - A꼴이면 등비수열이에요.

(1) S_n = 2ⁿ - 1 = 1 × 2ⁿ - 1

등비수열의 합이고 A = 1, r = 2이네요.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2ⁿ - 1 - (2^{n - 1} - 1)
    = 2ⁿ - 2^{n - 1}
    = 2 × 2^{n - 1} - 2^{n - 1}
    = 2^{n - 1}

n ≥ 2일 때는 일반항으로 나타낼 수 있는데, a₁도 이 일반항으로 나타낼 수 있는지 알아보죠.

a₁ = S₁ = 2¹ - 1 = 1

a_n = 2^{n - 1}
a₁ = 2^{1 - 1} = 1

S₁를 이용해서 구한 a₁과 a_n에 n = 1을 대입해서 구한 a₁이 같으니까 모든 항을 일반항 a_n으로 나타낼 수 있네요.

그래서 답은 a_n = 2^{n - 1}

(2) S_n = 3^{n + 1} - 3 = 3 × 3ⁿ - 3

S_n = Arⁿ - A꼴로 A = 3, r = 3인 등비수열의 합을 나타내는 식이네요.

공식으로 한 번 풀어볼까요?

S_n = Arⁿ - A일 때, a_n = A(r - 1)r^{n - 1}

a_n = 3(3 - 1)3^{n - 1} = 6 × 3^{n - 1} = 2 × 3ⁿ

이 공식은 유도과정에서 이미 a₁도 일반항 a_n으로 나타낼 수 있다는 것을 증명했으니까 굳이 확인할 필요가 없어요.

따라서 답은 a_n = 6 × 3^{n - 1}

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등비수열에 대해서 알아봤으니까 이제는 등비수열의 합에 대해서 알아보죠.

등비수열의 합 공식은 등차수열의 합 구하는 공식과 유도 과정이 비슷하지만 달라요. 어떤 점이 다른지 잘 보세요. 등차수열의 합 공식은 두 가지가 있었는데, 사실은 같은 거였어요. 등비수열의 합 공식은 세 개인데 두 개는 서로 같고 하나는 다른 공식이에요. 공비에 따라 공식이 달라지는데 왜 그런지를 잘 이해하세요.

등차수열의 합 문제와 등비수열의 합 문제는 공식만 다를 뿐 거의 비슷해요. 그리고 공식을 적용해서 계산할 때 조금 더 쉽게 계산할 수 있는데, 이건 연습을 통해서 감을 익혀야 합니다.

등비수열의 합

등차수열의 합을 구할 때는 S_n을 원래 순서대로 한 번, 순서를 바꿔서 한 번 더해서 2로 나눠서 구했어요.

S_n = a + ar + ar² + ar³ + … + ar^{n - 2} + ar^{n - 1}
S_n = ar^{n - 1} + ar^{n - 2} + … + ar³ + ar² + ar + a

등차수열에서는 원래 순서대로 더한 것과 거꾸로 더한 것에서 같은 자리에 있는 항을 더하면 모두 값이 같았는데, 등비수열에서는 그렇지 않죠? 등비수열의 합은 다른 방법으로 구해요.

어떻게 하느냐면 순서를 거꾸로 바꿔서 더하는 대신에 S_n에 공비 r을 곱해서 빼는 거예요.

아래에 나온 것처럼 S_n에 공비 r을 곱하면 S_n의 제2항은 rS_n의 제1항과 같고, S_n의 제3항은 rS_n의 제2항과 같죠? 같으니까 그냥 빼면 없어져 버려요.

S_n - rS_n = (1 - r)S_n = a - arⁿ

r ≠ 1이면 양변을 (1 - r)로 나눌 수 있죠?

r = 1이면 양변을 나눌 수 없어요. 다른 방법을 찾아야 해요. 그냥 a_n를 죽 쓰고 더해보죠.

S_n = a + ar + ar² + … + ar^{n - 1}
    = a + a + a + … + a            (∵ r = 1)
    = na

r ≠ 1일 때 공식은 일반항을 이용한 공식인데, 마지막 항 a_n = ar^{n - 1} = l이라고 하면 공식이 어떻게 바뀌는지 구해보죠.

을 전개해볼까요?

r ≠ 1일 때 2개의 공식, r = 1일 때 1개의 공식을 얻었어요.

제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n


제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n

다음 등비수열의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024
(3) 제1항부터 제3항까지의 합이 -3, 제1항부터 제6항까지의 합이 21일 때, 제1항부터 제9항까지의 합을 구하여라.

(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합을 공식에 바로 대입해보죠.

121이네요.

(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024는 첫째항이 2이고 공비가 2 마지막 항이 1024인 등비수열이네요.

마지막 항이 있는 공식을 이용해 볼까요?

아니면 1024가 몇 번째 항인지부터 구해서 합을 얻을 수도 있어요.

2ⁿ = 1024 → n = 10

(3) 이게 어려운 문제예요. 풀이 과정을 잘 봐두세요.

제1항부터 제3항까지의 합이 -3을 식으로 나타내면

제1항부터 제6항까지의 합이 21을 식으로 나타내면

식이 두 개고 모르는 문자도 2개인데, 차수가 너무 커서 일반적인 연립방정식으로 풀기는 어려워요. 이때는 어떻게 하느냐면 식 하나를 인수분해한 다음 다른 식을 대입해요.

r = -2를 구했으니까 두 식 중 아무 식에나 대입해서 a를 구할 수도 있어요.

a와 r을 구했으니까 등비수열의 합 공식에 대입해보죠.

답은 -171이네요.

이 문제는 r = -2를 바로 구할 수 있는 문제고요. 때에 따라서는 r을 바로 구하지 못할 때도 있어요. 이때의 풀이법을 알아보죠.

r을 구했던 식으로 돌아가죠.

r³ + 1 = -7
r³ = -8

r = -2를 바로 구할 수 있지만 구할 수 없다고 가정하고 풀어볼게요.

제1항부터 제9항까지의 합을 식으로 나타내면

이 문제에서는 r³ = -8 → r = -2를 구할 수 있어서 이 과정이 굳이 필요 없지만, 문제에 따라서 r³ = -7처럼 r을 바로 구하지 못하는 경우가 있어요. 이럴 때에도 문제를 풀려면 위 과정을 이해해야 해요.

되게 어려운 문제인데, 문제에 나온 설명대로 식을 세우고, 한 식을 인수분해한 다음 다른 식을 대입하는 방법으로 풀어요.

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