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직선의 방정식을 구하는 마지막 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식이에요. 직선의 방정식 구하기에서는 기울기나 점의 좌표를 주고 직선의 방정식을 구하는 거였는데, 이제는 직선의 방정식을 두 개주고 이를 이용해서 새로운 직선의 방정식을 구해야 합니다.

사실 이 글에서 다룰 내용은 어렵지 않은데, 앞서 했던 내용과 섞여서 나오면 조금 어려워져요. 앞서 했던 직선의 방정식 구하기와 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에 대해서 알고 있어야 해요.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구해보죠.

먼저 결론부터 얘기할게요.

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식
⇔ ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0
⇔ (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0

ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 교점의 좌표를 (p, q)라고 해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 교점 (p, q)를 지난다고 한다면 ap + bq + c + k(a'p + b'q + c') = 0가 되어야 해요.

그런데, ap + bq + c = 0, a'p + b'q + c' = 0이니까 실제로 식이 성립해요. k가 어떤 값을 가져도 상관없이 성립하죠? 이 식은 임의의 k에 대하여 항상 성립하는 항등식으로 (p, q)를 무조건 지나는 직선의 방정식이에요.

공식을 잘 보면 두 직선의 방정식을 알려줬을 때, 하나는 그대로 쓰고 다른 하나에 k를 곱해서 더한 게 0이 되는 거예요.

2x - y - 1 = 0, x - y - 3 = 0의 교점을 지나고 7x - 4y + 1 = 0과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 교점을 지나는 방정식은 (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이에요.

2x - y - 1 + k(x - y - 3) = 0
2x - y - 1 + kx - ky - 3k = 0
(k + 2)x - (k + 1)y - 3k - 1 = 0

직선의 방정식을 먼저 구했는데 k를 모르니까 완전한 식이 아니죠? 이 식이 7x - 4y + 1 = 0과 평행하다고 했어요. 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에서는 (x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비)여야 두 직선의 방정식이 평행이죠?

-4(k + 2) = -7(k + 1)
-4k - 8 = -7k - 7
3k = 1
k = 

k = 이면 상수항의 비가 x, y 계수비와 다르니까 평행이네요. k = 을 원래 식에 대입해보죠.

2x - y - 1 + (x - y - 3) = 0
6x - 3y - 3 + x - y - 3 = 0
7x - 4y - 6 = 0

한 정점을 지나는 직선의 방정식

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0처럼 생긴 직선이 꼭 지나는 점이 하나 있어요. k가 어떤 값을 가지든 상관없이 꼭 지나는 점이죠. 이 점의 좌표를 구해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 k와 상관없이 항상 같은 점을 지난다는 말은 k의 값에 상관없이 식이 항상 성립한다는 뜻이에요. 즉 k에 관한 항등식이라는 거지요.

항등식이 되려면 0k + 0 = 0꼴이 되어야 해요. 즉 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0이 되어야 하죠. 이건 직선의 방정식 두 개이기도 하지만 연립방정식이기도 하잖아요. 연립방정식의 해이자 두 직선의 교점이 바로 꼭 지나는 점이에요.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 일정한 점을 지날 때, 이 점의 좌표를 구하여라.

k와 관계없이 지나는 한 점의 좌표에요. "k와 관계없이"니까 k에 관한 항등식이어야겠죠? k에 관해서 정리해보죠.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0
kx - 2x + 3y - 2ky + 6 = 0
k(x - 2y) - (2x - 3y - 6) = 0

x - 2y = 0
x = 2y

2x - 3y - 6 = 0
4y - 3y - 6 = 0
y = 6
x = 12

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 지나는 점의 좌표는 (12, 6)이네요.

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다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.

다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.

인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.

나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.

나머지정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.

다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.

x³ + 2x² - 3x + 7을 x - 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.

A = BQ + R이므로
x³ + 2x² - 3x + 7 = (x - 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?

R만 구하는 방법은 두 가지에요.

1. 우변의 (x - 4)Q를 이항해서 R = x³ + 2x² - 3x + 7 - (x - 4)Q로 만들거나
   
2. 우변의 (x - 4)Q = 0으로 만들어서 R = x³ + 2x² - 3x + 7을 구하는 거죠.

두 번째 방법에서 (x - 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.

항등식의 미정계수법 - 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.

4³ + 2 × 4² - 3 × 4 + 7 = (4 - 4)Q + R
R = 64 + 32 - 12 + 7 = 91

직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.

위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x - 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.

f(x)를 (x - 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)

이번에는 같은 식을 2x - 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.

f(x) = x³ + 2x² - 3x + 7 = (2x - 1)Q(x) + R

마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 을 대입하면 (2x - 1)Q(x) = 0이 되어서 우변은 R만 남죠.

두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.

나머지정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x - α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =

다항식 f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지는 1, (x - 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하여라.

문제를 식으로 나타내 보죠.
f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1
f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3
f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누기 → f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)

여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x - 1)(x - 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.

f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b

f(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a + b = 1
a + b = 1

f(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3

a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x - 1이에요.

나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.

나누는 식이 일차식이면 R은 상수
나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b
나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax² + bx + c

인수정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x - α)Q(x)가 되겠죠?

나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.

f(x) = (x - α)Q(x)에서 f(x)는 (x - α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x - α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.

그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.

인수정리
x에 대한 다항식 f(x)가 (x - α)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.

f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔  = 0
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.

다항식 f(x) = 3x³ - ax² + x - 6가 x - 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.

다항식 f(x)가 x - 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.
f(2) = 3 × 2³ - a × 2² + 2 - 6 = 0
4a = 24 + 2 - 6
4a = 20
a = 5

f(x) = 3x³ - 2x² + ax - b가 (x - 1)과 (x - 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.

f(x)가 (x - 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 1)Q₁(x) ⇔ f(x)는 (x - 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0
f(x)가 (x - 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 2)Q₂(x) ⇔ f(x)는 (x - 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0

f(x)가 (x - 1)과 (x - 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.

f(1) = 3 × 1³ - 2 × 1² + a - b = 0
a - b = -1
f(2) = 3 × 2³ - 2 × 2² + 2a - b = 0
2a - b = -16

a - b = -1, 2a - b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14

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항등식의 성질에서는 항등식의 기본 꼴인 0x + 0 = 0을 이용해서 모르는 계수를 구했는데요. 이제는 조금 다른 방법을 이용해서 항등식의 계수를 구하는 걸 알아볼 거예요.

항등식의 계수를 구하는 걸 미정계수법이라고 하는데, 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요. 어떤 방법을 이용하더라도 결과는 같아요. 하지만 문제에 따라서 편한 방식이 있으니까 어떤 문제에서 어떤 방법을 사용하는 것이 조금이라도 더 쉽게 푸는 건지 알아두었다가 상황에 맞게 잘 선택하세요.

특히 계수비교법보다는 수치대입법으로 풀어야 하는 문제가 조금 어렵게 나오는 경향이 있으니까 수치대입법에 대해서는 조금 더 신경을 쓰세요.

미정계수법

미정계수법은 이름에서 알 수 있듯이 항등식에서 미정인 계수를 찾아내는 방법이에요. 미정은 아직 정해지지 않았다는 뜻으로 모른다는 거죠. 즉, 구해야 하는 거예요. 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요.

계수비교법

항등식에서 차수별로 각 항의 계수들을 비교해서 모르는 계수를 찾아내는 방법이에요. 항등식의 성질에서 했던 내용을 떠올려 보세요.

ax + b = cx + d가 x에 관한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'x에 관한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

좌변과 우변에 있는 동류항끼리 계수가 같으면 항등식이라는 걸 이용하는 게 바로 계수비교법이에요.

ax + 3 = 2x - b가 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구해보죠.

좌변의 x항과 우변의 x항의 계수가 같아야 하고, 좌변의 상수항과 우변의 상수항이 같아야 하므로 a = 2, -b = 3에서 b = -3이에요.

계수비교법은 차수별로 계수를 비교해야 하기 때문에 괄호가 있으면 모든 괄호를 풀고, 좌변, 우변에서 동류항 정리를 한 다음에 비교해야 해요.

수치대입법

수치대입법은 식의 x에 임의의 숫자를 대입하는 거예요. 항등식은 모든 x에 대해서 성립하니까 아무 숫자나 넣어도 식이 성립하잖아요. x에 임의의 값을 넣은 다음에 남는 문자들을 연립방정식으로 풀어내는 방법이에요. 수치대입법은 괄호를 풀 필요가 없이 바로 계산할 수 있는 장점이 있어요.

예를 들어 (x + 1)¹⁰같은 항이 들어있다면 이걸 전개해서 풀 수는 없겠죠?

x에 값을 대입할 때는 아무 값이나 넣는 게 아니라 모르는 계수가 있는 항을 없앨 수 있는 x값을 대입하는 게 좋아요.

a(x + 1)² + bx - 3 = 4x² + 2x + 1를 수치대입법으로 풀어보죠.

모르는 계수는 a, b인데, 첫 번째 a가 있는 항을 0으로 만드는 x는 -1이죠. x = -1이면 a(x + 1)² = 0이 돼요. x = -1을 대입해보죠.
a(-1 + 1)² + b × (-1) - 3 = 4 × (-1)² + 2 × (-1) + 1
-b - 3 = 4 - 2 + 1
b = -6

bx = 0이 되도록 x = 0을 대입해보죠.
a(0 + 1)² + b × 0 - 3 = 4 × 0² + 2 × 0 + 1
a - 3 = 1
a = 4

a = 4, b = -6이 되었네요.

계수비교법으로 풀어볼까요? 식을 전개해보죠.

a(x + 1)² + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
a(x² + 2x + 1) + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
ax² + 2ax + a + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
ax² + (2a + b)x + a - 3 = 4x² + 2x + 1

x²의 계수: a = 4
x의 계수: 2a + b = 2 → b = -6
상수항: a - 3 = 1 → a = 4

계수비교법으로 풀어도 a = 4, b = -6이 나와요.

계수비교법, 수치대입법 중 어느 방법을 선택해서 값을 구해도 결과는 같아요. 문제에 따라서 좀 더 쉬운 방법을 선택해서 값을 찾으면 돼요.

때에 따라서는 계수를 없애지 못할 수도 있는데, 이때는 계수에 곱해지는 수가 1, -1 등 크기가 작은 숫자가 되도록 넣으면 돼요. 예를 들어 위 식에서 x = -2를 넣으면 a(x + 1)² = a가 되고, x = 1을 넣으면 bx = 1b가 되니까 계산하기가 편해지겠죠?

계수비교법: 괄호를 모두 전개 → 차수별로 계수가 같음을 이용해서 모르는 계수를 구함.
수치대입법: 모르는 계수가 있는 항을 0으로 하거나 가능한 한 작은 수로 만드는 x를 식에 대입하여 모르는 계수를 구함.

다음 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구하여라.
(1) a(x + 2)² - b(x + 3) - c + 1 = 2x² + 5x + 6
(2) a(x - 1)² + b(x - 1) + 2c = 3x + 5

(1)번은 계수비교법으로 풀어보죠. 일단 전개를 해서 동류항 정리를 해야겠죠?

a(x + 2)² - b(x + 3) - c + 1 = 2x² + 5x + 6
a(x² + 4x + 4) - bx - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6
ax² + 4ax + 4a - bx - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6
ax² + (4a - b)x + 4a - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6

양 변에서 차수가 같은 미지수의 계수가 같아야 하므로 a = 2, 4a - b = 5, 4a - 3b - c + 1 = 6이에요.

a = 2이므로 4a - b = 5에서 b = 3
4a - 3b - c + 1 = 6에 a = 2, b = 3을 대입하면 c = -6

(2)번은 수치대입법으로 풀어보죠. 모르는 계수가 0이 되도록 하는 x = 1이에요. x = 1 대입
a(1 - 1)² + b(1 - 1) + 2c = 3 + 5
2c = 8
c = 4

그 다음에는 모르는 계수를 0으로 만드는 x는 없어요. 이럴 때는 계산을 쉽게 할 수 있게 계수에 곱해지는 숫자가 작아지도록 x를 대입하는 거예요. x = 0을 대입해보죠. c = 4라는 건 위에서 구했어요.
a(0 - 1)² + b(0 - 1) + 2 × 4 = 3 × 0 + 5
a - b = -3

이번에는 x = 2를 대입해보죠.
a(2 - 1)² + b(2 - 1) + 2 × 4 = 3 × 2 + 5
a + b = 3

a - b = -3과 a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 0 , b = 3

a = 0, b = 3, c = 4네요.

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항등식은 중학교 1학년 때 방정식을 배우면서 잠깐 공부했어요. [중등수학/중1 수학] - 방정식과 항등식, 등식의 뜻. 항등식이 뭔지 알아보고, 주어진 식이 항등식인지 아닌지 판단하면 됐었죠.

고등학교에서 공부하는 항등식의 뜻은 똑같아요. 다만 이제는 하나의 식을 주면서 항등식이라는 걸 미리 알려줘요. 그 대신에 주어진 식에서 여러 가지 값을 구하는 거죠.

이런 값을 구하는 방법에서 가장 먼저 생각해야 하는 게 항등식의 성질인데, 이 글에서는 항등식의 성질을 공부할 겁니다.

항등식

등식은 등호를 이용해서 등호 양쪽이 서로 같다는 걸 나타내는 식이에요. 등식에서는 미지수를 사용하기도 하는데, 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라고 하죠. 미지수가 있지만 미지수에 상관없이 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요.

항등식을 여러 가지 다른 표현을 사용하기도 해요. 다음은 모두 다 항등식을 나타내는 표현이니까 알아두세요.

모든 x에 대하여 … 일 때
임의의 x에 대하여 … 일 때
어떠한 x에 대하여도 … 일 때
x에 관계없이 … 일 때
x에 대한 항등식 …

항등식의 성질

ax + b = 0이라는 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b의 값을 알아보죠.

x가 어떤 값을 갖더라도 이 등식은 참이 되므로
x = 1일 때, a + b = 0
x = 2일 때, 2a + b = 0
x = 3일 때, 3a + b = 0

세 개 중에 두 개를 선택하면 연립방정식이죠? a + b = 0, 2a + b = 0에서 a = 0, b = 0이라는 값을 구할 수 있어요.

0x + 0 = 0이라는 거죠. 이건 모든 항등식의 기본 꼴이라고 할 수 있어요. 미지수의 계수도 0, 상수항 0, 우변도 0이죠.

ax² + bx + c = 0이 항등식일 때는 어떨까요? 이것도 마찬가지로 x², x, 상수항, 우변이 모두 0이면 항등식이에요. 즉, a = b = c = 0이면 항등식인 거죠.

ax + b = cx + d이 항등식일 때, a, b, c, d를 구해볼까요? 우변에 있는 항들을 모두 좌변으로 이항시켜보죠.
ax + b = cx + d
(a - c)x + b - d = 0

x의 계수 a - c = 0, 상수항 b - d = 0이면 항등식이에요. 따라서 a = c, b = d에요.

ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'
(a - a')x² + (b - b')x + c - c' = 0
a = a', b = b', c = c' 이면 항등식이 돼요.

모든 항을 좌변으로 이항 → 동류항 정리 → 0x + 0 = 0이면 항등식
ax + b = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = 0
ax² + bx + c = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = c = 0

좌변과 우변에서 차수가 같은 문자의 계수끼리 서로 같으면 항등식
ax + b = cx + d가 x에 대한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax² + bx + c = a'x² + b'x + c가 x에 대한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

임의의 x에 대하여 다음이 성립할 때, a, b, c의 값을 구하여라.
(1) a(x - 2)² + b(x + 3) + (c + 4) = 0
(2) a(x + 1)² + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4

임의의 x에 대하여 성립한다는 말은 항등식이라는 얘기죠.

(1)번은 일단 전개부터 해야겠네요. 모든 항을 좌변으로 이항했을 때, x의 계수와 상수항이 0이면 항등식이에요

a(x - 2)² + b(x + 3) + (c + 4) = 0
a(x² - 4x + 4) + bx + 3b + c + 4 = 0
ax² - 4ax + 4a + bx + 3b + c + 4 = 0
ax² + (b - 4a)x + 4a + 3b + c + 4 = 0

a = 0, b - 4a = 0, 4a + 3b + c + 4 = 0 이면 항등식이므로 a = 0, b = 0, c = -4

(2)도 전개해야 하는데, 우변에 식이 있어요. 좌변으로 모두 이항해서 x의 계수와 상수항이 0인지 확인해도 되고요. 아니면 좌변을 전개해서 우변에 있는 계수들과 같은 값을 가질 때 a, b, c를 구해도 되죠.

a(x + 1)² + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
a(x + 2x + 1) + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
ax² + 2ax + a + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
ax² + (2a + b)x + (a - c - 3) = 4x² + 2x + 4

a = 4, 2a + b = 2, a - c - 3 = 4면 항등식이에요.
a = 4, b = -6, c = -3

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이번 글은 아주아주 중요합니다. 앞으로 배울 수학에서 가장 기본이 되는 식을 배울 거거든요. 여기서 공부할 방정식은 앞으로 배울 부등식, 함수 등 모든 식의 기본이 되는 식이에요.

다만 한가지 다행인 건 우리가 이제까지 알게 모르게 해왔던 것 과정이라는 거지요. 이름을 몰랐을 뿐이고, 그 정확한 정의를 몰랐을 뿐이에요.

방정식과 항등식은 비슷해 보이지만 다른 식이에요. 둘을 구별할 수 있도록 차이를 잘 비교해보세요.

등식

2 + 3을 계산해보세요. 2 + 3 = 5 이렇게 계산할 거예요.

위 계산에서 = 라는 기호를 사용했어요. 등호라고 부르는 이 기호는 = 양쪽이 서로 같다는 뜻이에요.

등식은 등호(=)의 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이에요. 등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽은 우변이라고 부르고, 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 불러요.

식에 등호가 있으면 식이 맞든 틀리든 상관없이 등식이라고 해요. 식이 맞으면 참인 등식, 틀리면 거짓인 등식이라고 해요.

2 + 3 = 6이라는 식이 있어요. 좌변과 우변이 다른데, 등호를 써서 같다고 했으니 잘못된 식이죠? 이게 바로 거짓인 등식이에요.

방정식과 항등식

방정식

문자와 식에서 문자를 사용해서 식을 세울 수 있다고 공부했어요. 문자를 왜 쓰나요? 모르는 어떤 수를 □라고 쓰는 대신 문자로 썼었죠? 이 모르는 수를 미지수라고 합니다. 미지수는 보통 x를 쓰지만 정해진 건 아니니까 아무 문자나 사용해도 상관없어요.

예전 같으면 "□ + 3 = 5에서 □는 2입니다." 했다면 이제는 "x + 3 = 5에서 x = 2입니다."로 바뀐 것뿐이에요.

방정식은 미지수가 있어서, 그 미지수에 따라 식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 등호와 미지수가 같이 있어야 해요.

x + 3 = 5에서
x가 1이면 좌변은 4, 우변은 5여서 이 식은 거짓이에요.
x가 2면 좌변과 우변이 모두 5로 같지요. 이때 식은 참이에요.
x가 3이면 좌변이 6, 우변은 5여서 거짓이 되지요.

미지수 x에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하니까 x + 3 = 5는 방정식이라고 할 수 있는 거지요.

방정식이 참이 될 때의 미지수를 방정식의 해 또는 방정식의 근이라고 해요. x + 3 = 5에서는 x가 2일 때, 식이 참이었으니 이 방정식의 해는 2에요.

문제의 답을 구하는 걸 문제를 푼다고 하지요? 방정식에서 해를 찾는 걸 방정식을 푼다고 해요.

방정식: 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
방정식의 해: 방정식을 참이 되게 하는 미지수. 방정식의 근
방정식을 푼다: 방정식의 해를 구하는 것.

항등식

항등식은 미지수에 어떤 수를 대입해도 참이 되는 등식이에요. 항상 참인 등식이죠.

x + 1 = 1 + x라는 식에서
x = 1이면 좌변과 우변이 모두 2로 같아요. 참이죠.
x = 2이면 좌변과 우변 모두 3으로 같아요. 역시 참이에요.

x + 1 = 1 + x는 x에 어떤 값을 넣어도 참이 돼요. 항등식이죠.

방정식과 항등식 구별 

x + 1 = 1 + x을 보세요. 좌변 x + 1은 덧셈에 대한 교환법칙에 의해서 1 + x와 같죠. 결국, 좌변과 우변이 모두 1 + x에요. 양변이 서로 같으니까 항등식인 거죠.

x + x = 2x라는 식도 한 번 볼까요. 좌변을 동류항 덧셈을 해보면 2x가 돼요. 이건 우변인 2x와 같은 식이죠. 그래서 이 등식은 항등식이 되는 거예요.

x + 3 = 5라는 등식에서 좌변은 식을 더는 바꿀 수 없죠? 그 상태에서 좌변과 우변의 식이 달라요. 그래서 이 등식은 항등식이 아니라 방정식인 거예요.

다음 중 방정식과 항등식을 모두 고르시오.
(1) 2x + 3 = 3 + 2x
(2) 2x - 1 < 5
(3) 2x - x = x
(4) 3 + 5 = 8
(5) 2x - 4 = 6

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식이에요. 항등식은 항상 참인 등식으로 좌변과 우변이 같은 식으로 되어 있어요.

(1) 2x + 3 = 3 + 2x은 좌변의 2x + 3을 교환법칙에 따라 자리를 바꾸면 3 + 2x가 되어 우변과 같은 식이 되므로 항등식이에요.

(2) 2x - 1 < 5은 등호가 아니라 부등호가 있어서 등식이 아니에요.

(3) 2x - x = x에서 좌변 2x - x를 동류항 계산해보면 x가 되어 우변과 같으므로 이 식은 항등식이네요.

(4) 3 + 5 = 8은 미지수가 없네요. 미지수가 없으니까 방정식도 아니고 항등식도 아닌 그냥 등식입니다.

(5) 2x - 4 = 6은 미지수 x가 있지만, 좌변과 우변이 서로 다르고 x = 5일 때만 참이 되는 방정식이네요.

따라서 방정식은 (5)이고, 항등식은 (1), (3) 입니다.

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