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역함수는 새로운 함수는 아니고 원래부터 있던 함수를 변형시켜서 얻은 함수예요. 숫자의 역수랑 비슷한 거죠.

역함수는 그 설명이 조금 어려울 수 있어요. 글로 잘 이해가 되지 않으면 그림을 통해서 이해해보도록 하세요. 개념과 달리 역함수를 구하는 방법은 상당히 쉽습니다. 순서만 잘 따르면 금방 구할 수 있어요.

일대일 대응에 대해서 알고 있어야 역함수를 이해할 수 있고, 역함수를 알고 있어야 다음에 공부할 역함수의 성질과 그래프에 대해서 이해할 수 있어요.

역함수

두 집합 X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {a, b, c, d, e}가 있어요. 아래 그림 같은 x에 대한 y의 함수 f가 있다고 치죠. 함수 f는 일대일 대응이에요. y = f(x)

이때, Y를 정의역으로 하고 X를 공역으로 하는 함수도 생각할 수 있겠죠? 이 함수를 g라고 해보죠. 역시 일대일 대응이 되겠네요. x = g(y)

함수 f: X → Y가 일대일대응일 때, Y의 임의의 원소 y에 대하여 y = f(x)인 X의 원소 x는 하나만 있어요. 이 경우 y에 대하여 x를 대응시키면 Y를 정의역, X를 공역으로 하는 새로운 함수를 만들 수 있는데, 이를 f의 역함수라 하고 f^-1: Y → X로 나타내요.

위 예에서는 g가 f의 역함수, f^-1가 되는 거죠.

y = f(x) ⇔ x = g(y) ⇔ x = f^-1(y)

역함수는 영어로 하면 Inverse Function이라서 f^-1(x)를 f 역함수 x 또는 f inverse x라고 읽어요.

f와 f^-1는 일대일 대응에서 정의역과 공역을 바꾼 함수이기 때문에 서로가 서로에게 역함수예요. (f^-1)^-1 = f

역함수 구하는 법

역함수를 구하는 방법은 생각보다 간단합니다. 정의역과 치역만 맞바꾸면 되니까요.

단 중요한 조건이 있는데, 원래 함수가 꼭 일대일 대응이어야 한다는 거예요. Y가 정의역이 되었을 때 Y의 모든 원소가 X의 원소에 대응하려면 공역 = 치역이어야 해요. 또 Y의 임의의 원소 y에 대응하는 x가 하나만 있어야 하므로 일대일함수여야하고요. 이 두 가지를 만족하는 경우는 일대일 대응밖에 없어요. 일대일 대응이 아닌 그냥 함수나 일대일함수는 역함수를 구할 수 없어요.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

3번에서 x, y를 왜 바꾸는지에 대해서 이해하지 못하는 경우가 많은데 특별한 이유는 없어요. 그냥 보통 정의역의 원소를 x, 치역의 원소를 y라고 나타내니까 x, y를 서로 바꾸는 거예요. 원래 함수의 x, y와 역함수의 x, y는 서로 다른 x, y입니다.

다음 함수의 역함수를 구할 수 있는지 보고, 역함수를 구할 수 있으면 구하여라.
(1) y = x + 1
(2) y = x² + 1

역함수를 구하려면 먼저 일대일 대응인지 확인하고, x에 관하여 푼 다음 x, y를 바꿔주면 돼요. 그다음 정의역과 치역을 바꿔줘야 하는데, 문제에서 나오는 함수는 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이므로 여기서는 크게 신경을 쓰지 않아도 돼요.

(1) 번은 일대일 대응이 맞네요. 역함수를 구해보죠.

y = x + 1
x = y - 1

y = x - 1

(2) 번 y = x² + 1은 일대일 대응이 아니라서 역함수를 구할 수 없어요.

x = 1일 때, y = 2
x = -1일 때, y = 2 

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이제 함수에 대해서는 다 알았나요? 이제는 원래 있던 함수를 이용해서 새로운 함수를 만들 거예요. 합성함수는 이름에서 알 수 있듯이 어떤 무언가를 서로 합해서 만든 함수예요. 그러니까 두 개 이상의 함수를 합하는 거지요.

함수의 정의만 제대로 알고 있다면 합성함수에 대해서도 금방 이해할 수 있을 거예요.

합성함수는 그림으로 이해해도 좋고, 식으로 이해해도 좋아요. 별로 어렵지 않은 내용으로 순서만 잘 지키면 금방 해결할 수 있는 문제들이니까 쉽게 생각하세요.

합성함수

세 집합이 있어요.

X = {이순신, 퇴계 이황, 율곡 이이, 세종대왕, 신사임당}
Y = {100원, 1000원, 5000원, 10000원, 50000원}
Z = {동전, 지폐}

집합 X의 임의의 원소인 위인이 집합 Y의 원소인 화폐 모델인 경우를 대응시켜보면 함수예요. 이 함수를 f라고 해보죠

집합 Y의 임의의 원소인 화폐가 집합 Z의 동전인지 지폐인지에 대응하면 이것도 함수죠. 함수 g라고 할게요.

그럼 집합 X의 위인이 동전의 모델인지 지폐의 모델인지 집합 Z에 대응시킬 수 있겠죠? 이순신은 동전의 모델이고, 퇴계 이황, 율곡 이이, 세종대왕, 신사임당은 지폐의 모델이에요.

이처럼 두 개의 함수를 이용해서 새로운 하나의 함수를 얻을 수 있어요.

마치 명제의 삼단논법에서 p → q이고 q → r이면 p → r이 되는 것처럼 f: X → Y이고, g: Y → Z이면 X → Z라는 새로운 함수가 되는 거지요.

두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 Z의 원소 g(f(x))를 대응시킴으로써 X를 정의역, Z를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있어요. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 하고 g ο f: X → Z로 나타냅니다.

(g ο f)(x) = g(f(x))

f와 g를 합성한 합성함수는 f ο g가 아니라 g ο f 예요. 순서에 주의하세요.

함수 f에서 공역은 집합 Y에요. 치역은 공역의 부분집합이죠.
{함수 f의 치역} ⊂ {함수 f의 공역}

함수 g의 정의역은 집합 Y로 함수 f의 공역과 같아요.
{함수 f의 공역} = {함수 g의 정의역}

이 둘의 의해 {함수 f의 치역} ⊂ {함수 g의 정의역}이 된다는 것도 알아두세요.

다음을 보고 물음에 답하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (g ο f)(2)
(3) g ο f의 정의역, 공역, 치역

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(ㄴ) = e

(2) (g ο f)(2) = g(f(2)) = g(f) = d

(3) 합성함수에서 정의역은 처음 함수의 정의역, 공역은 두 번 ° 함수의 공역이에요. 따라서 정의역은 집합 X = {1. 2, 3, 4}이고 공역은 Z = {a, b, c, d, e}에요.

치역은 함숫값들의 집합이니까 Z와 다를 수 있어요. 이 경우에는 {b, c, d, e}가 되겠네요.

f(x) = x² + 1, g(x) = x + 3일 때 다음을 구하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (f ο g)(2)
(3) (g ο f ο g)(1)

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(10) = 13

(2) (f ο g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 26

(3) 번은 세 개로 되어있는데, 방법은 같아요. 뒤에서부터 하나씩 해결하면 돼요.

(g ο f ο g)(1) = g(f(g(1))) = g(f(4)) = g(17) = 20

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이제는 함수의 정의에 이어 함수의 종류에 대해서 공부할 거예요. 함수의 종류에는 여러 가지가 있는데, 그중에서 일대일함수, 일대일 대응, 항등함수, 상수함수에 대해서만 알아보죠. 특히, 일대일함수와 일대일 대응은 헷갈리기 쉬우니까 그 차이를 분명히 알아두세요.

또, 항등함수와 상수함수는 그 의미만 간단히 이해하고 있으면 되는 비교적 쉬운 함수입니다.

일대일함수와 일대일 대응

함수는 집합 X의 원소 x 한 개에 집합 Y의 원소 y 한 개가 대응하는 관계를 말해요. 거꾸로 y 한 개가 x 여러 개에 대응해도 함수는 함수에요. 아래 그림처럼 연결돼도 함수라고 할 수 있는 거죠.

X의 이순신, 김시민, 권율이 Y의 조선에 대응해요. 거꾸로 보면 Y의 조선은 X의 이순신, 김시민, 권율 세 명과 대응하죠.

위 그림과 달리 함수 중에서 y 한 개가 여러 개의 x에 대응하지 않는 경우를 일대일함수라고 해요. x 한 개에 y 한 개가 대응하고, y 한 개가 x 한 개에 대응하는 관계요. 아래 함수에서 Y의 원소들은 X의 원소 한 개와만 대응해요.

이걸 식으로 표현하면 x₁ ∈ X, x₂ ∈ X이고, x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)라고 표현할 수 있어요. x가 다르면 그에 대응하는 y도 다르다는 얘기예요.

일대일함수 중에서 공역과 치역이 같은 함수를 일대일 대응이라고 해요. 일대일 대응은 일대일함수의 조건을 만족한 상태에서 추가로 공역과 치역이 같아야 하니까 일대일 대응은 일대일함수의 부분집합이라고 생각하면 쉬워요.

일대일함수:집합 X의 임의의 원소 x₁, x₂에 대하여 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)인 함수
일대일 대응: 일대일함수 + (공역 = 치역)

다음 그림을 보고, 일대일함수와 일대일 대응을 구분하여라.

집합 X의 원소 x₁에 대하여 f(x₁) ∈ Y이면 함수에요.
여기에서 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)이면 일대일함수고요.
또 공역 = 치역이면 일대일 대응이에요.

조건을 만족하는 개수에 따라 함수 → 일대일함수 → 일대일 대응의 순서가 되는 거죠.

왼쪽 그림은 집합 X의 원소 다섯 개에 Y의 원소 한 개가 대응하니까 함수에요. f(1) = f(2)니까 그냥 함수에요.

가운데 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 달라요. 그런데 공역은 {a, b, c, d, e}이고 치역은 {a, b, c, d}로 공역 ≠ 치역이라서 일대일함수네요.

오른쪽 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 다르므로 일대일함수인데, 여기에 치역 = 공역이니까 일대일 대응이네요.

항등함수와 상수함수

항등식 알죠? 항등식은 항상 성립하는 등식이에요. 여기서 항등은 항상 같다는 뜻이죠. 항등함수에서 항등도 같은 뜻이에요. 집합 X의 원소와 이에 대응하는 집합 Y의 원소가 항상 같다는 얘기죠.

집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수를 말해요.

집합 X의 원소 1에는 집합 Y의 원소 1이 대응해요. 2에는 2가 대응하고요. 항상 자기 자신과 같은 값이 대응하죠?

위 그림에서 X의 1, 2, 3, 4, 5가 모두 Y의 c에만 대응해요. 이처럼 X의 모든 원소가 Y의 한 원소와만 대응하는 경우를 상수함수라고 해요.

항등함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수
상수함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = c인 함수

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함수의 그래프는 일차함수, 이차함수의 그래프에서 많이 그려봤죠? 이 글에서는 이미 알고 있는 함수의 그래프의 의미를 다시 한 번 정의해보고, 그 뜻을 정확하게 하는 거예요. 그렇다고 정의를 외우거나 하지는 마세요. 그 의미만 잘 이해하면 됩니다. 기존에 알고 있던 내용에 추가하거나 새로운 게 없으니까 아주 쉬워요.

그리고 좌표평면 위의 도형의 그래프를 보고 이 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 판단하는 방법도 공부할 거예요. 이것 역시 함수의 정의만 잘 기억하고 있다면 무척 쉬운 내용이라서 금방 이해할 수 있을 거예요.

함수의 그래프

함수는 집합 X의 원소에 집합 Y의 원소가 하나만 대응할 때를 말해요. 이렇게 서로 대응하는 원소들을 순서쌍으로 나타낼 수 있겠죠? (x, y) = (x, f(x))

여러 함수 중에서 함수의 정의역과 공역이 숫자일 때, 순서쌍들을 XY 좌표평면에 나타낼 수 있어요. 이렇게 나타낸 점들의 집합을 함수의 그래프라고 합니다. 일차함수의 그래프, 이차함수 그래프 그리기에서 그래프를 많이 봤죠?

한 가지 덧붙이자면 지금까지 공부했던 함수의 그래프는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이었어요. 그래서 직선이나 포물선만 함수의 그래프라고 생각하기 쉬운데, 아래 그림처럼 점들만 찍힌 경우도 함수의 그래프라고 할 수 있어요.

X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, Y = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 인 함수에요.

이런 모양은 나중에 공부할 건데 곡선 모양인 함수의 그래프에요.

정의역, 공역을 보고 함수의 그래프를 그리는 것도 중요하지만, 그래프를 보고 이 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지 알아낼 수 있어야 해요.

함수는 집합 X의 원소 하나에 집합 Y의 원소 하나가 대응해야 해요. 따라서 이걸 이용하면 함수의 그래프인지 아닌지 알아낼 수 있어요. y축에 평행한 직선을 하나 그어보세요. 그 직선과 그래프가 두 점에서 만나면 하나의 x에 두 개의 y가 대응하니까 그 그래프는 함수의 그래프가 아니에요.

다음 그래프를 보고 함수의 그래프가 아닌 것을 고르시오.

(1)	(2)
(3)	(4)

보통 정의역과 공역에 대한 언급이 없다면 실수 전체의 집합으로 보는데요. 이 유형의 문제에서는 따로 언급하지 않더라도 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이 아니라 그래프가 그려져 있는 부분으로 한정합니다.

함수의 그래프인지 아닌지는 y축에 평행한 직선을 그어서 직선과 그래프가 두 점에서 만나는지를 확인하면 돼요.

(4) 번을 보죠. x = 0인 y축이 있으니 따로 직선을 그을 필요가 없겠네요. x = 0에 y의 두 점이 대응해요. 그 외에도 모든 x에 y 두 개가 대응하죠. 따라서 (4) 번 원의 방정식의 그래프는 함수가 아닙니다.

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함수의 정의에 이어 함수에서 사용하는 용어에 대해서 알아보죠. 정의역, 공역, 치역인데 들어본 적이 있을 거예요. 그냥 한 번 복습하는 차원에서 다뤄보죠.

용어의 정의에 대한 내용이니 외우기보다는 그 뜻을 잘 이해하는 게 중요해요. 사실 별 중요한 뜻이 있는 건 아니지만, 나중에 헷갈리기 쉽거든요.

두 함수가 서로 같은 함수인지 아닌지 알아보는 방법도 공부할 거예요. 두 함수가 서로 같은지를 확인하는 조건이 있는데, 이 조건을 잘 알아두세요.

정의역, 공역, 치역, 함숫값

함숫값

집합 X에서 집합 Y로의 함수를 f: X → Y라고 나타내죠. 이때 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소를 함수 f에 의한 x의 함숫값이라고 해요.

기호로는 f: x → y로 나타내기도 하고 y = f(x)로 나타내기도 해요.

X의 임의의 원소 a에 대한 함숫값은 x = a를 대입하면 됩니다. y = f(x)가 y = f(a)가 되는 거예요.

정의역, 공역, 치역

두 집합 X, Y에서 집합 X의 각 원소에 대하여 집합 Y의 원소가 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수라고 하며, 이것을 기호로 f: X → Y라고 나타내요.

여기서 두 집합 중 X를 함수 f의 정의역, Y를 함수 f의 공역이라고 해요. 또 함숫값 f(x)를 원소로 하는 집합을 함수 f의 치역이라고 해요. 함숫값은 집합 Y의 원소이니까 치역은 공역의 부분집합이죠.

정의역과 공역에 대해서 별다른 언급이 없다면 정의역과 공역은 실수 전체의 집합을 의미합니다.

다음 함수의 정의역, 공역, 치역을 구하여라.
(1) y = x + 1
(2) y = x² + 1

정의역과 공역에 대한 별다른 얘기가 없으면 실수 전체의 집합으로 생각하세요.

(1) 번의 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이에요. 치역은 함숫값들의 집합인데, 정의역이 실수 전체의 집합이니까 x + 1의 결과도 실수 전체의 집합이에요. 따라서 정의역, 공역, 치역이 모두 실수 전체의 집합입니다.

(2) 번도 정의역, 공역에 대한 얘기가 없으니 실수 전체의 집합이에요. x² + 1에 어떤 값이 들어가더라도 1보다 커요. 따라서 함숫값은 1보다 큰 실수겠죠? 정의역과 공역은 실수 전체의 집합, 치역은{y|y ≥ 1인 실수}네요.

서로 같은 함수

정의역과 공역이 서로 같은 두 함수 f, g가 있어요. f: X → Y, g: U → V

f의 함숫값을 f(x), g의 함숫값을 g(x)라고 할 때, 정의역의 모든 원소 x에 대하여 두 함수의 함숫값이 서로 같으면 f(x) = g(x)가 되죠. 이때 두 함수를 같다고 하고 f = g라고 해요.

두 함수가 서로 같지 않으면 f ≠ g라고 표시합니다.

두 함수 f: X → Y, g: U → V가 같을 조건
정의역과 공역이 같다. X = U, Y = V
모든 원소 x에 대한 함숫값이 같다. f(x) = g(x)

X = {-1, 0, 1}, Y = {0, 1, 4}일 때, 두 함수 f(x) = (x + 1)², g(x) = (x - 1)²가 서로 같은 함수인지 아닌지를 판별하여라.

두 함수가 같으려면 정의역과 공역이 같고, 함숫값이 같아야 해요. 일단 두 함수의 정의역과 공역이 같네요. 함숫값이 서로 같은지 보죠.

f(-1) = (-1 + 1)² = 0
f(0) = (0 + 1)² = 1
f(1) = (1 + 1)² = 4

g(-1) = (-1 - 1)² = 4
g(0) = (0 - 1)² = 1
g(1) = (1 - 1)² = 0

치역이 같아요. 그래서 언뜻 보면 두 함수는 같은 함수처럼 보여요. 하지만 치역이 같은 건 아무런 상관이 없어요. 함숫값이 같아야 해요. 즉 f(-1) = g(-1), f(0) = g(0), f(1) = g(1)이어야 하죠. 함숫값이 같지 않으니 두 함수 f, g는 서로 같은 함수가 아니에요. f ≠ g

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함수는 1학년 때 기본적인 용어에 대해서 배웠는데, 기억이 나나요?

함수: 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 정해지면 그에 따라 y의 값이 하나만 정해질 때, y를 x의 함수라 하고, y = f(x)라고 나타냅니다. 즉, x에 y가 하나만 대응하는 걸 함수라고 하지요. x값에 따라 y가 바뀌는 거고요.

일차함수

함수 y = f(x)에서 y가 x에 대한 일차식일 때 이 함수를 일차함수라고 해요.

일차방정식을 공부했는데요. 일차방정식은 일반적으로 ax + b = 0으로 나타내지요. 여기에 우변의 0 대신에 y를 넣고 좌, 우변의 위치를 바꾸면 일차함수의 모양이 돼요

y = ax + b (a ≠ 0, a, b는 상수)

일차함수를 찾는 방법은 일차방정식을 찾는 방법을 이용해요.

다음 중 일차함수인 것을 모두 고르시오.
(1) y = 0x + 3
(2) y = 3x + 10
(3) y = (x + 1)² - x²
(4) y = 5
(5) xy = 1
(6) y = 2x² + x -1

y = ax + b (a ≠ 0, a, b는 상수)인 형태가 되어야 일차함수라고 할 수 있어요. 이걸 확인하려면 먼저 식을 간단히 해야 해요.

(1)번은 x의 계수가 0이어서 일차식이 아니니까 일차함수라고 할 수 없어요
(2)번은 우변이 일차식이 맞네요. (2)번은 일차함수가 맞아요.
(3) 번은 괄호를 곱셈공식을 이용해서 전개해요. (x + 1)² - x² = x² + 2x + 1 - x² = 2x + 1가 되네요. 즉, y = 2x + 1이니까 일차함수가 맞아요
(4) 번은 일차항이 없이 그냥 상수항만 있어서 일차함수가 아니고요.
(5) 번은 y =  형태가 돼요. 분수꼴이라서 일차식이라고 할 수 없어요. 일차함수가 아니에요. x앞의 계수가 분수인 건 괜찮아요. 차이를 구별하세요
(6) 번은 일차식이 아닌 이차식이에요. 따라서 일차함수라고 할 수 없어요.

위 문제에서 일차함수는 (2) y = 3x + 10과 (3) y = (x + 1)² - x² 두 개입니다.

함숫값의 표현

함수는 보통 y = f(x)라고 표시하는데, 이때 f(x)는 x에 대한 식이에요.

x = 3일 때의 y값을 f(3)이라고 써요. x = 3을 위 식에 대입해보죠. 대입이라는 건 x자리에 3을 넣는 거잖아요. 계산을 하는 건 아니지만 x 자리에 3을 넣으면 y = f(3)이에요.

반대로 f(5)를 보고 "x에 5를 넣었을 때 y값이구나."하는 걸 읽을 수 있어야 해요.

함수 y = 5x - 1에서 다음 값을 구하여라.
(1) f(3)
(2) f(5) - f(1)

(1) f(3)은 x = 3 일 때의 y 값이니까 x = 3을 대입해요.
y = 5 × 3 - 1 = 14

(2)번 f(5) - f(1) = (5 × 5 - 1) - (5 × 1 - 1) = 24 - 4 = 20입니다.

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