수학방

1. 두 다항식 A = 4x² + 3, B = x² + 2에 대하여 A - B는?
① 3x² + 1     ② 3x² + 5     ③ 5x² + 1     ④ 5x² + 5

두 다항식의 뺄셈이네요.

A - B
= (4x² + 3) - (x² + 2)
= 4x² + 3 - x² - 2
= 3x² + 1

답은 ①번이네요.

다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈

2. 다항식 x² - x + 5를 x - 2로 나누었을 때, 나머지는?
① 3     ② 5     ③ 7     ④ 9

몫을 구하지 않고 나머지만 구할 때는 나머지정리를 이용하면 편해요.

f(x) = x² - x + 5라고 하면, f(x)를 x - 2로 나누었을 때 나머지는 f(2)

f(x) = 2² - 2 + 5 = 4 - 2 + 5 = 7

답은 ③번이네요.

나머지정리, 인수정리

3. 2i(1 + i) = - 2 + ai일 때, 실수 a의 값은? (단, i = )
① -1     ② 0     ③ 1     ④ 2

두 복소수가 서로 같으려면 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 해요.

좌변을 전개해서 우변과 비교해보면 되겠네요.

2i(1 + i) = -2 + ai
2i - 2 = -2 + ai
-2 + 2i = -2 + ai
a = 2

따라서 답은 ④번입니다.

복소수, 허수와 허수단위

4. 두 집합 A = {2, 5, a + 1}, B = 2, a - 1, 7}에 대하여 A = B일 때, 상수 a의 값은?
① 3     ② 5     ③ 5     ④ 6

두 집합이 같으려면 원소가 서로 같아야 해요.

2는 두 집합 모두에 있네요.

A에는 5가 있는데, B에는 없죠? 그러면 B에서 5가 될 수 있는 건 a - 1밖에 없어요.

5 = a - 1
a = 6

따라서 답은 ④번입니다.

집합에서 원소란?
집합의 포함관계 - 부분집합

5. 다음 중 명제가 아닌 것은?
① x - 2 < 6
② 8은 짝수이다.
③ 9는 3의 배수이다.
④ x = 1이면 x + 3 > 2이다.

명제는 참 또는 거짓을 판단할 수 있는 문장을 말해요. 특별한 경우에만 참, 거짓을 판단할 수 있으면 그건 조건이라고 하죠.

①번이 바로 조건이에요. x < 8이면 참이고 x ≤면 거짓이니까요.

②, ③, ④번은 모두 참인 명제예요.

답은 ①번이네요.

명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정

6. 삼차방정식 2x³ - 5x + a = 0의 한 근이 1일 때, 상수 a의 값은?
① 2     ② 3     ③ 4     ④ 5

방정식의 근은 그 방정식을 참이 되게 하는 값을 말해요. 근을 식에 대입했을 때 식이 성립해야 하죠.

주어진 식에 x = 1을 대입해보죠.

2 × 1³ - 5 × 1 + a = 0
2 - 5 + a = 0
a = 3

답은 ②번이네요.

[중등수학/중1 수학] - 방정식과 항등식, 등식의 뜻

7. 2 ≤ x ≤ 4일 때, y = (x - 1)² - 2의 최댓값과 최솟값의 합은?
① 2     ② 4     ③ 6     ④ 8

이차함수에 일정한 범위가 있을 때는 최댓값과 최솟값은 경계 또는 꼭짓점에서 생겨요.

꼭짓점의 좌표가 (1, -2)로 주어진 범위 안에 있지 않으므로 생략해도 되겠네요.

x = 2일 때, y = (2 - 1)² - 2 = -1

x = 4일 때, y = (4 - 1)² - 2 = 7

최솟값은 -1, 최댓값은 7

7 + (-1) = 6

답은 ③번입니다.

이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소
이차함수의 최대, 최소와 이차함수 최대,최소의 활용

8. 직선 2x - y = 0과 수직으로 만나는 직선의 방정식은?
① y = -2x     ② y = -x     ③ y = x     ④ y = x

2x - y = 0
y = 2x

두 직선의 방정식이 수직으로 만나려면 두 방정식의 (기울기의 곱) = -1이에요.

수직으로 만나는 방정식을 y = mx + n이라고 해보죠.

2 × m = -1
m = -

따라서 답은 ②번입니다.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직

9. 좌표평면 위의 두 점 A(1, -2), B(6, 3)에 대하여 선분 AB를 2 : 3으로 내분하는 점의 좌표는?
① (2, -1)     ② (3, 0)     ③ (4, 1)     ④ (5, 2)

내분점 구하는 공식에 넣어서 구해보죠.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는

답은 ② (3, 0)번이네요.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점 공식

10. 부등식 |x| ≤ 2의 해를 수직선 위에 나타낸 것은?

절댓값이 있는 부등식의 해를 구할 때는 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눠서 구해요.

ⅰ) x ≥ 0일 때,
|x| ≤ 2 → x ≤ 2
0 ≤ 0 ≤ 2

ⅱ) x < 0일 때,
|x| ≤ 2 → -x ≤ 2 → x ≤ -2
-2 ≤ x < 0

위 둘이 모두 해이므 -2 ≤ x ≤ 2

따라서 답은 ①번이에요.

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

공부 방법인데요. 흔히 하는 공부방법입니다. 하지만 접근하는 개념을 살짝 바꾸면 훨씬 더 효과적으로 이 방법을 사용할 수 있어요. 바로 복습과 반복 학습입니다.

보통 복습은 수업 시간에 공부했던 걸 한 번 더 공부하는 거로 알고 있어요. 반복 학습은 공부했던 걸 여러 번 반복해서 공부하는 거고요. 사실 반복 학습이 복습이죠.

그런데 복습, 반복 학습도 방법이 있어요. 복습과 반복 학습을 조금 더 효율적으로 하는 방법입니다.

반복학습은 간식처럼

이렇게 한 번 비유해볼까요?

하루 세끼 밥만 먹는다고 해보죠. 간식은 전혀 먹질 않고요. 아침 먹고 점심시간이 다가오면 배가 고프겠죠. 점심 먹고 나서 저녁 시간이 되면 배가 고플 거고요. 배가 부르다가 점점 배가 고파지고, 다시 배부르고 배고프고 이런 과정이 반복되죠.

그런데 그게 아니라 아침을 먹어요. 그리고 한 시간에 한 번씩 간식을 먹는다고 해보죠. 그러면 점심시간에는 배가 별로 안 고프니까 많이 먹지 않아도 배가 부르겠죠. 오후에도 한두 시간마다 계속 간식을 먹어요. 그러면 저녁에 배가 별로 안 고프니까 밥을 많이 먹지 않아도 돼요. 온종일 배가 고플 일이 없어요. 이 방법으로 먹다보면 금세 살이 찔 겁니다. 그죠?

공부도 이렇게 하는 거예요.

보통 우리 어떻게 공부하나요? 학원에서 선행으로 공부하고, 학교에서 수업 듣고 그리고 내내 잊었다가 시험시간에 한 번 공부하죠.

아침 식사 - 학원 선행
점심 식사 - 학교 수업
저녁 식사 - 시험공부

이렇게 하면 수업들을 때, 시험 대비할 때 반짝 알았다가 수업 며칠 지나거나 시험 끝나면 내 머릿속에서 bye bye죠. 문제는 시험공부를 할 때 처음부터 다시 시작해야 해요. 마치 오늘 처음 밥 먹는 것처럼, 마치 한 번도 공부한 적이 없는 단원인 것처럼요. "이런 것도 배웠었나?"하는 생각 다들 해봤죠?

만약에 처음에 공부할 때, 학원이든 학교든 제대로 한 번 공부했다고 생각해보죠. 그리고 일주일이나 두 주일에 한 번씩 계속해서 복습해요. 마치 한 시간에 한 번씩 간식 먹듯이요. 그러면 나중에 시험 공부할 때 훨씬 더 쉽게 공부할 수 있어요.

복습할 때는 처음 수업을 들었을 때만큼 많은 시간을 투자할 필요가 없어요. 간식을 식사보다 간단하게 먹는 것처럼 복습도 간단히 공부할 수 있어요.

복습은 내가 알고 있는 걸 다시 확인하기도 하지만 내가 알고 있는 걸 잊어버리지 않게 해줘요. 사람의 기억은 시간이 지나면 자연히 사라지고 없어지는데, 복습하면 머리에서 없어지려 할 때 머리에서 빠져나가려는 기억을 다시 붙잡아줘요.

머릿속에 공부한 내용을 꽉 채운 다음에 그게 빠져나가지 않게 하는 게 바로 반복 학습의 가장 큰 효과죠. 그러니까 기억이 완전히 사라지기 전에 해주면 좋아요.

보통은 복습하라고 하면 복습을 딱 한 번만 하고 말거든요. "지난주에 방정식 배웠으니까 오늘 복습해야지."로 끝나면 안 돼요.

"지지난 주에 방정식 배웠고, 지난 주에 복습 한 번 했으니까, 이번 주에도 복습하고, 다음 주에도 복습하고 그 다음 주에도 방정식 복습하고……" 이렇게 해야해요.

자주 하면 자주 할수록 머릿속에 남아있는 기억이 많으니까 굳이 오랜 시간 들여서 공부할 필요도 없죠.

처음 공부할 때 한 시간 공부하고 복습할 때 한 시간 공부하고, 반복 학습할 때 또 한 시간 공부하고 이건 복습이나 반복 학습이 아니에요. 시간 낭비일 뿐이에요.

복습이라고 해서 처음 복습할 때와 나중에 복습할 때 똑같은 시간을 들여서 공부하는 건 아주 비효율적이에요. "아, 내가 이걸 알고 있구나.! 잊어버리지 않았구나. 앞으로도 잊어버리지 말아야지." 하는 수준에서 끝내세요. 처음에 복습할 때는 한 시간 걸렸던 것도 몇 번 반복해보면 그 내용을 이해하고 외우는데 자연스럽게 40분, 30분, 20분, 10분으로 점점 시간이 줄어들어요. 그렇지 않고 계속해서 똑같이 한 시간씩 걸린다면 그건 이미 그 내용을 잊어버렸다는 뜻이니까 반복 간격을 더 줄이세요.

간식을 많이 먹으면 그건 식사고 하루 세끼가 아니라 하루 네끼, 하루 다섯끼가 되는 거예요.

• 간식은 많이 먹는 게 아니라 자주 먹듯이 반복 학습도 자주 조금씩
• 복습은 기억하기 위해서라 아니라 잊어버리지 않기 위해서
• 반복은 매번 같은 시간만큼, 같은 강도로 반복하는 게 아니라 잊어버리지 않았다는 걸 확인하고 앞으로도 잊어버리지 않을 정도만

"아! 나는 밥은 조금 먹는데, 살이 자꾸 쪄." 하는 친구들 보세요. 간식을 입에 달고 살죠? 그런 것처럼 학원에서, 학교 수업시간에, 시험 기간에 살짝 소홀히 해도 평소에 복습을 자주 했던 친구라면 몸에 살이 찌는 것처럼 머리에 학습한 내용이 자꾸자꾸 쌓일 겁니다.

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수학을 잘하려면 머리를 아주 잘 써야 해요. 물론 머리를 아주 잘 쓰는 사람이라면 당연히 수학을 잘하겠지만요.

수학을 잘하는 방법의 하나를 소개합니다. 시간과 장소에 구애받지 않고 언제나 어디서나 하는 방법으로 최소한의 시간과 노력으로 확실한 효과를 거두는 방법입니다. 어쩌면 꼼수일 수도 있고 정공법일 수도 있는 수학 잘하는 방법이지요.

한 번쯤 시험삼아 해보고 효과가 확실하다면 자기만의 공부법으로 활용해보세요.

자투리 시간 이용해서 수학 공부하기

우리가 "공부한다"고 하면 책상에 앉아서 책 펴놓고 연습장에 쓰면서 하는 것만 공부라고 생각하는 고정관념이 있어요. 하지만 꼭 그렇게 해야만 공부를 하는 건 아니에요.

자기가 좋아하는 가수의 노래 가사를 외운다고 생각해보세요. 책상에 앉아서 앨범의 가사를 보면서 연습장에 한 줄씩 쓰면서 외우나요? 그렇지 않죠? 그냥 양치질하면서 책가방 싸면서 흥얼거리다 보면 어느 순간엔가 외워져 있죠. 혹시 중간에 모르는 가사가 있으면 거기 일단 뛰어넘고 다음 노래 부분을 부르죠. 모르는 부분의 가사는 나중에 시간이 될 때 찾아서 보고 외우면 되니까요. 공부도 그런 식으로 할 수 있어요.

등식의 성질을 외운다고 해보죠. 등식의 성질 1. 어쩌고저쩌고 …… 이렇게 종이에 써가면 외우지 마세요. 일단 등식의 성질의 개념에 대해서 이해만 하세요. 아주 정확하지 않더라도 대략적인 것 정도만 외워두세요. 이 정도는 학교, 학원 수업만 잘 들으면 할 수 있는 거예요.

그다음에 집에 오는 길에 버스에서 창밖 바라보면서 넋 놓고 앉아있다가 속으로 생각하는 거예요. "등식의 성질은 네 가지가 있는데, 첫 번째는 어쩌고, 두 번째는 ………" 이렇게 해서 생각이 나면 생각나는 대로 생각나지 않으면 생각나지 않는 대로 그냥 두세요. 만약에 첫 번째, 두 번째는 생각이 났는데, 세 번째, 네 번째는 생각이 안 났다고 해보죠. 괜찮아요. 두 개 외웠잖아요. 대신에 나는 세 번째, 네 번째는 생각나지 않았다는 것만 기억하고 있으면 돼요.

나중에 집에 가서 책을 펴요. 세 번째, 네 번째 성질이 뭔지 확인하는 거죠. 그리고 책을 덮어요. 머릿속으로 한 번 더 외워봅니다. 버스 안에서 등식의 성질을 외웠던 시간, 집에서 책을 펼쳐 확인하는 시간, 머릿속으로 한 번 더 외워보는 시간 다 합치면 1분 남짓한 시간이에요. 1분 남짓한 시간만 투자 보세요.

이런 과정을 몇 차례 하면 모르는 건 확실히 외워지고, 어설픈 표현으로 외웠던 성질도 자기만의 정제된 언어로 표현할 수 있을 정도도 확실히 정리되죠.

뮤직뱅크를 보는 데 내가 좋아하는 두 가수 사이에 별로 좋아하지 않는 가수가 나와요. 그 가수가 노래하는 3분 동안 연립방정식의 푸는 방법을 생각해보자고요. "연립방정식은 이러이러한 식인데, 해를 구하는 방법은 한 문자의 절댓값이 같을 때는 ………" 한 번 속으로 생각하는 거죠. 실제로 숫자를 대입하거나 하지 않고 그냥 그 풀이 과정을 그림 그리듯이 순서대로 쭉 정리하는 거죠. "여기서는 이렇게 더하고, 저기서는 저렇게 대입해서 푼다."

방에 있는데 엄마가 밥 먹으라고 부릅니다. 가보면 어때요? 밥상이 다 차려진 건 아니고 이제 막 국이 끓고 있죠? 밥 먹을 때까지 3~4분 시간이 남아요. 그 시간에 근의 공식을 머릿속으로 쭉 외워보세요. "이차방정식의 일반형이 이렇게 이렇게 생겼을 때, 근의 공식은 ………" 이거 한 번 머릿속으로 쭉 외우는데 30초밖에 안 걸립니다. 그런데 분모가 a인지 2a인지 헷갈려요. 그럼 헷갈린 채로 그냥 두세요. 밥을 다 먹고 방에 왔을 때 책을 펴서 a인지 2a인지 확인하면 되니까요. 그리고 다시 한 번 머릿속으로 외우죠. 이것도 1분이면 충분하죠? 하루에 한 번 1분 30초, 이렇게 3~4일이면 근의 공식을 외울 수 있습니다.

그러다가 뜬금없이 이주일쯤 지난 후에 한 번 또 근의 공식을 속으로 외워보는 거예요. 그때 기억하고 있다면 좋지만 기억나지 않는다면 다시 책을 펼쳐서 확인.

(자투리 시간 동안 머릿속으로 생각 → 아는 건 아는 대로 모르는 건 나중에 확인) × 반복

자투리 시간을 활용한 수학 공부법의 장점

자투리 시간을 활용하는 방법은 시간이 오래 걸리지 않는다는 거예요. 1, 2분의 시간만 투자하면 되는 거죠. 이거는 따로 설명할 필요가 없죠?

또 다른 장점은 내가 아는 것과 모르는 것을 정확하게 구분할 수 있어요. 내가 아는 건 그냥 아는 채로 두면 되고, 모르는 것만 찾아서 공부하면 되잖아요. 이게 굉장히 중요한 거예요. 내가 아는 것과 모르는 것을 잘 구분하지 못하니까 아는 것도 다시 공부하느라 시간 낭비하고 그렇게 시간을 낭비하니까 모르는 걸 공부하는데 시간이 부족한 경우가 너무 많아요.

안타깝지만 공부라는 건 시험을 통해서 그 결과를 확인하는 과정이 필요해요. 시험을 볼 때 책을 꺼내놓고 볼 수 없잖아요. 내 머릿속에 들어있는 내용만으로 시험을 치러야 하니까 공부할 때도 항상 머릿속에 있는 걸 끄집어내서 공부하는 게 맞아요. 머릿속에서만 공부하는 건 굳이 긴 시간을 내지 않더라도 장소의 제약을 받지 않고 언제 어디서나 할 수 있으니까 훨씬 편리하죠.

개념을 이해하고 공식을 외우는 건 제일 처음 접했을 때는 종이에 써서 확인해봐야 하지만 그 이후에는 굳이 종이에 쓰면서 외울 필요는 없어요. 잠깐잠깐 시간 날 때 1, 2분씩 공부하고 이걸 며칠 동안 반복하면 훨씬 더 효율적으로 외울 수 있어요. 반복하다 보면 확실히 정리되죠

학교에서 학원에서 수업시간에 선생님께서 설명해주는 걸 잘 들어요. 그리고 자투리 시간을 활용해서 머릿속으로 외우고 정리하는 거죠. 모르는 게 있으면 나중에 책을 찾아서 확인하고 덮고 다시 한 번 외우고. 이렇게 반복해서 다 외워지면 그때 책상에 앉아서 연습장에 문제를 푸는 거예요. 문제도 풀다 보면 특별한 풀잇법이 있는 유형이 있겠죠? 나중에 시간 날 때 머리속으로 생각하는 거예요. "이런 유형의 문제는 이렇게 이렇게 푼다."

부가적으로 칭찬도 받을 수 있어요. "쟤는 별로 공부도 안 하는 것 같은데 성적이 잘 나와. 책상에 붙어있는 꼴을 못 봤는데, 머리가 굉장히 좋은가봐."

남들 눈에 안 보이게 머릿속으로만 공부하니까 다른 사람은 모르는 거죠. ㅎㅎ

공부는 종이에 쓰면서 하는 공부가 있고, 머리에 담아서 하는 공부가 있어요. 긴 시간 동안 공부해야 하는 것도 있고, 짧은 시간 동안 여러 번 반복해서 공부해야 하는 것도 있죠. 이 차이를 잘 파악해서 거기에 맞게 시간을 나누고 공부하는 것도 굉장히 중요합니다.

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명제에 이어 정의와 증명, 정리에 관한 내용이에요.

이 단원에서는 새로운 내용을 배우기보다는 기존에 알고 있는 용어들을 이용할 거예요. 비슷한 용어들이 나오고 그 뜻의 차이가 크지 않아서 헷갈릴 수 있으니까 이 기회에 그 뜻을 정확하게 정리하세요. 특히 도형과 관련된 내용이 많이 나오니까 1학년 때 배웠던 도형 관련 내용들을 쭉 한 번 읽어보는 것도 좋아요.

중1 수학 목록

정의, 정리, 증명

정의는 용어의 뜻을 명확하게 정한 것으로 용어의 뜻에 대한 약속이에요. 약속이므로 증명할 필요가 없어요. 약속은 참, 거짓의 문제가 아니니까요.

방정식이라는 용어가 있어요. 식에 미지수가 있어서 이 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 등식을 말하죠. 이건 그냥 그런 특징이 있는 식을 방정식이라고 부르기로 사람들끼리 약속한 거예요. 다른 이름으로 약속했다면 그렇게 부르면 되는 거예요.

증명은 실험이나 경험에 따르지 않고, 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것을 말해요.

어떤 가정이 있다면 그 가정이 진짜인지 증거를 대는 거죠. 그 증거에 잘 맞으면 참이고, 증거에 맞지 않으면 거짓이 되는 거예요.

정리는 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것으로 여러 개가 있어요. 정리는 원래는 가정이었는데, 증명을 통해서 참으로 밝혀진 걸 말해요. 이 정리를 이용해서 다른 명제의 참, 거짓을 증명하게 되는 거죠.

정의와 정리는 달라요. 정의는 그냥 약속이라서 증명을 할 필요가 없어요. 물론 증명할 수도 없지만요. 정리는 증명을 통해서 그것이 참임을 밝혀야 해요. 그래야 정리로서 가치를 인정받을 수 있죠.

도형의 정의

아래는 다각형 중에서 삼각형과 사각형의 정의를 나타낸 거예요.

삼각형: 세 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
정삼각형: 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형
이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형
직각삼각형: 한 내각의 크기가 직각인 삼각형
예각삼각형: 세 내각의 크기가 모두 예각인 삼각형
둔각삼각형: 한 내각의 크기가 둔각인 삼각형

사각형: 네 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
직사각형: 네 각의 크기가 모두 같은 사각형
마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
정사각형: 네 내각의 크기와 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
평행사변형: 두 쌍의 대변이 각각 평행인 사각형
사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행인 사각형
등변사다리꼴: 한 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴

증명에서 자주 사용되는 정리

평행한 두 직선과 한 직선이 만날 때 → 동위각, 엇각의 크기가 같다
평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각

삼각형의 합동 → 대응변의 길이와 대응각의 크기는 서로 같다
도형의 합동, 삼각형의 합동조건

두 직선 l, m이 아래 그림처럼 한 점 O에서 만난다. 일 때 다음을 증명하여라.
<
(1) ∠AOB = ∠COD
(2)

(1)에서 ∠AOC는 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠AOC = ∠AOD + ∠COD이고요.
∠BOD도 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD이고요.
∠AOD + ∠COD = ∠AOB + ∠AOD = 180° 가 되는 거죠.
양변의 ∠AOD를 없애주면 ∠COD = ∠AOB가 됩니다.

사실 (1)번은 새로운 증명이 아니라 맞꼭지각, 동위각, 엇각에 나온 "두 직선이 한 점에서 만날 때 맞꼭지각의 크기는 같다."는 걸 한 번 더 증명해 본 거예요.

(2)번은 삼각형의 합동을 이용할 거예요. 점 A와 점 B에 선을 그으면 △AOB가 되고, 점 C와 점 D에 선을 그으면 △COD가 돼요. 두 삼각형에서 이고, ∠AOB = ∠COD에요. 즉 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기가 가죠? 두 삼각형은 합동이에요. △AOB ≡ △COD
두 삼각형의 합동이니까 대응변의 길이는 같고, 대응각의 크기도 같아요.
따라서 서로 대응변인 변 AB와 변 CD의 길이는 같아요.

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