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기억나진 않겠지만, 원과 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 원과 직선의 위치관계에서 공부했었어요. 이때는 그림을 보면서 어떤 위치관계가 있는지만을 공부했었죠.

이제는 단순히 원과 직선의 위치관계의 종류뿐 아니라 그러한 위치를 갖는 조건을 알아볼 거예요. 물론 위치관계를 가질 조건은 원의 방정식과 직선의 방정식의 관계를 말하죠. 주어진 식을 이용해서 원과 직선에 어떤 관계가 있을 때, 어떤 위치관계에 있는지를 알아보죠.

앞서 했던 여러 단원의 내용이 광범위하게 나오니까 전에 공부했던 내용을 잘 떠올려보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계는 그림에서 보듯이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 한 점에서 만날 때, 만나지 않을 때 세 가지 경우가 있어요. 한 점에서 만날 때를 접한다고 하고요.

판별식 이용

원의 방정식은 x, y에 관한 이차방정식이고 직선의 방정식은 x, y에 관한 일차방정식이에요. 그래프에서의 교점은 원의 방정식의 해이면서 직선의 방정식의 해 즉 연립방정식의 해고요. 그러니까 교점의 개수를 구하는 건 연립방정식의 해의 개수를 구하는 것과 같아요.

이차방정식과 일차방정식으로 된 연립방정식은 일차식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식에 대입해서 풀었어요. 여기서도 이 방법을 이용합니다.

일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식인 원의 방정식에 대입하면 그 식은 이차식이에요. 이 이차식의 해의 개수가 연립방정식의 해의 개수이고, 이건 이차방정식의 판별식을 이용해서 구할 수 있어요.

1. 일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리
2. 1의 식을 이차식인 원의 방정식에 대입. 전개
3. 2의 식에서 판별식 D를 구한다.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 만나지 않는다.

직선을 y에 대해서 정리한 형태가 바로 직선의 방정식의 표준형이에요. 그리고 이걸 원의 방정식에 대입하여 판별식을 구하는 이차식은 일반형이고요.

원의 중심에서 직선까지의 거리 이용

점과 직선 사이의 거리 공식을 이용할 수도 있어요. 원의 방정식에서 원의 중심의 좌표를 구한 다음 원의 중심과 직선 사이의 거리를 구하고 이를 원의 반지름과 비교하는 거예요.

원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 원의 반지름을 r이라고 해보죠.

d < r ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
d = r ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
d > r ⇔ 만나지 않는다.

원의 중심을 구하려면 원이 표준형으로 되어 있어야겠죠? 원과 직선 사이의 거리를 구할 때 직선의 방정식은 일반형이고요.

위의 내용을 표로 정리해보죠.

다음 원의 방정식과 직선의 방정식이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 k의 조건을 구하여라.
(1) x² + y² + 4x + 8y + k - 8 = 0, x + y - 4 = 0
(2) (x - k)² + (y + 2)² = 5, x + 2y + 10 = 0

(1)번은 원의 방정식은 일반형, 직선의 방정식도 일반형이네요. 원의 방정식은 일반형이라면 직선의 방정식이 표준형이어야 판별식을 이용할 텐데 말이죠. 그런데 이때는 직선의 방정식을 그냥 표준형으로 바꾸면 돼요. 표준형으로 바꾸는 건 정말 쉬우니까요.

x + y - 4 = 0
y = -x + 4

이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x² + (-x + 4)² + 4x + 8(-x + 4) + k - 8 = 0
x² + x² - 8x + 16 + 4x - 8x + 32 + k - 8 = 0
2x² - 12x + k + 40 = 0

이차식이 만들어졌는데, 이차식의 해의 개수가 두 방정식의 교점의 개수와 같아요. 서로 다른 두 실근을 가진다고 했으니 D > 0이어야겠네요.

D/4 = 6² - 2(k + 40) > 0
36 - 2k - 80 > 0
2k < -44
k < -22

(2) 원의 방정식은 표준형, 직선의 방정식은 일반형이에요. 이때는 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용해요.

원의 중심의 좌표는 (k, -2), 반지름은 예요.

절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이를 이용했어요.

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원을 공부했으니까 이제는 원의 위치관계에 대해서 알아볼 거예요. 점, 선, 면을 공부할 때 점, 선, 면의 위치관계에 대해서 알아봤잖아요.

평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
공간에서 두 직선의 위치관계, 평면과 직선의 위치관계

간단하게 정리해볼까요?

점과 직선의 위치관계: 직선이 점을 지난다. 지나지 않는다의 두 가지
평면에서 두 직선의 위치관계: 한 점에서 만난다. 평행, 일치의 세 가지
공간에서 두 직선의 위치관계: 평면에서 두 직선의 위치관계 + 꼬인위치
공간에서 평면과 직선의 위치관계: 직선이 평면에 포함, 한 점에서 만난다. 평행

이번에 위치관계가 나와요. 다음 글에서도 위치관계가 하나 더 나오죠. 위치관계가 많이 나와서 헷갈릴 수 있어요. 그러니까 주의 깊게 보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계에는 만나지 않을 때, 한 점에서 만날 때, 두 점에서 만날 때의 세 가지 경우가 있어요. 세 점 이상에서 만나는 경우는 없어요.

원의 반지름의 길이를 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 하고, r과 d의 크기를 비교해볼까요?

점과 직선 사이의 거리를 구할 때 어떻게 했죠? 점과 직선 사이의 거리 중에 가장 짧은 거리, 즉 점에서 직선으로 내린 수선의 길이를 구했어요. 원의 중심과 직선 사이의 거리도 마찬가지 방법으로 구해요.

원과 직선이 두 점에서 만날 때를 생각해보세요. 원과 직선이 두 점에서 만나려면 원의 중심과 원 사이에 직선이 있어야 해요. 따라서 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름보다 짧을 수밖에 없죠. d < r이 되어야 하죠.

한 점에서 만날 때는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 반지름이 같아야 해요. 원은 기본적으로 원의 중심에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어져 있어요. 이 점 중의 하나가 바로 직선위의 점인 경우죠. d = r이에요.

서로 만나지 않을 때는 원보다 직선이 바깥에 있어야 해요. 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 길어야겠죠? 따라서 d > r이에요.

할선과 접선, 접점

원과 직선의 위치관계는 세 가지가 있다고 했어요. 이 위치관계에 따라 직선의 이름을 다르게 불러요. 어떻게 부르는지 알아보죠.

원과 직선이 두 점에서 만날 때, 이 직선을 할선이라고 해요. 분할하는 선이라는 뜻이죠. 원을 둘로 나누는 선이라서 할선이라고 불러요.

또 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선을 접선이라고 해요. 원과 접촉하는 선이라는 뜻이죠. 그리고 이때 원과 직선이 만나는 그 한 점을 접점이라고 해요. 반지름과 접선은 접점에서 항상 수직이에요.

원과 직선이 만나지 않는 경우에는 따로 생각할 게 없네요.

원의 반지름을 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 할 때, 아래 경우에서 원과 직선의 위치관계를 말하여라.
(1) r = 5cm, d = 3cm
(2) r = 5cm, d = 5cm
(3) r = 5cm, d = 7cm
(4) r = 14cm, d = 15cm

(1)에서 r > d 에요. d가 더 짧으니까 원안에 직선이 있다는 뜻이죠. 이 때는 두 점에서 만나는 경우겠네요.

(2)는 r = d네요. 원의 반지름과 직선과의 거리가 같을 때요. 따라서 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우가 되겠군요.

(3)은 r < d에요. 원의 중심과 직선의 거리가 반지름보다 크기 때문에 원 밖에 직선이 있어요. 이 때는 원과 직선이 만나지 않는 경우죠.

(4)는 r < d네요. (3)처럼 원과 직선이 만나지 않는 경우입니다.

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