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중2 수학 마지막 글입니다. 벌써 끝이라니 ㅠㅠ. 2학년 과정을 다 마친 다음에는 중3 수학을 미리 예습해보세요.

닮은 도형의 활용에서 제일 중요한 건 닮음비에요. 닮음비는 비니까 계산할 때도 비례식을 세워서 계산하는 게 핵심이죠. 비례식 세우는 건 그렇게 어려운 일은 아니잖아요. 계산도 그렇고요.

그런 면에서 닮은 도형의 활용은 다른 단원에서 나오는 활용문제보다 조금은 쉬운 편이라고 할 수 있어요.

문제 유형에 따라 조금 더 쉬운 방법이 있을 수는 있겠지만, 굳이 유형별 문제 풀이법을 따로 익히기보다는 쉽고 공통으로 사용할 수 있는 비례식을 사용하는 게 제일 좋아요.

닮은 도형의 활용

지도에서 거리 구하기

지도는 실제 지형을 작게 표시해서 평면에 나타낸 거예요. 작게 표시할 때 그냥 작게 표시하는 게 아니라 실제 거리를 일정한 비율로 줄이죠. 작게 줄일 때 사용하는 일정한 비율을 바로 축척이라고 하고요. 바로 이 축척이 닮은 도형의 닮음비에 해당합니다.

지도의 축척은 보통 비례식이나 분수로 나타내요. 1 : 50,000이나 으로요. 여기서 1은 지도상에서의 거리, 50,000은 실제 거리로 지도의 1cm는 실제 50,000cm라는 걸 의미해요.

지도의 축척을 주고, 지도상의 거리가 실제로는 몇 m인지 구하거나 반대로 실제 거리가 지도에는 몇 cm로 표시되는지 묻는 문제가 많이 나와요. 실제 거리를 구할 때와 지도상의 거리를 구할 때 모두 공식으로 외워서 문제를 풀기도 하지만 딱히 추천하지는 않아요. ", 지도상의 거리 = 실제 거리 × 축척"이라는 공식이 있는데, 외우려면 헷갈려요.

축척은 비례니까 계산할 때도 "1 : 50,000 = 지도상의 거리 : 실제 거리"처럼 비례식을 세우는 게 더 나은 방법이에요. 좌변은 축척, 우변에는 거리를 쓰는 거죠. 물론 위 공식은 이 비례식을 계산해서 나온 것이긴 하지만 보다 확실하고 안전한 게 좋죠.

축척이 주어진 지도에서 실제 거리 구하기
축척 = 닮음비
공식을 이용하기보다는 비례식을 세워서 계산
문제에서 요구하는 단위에 맞게 숫자 변환

단위를 변환할 때, 가지 주의해야 할 게 있어요.

1m = 100cm, 1km = 1,000m = 100,000cm인 건 다 알고 있을 거예요. 거리를 하는 건 별로 어렵지 않아요. 넓이를 변환하는 게 문제죠.

1m² = 10,000cm², 1km² = 1,000,000m²이에요. 단위만 제곱하는 게 아니라 숫자도 제곱을 해줘야 해요.

축척이 인 지도에서 다음을 구하여라.
(1) 두 지점 사이의 거리가 10cm일 때 실제 두 지점 사이의 거리는 몇 km인지 구하여라.
(2) 지도에서 넓이가 2cm²인 부분의 실제 넓이는 몇 m²인지 구하여라.

(1) 은 비례식으로 나타내면 1 : 50,000이에요. 지도에서 1cm는 실제 거리로는 50,000cm라는 거지요. 문제에서 구하는 건 10cm가 실제로 몇 km인지를 구하는 거잖아요. 구하라고 하는 값을 x라고 놓고 비례식으로 써보면 1 : 50,000 = 10cm : x cm라는 비례식을 세울 수 있어요.

1 : 50,000 = 10cm : x cm
x = 50,000 × 10 = 500,000(cm)

문제에서는 몇 km냐고 물어봤으니 단위에 맞게 숫자를 고쳐줘야겠죠?

500,000cm = 5,000m = 5km네요.

(2) 넓이에요. 일단 비례식을 세워보죠. 실제 넓이를 ycm²이라고 놓죠.

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 넓이의 비는 닮음비의 제곱이라고 했어요. 따라서 1 : 50,000이 아니라 1² : (50,000)²라는 비를 사용해야 해요. (50,000)² = (5 × 10⁴)² = 25 × 10⁸이네요.

1 : 25 × 10⁸ = 2cm² : ycm²
y = 2 × 25 × 10⁸ = 50 × 10⁸ = 5 × 10⁹(cm²)

우리가 구한 값은 단위가 cm²이고, 문제에서 요구하는 단위는 m²이에요. 변환할 때 주의하세요.
1m² = 10,000cm²이니까 5,000,000,000cm² = 500,000m²입니다.

높이 구하기

건물, 나무의 높이 구하기는 축척 문제보다 조금 더 쉬워요. 그림이 함께 있으니까요. 나무 그림을 그려주고 그 옆에는 닮은 도형인 삼각형이 함께 나와요.

이런 유형은 나무가 있는 그림에서 삼각형을 찾아서 옆의 삼각형과 닮음비를 이용해서 높이를 구하면 돼요.

높이 구하기
닮은 삼각형을 찾아서 대응변의 비례식을 세워서 계산

죠스 나무의 높이를 구하기 위해 삼각형을 그리고, 그 삼각형을 축소하여 오른쪽에 나타내었다. 죠스 나무의 높이를 구하여라.
닮은 도형의 활용

축소해서 그렸으니까 두 삼각형은 닮은 도형이에요. 죠스나무의 높이를 x m라고 하지요. 그리고 m 단위를 사용할 거니까 오른쪽 삼각형의 높이도 m로 바꿔줘야 해요. 80cm = 0.8m네요

5m : xm = 1m : 0.8m
x = 5 × 0.8 = 4(m)

정리해볼까요

닮음 도형의 활용

지도 문제
축척 = 닮음비임을 이용해서 비례식을 세워 계산
문제에서 요구하는 단위에 맞게 숫자 변환
높이 구하기
닮은 삼각형과 대응변의 비례식을 세워서 계산

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 2

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삼각비의 활용 - 예각삼각형의 높이에 이어 둔각삼각형의 높이 구하기입니다.

둔각삼각형의 높이 구하기도 예각삼각형의 높이 구하기와 크게 차이는 없어요. 높이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 두 변의 길이와 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때지요.

특히, 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선이 삼각형의 바깥쪽에 그려지는 것만 빼면 예각삼각형의 높이를 구하는 방법과 완전히 같아요.

이 글에서는 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때에 주의해서 보시면 됩니다.

둔각삼각형의 높이

두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선을 내리는데, 수선은 삼각형의 바깥쪽에 그어지게 됩니다. 크기를 모르는 각 중 하나에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내리면 돼요. 이때 생기는 작은 직각삼각형을 이용해서 삼각형의 높이를 구할 거예요.

둔각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

둔각삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때에요. 각의 크기를 모르는 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠.

둔각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

가 △ABC의 높이에요.

를 구하려면, 원래 있던 △ABC는 볼 필요 없고요. 새로 그은 수선 때문에 생긴 △ABH만 보면 돼요. △ABH에서는 c와 h가 들어있는 삼각비를 이용하면 되겠죠?

대신 기준각이 원래 있던 각이 아니라 새로 생긴 각이에요. ∠ABH죠. ∠CBH가 평각이므로 ∠ABH = 180° - ∠B로 구할 수 있어요.

다음 그림에서 a = 5cm, c = 6cm, ∠B = 120°일 때, △ABC의 높이를 구하여라.
둔각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 위 그림을 보세요. 가 높이에요. ∠ABH = 180° - 120° = 60° 고요.

△ABH에서

한 변의 길이와 양 끝각을 알 때

여기서도 마찬가지로 보조선을 그어야 해요. 수선을 그어야하는데 어디에 그어야 하나면 각의 크기를 모르는 꼭짓점에서 길이를 아는 변의 연장선으로 수선을 내려요. 그러면 작은 직각삼각형 한 개와 큰 직각삼각형 한 개가 만들어져요. 이 두 직각삼각형의 내각의 크기를 구해서 tan를 이용하면 높이를 구할 수 있어요.

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요. 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형 두 개가 보이죠? 새로 생긴 큰 직각삼각형의 밑변에서 새로 생긴 작은 직각삼각형의 밑변을 빼면 원래 삼각형의 한 변의 길이가 되는 걸 알 수 있어요. 이걸 이용합니다.

둔각삼각형의 높이 - 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때

이제부터 원래 있던 △ABC는 생각하지 마세요. 큰 직각삼각형 △ACH와 작은 직각삼각형 △ABH만 생각하면 됩니다.

먼저 큰 직각삼각형 △ACH를 보세요. 삼각형 내각의 합에 의해서 ∠CAH = 180° - 90° - ∠C = 90° - ∠C에요.

이제 작은 직각삼각형 △ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - ∠B에요. 그리고 ∠BAH = 180° - 90° - (180° - ∠B) = ∠B - 90°죠.

에 위에서 구한 와 처음에 알려준 의 값을 대입하면 높이 를 구할 수 있어요.

아래 그림에서 = 4cm, ∠B = 120°, ∠C = 45°일 때 ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하지요. (위 그림 참조.)

△ACH에서 ∠CAH = 180° - 90° - 45° = 45°이므로

△ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - 120° = 60°, ∠BAH = 90° - 60° = 30° 이므로

정리해볼까요

둔각삼각형의 높이

두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때
크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서 만들어진 작은 직각삼각형에 삼각비 적용
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서, 만들어진 작은 직각삼각형과 큰 직각삼각형에 삼각비를 적용하여 밑변의 길이의 차를 이용

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삼각형의 바깥쪽 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아봤으니 이제 삼각형 높이를 알아볼 차례네요. 직각삼각형이라면 직각이 생기는 곳의 변의 길이가 높이니까 쉽게 구할 수 있어요.

이 글에서 다룰 내용은 직각삼각형이 아니라 일반삼각형, 그중에서도 예각삼각형에서 높이를 구하는 방법이에요. 여기서도 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서와 마찬가지로 수선을 긋는 게 중요해요.

예각삼각형에서 높이를 구하는 방법을 잘 알아야 둔각삼각형의 높이도 구할 수 있어요.

예각삼각형의 높이 구하기

예각삼각형은 세 각의 크기가 모두 예각인 삼각형이에요. 예각삼각형의 높이를 구할 때도 삼각형의 합동조건과 같은 조건이 필요해요. 단 삼각비를 이용할 거니까 각을 알려줘야겠죠?

따라서 예각삼각형의 높이를 구할 수 있는 조건은 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때 두 가지예요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

예각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

△ABC에서 두 변의 길이와 그 끼인각을 알려줬네요.

높이를 구하기 위해서 수선을 내려야하는데요. 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서 수선을 내릴 때 어떻게 했나요? 크기를 알려준 각과 길이를 알려준 변이 한 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지에요.

점 A에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

예각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

△ABH만 보세요. 직각삼각형이에요. 삼각비의 정의에서 봤던 그 삼각형이죠? 직각삼각형 변의 길이 구하기에서 이미 해봤던 거예요.

△ABC에서 a = 5cm, c = 4cm, ∠B = 60° 일 때 높이 h를 구하여라.
예각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

점 A에서 변 BC로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠. △ABC의 높이는 △ABH에서 변 AH의 길이와 같아요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

예각삼각형의 높이 - 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요.

이 경우에 수선을 긋는 방법은 다른 경우와 달라요. 이때는 길이를 알려준 변이 밑변이 되도록 수선을 그어요. 즉 길이를 알려준 변이 둘로 나뉘도록 하는 거죠. 양 끝각이 아닌 다른 각에서 수선을 내린다고 말해도 되겠네요.

각각의 직각삼각형에서 원래 알려준 각이 아닌 새롭게 만들어진 각을 기준각으로 정하는 것이 핵심이에요.

예각삼각형의 높이 - 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때 2

△ABH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠BAH + ∠B = 180°이므로 ∠BAH = 90° - ∠B가 돼요. △ABH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠BAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 BH가 되죠.

△ACH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠CAH + ∠C = 180° 이므로 ∠CAH = 90° - ∠C가 돼요. △ACH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠CAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 CH가 되죠.

이제는 원래의 큰 삼각형으로 돌아와서요. △ABC에서 밑변 BC의 길이는 변 BH + 변 CH죠.

이 식을 정리하면 h를 구할 수 있어요.

다음 그림을 보고 △ACH의 높이 h를 구하여라.

△ABH에서에서 ∠BAH = 30°이므로 이 각을 기준각으로 하면

또 △ACH에서에서 ∠CAH = 45°이므로 이 각을 기준각으로 하면

정리해볼까요

예각삼각형의 높이

두 변의 길이와 끼인 각을 알 때
길이를 알려준 변과 크기를 알고 있는 각이 한 직각삼각형이 되도록 수선을 내린 후 삼각비의 정의를 이용
한 변의 길이와 양 끝각을 알 때
양 끝각이 아닌 각에서 수선을 내려 작은 직각삼각형 두 개로 나누어 각각의 삼각형에서 삼각비를 적용
새로 만들어진 각을 기준각으로

일반 삼각형 변의 길이

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둔각삼각형의 높이

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피타고라스의 정리에 이어 이번에는 삼각비입니다.

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계였어요. 삼각비도 직각삼각형에서 변의 길이에 관한 내용입니다. 단순히 변의 길이가 아니라 변의 길이 사이의 비율에요.

피타고라스의 정리에서는 길이의 관계만 따졌는데, 삼각비는 각도에 관한 내용이 추가되었어요.

삼각비도 직각삼각형에서 구하는 거라서 피타고라스의 정리와 비슷한 부분이 조금 있지만 조금 더 어려운 내용이 나옵니다. 하지만 그 비율이라는 게 일정한 값을 가지고 있기때문에 복잡한 계산을 요구하지는 않으니 너무 걱정하지는 마세요.

삼각비

삼각비는 직각삼각형에서 두 길이의 비를 얘기해요. 꼭 직각삼각형이어야만 합니다. 직각삼각형이 아니면 안 돼요.

삼각비를 구할 때는 기준각이라는 게 있어요. 어떤 각을 하나 주고 그 각에 대한 삼각비를 구하는 거지요. 삼각비는 이 기준각의 크기에 따라 달라집니다. 변의 길이나 삼각형의 크기와 상관없이 기준각이 같으면 서로 다른 직각삼각형이라도 삼각비는 같아요. 이건 설명이 너무 길어져서 생략합니다. 그냥 이렇게만 알고 계시면 돼요.

직각삼각형에서 직각의 대변은 빗변이에요. 그리고 기준각의 대변을 높이로 남은 한 변을 밑변으로 부르기로 약속을 했어요. + 기호 양쪽에 있는 값을 서로 더한다고 약속한 것처럼 그냥 그렇게 딱 정했어요.

삼각비

sin

sin이에요. 원래는 sine인데, 앞의 세 자만 따서 sin이라고 써요. 한글로 쓰면 사인인데, 읽을 때는 싸인이라고 읽습니다.

sin은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

cos

cos이에요. 원래는 cosine인데, 앞의 세 자만 따서 cos이라고 써요. 한글로 쓰면 코사인인데, 읽을 때는 코싸인이라고 읽습니다.

cos은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 밑변의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 으로 구합니다.

tan

tan에요. 원래는 tangent인데, 앞의 세 자만 따서 tan이라고 써요. 탄젠트라고 쓰고 읽어요.

tan은 직각삼각형 두 변의 길이 중 밑변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

각의 기호로 썼는데요. 각의 크기로 쓰기도 합니다. 기준각의 크기가 60°이면 sin60°라고 쓰기도 해요. 그럼 그림에서 각의 크기가 60°인 각을 찾아서 그 각을 기준각으로 삼으면 되죠. cos60°, tan60°도 마찬가지고요.

삼각비: 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비
sin = , cos = , tan =

삼각비를 쉽게 구하는 방법

삼각비를 쉽게 구하려면 삼각형을 원하는 모양으로 그려야 해요. 기준각이 왼쪽 아래에, 직각은 오른쪽 아래에 오게 삼각형을 그려요.

삼각비 구하기

그리고 영어 s, c, t의 필기체를 쓰는 거지요. 영어 소문자 필기체 쓸 줄 알죠?

영어 소문자 필기체

s는 sin, c는 cos, t는 tan를 구할 때 써요. s와 t는 1, 2번만 있으면 돼요.

sin, cos, tan

삼각형을 위 그림처럼 돌려놓은 다음에 필기체를 쓰면 먼저 써지는 게 분모, 나중에 써지는 게 분자가 되는 거예요. sin의 s는 빗변에서 출발해서 높이로 이어지지요. 그래서 sin은 가 되는 거예요. cos의 c는 빗변에서 출발해서 밑변으로 이어지니까 cos은 , tan의 t는 밑변에서 시작해서 높이로 이어지니까 가 되는 거고요.

다음 직각삼각형 ABC에서 각 A에 대한 삼각비를 구하여라.