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인수정리를 이용한 인수분해에서 인수정리에 사용할 α를 찾는 방벙 중 2번째 방법에 대해서 설명하는 글이에요.

α를 찾을 때 $\pm\frac{상수항의 \quad약수}{최고차항 \quad계수의\quad 약수}$ 중 하나라고 했는데 그 이유는 어렵지 않아요.

먼저, 간단한 거 하나만 보죠.

3 × 4 = 12라는 식에서 3, 4가 12의 약수라는 걸 알 수 있어요. 이때, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12인데 저 식에서는 나머지 약수는 알 수 없고 3, 4만 알 수 있죠.

다시 방정식으로 돌아와서, 최고차항이 a (a ≠ 0)이고, 세 근이 α, β, γ인 3차방정식이 있다고 해보죠.

ax³ + bx² + cx + d = 0
a(x - α)(x - β)(x - γ) = 0
a{x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ} = 0
ax³ - a(α + β + γ)x² + a(αβ + βγ + γα)x - aαβγ = 0

삼차방정식 근과 계수와의 관계에 따르면 αβγ = -$\frac{d}{a}$예요.

세근의 곱 = $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$이죠. 앞의 부호는 신경쓰지 말고요.

3 × 4 = 12 → 3, 4는 12의 약수.
αβγ = $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$ → α, β, γ는 $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$의 약수

12의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 12 중에 3, 4가 있죠? 마찬가지로 $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$의 약수도 많이 있을텐데 그 중에 α, β, γ가 있어요. 우리는 α, β, γ만 필요하니까 어떤 것이 α, β, γ인지 찾아야 해요.

그 방법은 $\pm\frac{상수항의 \quad약수}{최고차항 \quad계수의\quad 약수}$로 찾은 약수를 하나씩 대입해서 방정식이 성립하는지 보는 거예요. 식이 성립하면 α, β, γ중 하나고, 성립하지 않으면 α, β, γ가 아닌 다른 약수죠, 

방정식의 해는 정수, 유리수, 무리수까지 있지만 우리는 계산을 쉽게 하려고 정수 약수만 찾을 거니까 여러 후보 중에서 정수만 먼저 대입해서 찾아요.

근을 모두 찾을 필요는 없고, 정수인 근 1, 2개만 찾아요. 정수가 아닌 근이 있다면 찾기가 어려울 수 있으니까요.

나머지는 조립제법을 이용하거나 인수분해 공식을 이용해서 인수분해를 하면 자연히 알게 돼요.

이건 3차방정식 뿐 아니라 4차, 5차 등 다른 방정식에서도 똑같아요. 어차피 방정식의 상수항은 근의 곱으로 된 항이니까요. 부호는 생각하지 말고요. 어차피 약수를 구할 때 앞에 $\pm$이 있으니까 부호는 상관없죠.

이 글에서 공부할 상반방정식은 고차방정식 중에서도 어려운 방정식이에요. 상반방정식의 풀이법은 굉장히 길고 복잡해요. 하지만 앞에서 공부했던 여러 가지 방정식의 풀이법을 잘 이해하고 있다면 풀 수는 있으니까 너무 두려워할 필요는 없어요

상반방정식의 풀이에서 중요한 건 곱셈공식의 변형과 치환 두 가지에요. 곱셈공식의 변형과 치환은 이 단원뿐 아니라 아주 많이 사용되므로 연습을 많이 하면 할수록 좋으니까 자주 연습을 해두세요.

지금부터 상반방정식의 풀이를 해볼 텐데, 과정이 어렵고 복잡하니까 주의해서 잘 보세요.

상반방정식

방정식은 일단 x에 대해 내림차순으로 정리해요. 그래야 최고차항도 파악하기 쉽고 풀이도 쉬우니까요.

방정식을 내림차순으로 정리했을 때, ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0됐다고 해보죠. 계수만 보면 a, b, c, b, a로 c를 중심으로 좌우대칭이에요. 이처럼 한 계수를 중심으로 다른 계수가 좌우대칭인 방정식을 상반방정식이라고 해요. ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0처럼 계수를 포함해서 좌우대칭인 경우도 상반방정식이에요.

보통은 5차와 4차 방정식을 다루니까 위처럼 나타냈어요.

이런 상반방정식은 다른 고차방정식과 풀이법이 약간 달라요. 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식과 고차방정식의 풀이 - 치환을 이용해서 풉니다.

최고차항의 차수가 짝수일 때

x⁴ + 3x³ + 2x² + 3x + 1 = 0을 보죠. 계수가 1, 3, 2, 3, 1로 2를 중심으로 해서 좌우대칭이죠?

1. 일단 x = 0은 방정식의 해가 아니므로 이 방정식에서 x ≠ 0이에요. 따라서 양변을 대칭의 기준이 되는 x²으로 나눌 수 있죠? 양변을 x²으로 나눠보죠.
   
2. 항의 자리를 한 번 바꿔보죠.
   
3. 자리를 바꿨더니 앞의 두 항은 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식으로 묶을 수 있고, 세 번째, 네 번째 항은 3으로 묶을 수 있죠?
   
4. 이제 x + = t로 치환해보죠.
   t² - 2 + 3t + 2 = 0
   t² + 3t = 0
   t(t + 3) = 0
5. t = x + 이므로 다시 대입해보면
   (x + )(x +  + 3) = 0
6. x + = 0, x +  + 3 = 0 에서 x의 값을 구해야 합니다.
   
   x + = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
   x² + 1 = 0
   x = ±i
   
    x +  + 3 = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
   x² + 1 + 3x = 0
   x² + 3x + 1 = 0
   

결국 답은 x = ±i or 입니다.

되게 복잡해 보이는데요. 핵심은 대칭의 기준이 되는 x²으로 나누는 것과 x + = t로 치환하는 거예요.

1. 상반방정식의 양변을 대칭의 기준이 되는 x²으로 나눈다.
2. 항의 위치를 바꾼다.
3. 분수꼴의 곱셈공식을 이용해서 항을 묶는다.
4. x + = t로 치환하여 인수분해
5. t = x + 로 원래 값 대입
6. 양변에 x를 곱하여 x를 구한다.

최고차항의 차수가 홀수일 때

최고차항의 차수가 홀수면 짝수일 때보다 딱 한 단계만 더 거쳐요. 최고차항의 차수를 하나 낮추는 과정이요. 차수를 하나 낮추면 나머지는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이와 완전히 같으니까 위 과정을 잘 이해해두세요.

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식은 x = -1을 무조건 근으로 가져요.
f(x) = ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a이라고 하면
f(-1) = -a + b - c + c - b + a = 0

x⁵ - 7x⁴ + x³ + x² - 7x + 1 = 0을 풀어보죠.

x = -1이 근이면 (x + 1)을 인수로 가지니까 조립제법으로 한 번 나눠요.

(x + 1)(x⁴ - 8x³ + 9x² - 8x + 1) = 0이 되죠.

뒤에 있는 식이 최고차항이 짝수인 상반방정식이네요. 이 이후에는 위에서 했던 과정을 그대로 반복해서 풀면 돼요.

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식의 풀이
주어진 식을 (x + 1)로 조립제법
이후에는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이 순서대로

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인수분해 공식을 이용할 수도 없고, 치환이나 내림차순으로 정리해도 안 되는 식이 있다면 인수분해를 할 수 없을까요?

이런 식들도 인수분해를 할 수 있어요. 바로 인수정리와 조립제법을 이용해서요. 인수정리와 조립제법을 반복해서 사용하면 인수분해가 안 될 것 같았던 식도 인수분해를 할 수 있어요.

인수분해 공식이나 치환을 사용하지 않고 이 방법으로만도 인수분해를 할 수도 있어요. 하지만 인수분해 공식이나 치환 등의 방법보다는 조금 어려운 방법이므로 각 상황에 맞게 방법을 잘 골라서 인수분해를 해야 합니다.

인수정리를 이용한 인수분해

인수정리에 따라 f(α) = 0인 α가 있을 때, f(x)를 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있어요. f(x) = (x - α)Q(x)

그러면 f(x)는 (x - α)와 Q(x)로 인수분해가 된 거죠. 이처럼 인수정리를 이용해서 인수분해를 할 수 있어요.

그런데 인수정리에서는 α를 알려줬어요. 인수분해를 할 때는 α를 알려주지 않으니까 직접 찾아야 해요. 그렇다고 f(α) = 0이 되는 α를 찾기 위해서 모든 수를 다 넣어볼 수는 없잖아요. 여기 α의 범위를 좁히는 방법이 있어요.

f(α) = 0을 만족하는 α를 찾는 방법

1. ±1
2. 

위 방법을 이용하면 α를 쉽게 찾을 수 있어요. 저기에 해당하는 수가 모두 α가 되는 것은 아니고, 저 숫자 중에 α가 있는 거예요. (인수정리를 이용한 인수분해에서 약수 찾는 법)

x⁴ - 2x² + 3x - 2를 인수분해해보죠.

f(x) = x⁴ - 2x² + 3x - 2이라고 하고 x = ±1을 넣어보죠.
f(1) = 1 - 2 + 3 - 2 = 0
f(-1) = 1 - 2 - 3 - 2 = -6

다음은 2번 공식으로 α를 찾아볼까요?

f(2) = 16 - 8 + 6 - 2 = 12
f(-2) = 16 - 8 - 6 - 2 = 0

f(1) = f(-2) = 0이네요. 인수정리를 이용해서 f(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x)라는 걸 알아냈어요. 이제 Q(x)를 구해야겠죠? Q(x)는 몫에 해당하는 거예요. 다항식의 나눗셈에서 몫을 구하려면 조립제법을 사용하면 돼요. 여기서는 나누는 식이 두 개니까 조립제법을 연속해서 두 번 해야 해요.

f(x)의 삼차항의 계수가 0인 거 빼먹으면 안 돼요.

f(x) = (x - 1)(x + 2)(x² - x + 1)

위 방법에서는 α 두 개를 한꺼번에 찾았는데, 한 개 찾고, 조립제법, 다른 한 개 찾고 조립제법 … 반복해도 돼요. 이렇게 하다가 2차식이나 3차식이 나오면 인수분해 공식을 이용해서 바로 인수분해하면 돼요.

인수정리를 이용한 인수분해

1. f(α) = 0이 되는 α를 찾는다.
• ±1
• 
2. ①에서 찾은 α를 이용하여 조립제법 반복
3. 2차식, 3차식이 나오면 인수분해 공식으로 인수분해

다음을 인수분해하여라.
(1) x⁴ + x³ - 3x² - x + 2
(2) x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2

(1)번에서 f(x) = x⁴ + x³ - 3x² - x + 2이라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0

f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.

1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.

f(x) = x⁴ + x³ - 3x² - x + 2
      = (x - 1)(x + 1)(x² + x - 2)
      = (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2)
      = (x - 1)²(x + 1)(x + 2)

뒤에 이차식이 인수분해가 되죠? 그래서 인수분해했어요. f(x) = (x - 1)²(x + 1)(x + 2)가 답이에요.

(2)번 f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18

f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84

f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.

f(x) =  x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2
      = (x - 1)(x - 2)(x² - x + 1)

뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 f(x) = (x - 1)(x - 2)(x² - x + 1)가 답이네요.

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조립제법 두 번째에요.

이번에 할 조립제법은 개념이해를 잘해야 해요. 조립제법의 방법은 같은데, 그 결과를 해석하는 게 달라지거든요.

조립제법은 다항식의 나눗셈을 조금 더 편리하게 하려고 하는 거예요. 즉, 몫과 나머지를 좀 더 쉬운 방법으로 구하려고 하는 거죠. 그런데 나누는 식의 x의 계수가 1이 아니면 조립제법으로 구한 몫이 틀리게 나와요.

왜 틀린 값이 나오는지, 틀린 값을 어떻게 해야 정확한 몫을 구할 수 있는지 알아보죠.

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

조립제법 1 - 조립제법 하는 법

다항식의 나눗셈을 검산식으로 나타내보죠. f(x) = (x - α)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 할 때 나누는 식 = 0이 되는 x를 이용해요. x = α가 되겠죠.

나누는 식의 계수가 1이 아니라 ax + b라면 f(x) = (ax + b)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 하려면 나누는 식 = 0이 되는 x = 를 이용해야 해요.

(2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)을 해보죠. 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = 이고, f(x)의 계수는 2 -5 5 -4에요.

몫은 2x² - 2x + 2, 나머지는 -1이 나왔네요.

이 문제는 다항식의 나눗셈 마지막 예제에서 해봤던 문제인데, 그 결과를 비교해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

나머지는 같은데, 몫이 다르죠?

왜냐하면, 조립제법에서 x = 을 넣어서 했죠? f(x)를 (2x - 3)으로 나눈 게 아니라 (x - )으로 나눈 결과라서 그래요.

두 경우 모두 나누는 식 = 0이 되게 하는 x는 같지만 식은 다르잖아요. 이런 차이때문에 몫이 달라지는 거예요.

R = -1로 같으니까 (나누는 식 × 몫) 부분만 보죠.

원래 우리가 구하려고 했던 몫이 x² - x + 1이라는 걸 알 수 있어요.

매번 이렇게 할 수는 없잖아요. 간단하게 구하는 방법이 있어요.

우리가 구하려고 했던 Q(x)인데, 조립제법을 통해서 구한 건 aQ(x)인 거죠. 따라서 조립제법으로 구한 몫을 나누는 식의 x의 계수로 나눠주면 원래 구하려고 했던 몫을 구할 수 있어요.

(2x² - 2x + 2) ÷ 2 = x² - x + 1

나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때 조립제법
조립제법의 방법은 같음.
진짜 몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)

f(x)를 x - 3으로 나눈 몫이 2x² - 4x + 2이고 나머지는 1이라고 한다. f(x)를 (2x - 6)으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1이네요. 전개해서 f(x)를 구한 다음에 (2x - 6)으로 나누는 조립제법을 해야겠지요?

설마 진짜로 이렇게 하는 학생은 없겠죠? x - 3 = 0을 0이 되게 하는 x와 2x - 6 = 0이 되게 하는 x가 같으니까 조립제법과 실제 나눗셈 사이의 관계를 이용하면 되는 문제에요. 굳이 전개할 필요가 없어요.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1
      = (2x - 6)Q(x) + R

어떤 방법을 이용하든 나머지는 같으니까 R = 1이에요.

(x - 3)(2x² - 4x + 2) = (2x - 6)Q(x)
(x - 3)(2x² - 4x + 2) = 2(x - 3)Q(x)
Q(x) = (2x² - 4x + 2) ÷ 2
Q(x) = x² - 2x + 1

몫은 x² - 2x + 1, 나머지는 1

몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)으로 바로 구해도 돼요.

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다항식의 나눗셈은 계산하기 정말 복잡하죠? 귀찮기도 하고요.

그래서 하기 싫은 다항식의 나눗셈을 좀 더 쉽게 하는 방법을 알려드립니다. 그게 바로 조립제법이에요. 조립제법은 다항식의 나눗셈에서 계수들의 규칙을 찾아서 만든 방법인데, 원리는 교과서에 설명되어 있을 거예요. 이 글에서는 원리보다는 조립제법을 실제로 하는 방법에 대해서 얘기할게요.

조립제법을 이용하면 다항식의 나눗셈을 할 필요 없이 몫과 나머지를 구할 수 있어요. 물론 나머지만 구하려면 나머지정리를 이용하면 더 쉽고요.

조립제법은 나중에 공부할 인수분해에서도 아주 유용하게 쓰이니까 꼭 할 줄 알아야 해요.

조립제법

다항식의 나눗셈은 최고차항과 계수를 비교해서 한 단계씩 풀어나갔었죠? 조립제법에서는 계수만 가지고 해요. 차수는 생각하지 않아도 되죠.

조립제법을 할 때는 가장 먼저 할 일은 f(x)와 나누는 식을 내림차순으로 정리하는 거예요.

x² + 3x - 4를 x - 1로 나누는 걸 조립제법으로 해보죠.

1. ㄴ자 모양으로 선을 그어요. 왼쪽 위에는 나누는 식 = 0이 되게 하는 x를 적어요. 이 경우에는 x = 1이네요. 오른쪽에는 내림차순으로 정리한 f(x)의 계수들을 순서대로 적어요.
2. 가장 왼쪽에 있는 계수 1은 그냥 바로 아래로 내려서 적어요.
3. ②에서 내린 1과 왼쪽에 있는 1을 곱한 1을 오른쪽 위에 적어요.
4. 두 번째 있는 계수 3과 바로 아래에 있는 1을 더한 4를 그 아래에 적어요.
5. ④에서 구한 4와 왼쪽에 있는 1을 곱한 4를 오른쪽 위에 적어요.
6. 세 번째에 있는 -4와 바로 아래 있는 4를 더한 0을 그 아래에 적고 ㄴ을 한 번 더 그려주세요.

ㄴ의 아래에 있는 숫자들이 몫과 나머지인데요. 가장 오른쪽에 있는 숫자가 나머지이고, 그 외의 부분이 몫이에요. 몫은 오른쪽부터 상수항, x의 계수, x²의 계수, x³의 계수예요. 앞 계산에서는 x의 계수까지밖에 없네요.

결론은 x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0 라는 거지요.

보기에서는 항의 개수가 몇 개 없어서 그런데, 항의 개수가 많다고 하더라도 오른쪽 옆으로 한 칸씩 옮겨가면서 ③, ④를 반복하면 돼요.

다항식의 나눗셈에서는 바로 위에 있는 식과 아래에 있는 식을 빼서 계산했어요. 그런데 조립제법에서는 위, 아래에 있는 계수를 더합니다. 이거 조심하세요.

주의해야 할 게 하나 더 있는데, 빈자리는 0으로 채워야 해요. f(x) = x³ - x + 1을 나누는 조립제법을 할 때는 f(x)의 계수가 3개라서 ①단계에 1   -1   1의 세 숫자만 쓰는 경우가 있는데, 그러면 안 돼요. f(x)에 x²이 없죠? 이때는 x²의 계수가 0이기 때문이에요. 따라서 ㄴ에 f(x)의 계수를 쓸 때, 1  0  -1  1의 네 숫자를 써야 해요. x³ + x² - x의 경우에는 1  1  -1이 아니라 상수항이 0이니까 1  1  -1  0을 써줘야 하고요. 계수의 개수는 최고차항의 차수보다 1개 많아요.

다음을 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x³ + 3x² - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (x³ - 2x + 5) ÷ (x + 2)

(1)번은 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = -1이고, f(x) = 2x³ + 3x² - x - 2로 계수만 적으면 2   3   -1   -2에요.

가장 앞에 있는 최고차항의 계수는 그냥 바로 아래로 내리고, -1과 곱해서 위로 올리고, 다음 계수와 더하고 …  이 과정을 계속하면 아래 그림처럼 조립제법을 할 수 있어요.

가장 오른쪽에 있는 숫자 0이 나머지이고, 그 외 3숫자는 몫인데, 오른쪽부터 상수항, x 계수, x² 계수이므로 몫은 2x² + x - 2에요.

몫: 2x² + x - 2, 나머지: 0
나머지가 0이니까 2³ + 3x² - x - 2는 x + 1로 나누어떨어지네요.

(2)번은 나누는 식 = 0이 되는 x = -2, f(x) = x³ - 2x + 5인데, 조심해야 하는 게 x²이 없지요? 계수가 0이에요. 따라서 적을 때는 1   0   -2   5를 적어야 해요.

몫: x² - 2x + 2, 나머지: 1

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