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삼각함수라는 새로운 함수를 공부할 거예요. 삼각함수는 쉽게 말해서 삼각비 + 호도법 + 함수예요. 삼각비에서 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 각에 대한 일정한 관계가 있었죠? 이 일정한 관계를 함수로 나타낸 것이 삼각함수예요. 삼각비에서는 직각삼각형에서 세 변의 길이의 비를 이용했다면 삼각함수에서는 좌표평면 위의 좌표를 이용하는 차이가 있어요. 또 삼각비에서는 육십분법으로 나타낸 각을 이용했다면 삼각함수에서는 호도법으로 나타낸 각을 이용하죠.

그러니까 삼각함수를 잘하려면 삼각비와 호도법에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요.

삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의

xy좌표평면에 반지름의 길이가 r인 원을 그리고 원 위의 임의의 점을 P라고 해보죠. x축 양의 방향을 시초선으로 하고 동경 가 이루는 각을 θ라고 할 때, ,  , ,는 θ의 크기에 따라 한 가지로 정해져요.

r ≠ 0일 때, θ → , θ → , θ → 는 각각 θ에 대한 함수가 돼요. 이 함수를 차례로 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하고 기호로 sinθ = , cosθ = , tanθ = 로 나타냅니다. 그리고 이 세 가지를 묶어서 삼각함수라고 해요.

마치 삼각비, sin, cos, tan에서 빗변과 밑변, 높이 사이의 비를 구했던 것처럼 말이죠. 반지름 r을 빗변의 길이, x를 밑변의 길이, y를 높이라고 생각하면 쉬워요. 대신 삼각비에서는 길이의 비여서 사용하는 숫자가 모두 양수였지만 삼각함수에서는 좌표를 이용하므로 음수도 사용한다는 차이가 있어요.

• sinθ =
• cosθ =
• tanθ =

좌표평면 위에서 원점 O와 점 P(-3, -4)를 이은 선분 OP를 동경으로 하는 각을 θ라고 할 때 sinθ, cosθ, tanθ를 구하여라.

= 5네요.

sinθ =
cosθ =
tanθ =

삼각함수 값의 부호

삼각함수 값의 부호는 θ가 나타내는 동경의 위치에 따라 달라져요. θ가 몇 사분면 위의 각인지에 따라 부호가 달라지죠. 이때, r은 반지름이니까 무조건 양수예요. 따라서 삼각함수의 부호에 영향을 주는 요소는 좌표평면에서 x, y의 부호입니다.

삼각함수 값의 부호

	제 1 사분면	제 2 사분면	제 3 사분면	제 4 사분면
x, y 부호	x > 0, y > 0	x < 0, y > 0	x < 0, y < 0	x > 0, y < 0
sinθ =	+	+	-	-
cosθ =	+	-	-	+
tanθ =	+	-	+	-

제 1 사분면에서는 세 가지 모두 양수, 제 2 사분면에서는 sinθ만 양수, 제 3 사분면에서는 tanθ만 양수, 제 4 사분면에서는 cosθ만 양수네요. 1, 2, 3, 4 사분면 순서대로 양수인 것들만 뽑아서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos)라고 외워요.

각 함수별로 보면 양수가 되는 사분면이 2개, 음수인 사분면이 2개씩 있어요. 사인함수는 제 1, 2, 사분면이 양수이고, 코사인함수는 제 1, 4 사분면이 양수, 탄젠트함수는 제 1, 3 사분면이 양수예요.

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새로운 단원이에요.

이 글에서는 이제까지 우리가 알고 있던 각의 범위를 확장할 거예요. 단순히 각의 크기를 구하는 게 아니라 각의 개념을 다시 정의하고 각을 파악하는 새로운 방법에 대해서 공부할 거예요.

일반각, 시초선, 동경, 사분면 위의 각 등 몇 가지 용어들이 나오는데 그냥 이해만 하면 되고, 굳이 외울 필요는 없어요.

앞으로는 각을 볼 때, 각이 나타내는 여러 가지 의미들을 잘 파악할 수 있어야 해요.

일반각

일반적으로 각은 두 직선 사이의 벌어진 정도를 말해요. 0° ~ 360° 사이의 각으로 나타내죠.

아래 그림에서 의 위치에서 점 O를 중심으로 가 회전할 때, 회전한 정도를 각의 크기라고 하고, 시작하는 선인 를 시초선, 움직이는 선인 를 동경이라고 해요.

우리가 이제까지 봐왔던 각은 방향을 고려하지 않았어요. 하지만 동경이 회전하는 방향도 중요하게 고려해야 할 요소예요. 동경 가 시계 반대방향으로 회전하면 양의 방향으로 회전한다고 하고, 시계 방향으로 회전하면 음의 방향으로 회전한다고 해요. 동경 가 양의 방향으로 회전하여 생긴 각을 양의 각, 음의 방향으로 회전해서 생긴 각을 음의 각이라고 합니다.

방향뿐 아니라 회전횟수에 대해서도 고려해 보죠. 동경 가 어떤 위치에 있을 때 몇 번 회전해서 현재 위치에 있는 지도 중요하겠죠?

첫 번째 그림에서 한 바퀴도 돌지 않고 각을 만들었다면 각의 크기는 30°라고 할 수 있어요. 하지만 두 번째 그림처럼 한 바퀴 돌고 각을 이루었다면 360° + 30°가 되고, 두 바퀴 돌고 각을 이루었다면 720° + 30°가 되겠죠?

같은 위치에 있는 동경이라고 하더라도 회전한 방향과 회전한 수에 따라 각의 크기가 달라져요. 그래서 동경의 위치만 보고 각의 크기를 나타낼 때는 θ = 360° × n + a° (n은 정수)라고 쓰는데 이를 일반각이라고 합니다.

일반각에서 a°는 양의 최소각을 말하고 대게 0° ~ 360°의 각을 이용해요. 360° × 2 + 1000° 이렇게 나타내지 않고 360° × 4 + 280°로 나타냅니다.

일반각
θ = 360° × n + a° (n은 정수)
0° ≤ a° < 360°

다음을 양의 최소각을 이용하여 일반각으로 나타내어라.
(1) 500°
(2) -500°

일반각은 360° × n + a°로 나타내는 데, 이때 n은 정수이고 0° ≤ a° < 360°의 범위를 가져요.

(1) 500° = 360° × 1 + 140°

(2) 번은 각의 크기는 500°로 같은데 (-)로 음의 각이에요. 회전한 방향이 반대란 얘기죠. n이 음수가 되겠네요.
-500° = 360° × (-1) - 140°
        = 360° × (-2) + 220°

사분면 위의 각

좌표평면 위에서 x축의 양의 방향을 시초선으로 잡을 때 동경 가 있는 사분면의 위치에 따라 각을 제 1 사분면의 각, 제 2 사분면의 각, 제 3 사분면의 각, 제 4 사분면의 각이라고 불러요. 참고로 x, y축은 사분면에 포함되지 않아요.

위 그림에서 가 제 1 사분면에 있으니까 이 각은 제 1 사분면의 각이네요.

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수직선을 공부했었죠? 이 글의 내용은 수직선을 확장한 내용이에요. 그런데 그게 조금 많이 어렵습니다. 새로운 용어들과 그림이 많이 나오거든요.

어느 하나 중요하지 않은 용어가 없어요. 다음에 공부할 그래프는 물론, 2, 3학년 때도 계속 때도 사용하는 용어들이에요. 주의하고, 집중해서 잘 읽어보세요.

새로운 용어와 그림을 함께 기억하세요. 용어 따로 그림 따로가 아니에요. 문제를 읽고 그림으로 표현할 줄 알아야 하고, 그림을 보고 내용을 파악하려면 당연한 거겠죠?

순서쌍과 좌표

수직선이 뭔지 알고 있죠? 아래 그림처럼 수직선의 2라는 숫자에 점 A가 있다고 해보죠.

수직선의 2위에 점 A가 있다는 건 반대로 점 A에 2가 대응한다고 얘기할 수 있어요.

수직선 위의 한 점에 대응하는 수를 좌표라 하고 기호로는 P(a)라고 표시해요. 점 P가 수직선 위의 a라는 숫자에 있다는 뜻이에요. 만약에 점 A가 수직선의 2위에 있다고 한다면 A(2)라고 표시하고 A의 좌표는 2라고 하는 거예요.

좌표: 수직선 위의 한 점에 대응하는 수
P(a): 점 P의 좌표가 a

순서쌍은 한 쌍의 숫자를 순서대로 쓰는 걸 말해요. 한 쌍을 표시할 때는 괄호 안에 쓰고, 콤마(,)로 구분해요. 1, 2로 된 순서쌍은 (1, 2)로 쓰는 거예요.

순서쌍에서는 순서가 중요해요. (1, 2)와 (2, 1)은 다른 거예요.

좌표평면

수직선은 가로로 된 선이 하나만 있었어요. 그런데 가로로 된 수직선에 수직인 세로선(수직선)을 그어요. 이때 가로인 수직선을 x축, 세로인 수직선은 y축, x축과 y축을 합쳐서 좌표축이라고 하고 좌표축이 그려진 평면을 좌표평면이라고 해요. 또 두 수직선이 만나는 점을 원점 O라고 하고요.

수직선에는 0을 기준으로 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수였죠? 좌표평면에서는 x축은 점 O의 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수예요. y축은 점 O보다 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수예요.

모눈종이나 바둑판을 생각해보세요.

수직선에는 점 P의 좌표를 P(a)라고 표시하는데, 좌표평면에서는 수직선이 2개니까 사용하는 숫자도 2개예요. 그래서 P(a, b)라고 표시해요. a는 점 P에서 x축에 수선을 내려서 만나는 점의 숫자로 x좌표라고 하고, b는 점 P에서 y축에 수선을 그어서 만나는 점의 숫자로 y좌표라고 해요.

좌표평면은 좌표축에 의해서 네 부분으로 나누어져요. 네 부분으로 나누어지니까 사분면이라고 하는데, 오른쪽 위에 있는 영역부터 반시계방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 불러요. 좌표축은 사분면을 나누는 기준일 뿐, 사분면에 포함되지는 않아요.

그림에서 사분면의 이름 옆에 괄호 안에 (+, +), (-, -) 이 표시는 사분면 위 점들 좌표의 부호예요. 제1사분면에 있는 점의 x좌표와 y좌표는 둘 다 양수니까 (+, +)로 표시한 거고, 제2사분면에 있는 점의 x좌표는 음수, y좌표는 양수라서 (-, +)로 표시한 겁니다.

어떤 점이 제1사분면에 있을 때, '제1사분면 위의 점이다' 이런 식으로 표현해요.

x축: 가로로 그어진 수직선
y축: 세로로 그어진 수직선
좌표축: x축, y축
좌표평면: x축과 y축이 그려진 평면
원점: x축과 y축이 만나는 점. O
P(x, y): 점 P의 좌표. x좌표, y좌표 순
사분면: 좌표평면이 좌표축으로 나누어진 네 영역, 제1사분면(+, +), 제2사분면(-, +), 제3사분면(-, -), 제4사분면(+, -)

다음 점들 중에서 제4사분면 위의 점은 무엇인가?
(1) A(2, 3)         (2) B(3, -2)
(3) C(-2, -3)      (4) D(-2, 3)

(1) A(2, 3)에서 x, y좌표의 부호가 둘 다 양수이므로 제1사분면 위의 점이네요.

(2) B(3, -2)에서 x좌표는 (+), y좌표는 (-)이므로 제4사분면 위의 점이네요.

(3) C(-2, -3)에서 x, y좌표 부호가 둘 다 음수이므로 제3사분면 위의 점이고요.

(4) D(-2, 3)에서 x좌표는 (-), y좌표는 (+)이므로 제2사분면 위의 점이네요.

따라서 제4분면 위의 점은 B입니다.

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함수를 공부했으니까 그래프에 대해서 알아보죠.

함수 그래프를 그릴 때, x에 1, 2, 3, …을 넣어서 y를 구한 다음 좌표평면에 점을 찍고 그 점들을 이어서 그래프를 그렸어요. 여기까지가 1학년 때 했던 내용이에요.

이제는 그래프도 그려보고, 그래프가 어떤 특징이 있는지, 그래프와 함수식 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.

일차함수 y = ax의 그래프

일차함수 그래프에서 가장 기본이 되는 y = ax의 그래프부터 살펴보죠.

x = 0이면 y = 0이죠. 이 그래프는 (0, 0) 즉 원점을 지나요.

a 값에 따라 그래프가 어떻게 될까요? 아래 y = x와 y = 2x, y = 3x의 그래프를 보세요.

x의 앞의 숫자인 a가 커질수록 그래프는 y축에 더 가까워지죠?

아래는 y = -x, y = -2x, y = -3x의 그래프에요. 여기는 a가 작아질수록 y축에 더 가까워져요.

위 두 그림에서 알 수 있는 것, a > 0일 때는 a가 커질수록 그래프가 y축에 가까워지고, a < 0일 때는 a가 작아질수록 y축에 가까워지죠. 이거를 하나로 묶어서 표현해볼게요. a의 절댓값이 커질수록 그래프는 y축에 가까워진다.

a >0일 때는 x가 증가하면 y도 증가해요. 따라서 그래프의 모양은 오른쪽 위로 향하는 직선이죠. 그래프는 1, 3 사분면을 지나고요.

a < 0일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요. 그래프의 모양은 오른쪽 아래로 향하는 직선이요. 2, 4 사분면을 지나네요.

일차함수 y = ax + b의 그래프

y = ax + b는 y = ax의 그래프를 b만큼 평행이동한 그래프에요. 평행이동은 그래프를 일정한 값만큼 그 모양 그대로 옮기는 걸 말해요.

위 그림에서 보듯이 y = ax 그래프를 b만큼 평행이동했는데요, 어디로 이동했느냐면 y축 방향으로 이동했어요. ax였던 y에 b만큼 더해줬잖아요.

이 그래프는 원점이 아니라 (0, b)를 지나요. b의 값에 따라 지나가는 사분면이 달라지는 것을 빼면 y = ax 그래프와 특징이 같아요.

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