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피타고라스의 정리에 이어 이번에는 삼각비입니다.

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계였어요. 삼각비도 직각삼각형에서 변의 길이에 관한 내용입니다. 단순히 변의 길이가 아니라 변의 길이 사이의 비율에요.

피타고라스의 정리에서는 길이의 관계만 따졌는데, 삼각비는 각도에 관한 내용이 추가되었어요.

삼각비도 직각삼각형에서 구하는 거라서 피타고라스의 정리와 비슷한 부분이 조금 있지만 조금 더 어려운 내용이 나옵니다. 하지만 그 비율이라는 게 일정한 값을 가지고 있기때문에 복잡한 계산을 요구하지는 않으니 너무 걱정하지는 마세요.

삼각비

삼각비는 직각삼각형에서 두 길이의 비를 얘기해요. 꼭 직각삼각형이어야만 합니다. 직각삼각형이 아니면 안 돼요.

삼각비를 구할 때는 기준각이라는 게 있어요. 어떤 각을 하나 주고 그 각에 대한 삼각비를 구하는 거지요. 삼각비는 이 기준각의 크기에 따라 달라집니다. 변의 길이나 삼각형의 크기와 상관없이 기준각이 같으면 서로 다른 직각삼각형이라도 삼각비는 같아요. 이건 설명이 너무 길어져서 생략합니다. 그냥 이렇게만 알고 계시면 돼요.

직각삼각형에서 직각의 대변은 빗변이에요. 그리고 기준각의 대변을 높이로 남은 한 변을 밑변으로 부르기로 약속을 했어요. + 기호 양쪽에 있는 값을 서로 더한다고 약속한 것처럼 그냥 그렇게 딱 정했어요.

sin

sin이에요. 원래는 sine인데, 앞의 세 자만 따서 sin이라고 써요. 한글로 쓰면 사인인데, 읽을 때는 싸인이라고 읽습니다.

sin은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

cos

cos이에요. 원래는 cosine인데, 앞의 세 자만 따서 cos이라고 써요. 한글로 쓰면 코사인인데, 읽을 때는 코싸인이라고 읽습니다.

cos은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 밑변의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 으로 구합니다.

tan

tan에요. 원래는 tangent인데, 앞의 세 자만 따서 tan이라고 써요. 탄젠트라고 쓰고 읽어요.

tan은 직각삼각형 두 변의 길이 중 밑변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

각의 기호로 썼는데요. 각의 크기로 쓰기도 합니다. 기준각의 크기가 60°이면 sin60°라고 쓰기도 해요. 그럼 그림에서 각의 크기가 60°인 각을 찾아서 그 각을 기준각으로 삼으면 되죠. cos60°, tan60°도 마찬가지고요.

삼각비: 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비
sin = , cos = , tan  =

삼각비를 쉽게 구하는 방법

삼각비를 쉽게 구하려면 삼각형을 원하는 모양으로 그려야 해요. 기준각이 왼쪽 아래에, 직각은 오른쪽 아래에 오게 삼각형을 그려요.

그리고 영어 s, c, t의 필기체를 쓰는 거지요. 영어 소문자 필기체 쓸 줄 알죠?

s는 sin, c는 cos, t는 tan를 구할 때 써요. s와 t는 1, 2번만 있으면 돼요.

삼각형을 위 그림처럼 돌려놓은 다음에 필기체를 쓰면 먼저 써지는 게 분모, 나중에 써지는 게 분자가 되는 거예요. sin의 s는 빗변에서 출발해서 높이로 이어지지요. 그래서 sin은 가 되는 거예요. cos의 c는 빗변에서 출발해서 밑변으로 이어지니까 cos은 , tan의 t는 밑변에서 시작해서 높이로 이어지니까 가 되는 거고요.

다음 직각삼각형 ABC에서 각 A에 대한 삼각비를 구하여라.

삼각비를 구하려면 빗변의 길이를 알아야 해요. 직각삼각형이니까 빗변의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구할 수 있어요. 피타고라스의 수 3, 4, 5니까 빗변의 길이는 5에요.

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삼각형은 각의 크기에 따라 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형으로 나눠요.

삼각형의 세 각의 크기가 주어지지 않더라도, 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 피타고라스 정리의 역을 이용하면 직각삼각형인지 아닌지 알 수 있죠?

직각삼각형이 아니면 예각삼각형인지 둔각삼각형인지 알 수도 있을까요? 물론 알 수 있어요. 피타고라스의 정리의 역을 이용할 건데, 이걸 그대로 이용하는 게 아니라 아주 살짝 모양을 바꿔서 이용하면 알 수 있어요.

삼각형 세 변의 길이와 각의 크기

물론 다들 알고 있겠지만, 피타고라스의 정리의 역을 확인해보죠.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라고 놓고 위 피타고라스 정리의 역을 이용해보죠.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 5cm에요. 5² = 3² + 4²이 성립하므로 이 삼각형은 직각삼각형이에요.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 6cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 6cm네요. 6² ≠ 3² + 4²이므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니에요. 직각삼각형이 아니니까 예각삼각형이거나 둔각삼각형일 거예요. 어떻게 알 수 있을까요?

아래 그림을 보세요.

첫 번째 그림은 예각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 왼쪽으로 살짝 돌렸더니 예각삼각형이 되었어요. 이 예각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 줄어들었죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 줄었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 예각삼각형에서는 a² + b² > c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² > c²이면 이 삼각형은 예각삼각형인 거예요.

세 번째 그림은 둔각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 오른쪽으로 살짝 돌렸더니 둔각삼각형이 되었어요. 이 둔각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 늘어났죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 늘었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 둔각삼각형에서는 a² + b² < c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² < c²이면 이 삼각형은 둔각삼각형인 거예요.

• △ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때
• a² + b² > c² ↔ ∠C < 90°인 예각삼각형
• a² + b² = c² ↔ ∠C = 90°인 직각삼각형
• a² + b² < c² ↔ ∠C > 90°인 둔각삼각형

가장 긴 변의 길이를 c로 하는 것에 주의하세요.

세 변의 길이가 5cm, 12cm, xcm 인 삼각형이 둔각삼각형이 될 x의 범위를 구하여라. (단 x가 가장 긴 변)

삼각형의 세 변의 길이가 주어졌으니까 가장 긴 변의 길이를 c로 놓고 위 내용을 적용해보죠. 문제 마지막에 x가 가장 긴 변이라고 했네요.

5² + 12² < x²
169 < x²
13² < x²
13 < x

여기서 끝내면 안 돼요. 삼각형의 조건 중에서 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 하는 거 알고 있죠? 따라서 x < 5 + 12가 되어야 해요. x < 17이죠.

따라서 x의 범위는 13cm < x < 17cm입니다.

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이번에는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심이 어디에 있는지 알아볼 거예요. 또 삼각형의 외심을 여러 가지 활용하는 방법도 알아볼 거고요.

먼저 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질을 간단히 정리해보죠.

다각형의 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원이라고 하고, 외접원의 중심을 외심이라고 해요. 삼각형에서 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같지요.

삼각형 외심의 위치

예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심의 위치

삼각형은 세 내각이 모두 예각이면 예각삼각형, 한 각이 둔각이면 둔각삼각형, 한 각이 직각이면 직각삼각형으로 나눠요.

예각삼각형은 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질에서 본 것처럼 삼각형의 외심이 삼각형의 내부에 있어요. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 외심이 있고요. 정확하게 말하면 둔각의 대변, 길이가 가장 긴 변의 바깥쪽에 외심이 있어요.

직각삼각형은 외심이 빗변에 있는데, 바로 빗변의 중점이 외심이 됩니다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 빗변 길이의 절반이죠.

△ABC가 직각삼각형이고, 일 때, ∠DBC의 크기를 구하여라.

직각삼각형에서 빗변의 중점은 삼각형의 외심이에요. 따라서 이죠. 즉 △DBC는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 같으니까 ∠DBC = ∠DCB = 20°네요.

삼각형 외심의 활용

점 O가 △ABC의 외심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°

점 O가 삼각형의 외심이니까 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같아요.  =  = 니까 △OAB, △OBC, △OCA는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라서 ∠OAB = ∠OBA = ∠x, ∠OBC = ∠OCB = ∠y, ∠OCA = ∠OAC = ∠z가 되죠.

삼각형 내각의 합은 180°이므로 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이고, ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.

∠BOC = 2∠A

아래 그림처럼 △OAB만 따로 떼서 생각해보죠. 선분 OA의 연장선을 그어요.

삼각형 외각의 크기, 외각의 합에 따르면 삼각형의 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같아요. ∠BOD = ∠OAB + ∠OBA

여기서, ∠OAB = ∠OBA니까 ∠BOD는 2∠OAB에요.

마찬가지로 △OAC에서 삼각형의 외각과, ∠OCA = ∠OAC에 따라 ∠COD = 2∠OAC가 되지요.

결국, ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠OAB + 2∠OAC = 2∠A가 됩니다.

점 O가 △ABC의 외접원의 중심일 때, ∠C의 크기를 구하여라.

점 O가 외심이므로, △OAB는 인 이등변삼각형이에요. 따라서 ∠OAB = ∠OBA = 30°입니다. ∠AOB = 180° - 60° = 120°예요.

∠AOB = 2∠C이므로 ∠C = 120 ÷ 2 = 60°네요.

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