대칭이동 두 번째에요. 점과 도형의 대칭이동에서는 어떤 기준(x축, y축, 원점)을 사용했느냐가 중요하죠. 그리고 그 기준에 따라 대칭이동했을 때 x, y의 좌표가 어떻게 바뀌는지도 알아야 하고요.
이 글에서는 직선 y = x와 y = ax + b에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 바뀌는지 그리고 대칭이동한 결과를 어떻게 구하는지 알아볼 거예요. 직선 y = x에 대한 대칭이동은 앞서 했던 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동과 함께 외워두면 좋고, 직선 y = ax + b에 대하여 대칭이동은 결과를 구하는 과정을 알아두세요.
대칭이동 - 직선에 대하여 대칭이동
y = x에 대하여 대칭이동
좌표평면 위의 한 점을 직선 y = x에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 되는지 알아보죠.
점 P(x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 점 P'(x', y')라고 해볼까요?
대칭이동하면 직선 y = x에서 점 P까지의 거리와 직선 y = x에서 점 P'까지의 거리가 같아요. 그러니까 점 P와 점 P'에서 같은 거리에 있는 점 바로 선분 PP'의 중점 
또 선분 PP'와 직선 y = x는 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.
y + y' = x + x' ……… ①
y - y' = -(x - x') ……… ②
이 두 식을 연립해서 풀어보죠.
① + ② : 2y = 2x' → x' = y
① - ② : 2y' = 2x → y' = x
점을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x, y의 좌표가 서로 바뀌는 걸 알 수 있어요. P'(x', y') = P'(y, x)가 돼요.
점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 점의 대칭이동과 도형의 대칭이동은 같다고 했어요. 그러니까 도형의 대칭이동에서도 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동하면 f(y, x) = 0이 돼요.
y = x에 대하여 대칭이동
x대신 y대입, y대신 x 대입
점 (x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (y, x)
도형의 방정식 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(y, x) = 0
다음을 구하여라.
(1) 점 (2, 3)을 y = x에 대하여 대칭이동한 점
(2) 2x + 3y + 4 = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식
(3) (x - 1)2 + y2 = 10을 y = x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식
점과 도형을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x → y, y → x로 바꿔주면 돼요.
(1) 번은 (2, 3)이니까 y = x에 대하여 대칭이동하면 (3, 2)가 되겠네요.
(2) 번은 2x + 3y + 4 = 0에서 x와 y를 서로 바꿔주면 2y + 3x + 4 = 0이니까 3x + 2y + 4 = 0이 되겠고요.
(3) 번 (x - 1)2 + y2 = 10에서 x, y를 바꿔주면 (y - 1)2 + x2 = 10이니까 x2 + (y - 1)2 = 10이 되겠네요.
y = ax + b에 대하여 대칭이동
이번에는 점 P(x, y)를 직선 y = ax + b에 대해서 대칭이동해보죠. 대칭이동한 점을 P'(x', y')라고 할게요.
방법은 위와 똑같아요.
- (점 P에서 직선 y = ax + b까지의 거리) = (점 P'에서 직선 y = ax + b까지의 거리)
→ 선분 PP'의 중점이 y = ax + b 위의 한 점 - (선분 PP'의 기울기) × (직선 y = ax + b의 기울기 a) = -1
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.
원의 방정식을 대칭이동했는데, 원의 방정식 위의 한 점을 대칭이동하는 것도 좋지만, 원의 중심을 이용하는 것도 방법이에요. 대칭이동을 하더라도 반지름의 길이 등 원의 성질은 바뀌지 않으니까요. 원의 중심의 좌표를 대칭이동해보죠.
원의 중심의 좌표를 점 C(-1, 2), 대칭이동한 원의 중심의 좌표를 점 C'(a, b)라고 놓으면
(점 C에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리) = (점 C'에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리)
→ 선분 CC'의 중점이 y = 2x + 9위의 한 점
중점
(선분 CC'의 기울기) × (직선 y = 2x + 9의 기울기 2) = -1
두 식을 연립해서 풀면 a = -5, b = 4네요. 대칭이동한 원의 방정식의 중심은 (-5, 4)가 되는군요.
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (x + 5)2 + (y - 4)2 = 10이 됩니다.
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선분의 내분점과 외분점
좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점
비밀댓글입니다
대칭이동이니까 대칭축에서 원래 점까지의 거리와 이동한 점까지의 거리가 같죠.
참 좋은 글들이 많네요.
잘 보고 갑니다.
다른 글들도 많이 보세요. ㅎㅎ
항상 잘 보고 갑니다^^
마지막 문제에서 '점 C에서 직선y = 2x + 4까지의 거리'에서 +4 오타네요
그리고 점 CC'에서 점 PP'로 바뀌네요 ㅎㅎ
그렇군요. 두 개나 틀렸네요. ㅠㅠ
항상 잘 보고 있습니다.
질문이 하나 있는데,
y=x에 관한 대칭이동에서 PP`와 y=x가 수직인 이유가 뭐죠??
P와 P'는 y = x라는 선에 대해서 선대칭인 점이니까요.
선대칭도형이면 왜 수직이등분인지 모르겠어요.ㅠㅠ
선대칭은 선을 접으면 양쪽이 겹치는 거잖아요. 그러려면 선에서 같은 거리, 같은 각도에 위치해야 하는데 같은 각도가 되려면 평각 180도의 절반인 90도여야겠죠?
정말 감사합니다. 덕분에 많이 알아갑니다.ㅎㅎ
항상 많은 도움 받고 있습니다. 궁금한게 있어서 그런데요
예를 들어 도형 f(x.y)=0을 f(y+1, -x)=0 으로 옮기는 변환에 대해서
대칭이동이랑 평행이동의 우선순위가 따로 있나요??
대칭이동 먼저 해보고, 평행이동 먼저 해보고 이리저리 몇번 해봤는데 결과는 같게 나오긴 했습니다만...혹시나 우연인지해서...요
대칭이동과 평행이동 중 어느 것을 먼저 하느냐에 따라 결과가 달라요. 대칭이동만 여러 번 하거나 평행이동만 여러 번 하는 건 상관없는데 둘을 섞어서 할 때는 순서가 중요해요. 우선순위보다는 어떤 이동을 먼저 했는지 알려줘요.
첫번째 방법
1. x축 방향으로 -1만큼 평행이동 → 2. x 축 대칭이동 → 3. y=x 대칭이동
두번째 방법
1. y=x 대칭이동 → 2. y축 대칭이동 → 3. y축 방향으로 -1만큼 평행이동
세번째 방법
1. y=x 대칭이동 → 2. y축 방향으로 -1만큼 평행이동 3. y축 대칭이동
기타 몇개 더 있는데 그림으로 확인하면서 해봤는데 우연인지 결과가 일치했었습니다.
제가 궁금한 것은 평행이동이랑 대칭이동이랑 섞여서 나오면 반드시 대칭이동을 먼저해라 등의 우선순위가 있는지...그게 궁금합니다.
대칭이동과 평행이동의 순서를 바꿔서 했을 때 결과가 같지 않아요. 점으로 하면 일치하는 경우가 간혹 나오니까 도형을 넣어서 해보세요.
이동의 우선순위는 없어요. 그래서 어떤 이동을 먼저 했는지 그 순서를 분명하게 써야 해요. 문제에서도 "대칭이동한 후 평행이동 하였다."처럼 어떤 이동을 먼저 했는지 알려줄 거예요.
비밀댓글입니다
직선 y=x에 대하여 대칭이동 한 후에도 결과가 원래의 도형과 일치하는 도형의 특징이 뭔가요??
이해 ※ ♪♪
헤이 ※ ♪♪
y=-x 대칭은요?
직선에 대하여 대칭이동에 있어요.
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기울기가 1이 아닌 직선에 대한 대칭이동은 일반화된 방법 없이 직접 따로따로 구해야 하나요??
기울기와 y절편에 따라서 바뀌니까 어쩔 수 없지요.