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확률이라는 말은 많이 들어봤죠? 비 올 확률, 병에 걸릴 확률 등 뭔가의 가능성을 비율로 나타낼 때 확률이라는 표현을 많이 쓰잖아요.

이번 글에서는 확률에 대해서 배울 거예요. 확률이란 무엇인지 확률을 어떻게 구하는지에 대해서요.

물론 확률을 구하는 공식도 알아볼 거고요.

확률, 확률 공식

일정한 조건 아래에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, 어떤 사건이 일어나는 경우의 수의 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 이 일정한 값을 그 사건이 일어날 확률이라고 해요. 말이 어렵죠? 그냥 수학적으로 정의하자면 그렇다는 얘기고 그냥 무슨 일이 생길 가능성을 비율로 나타낸 걸 확률이라고 해요.

확률은 영어 단어 Probability의 첫 글자를 따서 P라고 써요. 사건 A가 일어날 확률을 P(A)라고 쓰지요.

확률은 비율이라서 백분율로 표현하기도 하고, 소수나 분수로도 표현해요. 10%나 0.1이나 이나 다 같은 확률을 나타내는 겁니다.

경우의 수를 이용한 확률

확률을 구하는 방법을 모르지만 우리는 확률을 구할 수 있어요.

동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 얼마인가요? 50%에요. 다 알고 있잖아요? 어떻게 구했죠? 동전은 앞, 뒤가 있는데, 둘 중 하나가 나올 거니까 50%에요.

동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 앞, 뒤 이렇게 두 가지예요. 그리고 앞면이 나오는 경우의 수는 1이죠. 경우의 수를 비교해봤더니 인 거예요. 확률은 이렇게 구하는 겁니다.

사건 A가 일어날 확률은 사건 A가 일어날 수 있는 경우의 수를 전체 사건이 일어날 수 있는 경우의 수로 나눠서 구해요.

주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률을 구해볼까요?

주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6이고, 이 중에서 2의 배수가 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 세 가지예요. 그래서 주사위를 던졌을 때 2의 배수가 나올 확률은 3 ÷ 6 = 이죠.

상대도수를 이용한 확률

확률을 구할 때 경우의 수를 이용해서 구하기도 하지만 실제 관찰이나 실험을 통해서 구하기도 해요. 예를 들어 "비만인 사람은 정상인 사람보다 OO병에 걸릴 확률이 50% 높다". 이런 종류의 얘기들을 해요. 하지만 실제로 비만인 사람이 OO병에 걸리는 경우의 수를 구할 수 없죠. 수십억 명의 세계 인구 중에 비만인 사람의 수를 모두 셀 수는 없으니까요. 또 정상인 사람이 병에 걸렸는지의 경우의 수도 구할 수 없고요.

이처럼 실험이나 관찰을 통해서 확률을 구하기도 하는데요. 이때는 관찰의 개수가 적으면 확률을 제대로 구할 수 없어요. 가능한 한 많이 실험하고 많이 관찰해야 해요.

동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 에요. 이건 경우의 수를 이용해서 구한 확률이죠.

실제로 여러분이 동전을 던졌다고 해보세요. 한 번 던졌는데, 앞면이 나왔다 치죠. 그럼 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 100%잖아요. 앞서 구한 확률과 차이가 엄청나게 많이 나죠? 동전 던지기를 한 번이 아니라 100번, 1000번 해보면 앞면이 나올 확률이 에 가까워져요. 그 실험횟수가 많으면 많을수록 에 가까워져요.

이 때 "실제 실험을 100번 해봤더니 앞면이 49번 나왔다"고 한다면 앞면이 나올 확률은 49 ÷ 100 = 0.49가 되는 거예요.

확률의 정의에서 사용했던 상대도수라든가 일정한 값에 가까워지는 등의 이야기는 바로 여기에 해당하는 내용이에요.

주사위 2개를 동시에 던질 때, 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률을 구하여라.

먼저 주사위 2개를 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수를 구해야겠네요. 각각의 주사위가 6가지 경우의 수를 가지니까 두 개의 주사위를 동시에 던지면 36가지 경우의 수가 생겨요.

두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우를 찾아볼까요? 4, 8, 12가 될 수 있겠네요.

두 주사위 눈금의 합이 4가 되는 경우를 순서쌍으로 표시해보죠. (1, 3), (2, 2) (3, 1)의 세 가지 경우가 있네요.
눈금의 합이 8이 되는 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 다섯 가지 경우가 있고요.
눈금의 합이 12가 되는 경우는 (6, 6) 하나밖에 없네요.

따라서 눈금의 합이 4의 배수가 되는 경우는 총 9가지 경우가 있어요.

주사위 2개를 동시에 던질 때 두 주사위 눈금의 합이 4의 배수가 될 확률 p = 9 ÷ 36 = 입니다.

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이번 글은 누적도수의 그래프를 그리는 방법에 대한 글로 통계 마지막 시간이에요.

통계는 크게 보면 두 가지에요. 용어 배우고, 표와 그래프를 그리는 거지요.

각 용어에 도수, 상대도수, 누적도수가 있어요. 각 용어에 맞게 표나 그래프 그리는 법을 익혀두세요.

누적도수의 그래프를 그리는 방법은 도수분포다각형이나 상대도수의 그래프 그리는 법과 딱 한 가지가 달라요. 바꿔 말하면 그 다른 한가지가 매우 중요하다는 거지요.

누적도수의 그래프 그리는 방법

1. 세로축에 누적도수를 가로축에 각 계급의 양 끝값을 적는다.
2. 각 계급의 끝값 중에 큰 쪽 끝값과 누적도수가 만나는 곳에 점을 찍는다. 이때 첫 번째 계급의 왼쪽 끝에 도수가 0인 점을 찍는다.
3. 각 점을 차례대로 선으로 연결한다.

2번이 다른 그래프와 다른 점이고 가장 중요한 부분이에요.

다른 그래프에서는 양 계급 끝값의 가운데, 즉 계급값 부분에 점을 찍었는데, 누적도수의 그래프에서는 계급값이 아니라 끝값 중 큰 값에 점을 찍어요.

그 계급의 누적도수 = 계급의 도수 + 앞 계급의 누적도수
계급의 도수 = 해당 계급의 누적도수 - 앞 계급의 누적도수

그래프를 보고 이웃한 두 계급의 누적도수를 알면 계급의 도수를 구할 수 있겠지요?

누적도수 그래프의 특징

오른쪽 위로 올라가는 모양이에요. 누적이라는 뜻 자체가 숫자가 커진다는 걸 의미하니까 오른쪽으로 갈수록 숫자가 커지고 그 때문에 오른쪽으로 갈수록 위로 올라가는 그래프가 돼요.

경사가 가장 급한 곳의 도수가 가장 커요. 경사가 크다는 말은 앞의 누적도수와 차이가 크다는 말이지요. 함수에서 기울기를 생각해보세요. x의 증가량에 해당하는 계급의 크기는 똑같아요. 여기에 y의 증가량에 해당하는 해당 계급의 도수 (그 계급의 누적도수 - 앞 계급의 누적도수)가 클수록 경사가 커지겠죠?

경사가 없는 계급은 도수가 0인 걸 말해요. 경사가 없이 평평하다는 건 "그 계급의 누적도수- 앞 계급의 누적도수 = 0" 라는 말이잖아요.

그래프에서 마지막 계급의 오른쪽 끝점의 누적도수는 도수의 총합과 같아요. 누적도수의 분포표에서 계급의 누적도수는 도수의 총합과 같았죠? 그래프에서도 마찬가지예요.

아래는 수학 점수를 구간별로 나눈 누적도수의 그래프이다. 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 도수가 가장 큰 계급의 계급값을 구하여라.
(2) 점수가 10번째로 높은 학생이 속한 계급을 구하여라.

(1)번 실제 도수를 구하지 않더라도 그래프에서 경사가 가장 큰 곳이 도수가 가장 큰 계급이라고 했어요. 위 그래프에서 경사가 가장 큰 곳은 80점 이상 90점 미만인 계급이네요. 문제에서 구하라고 한 것은 계급이 아니라 계급값이니까 (90 + 80) ÷ 2 = 85가 되겠네요.

(2)번 점수가 10번째로 높은 학생이니까 오른쪽에서 10번에 해당하는 학생, 즉 11에 해당하는 도수가 속한 구간을 찾아야겠지요. 11이라는 도수와 만나는 계급은 80점 이상 90점 미만이네요.

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도수, 상대도수라는 용어를 공부했어요.

이번 글에서 배울 용어는 누적도수라는 용어에요. 도수, 상대도수에서 사용하는 도수와 같은 도수인데, 앞에 누적이라는 말이 붙어있죠? 국어사전에서 누적이라는 말은 "포개어 여러 번 쌓음"이라고 되어있네요.

즉, 누적도수는 도수를 계속 쌓아가는 걸 말해요. 도수분포표에서 처음 계급부터 어떤 계급까지의 도수를 차례대로 더한 값이에요. 쉽게 말해서 계급의 도수에 앞에 있는 계급의 도수까지 모두 더한다고 생각하면 돼요.

어떤 계급의 누적도수 = 그 계급의 도수 + 처음 계급부터 앞 계급까지의 도수의 합
                                   = 그 계급의 도수 + 앞 계급의 누적도수

아래 표에서 왼쪽은 시험 점수를 10점 단위로 나눈 계급이고, 가운데는 점수별 학생 수에요. 오른쪽에는 누적도수를 나타낸 겁니다. 이 표처럼 각 계급의 누적도수를 표로 나타낸 것을 누적도수의 분포표라고 해요.

제일 처음 계급인 60점 이상 70점 미만인 학생 수는 1명이에요. 이보다 앞에는 계급이 없으니까 누적도수는 1이지요.

두 번째 70점 이상 80점 미만인 학생 수는 3명이에요. 이보다 앞에는 60점 이상 70점 미만이라는 계급이 있고 도수가 1이에요. 그래서 1 + 3 = 4라는 누적도수를 갖게 돼요.

세 번째 80점 이상 90점 미만인 학생 수는 10명이에요. 이보다 앞에는 60점 이상 70점 미만, 70점 이상 80점 미만이라는 두 개의 계급이 있고, 이 계급에는 각각 1, 3이라는 도수가 있어요. 1 + 3 + 10 = 14라는 누적도수를 갖게 돼요. 사실 70점 이상 80점 미만의 누적도수가 4였기 때문에 그냥 4 + 10 = 14로 계산해도 돼요.

네 번째 90점 이상 100점 미만인 학생 수는 6명이죠. 이보다 앞에는 60점 이상 70점 미만, 70점 이상 80점 미만, 80점 이상 90점 미만이라는 세 개의 계급이 있고, 이 세 계급의 누적도수는 14지요. 그래서 누적도수는 14 + 6 = 20이에요.

누적도수의 특징

누적도수에는 두 가지 큰 특징이 있어요. 첫 번째 그림인 누적도수의 분포표에서 빨간색으로 표시된 곳이요.

• 첫 번째 계급은 누적도수 = 도수
• 마지막 계급의 누적도수 = 도수의 총합

첫 번째 계급은 앞 계급이 없으니까 더할 게 0이어서 누적도수와 계급의 도수가 같아요.

마지막 계급의 누적도수는 그 이후로 더할 게 없죠. 더할 수 있는 건 다 더했다는 거예요. 그래서 총 도수와 마지막 계급의 누적도수가 같아요. 마지막 계급의 누적도수와 총 도수가 같으니까 누적도수의 합계란에는 빈 칸으로 두는 거예요.

누적도수는 어떤 대상이 자료 전체에서 차지하는 위치를 알고 싶을 때 사용해요. 예를 들어 90점인 학생은 전체에서 몇 등인가를 구할 때 그냥 도수분포표보다 훨씬 편리하지요.

아래 누적도수의 분포표를 보고, A, B, C, D의 값을 구하여라.

A는 첫 번째 계급의 누적도수이므로 계급의 도수와 같아요. A = 2네요.
B는 계급의 도수인 3과 앞 계급의 누적도수 A = 2를 더해서 5가 되고요.
C는 그냥 도수죠. 앞 계급의 누적도수인 5와 C를 더해서 16이어야 하므로 C = 11이어야 하고요.
D는 총 도수인데, 총 도수는 마지막 계급의 누적도수와 같죠? 마지막 계급의 누적도수가 20이므로 총 도수도 20입니다.

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상대도수의 분포표는 도수분포표에서 도수가 상대도수로 바뀐 것뿐이에요. 마찬가지로 상대도수의 그래프는 도수가 상대도수로 바뀐 것 빼고는 히스토그램이나 도수분포다각형과 완전히 다 같아요.

히스토그램은 가로축에 계급의 양 끝값, 세로축에 도수였죠? 상대도수의 그래프는 가로축에 계급의 양 끝값, 세로축에 상대도수를 놓고 그래프를 그리면 돼요.

상대도수 그래프 그리기

1. 가로축에 각 계급의 양 끝값을 적는다.
2. 세로축에 상대도수를 적는다.
3. 히스토그램이나 도수분포다각형을 그리는 방법과 똑같은 방법으로 그래프를 그린다.

상대도수 그래프의 특징

상대도수 그래프는 각 계급의 도수가 전체에서 차지하는 비율을 쉽게 알 수 있고, 전체 도수가 다른 자료와 비교할 때 매우 편리해요.

아래는 상대도수와 상대도수의 분포표의 예제 문제에 나왔던 상대도수를 이용하여 그래프로 나타낸 겁니다.

단순히 표에서 숫자를 이용해서 비교할 때보다 그래프로 나와 있으니까 훨씬 더 쉽게 알아볼 수 있겠죠?

상대도수 그래프의 넓이

도수분포다각형에서 그래프와 가로축으로 이루어진 부분의 넓이는 히스토그램의 직사각형의 전체 넓이와 같았어요.

상대도수의 그래프에서는 도수 대신 상대도수를 사용하니까 (계급의 크기) × (상대도수의 총합)이 되는데, 상대도수의 총합은 1이니까 넓이는 계급의 크기와 같죠.

도수분포다각형의 그래프와 가로축 사이의 넓이
     = 히스토그램 직사각형의 전체 넓이
     = (계급의 크기) × (도수의 총합)

상대도수의 그래프에서 그래프와 가로축으로 둘러싸인 넓이
= 계급의 크기

두 학급의 수학 점수를 상대도수 그래프로 나타낸 것이다. 파란색이 1반, 빨간색이 2반을 나타낼 때 물음에 답하여라.
(1) 1반에서 80점 이상 90점 미만인 학생 수가 10명이고 상대도수가 0.5일 때 1반의 전체 학생 수를 구하여라.
(2) 90점 이상인 학생 수의 비율이 더 높은 반은 몇 반인가?

(1)번에서 (상대도수) = (계급의 도수) ÷ (총 도수)에요. 1반의 전체 학생 수를 구하라고 했으니 총 도수를 구하란 말이네요. 식에 대입해 보죠.
0.5 = 10 ÷ x
x = 20
1반의 학생 수는 20명이네요.

(2)번에서는 실제 두 반에서 90점 이상인 학생이 몇 명인지 알 수도 없고, 상대도수도 몰라요. 하지만 그래프를 보면 그 숫자를 알지 못해도 누가 많은지는 알 수 있어요. 90점 이상 100점 미만의 계급에 1반의 선이 조금 더 위로 올라와 있죠? 따라서 90점 이상인 학생의 비율은 1반이 더 높다고 할 수 있겠네요.

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통계 단원에 점점 익숙해지고 있나요?

새로운 용어도 많이 나오고 표도 만들고 그래프도 그려야 해서 조금 어렵죠? 이 글에서도 새로운 용어와 표 만들기를 할 거예요. 하지만 어렵게 생각하지 마세요. 이미 공부했던 도수와 도수분포표에 숟가락 하나만 얹으면 되거든요.

상대도수

상대도수는 도수의 총합에 대한 각 계급의 도수의 비율을 말해요. 그러니까 전체에 대한 상대적인 크기죠. 상대도수를 식으로 쓰면 아래와 같아요.

계급의 상대도수 = (계급의 도수) ÷ (도수의 총합)

백분율 구할 때 어떻게 하나요? 전체 40개 중 20개의 백분율을 구할 때, 20 ÷ 40 × 100 = 50% 이렇게 구하죠? 상대도수를 구할 때는 뒤에 × 100만 빼주면 돼요. 전체 도수가 40이고, 어떤 계급의 도수가 20이면 이 계급의 상대도수는 20 ÷ 40 = 0.5인 거죠.

아래 표에서 총 도수는 20이고, 80점 이상 90점 미만의 도수가 10이죠. 그럼 80점 이상 90점 미만의 상대도수는 10 ÷ 20 = 0.5예요.

이런 식으로 각 계급의 상대도수를 모두 구하면 아래 표처럼 돼요.

도수를 표로 나타낸 것을 도수분포표라고 하지요? 그럼 상대도수를 위 표처럼 나타낸 표를 뭐라고 할까요? 바로 상대도수의 분포표라고 합니다. 도수분포표에서 도수만 상대도수로 바뀐 것뿐이에요.

상대도수의 특징

상대도수의 분포표에서 상대도수의 총합은 1이에요.

상대도수의 분포표의 제일 마지막 칸을 볼까요? 상대도수의 총합이 얼마로 나오나요? 상대도수를 다 더해보죠. 0.05 + 0.15 + 0.5 + 0.3 = 1이죠. 위 표에서만 그런 것이 아니라 모든 상대도수의 분포표에서 항상 1이에요.

상대도수는 각 계급의 도수에 비례해요.

상대도수 구하는 식을 보죠. 도수의 총합은 일정하고 바뀌는 건 도수밖에 없어요. 그러니까 도수에 비례하는 거예요.

그냥 도수도 있는데, 왜 굳이 상대도수라는 걸 구할까요? 상대도수가 유용할 때가 있기 때문이겠죠? 언제 유용하냐?

바로 도수가 너무 커서 전체를 조사하기 힘들 때예요. 예를 들어서 전체 도수의 총합이 100만이고, 어떤 계급의 도수가 30,000, 40,000 이러면 숫자가 크니까 알아보기가 쉽지 않잖아요. 이럴 때 상대도수를 이용해서 숫자를 작게 하는 거죠.

또 도수의 총합이 다른 두 개의 자료를 비교할 때도 사용해요. 1반과 2반의 수학 점수를 비교하는데, 1반은 학생이 20명이고 2반은 25명이라면 단순히 80점 이상 90점 미만 학생 수를 비교할 수는 없겠죠? 이럴 때 상대도수를 이용해서 비교해요.

다음은 두 학급의 수학 성적을 나타낸 상대도수의 분포표이다. 물음에 답하여라.
(1) A, B, C, D의 값을 구하여라.
(2) 두 반 중 90점 이상인 학생의 비율이 더 높은 학급은 어디인지 구하여라.

(1)번에서 A는 총 도수가 25이고, 도수가 3이니까 3 ÷ 25 = 0.12네요.

B는 두 가지 방법으로 구할 수 있어요. B ÷ 25 = 0.12에서 B = 0.12 × 25 = 3이라는 걸 알 수 있어요. 다른 방법으로 상대도수는 도수에 비례하니까 70점 이상 80점 미만의 도수, 상대도수와 비교할 수도 있고요. B : 0.12 = 14 : 0.56이라는 비례식을 만들 수 있죠.

C를 구해보죠. C는 도수도 비어있고, 상대도수도 비어있어서 다른 방법이 필요해요. 총 도수가 25니까 3 + B + 14 + C = 25가 되어야 해요. B는 위에서 3이었으니까 C = 5겠네요.

D는 5 ÷ 25 = 0.2가 되겠죠.

E는 상대도수의 총합인데, 상대도수의 총합은 무조건 1이에요. 따라서 E = 1입니다.

(2)번에서 90점 이상인 학생의 비율이 1반은 0.3이고 2반은 0.2니까 1반의 비율이 더 높군요.

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