접선의 방정식
원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
원의 접선의 방정식 세 번째에요. 이번에는 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 방정식이에요. 원 안에서는 원에 접선을 그을 수는 없으니까 당연히 원 밖의 한 점이어야겠죠?
여기서는 공식이 나오지 않아요. 게다가 접선의 방정식을 구하는 방법도 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법을 그대로 사용하니까 이해하기 쉬울 거예요. 대신 계산이 조금 복잡한데 문제에서는 계산하기 쉽게 식을 간단하게 주니까 많이 어렵지는 않을 거예요.
앞에서 충분히 했던 내용이니까 나머지는 그대도 하면 되고, 핵심적인 내용 딱 한 가지만 기억하세요.
원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
원 밖의 한 점 P(x1, y1)에서 원 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 그은 접선의 방정식을 구하는 건데 다른 말로는 점 P(x1, y1)을 지나고 원 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하는 직선의 방정식이라고도 표현해요. 직선이 2개가 생기죠?
이 직선의 기울기를 아직 모르는데 m이라고 가정해 볼게요. 이게 이 글의 핵심이에요. 기울기를 m으로 놓는 거요. 그럼 우리가 구하려고 하는 접선의 방정식은 기울기가 m이고 점 P(x1, y1)을 지나는 직선이에요. 직선의 방정식 구하기에서 해봤죠?
y - y1 = m(x - x1)
이 직선에서 m을 구하면 식이 완성돼요. m을 구하는 방법은 두 가지에요. 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법 두 가지와 같아요. 판별식 D를 이용하는 방법과 (원의 중심과 직선 사이의 거리) = (반지름)을 이용하는 방법이요.
위의 직선을 y에 관해서 정리하면 표준형으로 바꿀 수 있어요. y = m(x - x1) + y1
이렇게 y에 관해서 정리한 식을 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 대입하면 x에 관한 이차방정식이 되고, 여기서 판별식 D = 0일 때, m을 구하면 돼요.
위의 직선을 일반형으로 바꿔보세요. mx - y - mx1 + y1 = 0
원의 중심 (a, b)에서 접선 mx - y - mx1 + y1 = 0까지의 거리가 반지름 r과 같다는 것을 이용해서 m을 구할 수도 있어요.
원 밖의 한 점(x1, y1)에서 원 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 그은 접선의 방정식
기울기를 m이라고 가정하고 y - y1 = m(x - x1)이라는 식을 세운다.
(1) y - y1 = m(x - x1)을 원의 방정식에 대입하여 판별식 D = 0 이용하여 m을 구하거나
(2) 원의 중심(a, b)에서 직선까지의 거리 = 반지름을 이용하여 m을 구한다.
(0, 4)를 지나고 x2 + y2 = 9에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.
한 점을 지나고 원에 접하는 직선의 방정식이 바로 한 점에서 그은 접선의 방정식이에요. 같은 말이니까 헷갈리지 마세요.
직선의 방정식의 기울기를 m이라고 가정하면 이 직선이 (0, 4)를 지나니까 식을 세울 수 있어요.
y - 4 = m(x - 0)
y = mx + 4
이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x2 + (mx + 4)2 = 9
x2 + m2x2 + 8mx + 16 - 9 = 0
(m2 + 1)x2 + 8mx + 7 = 0
D/4 = (4m)2 - (m2 + 1) × 7 = 0
16m2 - 7m2 - 7 = 0
9m2 = 7
m2 =
m = ±
답은 y = ±
이번에는 판별식이 아니라 원의 중심에서 접선까지의 거리를 이용해서 구해볼까요?
y = mx + 4
mx - y + 4 = 0
원의 중심은 (0, 0)이고 반지름은 3, 접선의 방정식은 mx - y + 4 = 0이에요.
y = ±
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원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식
원의 접선의 방정식 두 번째입니다. 기울기를 알 때에요. 기울기를 알고 있으니까 이미 직선의 방정식의 절반을 알고 있는 거예요. y = mx + n꼴에서 기울기 m을 알고 있으니 y절편 n만 구하면 되겠네요.
원과 직선이 접한다는 건 한 점에서 만난다는 것이고 이는 원과 직선의 위치관계에 했던 내용이에요. 한 점에서 만나는 조건들이 있었는데 이 조건을 이용해서 원의 접선의 방정식을 구할 거예요.
원의 접선의 방정식을 구하는 공식이 나오는데, 외우기 어렵다면 원과 직선의 위치관계를 구하는 과정을 이용해서 문제를 풀어도 좋아요.
원의 접선의 방정식 - 기울기를 알 때
(x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선을 구해보죠.
원과 직선의 위치관계에서 원과 직선이 한 점에서 만날 때 판별식 D = 0이거나 (원의 중심에서 접선까지의 거리) = (반지름)인 관계가 있다고 했어요. 이를 이용해서 접선의 방정식을 구해요.
위 그림에 보면 접선의 방정식이 2개가 그려져 있어요. 기울기는 같고 y절편만 다른 두 개의 접선의 방정식이 생기기 때문이에요. 이 두 개를 모두 구해야 합니다.
판별식 D를 이용
먼저 x2 + y2 = r2에 접하는 접선의 방정식을 구해보죠. 접선의 방정식을 y = mx + k라고 하고 이 방정식을 원의 방정식에 대입해서 정리해서 D를 구해볼까요?
x2 + y2 = r2
x2 + (mx + k)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mkx + k2 = r2
(m2 + 1)x2 + 2mkx + k2 - r2 = 0
D/4 = m2k2 - (m2 + 1)(k2 - r2) = 0
m2k2 - m2k2 + m2r2 - k2 + r2 = 0
m2r2 - k2 + r2 = 0
k2 = m2r2 + r2
k2 = r2(m2 + 1)
k = ±r
x2 + y2 = r2에 접하는 접선의 방정식은 y = mx ±r
이차함수 그래프, y = (x - p)2 + q는 y = x2의 그래프를 x축으로 p만큼 이동해서 x 대신 x - p를, y축으로 q만큼 이동해서 y 대신 y - q를 넣어 준거라고 했어요. 꼭짓점이 (0, 0)에서 (p, q)로 이동했잖아요. 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2은 x2 + y2 = r2을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 이동한 원의 방정식이에요. 원의 중심이 (0, 0)에서 (a, b)로 이동했어요. 그래서 접선의 방정식도 x 대신 x - a, y대신 y - b를 넣어주면 돼요.
(x - a)2 + (y - b)2 = r2의 제곱에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y = mx ± r
원의 중심과 접선까지의 거리 이용
x2 + y2 = r2의 중심에서 y = mx + k까지의 거리는 반지름 r과 같아요.
원의 중심 (0, 0)
y = mx + k → mx - y + k = 0
점과 직선 사이의 거리 공식에 대입해보죠.
따라서 y = mx ± r
위와 같은 이유로 x축으로 a만큼 이동하며 x 대신 x - a를, y축으로 b만큼 이동하면 y 대신 y - b를 대입해요.
x2 + y2 = r2의 접선의 방정식은 y = mx ± r
(x - a)2 + (y - b)2 = r2의 접선의 방정식 y - b = m(x - a) ± r
기울기가 m인 원의 접선의 방정식
판별식 D를 이용: 접선의 방정식 표준형을 원의 방정식에 대입하고 D = 0이 되는 값을 구한다.
원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리 이용: (원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리) = (반지름 r) 이용
x2 + y2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y = mx ± r
(x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y - b = m(x - a) ± r
공식에서 (y - b)와 (x - a)는 원의 방정식에 있는 걸 그대로 가져다 쓰면 되니까 더 쉽죠?
다음을 구하여라.
(1) x2 + y2 = 16에 접하고 y = x - 1에 평행한 접선의 방정식
(2) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 25에 접하고 기울기가 3인 접선의 방정식
(1) y = x - 1에 평행한 그래프니까 두 직선의 위치관계에 따라 기울기가 1이네요. y = x + k라고 해보죠.
x2 + (x + k)2 = 16
x2 + x2 + 2kx + k2 - 16 = 0
2x2 + 2kx + k2 - 16 = 0
D/4 = k2 - 2(k2 - 16) = 0
k2 - 2k2 + 32 = 0
k2 = 32
k = ±
k = ±4
따라서 접선의 방정식은 y = x ± 4
(2)번은 공식에 대입해서 구해볼까요?
y - b = m(x - a) ± r
y + 2 = 3(x - 1) ± 5
y = 3x - 5 ± 5
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원 위의 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 거예요. 원과 직선이 만나는 한 점을 접점이라고 하고, 접점을 지나는 직선의 방정식이니까 원의 접선의 방정식이라고 해요.
접선의 방정식도 직선의 방정식의 한 종류니까 직선의 방정식 구하기를 이용하여 구합니다. 또 접선의 방정식은 원 위의 한 점을 지나니까 이를 이용하기도 하고요.
접선의 방정식을 구하는 경우는 여러 가지가 있지만, 이 글에서는 접점의 좌표를 알 때 접선의 방정식 구하는 방법을 알아볼 거예요.
원의 접선의 방정식, 접점을 알 때 접선의 방정식
원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식 l을 구해보죠. 원의 중심을 C(a, b), 접점의 좌표를 P(x1, y1)라고 할게요.
원의 접선은 반지름에 수직이에요. 선분 CP가 반지름이므로 구하고자 하는 접선의 방정식 l과 수직이죠. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했죠? 직선 l의 기울기를 m이라고 해보죠.
직선 l은 기울기가 m이고, P(x1, y1)을 지나는 직선이니까 직선의 방정식 구하는 공식에 넣어보면
일반적으로 기울기는 
①의 공식으로 접선의 방정식을 구할 수도 있지만 다른 공식이 또 있어요.
접점 P(x1, y1)는 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접이기도 해요. (x1, y1)을 대입해보죠.
(x1 - a)2 + (y1 - b)2 = r2 ……… ②
①, ②식을 각각 전개해서 더한 다음에 인수분해하면 아래 공식을 유도할 수 있어요. 유도 과정은 길어서 생략할게요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
원래 원의 방정식은 (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = r2인데, (x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2으로 바뀌었죠? x 하나가 x1으로, y 하나가 y1으로 바뀐 형태예요……
원의 접선의 방정식
(x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접점 P(x1, y1)을 지나는 접선의 방정식
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
두 가지다 같은 결과가 나옵니다. 보통은 원의 방정식의 모양과 비슷해서 외우기 쉬운 두 번째를 많이 사용하는데, 본인이 외우기 쉬운 공식을 외우세요.
다음을 구하여라.
(1) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 5 위의 점 (3, -3)에서의 접선의 방정식
(2) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 50 위의 점 (4, -2)에서의 접선의 방정식
(3) x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0위의 점 (-2, -3)에서의 접선의 방정식
(1) 번은 원의 중심이 (2, -1)이고 접점의 좌표는 (3, -3), r2 = 5예요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(3 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = 5
x - 2 - 2y - 2 - 5 = 0
x - 2y - 9 = 0
어떤 공식을 이용하든 결과가 똑같죠?
(2) 원의 중심은 (-3, -1), 접점의 좌표는 (4, -2), r2 = 50이네요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(4 + 3)(x + 3) + (-2 + 1)(y + 1) = 50
7x + 21 - y - 1 = 50
7x - y - 30 = 0
(3) 번은 먼저 표준형으로 바꿔야겠네요.
x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0
x2 + 6x + y2 - 2y - 7 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 - 7 - 9 - 1 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 = 17
원의 중심이 (-3, 1)이고 접점의 좌표가 (-2, -3), r2 = 17이군요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(-2 + 3)(x + 3) + (-3 - 1)(y - 1) = 17
x + 3 - 4y + 4 = 17
x - 4y - 10 = 0
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