피타고라스
대각선의 길이 구하는 공식 - 피타고라스 정리의 활용 - 평면도형 1
이제 피타고라스의 정리에 대해서 익숙해졌나요?
이제부터는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 도형에 적용해서 문제를 푸는 걸 연습해봐야 해요. 직각삼각형을 얼마나 쉽게 만드느냐가 중요해요.
첫 번째로 직사각형과 정사각형에 적용해보죠. 직사각형과 정사각형은 이미 직각이 포함되어 있기 때문에 직각삼각형을 쉽게 만들 수 있어요. 따라서 별다른 작업 없이 피타고라스의 정리를 바로 적용할 수 있지요. 직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.
직사각형의 대각선 길이
한 변의 길이가 a이고 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형이 있다고 하죠. 직사각형은 마주 보는 변의 길이는 같으니까 다른 변의 길이도 a, b이죠? (직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건)
직사각형에서 대각선을 그으면 두 개의 직각삼각형으로 나뉘고, 대각선은 직각삼각형의 빗변이 돼요. (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 바로 구할 수 있죠.
(대각선의 길이)2 = (빗변의 길이)2 = a2 + b2
(대각선의 길이) =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =
한 변의 길이가 3cm이고, 다른 한 변의 길이는 4cm인 직사각형의 대각선의 길이를 구하여라.
한 변의 길이가 a, 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형의 대각선의 길이는 
a = 3cm, b = 4cm이므로 
정사각형 대각선의 길이
정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 90°로 같은 사각형이에요. (정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건)
정사각형 한 변의 길이를 a라고 해볼까요?
대각선을 그으면 직각삼각형 두 개가 만들어지는데, 이 직각삼각형은 두 변의 길이가 a로 같은 이등변삼각형이 돼요.
직사각형과 마찬가지로 (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 적용해보죠.
(대각선의 길이)2 = (빗변의 길이)2 = a2 + a2 = 2a2
(대각선의 길이) =
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이 =
대각선을 그으면 직각삼각형이 바로 보이니까 사각형의 대각선의 길이 구하는 건 별로 어렵지 않죠?
한 변의 길이가 5cm인 정사각형 대각선의 길이를 구하여라.
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 
a = 5이므로 대각선의 길이는 
함께 보면 좋은 글
피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명
피타고라스 정리의 활용 - 사각형
삼각형 세 변의 길이와 각의 크기
[중등수학/중2 수학] - 정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
[중등수학/중2 수학] - 사각형의 정의와 성질, 조건
히포크라테스의 초승달, 직각삼각형과 피타고라스의 정리
피타고라스의 정리는 기본적으로 직각삼각형에서 출발한 정리잖아요. 그래서 이번에는 조금 복잡한 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하는 방법들을 설명할 겁니다.
하나의 직각삼각형 안에 다른 직각삼각형들이 들어있을 때, 각 변들의 관계에 대해서 알아보죠. 숨어있는 직각삼각형을 잘 찾아내는 게 중요한 문제들입니다.
그리고 히포크라테스의 초승달이라고 불리우는 직각삼각형을 중심으로 그려진 반원들에 대해서도 알아보죠. 반원의 넓이와 직각삼각형의 넓이는 어떤 관계가 있는 지 말이죠.
직각삼각형과 피타고라스의 정리
직각삼각형 △ABC에서 빗변이 아닌 두 변에 임의의 점 D, E를 잡아요. D, E에서 반대편 꼭짓점으로 선을 그었더니 아래 그림처럼 됐어요.
위 그림에서 직각삼각형을 몇 개나 찾을 수 있나요? △ABC, ADE, △ADC, △ABE 총 네 개의 직각삼각형을 찾을 수 있어요. 각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해볼까요?
△ABC에서 
△ADE에서 
△ADC에서 
△ABE에서 
① + ② = ③ + ④ = a2 + b2 + (a + c)2 + (b + d)2이 돼요.
공식이나 말로 외우려면 절대 외워지지 않아요. 선을 찾아서 그으면서 그림으로 외우세요.
다음 그림을 보고
= 82 + (32 + 42)
= 64 + (9 + 16)
= 89
히포크라테스의 초승달
직각삼각형의 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원들 사이의 관계에도 재미있는(?) 특징이 있어요.
아래 그림처럼 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원을 그렸어요. 각 부분의 넓이를 P, Q, R이라고 해보죠.
P, Q, R을 구해보면 아래처럼 나오네요. 원의 넓이 구하는 법 모르는 사람은 없겠죠?
(P의 넓이) = 
(Q의 넓이) = 
(R의 넓이) = 
여기에서 P와 Q를 더해보면,
P + Q = 
=
= 
= R
빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이는 다른 두 변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같음을 알 수 있어요.
이 성질을 이용해서 다른 문제를 풀어보죠. 아래 그림을 보세요.
이번에는 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원을 반대방향으로 즉, 삼각형과 겹치게 그려봤어요. 겹치는 부분을 뺀 나머지 넓이를 S1, S2라고 해볼까요?
S1 + S2는 전체의 넓이에서 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이를 빼면 되겠죠?
S1 + S2 = P + Q + △ABC - R
= R + △ABC - R (∵ P + Q = R)
= △ABC
두 영역의 넓이의 합은 △ABC의 넓이와 같다는 걸 알 수 있어요.
다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. (
일단 색칠한 부분은 직각삼각형 부분과 반원의 일부이죠? 반원의 일부는 직각삼각형의 넓이와 같아요. 따라서 문제의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배가 되겠네요.
S1 + S2 + △ABC = 2 × △ABC = 2 × ½ × 3 × 4 = 12(cm2)
함께 보면 좋은 글
피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명
유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명
삼각형 세 변의 길이와 각의 크기
피타고라스 정리의 활용 - 사각형
대각선의 길이 구하는 공식 - 피타고라스 정리의 활용 - 평면도형 1
정삼각형 넓이 공식, 정삼각형의 높이 공식, 삼각형의 높이와 넓이
특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비
피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명
학교를 졸업한 지 오랜 시간이 지난 분들도 1학기 때 공부했던 근의 공식과 이 글에서 공부할 피타고라스의 정리는 들으면 기억이 난다고 할 거에요.
피타고라스의 정리는 이처럼 학교를 졸업한 지 몇 년이 지나도 기억나는 대표적인 공식이죠. 왜 기억할까요? 매우 오랫동안 매우 많은 시간을 공부했으니까요. 즉, 앞으로 수학 시간에 계속해서 나오는 아주 중요한 공식이라는 얘기예요.
이 글의 내용을 주의 깊게 보시면 앞으로 수학 시간에 헤매는 일은 줄어들 겁니다.
피타고라스의 정리
직각삼각형 ABC에서 각 꼭짓점의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 빗변 c의 제곱은 다른 두 변 a, b의 제곱의 합과 같다.
a2 + b2 = c2
피타고라스의 정리의 증명
피타고라스 정리를 증명하는 방법은 10가지도 넘어요. 그 방법을 다 소개할 수는 없고, 몇 가지만 하죠.
피타고라스의 정리 증명 - 피타고라스의 증명
교과서에서도 설명하는 내용이고 가장 많이 이용하는 증명방법이에요. 핵심은 빗변이 아닌 두 변의 길이의 합을 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.
ΔABC에서 변 AC와 변 BC의 연장선을 그려서 한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 만들어요.
그리고 그림처럼 점 A, E, G, B를 잡으세요. 그러면 큰 사각형은 작은 사각형 하나와 삼각형 네 개로 이루어지죠. 넓이를 구해볼까요?
(□CDFH의 넓이) = □AEGB + 4 × (ΔABC의 넓이) 가 돼요. 이 식에 길이를 넣어보면,
(a + b)2 = c2 + 4 × ½ab
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
ΔABC에서 a2 + b2 = c2가 성립함을 알 수 있어요.
피타고라스의 정리 증명 - 바스카라의 증명
이번 증명의 핵심은 빗변의 길이를 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.
ΔABC와 합동인 삼각형 네 개를 붙여서 위 그림처럼 빗변을 한 변으로 하는 정사각형을 만듭니다. 큰 사각형은 작은 사각형 한 개와 삼각형 네 개로 이루어져 있습니다.
(□ABDE의 넓이) = □CFGH + 4 × (ΔABC의 넓이)
c2 = (b - a)2 + 4 × ½ab
c2 = a2 - 2ab + b2 + 2ab
a2 + b2 = c2
ΔABC에서 a2 + b2 = c2가 성립함을 알 수 있어요.
피타고라스의 정리를 증명하는 다른 방법은 유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명에서 확인하세요.
피타고라스 정리의 역
정리와 역이 무슨 말인지는 알고 있죠? 2학년 때 배웠던 내용인데, 수학에서 정의, 정리, 증명, 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 확인할 수 있어요.
역은 가정과 결론을 바꾼 걸 말해요.
피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a2 + b2 = c2이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.
피타고라스의 정리에 자주 나오는 숫자들
피타고라스의 정리를 이용하는 문제에서 한 변의 길이를 구하는 건 공식에 넣어서 구하면 돼요. 식에 제곱이 들어있기 때문에 길이가 제곱근이 되는 경우도 있어요.
그런데 매번 공식에 넣어서 구하는 것도 귀찮잖아요. 그래서 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 길이는 외워두면 편리해요.
세 변의 순서는 가장 짧은 변: 중간: 빗변의 순서에요.
세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5인 삼각형은 직각삼각형이에요. 32 + 42 = 52가 되거든요. 3cm, 4cm, 5cm인 경우만 되는 것이 아니라 길이의 비가 3:4:5인 경우 모두가 직각삼각형이에요. 6cm, 8cm, 10cm인 삼각형도 9cm, 12cm, 15cm인 삼각형도 직각삼각형이라는 거지요.
세 변의 길이의 비가 5:12:13인 경우도 직각삼각형이에요.
세 변의 길이의 비가 1:1:
세 변의 길이의 비가 1:
세 변의 길이가 6cm, xcm, 10cm인 삼각형이 있다. 이 삼각형이 직각삼각형일 때, x값들의 합을 구하시오.
직각삼각형이니까 피타고라스의 정리에 대입해보면 x을 구할 수 있어요. 그런데 문제에서 "값들의 합"이라고 했어요. 그러니까 x가 하나가 아니라는 뜻이에요.
세 변의 길이가 6, x, 10이에요. 10이 빗변의 길이라고 하면 식은 62 + x2 = 102가 돼요.
36 + x2 = 100
x2 = 64
x = 8 (x >0)
이번에는 10이 아니라 x가 빗변을 때를 구해보죠. 62 + 102 = x2
136 = x2
x =
x = 
직각삼각형에서 빗변의 길이가 가장 기니까 6은 빗변이 될 수 없어요. 따라서 x값들의 합은 8 +
함께 보면 좋은 글
유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명
피타고라스 정리의 활용 - 사각형
삼각형 세 변의 길이와 각의 크기
히포크라테스의 초승달, 직각삼각형과 피타고라스의 정리