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원리합계, 단리와 복리 두 번째예요. 상용로그에서 했던 것까지 따지면 세 번째죠. 여기서는 복리에 대해서 알아볼 거예요. 복리의 정의와 복리를 구하는 방법은 앞서 공부했던 내용과 같아요.

단리에 관련된 문제는 잘 나오지 않아요. 복리에 대한 문제가 많이 나오는데 이게 한 번에 하려면 너무 어려울 수 있어서 기본적인 건 단리에서 다루었어요. 단리와 복리의 차이만 있을 뿐 그 외에는 아무런 차이가 없거든요. 그러니까 복리에 대해서 제대로 이해하려면 앞서 단리에서 했던 내용을 완전히 이해하고 있어야 합니다.

등비수열의 활용

수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 공부했던 단리에서 원금을 처음에 한 번만 넣는 경우와 매년 넣는 경우를 살펴봤죠? 원금을 매년 넣는 것도 매년 초에 넣는 것과 매년 말에 넣는 걸 공부했어요. 여기서도 똑같습니다. 처음 한 번만 넣는 경우, 매년 초에 넣는 경우, 매년 말에 넣는 경우의 세 가지를 알아보죠.

먼저 원금을 처음 한 번만 넣는 경우를 보죠. 이건 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용이에요.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣는다고 해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만원 + 100만원 × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)
2년 후: 100만원(1 + 0.05) + 100만원(1 + 0.05) × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)²
3년 후: 100만원(1 + 0.05)² + 100만원(1 + 0.05)² × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)²(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)³
10년 후: 100만원(1 + 0.05)¹⁰

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)¹⁰이에요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년 동안 복리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년 동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05)¹⁰이에요.

두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁹죠.

세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁸이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05)¹이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)¹⁰, 100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)⁸, …, 100만 원(1 + 0.05)², 100만 원(1 + 0.05)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05), 100만 원(1 + 0.05)², …, 100만 원(1 + 0.05)⁸, 100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)¹⁰

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05)¹⁰, 공비가 (1 + 0.05)인 등비수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05)ⁿ

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등비수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫째항이 a, 마지막 항이 l, 등비가 r인 등비수열의 합은  공식에 넣어서 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
a_n = a(1 + r)ⁿ
원리합계는 등비수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 했듯이 매년 1월 1일에 넣으면 넣는 햇수만큼 이자를 모두 받을 수 있지만, 연말에 넣으면 마지막 해의 이자를 받을 수 없어요. 총 기간에서 마지막 1년을 뺀 기간만 이자를 받는 거죠.

이번에는 매년 말인 12월 31에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년간 복리로 넣는다고 해볼까요?

여기서도 해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년 치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁹

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년 치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁸

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05)⁰ = 100만 원

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)⁸, …, 100만 원(1 + 0.05)², 100만 원(1 + 0.05), 100만 원

거꾸로 써보죠.
100만 원, 100만 원(1 + 0.05)¹, 100만 원(1 + 0.05)², …, 100만 원(1 + 0.05)⁸, 100만 원(1 + 0.05)⁹

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05)⁹인 등비수열이에요. 공비는 (1 + 0.05)이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원(1 + 0.05)^{n - 1}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등비수열의 합 공식

 공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + r)ⁿ
매년 말에 입금하면 a_n = a(1 + r)^{n - 1}
원리합계는 등비수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

단리면 등차수열, 복리면 등비수열이에요. 매년 초에 입금할 때와 매년 말에 입금할 때의 일반항은 모양은 같은데, 지수가 하나는 n, 다른 하나는 n - 1이고요. 이 두 가지만 기억하면 돼요.

매년 초에 50만 원씩 연이율 3%로 5년간 복리로 예금할 때, 5년 뒤에 받는 원리합계를 구하여라. (1.03⁵ ≒ 1.1592)

매년 초에 입금하네요. 해마다 넣는 돈이 5년 뒤에 얼마가 되는지 차례대로 써보죠. 첫해에 입금하는 돈은 5년간 이자를 받을 수 있어요.

첫해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵
두 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴
세 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)³
네 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)²
다섯 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹

5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴, 5 × 10⁵(1 + 0.03)³, 5 × 10⁵(1 + 0.03)², 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹

이 수열의 순서를 바꿔보죠.

5 × 10⁵(1 + 0.03)¹, 5 × 10⁵(1 + 0.03)², 5 × 10⁵(1 + 0.03)³, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵

첫째항이 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹이고 마지막 항이 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵, 공비가 (1 + 0.03)인 등비수열이에요.

원리합계가 이 등비수열의 합과 같으므로 등비수열의 합 공식을 이용해서 구해보죠.

5년 뒤의 원리합계는 약 2,732,933원입니다.

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등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항
상용로그의 활용, 단리와 복리

단리와 복리는 상용로그의 활용에서 해봤어요. 상당히 까다로운 문제였죠? 수열에서 공부하는 단리와 복리는 그보다 조금 더 까다로워요. 원리는 같은데 돈을 넣는 횟수가 많고 돈을 언제 넣느냐에 따라서 그 결과가 달라지거든요. 문제를 풀 때 돈을 넣는 횟수와 돈을 넣는 시기 두 가지를 잘 구별해야 합니다.

단리와 복리에서 돈을 넣는 횟수와 시기에 따라 결과가 왜 달라지는지 이해를 잘해야 해요. 상당히 어렵습니다. 집중해서 잘 보세요. 여기서는 상대적으로 계산이 간단한 단리를 이용해서 설명할게요.

등차수열의 활용

단리와 복리는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 공부했었죠? 단리는 원금에 일정한 이자를 더하는 거고, 복리는 원금은 물론 이자에도 이자를 더하는 거예요.

상용로그에서 공부했던 단리, 복리와 수열에서 공부하는 단리, 복리는 기본적으로 의미는 같지만, 한 가지 중요한 차이가 있어요. 상용로그에서의 단리, 복리는 원금을 처음 딱 한 번만 입금해요. 처음에 딱 한 번만 넣고 5년이든 10년이든 일정한 지났을 때의 금액을 구하는 거죠. 수열의 단리, 복리에서는 원금을 처음에 한 번만 넣는 게 아니라 매달 또는 매년 넣어요. 첫해에 돈을 넣고, 두 번째 해에 또 넣고, 세 번째 해에 또 넣어요. 각 해에 넣는 돈에 모두 이자가 붙는 거죠.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 단리로 넣는다고 해보죠.

이 경우는 처음에 한 번만 넣어요. 그러니까 상용로그에서 했던 것처럼 10년 뒤의 금액을 구해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만 원 + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05)
2년 후: 100만 원(1 + 0.05) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 2)
3년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 2) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 3)
10년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 9) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 10)

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

여기까지는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용 그대로예요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 넣는 연이율 5%인 예금을 10년 동안 단리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

이건 한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

이번에는 두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 10년 중 1년이 지났으니까 이 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)죠.

이번에는 세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05 × 1)이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 10), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 10)

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05 × 1)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05 × 10), 공차가 100만 원 × 0.05인 등차수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05 × n)

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등차수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫 항이 a, 마지막 항이 l인 등차수열의 합은 이므로 공식에 넣어보면 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
a_n = a(1 + rn)
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

똑같은 상황을 조금만 바꿔보죠. 다른 건 다 똑같고, 매년 말인 12월 31에 100만 원을 넣는다고 해볼까요?

예를 들어 2014년 1월 1일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31일이에요. 그런데 연말인 2014년 12월 31일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31이죠. 햇수로 10년이지만 정확하게 날짜로 계산하면 9년밖에 안 돼요. 그러니까 이자는 9년치 이자만 받을 수 있어요.

매년 1월 1일에 넣는 것과 매년 12월 31일 넣는 것의 차이를 이해했나요?

여기서도 매해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05 × 0)

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 0)

거꾸로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 0), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9)

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05 × 9)인 등차수열이에요. 공차는 100만 원 × 0.05이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원{1 + 0.05 × (n - 1)}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등차수열의 합  공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + rn)
매년 말에 입금하면 a_n = a{1 + r(n - 1)}
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

돈을 한 번만 입금하는지 매년 입금하는지 잘 살펴야 해요. 그리고 연초에 입금하는지 연말에 입금하는지도 잘 구별해야 하고요.

함께 보면 좋은 글

상용로그의 활용, 단리와 복리
등차수열, 등차수열의 일반항
등차수열의 합, 등차수열의 합 공식

상용로그의 활용에서 빼놓지 않고 나오는 문제는 예금 문제예요. 원금, 기간, 연이율 등을 알려주고 만기 때 얼마를 받을 수 있나를 묻는 문제지요.

물론 계산기로 간단하게 계산할 수 있는 문제이긴 하지만 상용로그의 성질과 상용로그표만 있다면 계산기 없이도 그 값을 구할 수 있어요.

단리와 복리라는 방법으로 계산하는데 이게 상당히 복잡해요. 아마 한 두 번 읽어서는 이해가 안 될 수도 있어요. 여러 번 반복해서 꼼꼼하게 읽어보세요.

상용로그의 활용

먼저 단리와 복리에 대해서 알아보죠.

예를 들어 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 단리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원이죠.
두 번째 해에도 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 주죠. 총 102만 원이 됐어요.
세 번째 해도, 네 번째 해도 매년 1만원을 이자로 줍니다.

결국, 10년동안 1만 원씩 10번을 주니까 총 10만 원의 이자를 받죠. 물론 원금 100만 원도 받고요. 100만 원이 10년 후에는 110만 원이 돼요.

이걸 식으로 나타내보죠. 1% = 0.01이군요.

첫해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01 + 0.01) = 100만원(1 + 0.02)
세 번째 해: 100만원(1 + 0.02) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.02 + 0.01) = 100만원(1 + 0.03)
n 번째 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 × n = 100만원(1 + 0.01 × n)

이게 단리예요. 원금은 일정하고 그에 대한 이자만 지급하는 방식이에요.

복리는 조금 복잡해요.

똑같이 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 복리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원의 돈이 있어요.
두 번째 해에는 원금 100만 원의 1%인 만 원만 이자로 주는 게 아니에요. 원금 100만 원에 전년도에 받은 이자 1만 원까지 101만 원의 1%인 1만 1백 원을 이자로 주지요. 총 102만 1백 원이 있어요.
세 번째 해에는 원금 100만 원에 첫해에 받은 이자 1만 원, 두 번째 해에 받은 1만 1백 원까지 해서 102만 1백 원의 1%인 1만 201원을 이자로 줘요. 총 103만 301원이 있어요.

이걸 식으로 나타내보죠.

첫 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원(1 + 0.01) × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)²
세 번째 해: 100만원(1 + 0.01)² + 100만원(1 + 0.01)² × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)²(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)³
n 번째 해: 100만원(1 + 0.01)ⁿ

복리는 이렇게 단리와 다르게 이자에도 이자를 쳐줘요. 그래서 단리보다 계산도 복잡하고 마지막에 받는 돈도 더 많이 받죠.

원금을 A, 이율을 r%라고 할 때 n년 후의 원리합계
단리: 원, 복리: 원

1000만 원을 연이율 5%로 10년간 예금하려고 한다. 단리로 계산할 때와 복리로 계산할 때의 10년 후 원리합계의 차이는 얼마인지 구하여라. (log1.05 = 0.0212, log1.63 = 0.2122)

먼저 단리로 계산해보죠.

15,000,000원이네요.

복리로 계산해보죠.

1.05¹⁰을 구하려면 구할 수는 있어요. 하지만 상용로그값이 나와 있으니 이걸 활용해볼까요?

1.05¹⁰에 상용로그를 취해보죠.

log1.05¹⁰ = 10 × log1.05 = 10 × 0.0212 = 0.212

우리가 알아야하는 건 1.05¹⁰인데, 실제로 구한 건 log1.05¹⁰ = 0.212에요. 그럼 여기서 1.05¹⁰을 어떻게 구할까요? 두 상용로그의 값이 같으려면 진수가 같아야 해요. 상용로그표에서 0.212라는 상용로그값을 갖는 진수를 찾으면 그 진수와 1.05¹⁰가 같다는 거지요.

똑같은 값은 없고 log1.63 = 0.2122로 0.212와 가장 가깝네요.

즉 log1.05¹⁰ = 0.212 ≒ 0.2122 = log1.63

1.05¹⁰ ≒ 1.63이라는 걸 구했어요. 실제로 1.05¹⁰ ≒ 1.6289에요.

이제 식에 대입해보죠.

16,300,000원이네요.

복리로 하면 16,300.000원, 단리로 하면 15,000,000만원이에요.

그 차이는 1,300,000원이네요.

복리로 하는 게 훨씬 이익이죠?

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